Jotta yksi taso voidaan piirtää minkä tahansa kolmen pisteen läpi avaruudessa, on välttämätöntä, että nämä pisteet eivät ole samalla suoralla.
Tarkastellaan pisteitä M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) yleisessä suorakulmaisessa koordinaatistossa.
Jotta mielivaltainen piste M(x, y, z) olisi samassa tasossa pisteiden M 1, M 2, M 3 kanssa, vektorien on oltava samassa tasossa.
(
)
= 0
Täten, 
Kolmen pisteen läpi kulkevan tason yhtälö:
Tason yhtälö, jossa on kaksi pistettä ja tason kanssa kollineaarinen vektori.
Olkoon pisteet M 1 (x 1,y 1,z 1),M 2 (x 2,y 2,z 2) ja vektori annettu 
.
Tehdään yhtälö tasolle, joka kulkee annettujen pisteiden M 1 ja M 2 kautta sekä mielivaltaiselle vektorin suuntaiselle pisteelle M (x, y, z) 
.
Vektorit 
ja vektori 
on oltava samassa tasossa, ts.
(
)
= 0
Tasoyhtälö:
Tason yhtälö käyttäen yhtä pistettä ja kahta vektoria,
kollineaarisesti lentokoneeseen nähden.
Olkoon kaksi vektoria annettu 
Ja 
, kollineaariset tasot. Sitten tasoon kuuluvalle mielivaltaiselle pisteelle M(x, y, z) vektorit 
on oltava samassa tasossa.
Tasoyhtälö:
Tason yhtälö pisteeltä ja normaalivektorilta .
Lause.
Jos piste M on annettu avaruudessa 0
(X 0
, y 0
,
z 0
), sitten pisteen M läpi kulkevan tason yhtälö 0
kohtisuorassa normaalivektoriin nähden
(A,
B,
C) on muotoa:
A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.
Todiste.
Tasoon kuuluvalle mielivaltaiselle pisteelle M(x, y, z) muodostetaan vektori. Koska vektori
on normaalivektori, silloin se on kohtisuorassa tasoon nähden ja siten kohtisuorassa vektoriin nähden 
. Sitten skalaaritulo
=
0
Siten saamme tason yhtälön
Lause on todistettu.
Tason yhtälö segmenteissä.
Jos yleisessä yhtälössä Ax + Bi + Cz + D = 0 jaamme molemmat puolet (-D)
,
korvaamalla 
, saamme tason yhtälön segmenteissä:
Numerot a, b, c ovat tason leikkauspisteitä x-, y- ja z-akselien kanssa, vastaavasti.
Tason yhtälö vektorimuodossa.
Missä
- nykyisen pisteen sädevektori M(x, y, z),
Yksikkövektori, jonka kohtisuoran suunta on pudotettu tasolle origosta.
, ja ovat kulmia, jotka tämä vektori muodostaa x-, y-, z-akselien kanssa.
p on tämän kohtisuoran pituus.
Koordinaateissa tämä yhtälö näyttää tältä:
xcos + ycos + zcos - p = 0.
Etäisyys pisteestä tasoon.
Etäisyys mielivaltaisesta pisteestä M 0 (x 0, y 0, z 0) tasoon Ax+By+Cz+D=0 on:
Esimerkki. Etsi tason yhtälö tietäen, että piste P(4; -3; 12) on origosta tälle tasolle pudotetun kohtisuoran kanta.
Joten A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, käytämme kaavaa:
A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.
Esimerkki. Etsi kahden pisteen P(2; 0; -1) kautta kulkevan tason yhtälö ja
Q(1; -1; 3) kohtisuorassa tasoon 3x + 2y – z + 5 = 0.
Normaalivektori tasolle 3x + 2y – z + 5 = 0 
yhdensuuntainen halutun tason kanssa.
Saamme:
Esimerkki. Etsi pisteiden A(2, -1, 4) kautta kulkevan tason yhtälö ja
B(3, 2, -1) kohtisuorassa tasoon nähden X + klo + 2z – 3 = 0.
Tason vaadittava yhtälö on muotoa: A x+B y+C z+ D = 0, normaalivektori tälle tasolle 
(A, B, C). Vektori 
(1, 3, -5) kuuluu tasoon. Meille annetulla tasolla, joka on kohtisuorassa haluttuun nähden, on normaalivektori 
(1, 1, 2). Koska pisteet A ja B kuuluvat molempiin tasoihin ja tasot ovat siis keskenään kohtisuorassa
Normaalivektori siis 
(11, -7, -2). Koska piste A kuuluu haluttuun tasoon, silloin sen koordinaattien on täytettävä tämän tason yhtälö, ts. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.
Yhteensä saamme tason yhtälön: 11 x - 7y – 2z – 21 = 0.
Esimerkki. Etsi tason yhtälö tietäen, että piste P(4, -3, 12) on alustasta tälle tasolle pudotetun kohtisuoran kanta.
