Elämässä joudumme usein kohtaamaan matemaattisia ongelmia: koulussa, yliopistossa ja sitten auttamalla lasta kotitehtävissä. Tiettyjen ammattien ihmiset kohtaavat matematiikan päivittäin. Siksi on hyödyllistä muistaa tai muistaa matemaattiset säännöt. Tässä artikkelissa analysoimme yhtä niistä: suorakulmaisen kolmion jalan löytämistä.
Mikä on suorakulmainen kolmio
Ensin muistellaan mikä on suorakulmainen kolmio. Suorakulmainen kolmio on geometrinen kuvio, jossa on kolme segmenttiä, jotka yhdistävät pisteitä, jotka eivät ole samalla suoralla, ja yksi tämän kuvan kulmista on 90 astetta. Suoran kulman muodostavia sivuja kutsutaan jaloiksi, ja oikeaa kulmaa vastapäätä olevaa puolta kutsutaan hypotenuusaksi.
Suorakulmaisen kolmion haaran löytäminen
On olemassa useita tapoja selvittää jalan pituus. Haluaisin tarkastella niitä tarkemmin.
Pythagoraan lause suorakulmaisen kolmion haaran löytämiseksi
Jos tunnemme hypotenuusan ja jalan, voimme löytää tuntemattoman jalan pituuden Pythagoraan lauseen avulla. Se kuulostaa tältä: "Hypotenuusan neliö on yhtä suuri kuin jalkojen neliöiden summa." Kaava: c²=a²+b², missä c on hypotenuusa, a ja b jalat. Muunnamme kaavan ja saamme: a²=c²-b².
Esimerkki. Hypotenuusa on 5 cm ja jalka 3 cm Muunnetaan kaava: c²=a²+b² → a²=c²-b². Seuraavaksi päätämme: a²=5²-3²; a² = 25-9; a² = 16; a = √16; a = 4 (cm).
Trigonometriset suhteet suorakulmaisen kolmion haaran löytämiseksi
On myös mahdollista löytää tuntematon haara, jos tunnetaan suorakulmaisen kolmion toinen sivu ja mikä tahansa terävä kulma. Jalan löytämiseen trigonometristen funktioiden avulla on neljä vaihtoehtoa: sini, kosini, tangentti, kotangentti. Alla oleva taulukko auttaa meitä ratkaisemaan ongelmat. Harkitse näitä vaihtoehtoja.
Etsi suorakulmaisen kolmion jalka käyttämällä siniä
Kulman sini (sini) on vastakkaisen jalan suhde hypotenuusaan. Kaava: sin \u003d a / c, missä a on annettua kulmaa vastapäätä oleva jalka ja c on hypotenuusa. Seuraavaksi muunnetaan kaava ja saadaan: a=sin*c.
Esimerkki. Hypotenuusa on 10 cm ja kulma A on 30 astetta. Taulukon mukaan laskemme kulman A sinin, se on yhtä suuri kuin 1/2. Sitten, käyttämällä muunnettua kaavaa, ratkaisemme: a=sin∠A*c; a = 1/2*10; a = 5 (cm).
Etsi suorakulmaisen kolmion jalka kosinin avulla
Kulman kosini (cos) on viereisen haaran suhde hypotenuusaan. Kaava: cos=b/c, missä b on vieressä oleva jalka tämä nurkka, ja c on hypotenuusa. Muunnetaan kaava ja saadaan: b=cos*c.
Esimerkki. Kulma A on 60 astetta, hypotenuusa 10 cm. Taulukon mukaan lasketaan kulman A kosini, se on 1/2. Seuraavaksi ratkaisemme: b=cos∠A*c; b = 1/2 * 10, b = 5 (cm).
Etsi suorakulmaisen kolmion jalka tangentin avulla
Kulman tangentti (tg) on vastakkaisen jalan suhde viereiseen. Kaava: tg \u003d a / b, jossa a on nurkkaa vastapäätä oleva jalka ja b on vieressä. Muunnetaan kaava ja saadaan: a=tg*b.
Esimerkki. Kulma A on 45 astetta, hypotenuusa 10 cm. Laskemme taulukon mukaan kulman A tangentin, se on yhtä kuin Ratkaise: a=tg∠A*b; a = 1*10; a = 10 (cm).
Etsi suorakulmaisen kolmion jalka kotangentin avulla
Kulman kotangentti (ctg) on viereisen jalan suhde vastakkaiseen haaraan. Kaava: ctg \u003d b / a, jossa b on kulman vieressä oleva jalka ja on vastapäätä. Toisin sanoen kotangentti on "käänteinen tangentti". Saamme: b=ctg*a.
Esimerkki. Kulma A on 30 astetta, vastakkainen jalka on 5 cm. Taulukon mukaan kulman A tangentti on √3. Laske: b=ctg∠A*a; b = √3*5; b = 5√3 (cm).