Normaalivektorin koordinaattien löytäminen 
= (4, -3, 12). Tason vaadittava yhtälö on muotoa: 4 x
– 3y
+ 12z+ D = 0. Kertoimen D löytämiseksi korvaamme pisteen P koordinaatit yhtälöön:
16 + 9 + 144 + D = 0
Yhteensä saamme vaaditun yhtälön: 4 x – 3y + 12z – 169 = 0
Esimerkki. Annetut ovat pyramidin kärkien koordinaatit A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),
Laske reunan A 1 A 2 pituus.
Etsi reunojen A 1 A 2 ja A 1 A 4 välinen kulma.
Etsi reunan A 1 A 4 ja pinnan A 1 A 2 A 3 välinen kulma.
Ensin löydetään normaalivektori kasvolle A 1 A 2 A 3 
vektorien ristitulona 
Ja 
.
=
(2-1;
1-0; 1-3) = (1; 1; -2);
Etsitään normaalivektorin ja vektorin välinen kulma 
.
-4
– 4 = -8.
Haluttu kulma vektorin ja tason välillä on = 90 0 - .
Etsi kasvojen pinta-ala A 1 A 2 A 3.
Etsi pyramidin tilavuus.
Etsi tason A 1 A 2 A 3 yhtälö.
Käytetään kaavaa kolmen pisteen läpi kulkevan tason yhtälöön.
2x + 2y + 2z – 8 = 0
x + y + z - 4 = 0;
Kun käytät tietokoneversiota " Korkeampi matematiikan kurssi” voit ajaa ohjelman, joka ratkaisee yllä olevan esimerkin mille tahansa pyramidin kärkien koordinaateille.
Käynnistä ohjelma kaksoisnapsauttamalla kuvaketta:
Syötä avautuvaan ohjelmaikkunaan pyramidin kärkien koordinaatit ja paina Enter. Tällä tavalla kaikki päätöspisteet voidaan saada yksitellen.
Huomautus: Jotta ohjelma voidaan suorittaa, tietokoneellesi on asennettava minkä tahansa version Maple-ohjelma ( Waterloo Maple Inc.) MapleV Release 4:stä alkaen.
Jos kaikki luvut A, B, C ja D ovat erilaisia kuin nolla, niin tason yleinen yhtälö on ns. saattaa loppuun. Muuten kutsutaan tason yleistä yhtälöä epätäydellinen.
Tarkastellaan kaikkia mahdollisia yleisiä epätäydellisiä yhtälöitä tason suorakulmaisessa koordinaatistossa Oxyz kolmiulotteisessa avaruudessa.
Olkoon D = 0, niin meillä on yleinen epätäydellinen tasoyhtälö muotoa . Tämä taso suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä Oxyz kulkee origon kautta. Todellakin, kun korvaamme pisteen koordinaatit tuloksena olevaan epätäydelliseen tason yhtälöön, pääsemme identiteettiin .
Sillä , tai , tai meillä on yleiset epätäydelliset yhtälöt tasoista , tai , tai . Nämä yhtälöt määrittelevät tasot, jotka ovat samansuuntaisia koordinaattitasojen Oxy, Oxz ja Oyz kanssa (katso artikkeli yhdensuuntaisten tasojen ehdoista) ja jotka kulkevat pisteiden läpi 
ja vastaavasti. klo. Kohdasta lähtien 
kuuluu ehdolla tasoon, silloin tämän pisteen koordinaattien on täytettävä tason yhtälö, eli yhtälön on oltava tosi. Täältä löydämme. Siten vaaditulla yhtälöllä on muoto .
Esitetään toinen tapa ratkaista tämä ongelma.
Koska taso, jonka yleinen yhtälö meidän täytyy muodostaa, on yhdensuuntainen tason Oyz kanssa, niin sen normaalivektoriksi voidaan ottaa tason Oyz normaalivektori. Koordinaattitason Oyz normaalivektori on koordinaattivektori. Nyt tiedämme tason normaalivektorin ja tason pisteen, joten voimme kirjoittaa sen yleisen yhtälön (ratkaisimme samanlaisen ongelman tämän artikkelin edellisessä kappaleessa):
, silloin sen koordinaattien on täytettävä tason yhtälö. Tasa-arvo on siis totta 
mistä löydämme sen. Nyt voimme kirjoittaa halutun tason yleisyhtälön, sillä on muoto .
Vastaus:
Bibliografia.
- Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Korkeampi matematiikka. Ensimmäinen osa: lineaarialgebran ja analyyttisen geometrian elementit.
- Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analyyttinen geometria.
Tason yleisen yhtälön saamiseksi analysoidaan tietyn pisteen läpi kulkeva taso.
Olkoon kolme meille jo tuttua koordinaattiakselia avaruudessa - Härkä, Oy Ja Oz. Pidä paperiarkkia niin, että se pysyy tasaisena. Taso on itse arkki ja sen jatko kaikkiin suuntiin.
Antaa P mielivaltainen taso avaruudessa. Jokaista sitä vastaan kohtisuoraa vektoria kutsutaan normaali vektori tähän koneeseen. Luonnollisesti puhumme nollasta poikkeavasta vektorista.
Jos jokin piste koneessa on tiedossa P ja jokin normaalivektori sille, niin näillä kahdella ehdolla taso avaruudessa on täysin määritelty(tietyn pisteen kautta voit piirtää yksittäisen tason, joka on kohtisuorassa annettuun vektoriin nähden). Tason yleinen yhtälö on:
Eli ehdot, jotka määrittelevät tason yhtälön ovat. Saadaksesi itsesi tasoyhtälö, jolla on yllä oleva muoto, nouse lentokoneeseen P mielivaltainen kohta M vaihtelevilla koordinaatteilla x, y, z. Tämä piste kuuluu tasolle vain, jos vektori kohtisuorassa vektoriin nähden(Kuva 1). Tätä varten vektorien kohtisuoran ehdon mukaan on välttämätöntä ja riittävää, että näiden vektorien skalaaritulo on yhtä suuri kuin nolla, eli
Vektori määräytyy ehdon mukaan. Löydämme vektorin koordinaatit kaavan avulla 
:
.
Nyt käyttämällä vektoreiden kaavaa skalaarituloa 
, ilmaisemme skalaaritulon koordinaattimuodossa:
Kohdasta lähtien M(x; y; z) valitaan mielivaltaisesti tasossa, niin viimeinen yhtälö täyttyy minkä tahansa tasossa olevan pisteen koordinaatilla P. pisteen vuoksi N, ei makaa tietyssä tasossa, ts. tasa-arvoa (1) rikotaan.
Esimerkki 1. Kirjoita yhtälö tasolle, joka kulkee pisteen läpi ja on kohtisuorassa vektoriin nähden.
Ratkaisu. Käytetään kaavaa (1) ja katsotaan sitä uudelleen:
Tässä kaavassa numerot A , B Ja C vektorin koordinaatit ja numerot x0 , y0 Ja z0 - pisteen koordinaatit.
Laskelmat ovat hyvin yksinkertaisia: korvaamme nämä luvut kaavassa ja saamme
Kerromme kaiken kerrottavan ja lisäämme vain numerot (joissa ei ole kirjaimia). Tulos:
.
Vaadittu tason yhtälö tässä esimerkissä ilmaistaan ensimmäisen asteen yleisellä yhtälöllä muuttuvien koordinaattien suhteen x, y, z missä tahansa lentokoneen kohdassa.
Siis muodon yhtälö
nimeltään yleinen tasoyhtälö .
Esimerkki 2. Muodosta suorakulmaiseen suorakulmaiseen koordinaattijärjestelmään yhtälön antama taso 
.
Ratkaisu. Tason rakentamiseksi on välttämätöntä ja riittävää tietää mitkä tahansa kolme sen pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla, esimerkiksi tason leikkauspisteet koordinaattiakseleiden kanssa.
Kuinka löytää nämä pisteet? Löytääksesi leikkauspisteen akselin kanssa Oz, sinun on korvattava X:n ja Y:n nollia ongelmalausekkeessa annetussa yhtälössä: x = y= 0. Siksi saamme z= 6. Siten annettu taso leikkaa akselin Oz pisteessä A(0; 0; 6) .
Samalla tavalla löydämme tason leikkauspisteen akselin kanssa Oy. klo x = z= 0 saamme y= −3, eli piste B(0; −3; 0) .
Ja lopuksi löydämme tasomme leikkauspisteen akselin kanssa Härkä. klo y = z= 0 saamme x= 2, eli piste C(2; 0; 0). Ratkaisussamme saatujen kolmen pisteen perusteella A(0; 0; 6) , B(0; -3; 0) ja C(2; 0; 0) rakentaa annettu taso.
Mietitäänpä nyt yleisen tasoyhtälön erikoistapaukset. Nämä ovat tapauksia, joissa tietyt yhtälön (2) kertoimet ovat nolla.
1. Milloin D= 0 yhtälö 
määrittää tason, joka kulkee origon kautta, koska pisteen koordinaatit 0
(0; 0; 0) täyttävät tämän yhtälön.
2. Milloin A= 0 yhtälö 
määrittää tason, joka on yhdensuuntainen akselin kanssa Härkä, koska tämän tason normaalivektori on kohtisuorassa akseliin nähden Härkä(sen projektio akselille Härkä yhtä suuri kuin nolla). Samoin kun B= 0 kone 
yhdensuuntainen akselin kanssa Oy, ja milloin C= 0 kone 
yhdensuuntainen akselin kanssa Oz.
3. Milloin A=D= 0 yhtälö määrittelee tason, joka kulkee akselin läpi Härkä, koska se on yhdensuuntainen akselin kanssa Härkä (A=D= 0). Vastaavasti taso kulkee akselin läpi Oy, ja akselin läpi kulkeva taso Oz.
4. Milloin A=B= 0-yhtälö määrittelee tason, joka on yhdensuuntainen koordinaattitason kanssa xOy, koska se on yhdensuuntainen akselien kanssa Härkä (A= 0) ja Oy (B= 0). Vastaavasti taso on yhdensuuntainen tason kanssa yOz, ja kone on lentokone xOz.
5. Milloin A=B=D= 0 yhtälö (tai z = 0) määrittää koordinaattitason xOy, koska se on yhdensuuntainen tason kanssa xOy (A=B= 0) ja kulkee alkuperän ( D= 0). Samoin Eq. y= 0 avaruudessa määrittää koordinaattitason xOz, ja yhtälö x = 0 - koordinaattitaso yOz.
Esimerkki 3. Luo tason yhtälö P, joka kulkee akselin läpi Oy ja kausi.
Ratkaisu. Taso siis kulkee akselin läpi Oy. Siksi hänen yhtälössään y= 0 ja tällä yhtälöllä on muoto . Kertoimien määrittämiseksi A Ja C hyödynnetään se, että piste kuuluu tasoon P .
Siksi sen koordinaattien joukossa on niitä, jotka voidaan korvata tasoyhtälöllä, jonka olemme jo johtaneet (). Katsotaanpa uudelleen pisteen koordinaatteja:
M0 (2; −4; 3) .
Heidän joukossa x = 2 , z= 3. Korvaamme ne yleiseen yhtälöön ja saamme yhtälön erityistapauksellemme:
2A + 3C = 0 .
Jätä 2 A Siirrä yhtälön vasemmalla puolella 3 C oikealle puolelle ja saamme
A = −1,5C .
Korvaa löydetyn arvon A yhtälöön, saamme
tai .
Tämä on esimerkkiehdon vaatima yhtälö.
Ratkaise itse tasoyhtälön ongelma ja katso sitten ratkaisua
Esimerkki 4. Määritä taso (tai tasot, jos niitä on enemmän kuin yksi) suhteessa koordinaattiakseleihin tai koordinaattitasoihin, jos taso(t) on annettu yhtälöllä.
Ratkaisuja tyypillisiin ongelmiin, joita esiintyy testit- käsikirjassa Tasotehtävät: yhdensuuntaisuus, kohtisuora, kolmen tason leikkaus yhdessä pisteessä.
Kolmen pisteen läpi kulkevan tason yhtälö
Kuten jo mainittiin, välttämätön ja riittävä ehto tason rakentamiselle on yhden pisteen ja normaalivektorin lisäksi myös kolme pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla.
Olkoon kolme eri pistettä , ja , jotka eivät ole samalla rivillä, annetaan. Koska mainitut kolme pistettä eivät ole samalla viivalla, vektorit eivät ole kollineaarisia, ja siksi mikä tahansa tason piste sijaitsee samassa tasossa pisteiden kanssa, ja jos ja vain jos vektorit , ja 
koplanaarinen, ts. silloin ja vain silloin näiden vektorien sekatulo on yhtä kuin nolla.
Käyttämällä ilmaisua sekoitettu tuote koordinaateissa saamme tason yhtälön
(3)
Determinantin paljastamisen jälkeen tästä yhtälöstä tulee muotoa (2) oleva yhtälö, ts. tason yleinen yhtälö.
Esimerkki 5. Kirjoita yhtälö tasolle, joka kulkee kolmen tietyn pisteen kautta, jotka eivät ole samalla suoralla:
ja määritä suoran yleisen yhtälön erikoistapaus, jos sellainen esiintyy.
Ratkaisu. Kaavan (3) mukaan meillä on:
Normaali tasoyhtälö. Etäisyys pisteestä tasoon
Tason normaaliyhtälö on sen yhtälö, joka on kirjoitettu muotoon
Tarkastellaan tasoa Q avaruudessa. Sen sijainti määräytyy täysin määrittämällä tähän tasoon nähden kohtisuorassa oleva vektori N ja jokin Q-tasossa oleva kiinteä piste. Tämän tason normaalivektoriksi kutsutaan vektoria N. Jos merkitsemme A:lla, B:llä ja C:llä normaalivektorin N projektioita, niin
Johdetaan tietyn pisteen läpi kulkevan tason Q yhtälö, jolla on tietty normaalivektori . Tätä varten harkitse vektoria, joka yhdistää pisteen mielivaltainen piste taso Q (kuva 81).
Millä tahansa pisteen M asemalla tasolla Q, vektori MHM on kohtisuorassa tason Q normaalivektoriin N nähden. Siksi skalaaritulo kirjoitetaan skalaaritulo projektioina. Koska , ja on vektori, niin
ja siksi
Olemme osoittaneet, että minkä tahansa Q-tason pisteen koordinaatit täyttävät yhtälön (4). On helppo nähdä, että Q-tasolla sijaitsemattomien pisteiden koordinaatit eivät täytä tätä yhtälöä (jälkimmäisessä tapauksessa). Näin ollen olemme saaneet vaaditun tason Q yhtälön. Yhtälöä (4) kutsutaan tietyn pisteen läpi kulkevan tason yhtälöksi. Se on ensimmäistä astetta nykyisten koordinaattien suhteen
Joten olemme osoittaneet, että jokainen taso vastaa ensimmäisen asteen yhtälöä nykyisten koordinaattien suhteen.
Esimerkki 1. Kirjoita vektoriin nähden kohtisuorassa olevan pisteen läpi kulkevan tason yhtälö.
Ratkaisu. täällä . Kaavan (4) perusteella saamme
tai yksinkertaistamisen jälkeen
Antamalla yhtälön (4) kertoimille A, B ja C eri arvot, saadaan minkä tahansa pisteen läpi kulkevan tason yhtälö. Tietyn pisteen läpi kulkevaa tasojoukkoa kutsutaan tasokimpuksi. Yhtälöä (4), jossa kertoimet A, B ja C voivat saada mitä tahansa arvoja, kutsutaan tasojoukon yhtälöksi.
Esimerkki 2. Luo yhtälö kolmen pisteen kautta kulkevalle tasolle (kuva 82).
Ratkaisu. Kirjoitetaan yhtälö pisteen läpi kulkevalle tasolle
Voidaan määrittää eri tavoin (yksi piste ja vektori, kaksi pistettä ja vektori, kolme pistettä jne.). Tämä mielessä pitäen tason yhtälöllä voi olla erilaisia. Tietyissä olosuhteissa tasot voivat myös olla yhdensuuntaisia, kohtisuorassa, leikkaavia jne. Puhumme tästä tässä artikkelissa. Opimme luomaan yleisen tason yhtälön ja paljon muuta.
Yhtälön normaali muoto
Oletetaan, että on avaruus R 3, jolla on suorakaiteen muotoinen XYZ-koordinaatisto. Määritellään vektori α, joka vapautuu alkupisteestä O. Piirretään vektorin α pään kautta taso P, joka on kohtisuorassa sitä vastaan.
Merkitään mielivaltainen piste P:llä Q = (x, y, z). Merkitään pisteen Q sädevektori kirjaimella p. Tässä tapauksessa vektorin α pituus on yhtä suuri kuin р=IαI ja Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).
Tämä on sivulle suunnattu yksikkövektori, kuten vektori α. α, β ja γ ovat kulmia, jotka muodostuvat vektorin Ʋ ja avaruusakselien x, y, z positiivisten suuntien välille, vastaavasti. Minkä tahansa pisteen QϵП projektio vektoriin Ʋ on vakioarvo, joka on yhtä suuri kuin p: (p,Ʋ) = p(p≥0).
Yllä oleva yhtälö on järkevä, kun p=0. Ainoa asia on, että taso P tässä tapauksessa leikkaa pisteen O (α=0), joka on koordinaattien origo, ja pisteestä O irrotettu yksikkövektori Ʋ on kohtisuorassa P:tä vastaan huolimatta suunnastaan, mikä tarkoittaa, että vektori Ʋ määritetään etumerkin tarkkuudella. Edellinen yhtälö on tasomme P yhtälö ilmaistuna vektorimuodossa. Mutta koordinaateissa se näyttää tältä:
P tässä on suurempi tai yhtä suuri kuin 0. Olemme löytäneet avaruuden tason yhtälön normaalimuodossa.
Yleinen yhtälö
Jos kerromme yhtälön koordinaateissa millä tahansa luvulla, joka ei ole yhtä suuri kuin nolla, saamme yhtälön, joka vastaa tätä yhtälöä, joka määrittelee juuri kyseisen tason. Se näyttää tältä:
Tässä A, B, C ovat lukuja, jotka ovat samanaikaisesti erilaisia kuin nolla. Tätä yhtälöä kutsutaan yleistasoyhtälöksi.
Tasojen yhtälöt. Erikoistapaukset
Yhtälöä yleisessä muodossa voidaan muuttaa lisäehtojen läsnä ollessa. Katsotaanpa joitain niistä.
Oletetaan, että kerroin A on 0. Tämä tarkoittaa, että tämä taso on yhdensuuntainen annetun Ox-akselin kanssa. Tässä tapauksessa yhtälön muoto muuttuu: Ву+Cz+D=0.
Samalla tavalla yhtälön muoto muuttuu seuraavissa olosuhteissa:
- Ensinnäkin, jos B = 0, niin yhtälö muuttuu muotoon Ax + Cz + D = 0, mikä osoittaa yhdensuuntaisuuden Oy-akselin kanssa.
- Toiseksi, jos C=0, yhtälö muunnetaan muotoon Ax+By+D=0, mikä osoittaa yhdensuuntaisuuden annetun Oz-akselin kanssa.
- Kolmanneksi, jos D=0, yhtälö näyttää muotoa Ax+By+Cz=0, mikä tarkoittaa, että taso leikkaa O:n (origo).
- Neljänneksi, jos A=B=0, yhtälö muuttuu muotoon Cz+D=0, mikä osoittautuu rinnakkaiseksi Oxyn kanssa.
- Viidenneksi, jos B=C=0, yhtälöstä tulee Ax+D=0, mikä tarkoittaa, että taso Oyz:ään on yhdensuuntainen.
- Kuudenneksi, jos A=C=0, yhtälö saa muotoa Ву+D=0, eli se raportoi rinnakkaisuuden Oxz:lle.
Yhtälön tyyppi segmenteissä
Jos luvut A, B, C, D ovat erilaisia kuin nolla, yhtälön (0) muoto voi olla seuraava:
x/a + y/b + z/c = 1,
jossa a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.
Saamme tuloksena, että tämä taso leikkaa Ox-akselin pisteessä, jonka koordinaatit (a,0,0), Oy - (0,b,0) ja Oz - (0,0,c). ).
Kun otetaan huomioon yhtälö x/a + y/b + z/c = 1, ei ole vaikeaa kuvitella visuaalisesti tason sijaintia suhteessa annettuun koordinaattijärjestelmään.
Normaalivektorikoordinaatit
Tason P normaalivektorilla n on koordinaatit, jotka ovat tämän tason yleisen yhtälön eli n (A, B, C) kertoimia.
Normaalin n:n koordinaattien määrittämiseksi riittää, että tiedetään tietyn tason yleinen yhtälö.
Käytettäessä segmentissä yhtälöä, jonka muoto on x/a + y/b + z/c = 1, kuten yleistä yhtälöä käytettäessä, voit kirjoittaa minkä tahansa tietyn tason normaalivektorin koordinaatit: (1/a + 1/b + 1/ Kanssa).
On syytä huomata, että normaalivektori auttaa ratkaisemaan erilaisia ongelmia. Yleisimpiä ovat ongelmat, jotka liittyvät tasojen kohtisuoran tai yhdensuuntaisuuden osoittamiseen, tasojen välisten kulmien tai tasojen ja suorien välisten kulmien löytämiseen.
Tasoyhtälön tyyppi pisteen ja normaalivektorin koordinaattien mukaan
Nollasta poikkeavaa vektoria n, joka on kohtisuorassa tiettyyn tasoon nähden, kutsutaan normaaliksi tietylle tasolle.
Oletetaan, että koordinaattiavaruudessa (suorakulmainen koordinaattijärjestelmä) Oxyz on annettu:
- piste Mₒ koordinaattein (xₒ,yₒ,zₒ);
- nollavektori n=A*i+B*j+C*k.
On tarpeen luoda yhtälö tasolle, joka kulkee pisteen Mₒ kautta kohtisuorassa normaaliin n nähden.
Valitsemme minkä tahansa mielivaltaisen pisteen avaruudesta ja merkitsemme sitä M (x y, z). Olkoon minkä tahansa pisteen M (x,y,z) sädevektori r=x*i+y*j+z*k ja pisteen Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) sädevektori - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Piste M kuuluu annettuun tasoon, jos vektori MₒM on kohtisuorassa vektoriin n nähden. Kirjoitetaan ortogonaalisuusehto käyttämällä skalaarituloa:
[MₒM, n] = 0.
Koska MₒM = r-rₒ, tason vektoriyhtälö näyttää tältä:
Tällä yhtälöllä voi olla toinen muoto. Tätä varten käytetään skalaaritulon ominaisuuksia ja yhtälön vasen puoli muunnetaan. = -. Jos merkitsemme sitä c:ksi, saadaan seuraava yhtälö: - c = 0 tai = c, joka ilmaisee projektioiden pysyvyyden tiettyjen tasoon kuuluvien pisteiden sädevektoreiden normaalivektoriin.
Nyt saadaan tasomme vektoriyhtälön kirjoittamisen koordinaattimuoto = 0. Koska r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, ja n = A*i+B *j+С*k, meillä on:
Osoittautuu, että meillä on yhtälö tasolle, joka kulkee kohtisuorassa normaaliin n:ään nähden:
A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.
Tasoyhtälön tyyppi kahden pisteen koordinaattien ja tason kanssa kollineaarisen vektorin mukaan
Määritetään kaksi mielivaltaista pistettä M′ (x′,y′,z′) ja M″ (x″,y″,z″) sekä vektori a (a′,a″,a‴).
Nyt voimme luoda yhtälön tietylle tasolle, joka kulkee olemassa olevien pisteiden M′ ja M″ kautta sekä minkä tahansa pisteen M, jonka koordinaatit (x, y, z) ovat yhdensuuntaiset annetun vektorin a kanssa.
Tässä tapauksessa vektorien M'M=(x-x';y-y';z-z') ja M'M=(x'-x';y'-y';z'-z') on oltava samassa tasossa vektorin kanssa a=(a′,a″,a‴), mikä tarkoittaa, että (M′M, M″M, a)=0.
Joten tasoyhtälömme avaruudessa näyttää tältä:
Kolmen pisteen leikkaavan tason yhtälön tyyppi
Oletetaan, että meillä on kolme pistettä: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), jotka eivät kuulu samalle suoralle. On tarpeen kirjoittaa yhtälö tasolle, joka kulkee annetun kolmen pisteen kautta. Geometrian teoria väittää, että tällainen taso on todella olemassa, mutta se on ainoa ja ainutlaatuinen. Koska tämä taso leikkaa pisteen (x′,y′,z′), sen yhtälön muoto on seuraava:
Tässä A, B, C eroavat nollasta samanaikaisesti. Lisäksi annettu taso leikkaa vielä kaksi pistettä: (x″,y″,z″) ja (x‴,y‴,z‴). Tässä suhteessa seuraavat ehdot on täytettävä:
Nyt voimme luoda homogeenisen järjestelmän tuntemattomilla u, v, w:
Meidän tapaus x,y tai z toimii mielivaltaisena pisteenä, joka täyttää yhtälön (1). Kun yhtälö (1) ja yhtälöjärjestelmä (2) ja (3) on annettu, yllä olevassa kuvassa esitetty yhtälöjärjestelmä täyttyy vektorilla N (A,B,C), joka on ei-triviaali. Siksi tämän järjestelmän determinantti on nolla.
Yhtälö (1), jonka olemme saaneet, on tason yhtälö. Se kulkee tarkalleen 3 pisteen läpi, ja tämä on helppo tarkistaa. Tätä varten meidän on laajennettava determinanttimme ensimmäisen rivin elementteihin. Determinantin olemassa olevista ominaisuuksista seuraa, että tasomme leikkaa samanaikaisesti kolme alun perin annettua pistettä (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Eli olemme ratkaisseet meille annetun tehtävän.
Tasojen välinen dihedraalinen kulma
Dihedraalinen kulma edustaa spatiaalia geometrinen kuvio, muodostuu kahdesta puolitasosta, jotka lähtevät yhdestä suorasta. Toisin sanoen tämä on se osa tilaa, jota nämä puolitasot rajoittavat.
Oletetaan, että meillä on kaksi tasoa, joilla on seuraavat yhtälöt:
Tiedämme, että vektorit N=(A,B,C) ja N1=(A1,B1,C1) ovat kohtisuorassa annettujen tasojen mukaan. Tässä suhteessa vektorien N ja N¹ välinen kulma φ on yhtä suuri kuin kulma (dihedral), joka sijaitsee näiden tasojen välissä. Pistetuotteella on muoto:
NN¹=|N||N¹|cos φ,
juuri siksi
cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).
Riittää, kun otetaan huomioon, että 0≤φ≤π.
Itse asiassa kaksi tasoa, jotka leikkaavat, muodostavat kaksi kulmaa (dihedral): φ 1 ja φ 2. Niiden summa on yhtä suuri kuin π (φ 1 + φ 2 = π). Mitä tulee niiden kosineihin, niiden absoluuttiset arvot ovat yhtä suuret, mutta ne eroavat etumerkistä, eli cos φ 1 = -cos φ 2. Jos yhtälössä (0) korvataan A, B ja C numeroilla -A, -B ja -C, niin saatu yhtälö määrittää saman tason, ainoan, kulman φ yhtälössä cos. φ= NN 1 /| N||N 1 | korvataan π-φ:lla.
Kohtisuoran tason yhtälö
Tasoja, joiden välinen kulma on 90 astetta, kutsutaan kohtisuoraksi. Yllä esitetyn materiaalin avulla voimme löytää toistaan kohtisuoran tason yhtälön. Oletetaan, että meillä on kaksi tasoa: Ax+By+Cz+D=0 ja A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Voimme sanoa, että ne ovat kohtisuorassa, jos cosφ=0. Tämä tarkoittaa, että NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.
Yhdensuuntaisen tason yhtälö
Kahta tasoa, jotka eivät sisällä yhteisiä pisteitä, kutsutaan yhdensuuntaisiksi.
Ehto (niiden yhtälöt ovat samat kuin edellisessä kappaleessa) on, että vektorit N ja N¹, jotka ovat kohtisuorassa niihin nähden, ovat kollineaarisia. Tämä tarkoittaa, että seuraavat suhteellisuusedellytykset täyttyvät:
A/A1=B/B1=C/C1.
Jos suhteellisuusehtoja laajennetaan - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,
tämä osoittaa, että nämä tasot osuvat yhteen. Tämä tarkoittaa, että yhtälöt Ax+By+Cz+D=0 ja A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 kuvaavat yhtä tasoa.
Etäisyys koneeseen pisteestä
Oletetaan, että meillä on taso P, joka saadaan yhtälöllä (0). On tarpeen löytää etäisyys siihen pisteestä, jonka koordinaatit (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Tätä varten sinun on saatettava tason P yhtälö normaalimuotoon:
(ρ,v)=р (р≥0).
Tässä tapauksessa ρ (x,y,z) on pisteemme Q sädevektori, joka sijaitsee P:llä, p on nollapisteestä vapautetun kohtisuoran P pituus, v on yksikkövektori, joka sijaitsee suunta a.
Jonkin P:hen kuuluvan pisteen Q = (x, y, z) erotus ρ-ρº sädevektori samoin kuin tietyn pisteen sädevektori Q 0 = (xₒ, уₒ, zₒ) on sellainen vektori, sen projektion itseisarvo, jonka v:lle on yhtä suuri kuin etäisyys d, joka on löydettävä arvosta Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) P:hen:
D=|(ρ-ρ 0,v)|, mutta
(ρ-ρ0,v)= (ρ,v)-(ρ0,v) =р-(ρ0,v).
Joten se käy ilmi
d=|(ρ0,v)-р|.
Siten löydämme tuloksena olevan lausekkeen itseisarvon, eli halutun d:n.
Parametrikieltä käyttämällä saamme ilmeisen:
d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).
Jos tietty piste Q 0 on tason P toisella puolella, kuten koordinaattien origo, niin vektorien ρ-ρ 0 ja v välillä on siis:
d=-(ρ-ρ0,v)=(ρ0,v)-r>0.
Siinä tapauksessa, että piste Q 0 yhdessä koordinaattien origon kanssa sijaitsee P:n samalla puolella, luotu kulma on terävä, eli:
d=(ρ-ρ0,v)=р - (ρ 0, v)>0.
Tuloksena käy ilmi, että ensimmäisessä tapauksessa (ρ 0 ,v)>р, toisessa (ρ 0 ,v)<р.
Tangenttitaso ja sen yhtälö
Pinnan tangenttitaso kosketuspisteessä Mº on taso, joka sisältää kaikki mahdolliset tangentit tämän pinnan pisteen läpi piirretyille käyrille.
Tämän tyyppisellä pintayhtälöllä F(x,y,z)=0, tangenttitason yhtälö tangenttipisteessä Mº(xº,yº,zº) näyttää tältä:
F x (xº,yº,zº)(x-xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0.
Jos määrität pinnan eksplisiittisessä muodossa z=f (x,y), tangenttitasoa kuvataan yhtälöllä:
z-zº =f(xº,yº)(x-xº)+f(xº,yº)(y-yº).
Kahden tason leikkauspiste
Koordinaatistossa (suorakulmainen) Oxyz sijaitsee, on annettu kaksi tasoa П′ ja П″, jotka leikkaavat eivätkä ole samat. Koska mikä tahansa suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa sijaitseva taso määräytyy yleisellä yhtälöllä, oletetaan, että P' ja P' on annettu yhtälöillä A'x+B'y+C'z+D'=0 ja A'x. +B″y+ С″z+D″=0. Tässä tapauksessa meillä on tason P′ normaali n′ (A′,B′,C′) ja P″ normaali n″ (A″,B″,C″). Koska tasomme eivät ole yhdensuuntaisia eivätkä täsmää, nämä vektorit eivät ole kollineaarisia. Matematiikan kieltä käyttäen tämä ehto voidaan kirjoittaa seuraavasti: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Merkitään P′:n ja P″:n leikkauskohdassa olevaa suoraa kirjaimella a, tässä tapauksessa a = P′ ∩ P″.
a on suora viiva, joka koostuu (yhteisten) tasojen P′ ja P″ kaikkien pisteiden joukosta. Tämä tarkoittaa, että minkä tahansa suoralle a kuuluvan pisteen koordinaattien tulee samanaikaisesti täyttää yhtälöt A′x+B′y+C′z+D′=0 ja A″x+B″y+C″z+D″=0 . Tämä tarkoittaa, että pisteen koordinaatit ovat seuraavan yhtälöjärjestelmän osittainen ratkaisu:
Tuloksena käy ilmi, että tämän yhtälöjärjestelmän (yleinen) ratkaisu määrittää jokaisen suoran pisteen koordinaatit, jotka toimivat P′:n ja P″:n leikkauspisteenä, ja määrittää suoran viivan. a Oxyz (suorakulmaisessa) koordinaattijärjestelmässä avaruudessa.