Joten nyt tiedät kuinka löytää jalka suorakulmaisesta kolmiosta. Kuten näet, se ei ole niin vaikeaa, tärkeintä on muistaa kaavat.
Aloitamme trigonometrian tutkimisen suorakulmaisella kolmiolla. Määritellään mitä ovat sini ja kosini sekä terävän kulman tangentti ja kotangentti. Nämä ovat trigonometrian perusteet.
Muista tuo oikea kulma on kulma, joka on yhtä suuri kuin . Toisin sanoen puolet avatusta kulmasta.
Terävä kulma- pienempi.
Tylppä kulma- suurempi. Suhteessa sellaiseen kulmaan "tyhmä" ei ole loukkaus, vaan matemaattinen termi :-)
Piirretään suorakulmainen kolmio. Yleensä merkitään suora kulma. Huomaa, että kulman vastakkainen puoli on merkitty samalla kirjaimella, vain pienellä. Joten kulmaa vastapäätä oleva puoli on merkitty.
Kulma on merkitty vastaavalla kreikkalaisella kirjaimella.
Hypotenuusa Suorakulmainen kolmio on oikeaa kulmaa vastapäätä oleva sivu.
Jalat- teräviä kulmia vastakkaiset sivut.
Kulmaa vastapäätä olevaa jalkaa kutsutaan vastapäätä(suhteessa kulmaan). Toista jalkaa, joka sijaitsee kulman toisella puolella, kutsutaan vieressä.
Sinus suorakulmaisen kolmion terävä kulma on vastakkaisen jalan suhde hypotenuusaan:
Kosini terävä kulma suorakulmaisessa kolmiossa - viereisen jalan suhde hypotenuusaan:
Tangentti terävä kulma suorakulmaisessa kolmiossa - vastakkaisen jalan suhde viereiseen:
Toinen (ekvivalentti) määritelmä: terävän kulman tangentti on kulman sinin ja sen kosinin suhde:
Kotangentti terävä kulma suorakulmaisessa kolmiossa - viereisen jalan suhde vastakkaiseen (tai vastaavasti kosinin ja sinin suhde):
Kiinnitä huomiota sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin perussuhteisiin, jotka on annettu alla. Niistä on meille hyötyä ongelmien ratkaisemisessa.
Todistakaamme joitain niistä.
1. Minkä tahansa kolmion kulmien summa on . tarkoittaa, suorakulmaisen kolmion kahden terävän kulman summa on .
2. Toisaalta vastakkaisen jalan suhde hypotenuusaan. Toisaalta, koska kulmassa jalka on vierekkäinen.
Me ymmärrämme sen. Toisin sanoen, .
3. Otetaan Pythagoraan lause: . Jaetaan molemmat osat seuraavasti:
Saimme trigonometrinen perusidentiteetti:
Siten, kun tiedämme kulman sinin, voimme löytää sen kosinin ja päinvastoin.
4. Jakamalla trigonometrisen pääidentiteetin molemmat osat :lla, saadaan:
Tämä tarkoittaa, että jos meille annetaan terävän kulman tangentti, voimme heti löytää sen kosinin.
Samoin
Okei, olemme antaneet määritelmät ja kirjoitetut kaavat. Mutta miksi tarvitsemme siniä, kosinia, tangenttia ja kotangenttia?
Tiedämme sen minkä tahansa kolmion kulmien summa on.
Tiedämme välisen suhteen juhlia suorakulmainen kolmio. Tämä on Pythagoraan lause: .
Osoittautuu, että kun tiedät kolmion kaksi kulmaa, voit löytää kolmannen. Kun tiedät suoran kolmion kaksi sivua, voit löytää kolmannen. Joten kulmille - niiden suhde, sivuille - omat. Mutta mitä tehdä, jos suorakulmaisessa kolmiossa tunnetaan yksi kulma (paitsi oikea) ja yksi sivu, mutta sinun on löydettävä muut sivut?
Tätä ihmiset kohtasivat menneisyydessä tehdessään karttoja alueesta ja tähtitaivasta. Loppujen lopuksi ei aina ole mahdollista mitata suoraan kolmion kaikkia sivuja.
Sini, kosini ja tangentti - niitä kutsutaan myös kulman trigonometriset funktiot- anna suhde juhlia ja kulmat kolmio. Kun tiedät kulman, voit löytää kaikki sen trigonometriset funktiot erityisten taulukoiden avulla. Ja kun tiedät kolmion ja sen yhden sivun kulmien sinit, kosinit ja tangentit, voit löytää loput.
Piirrämme myös taulukon sini-, kosini-, tangentti- ja kotangenttiarvoista "hyville" kulmille välillä -.
Huomaa kaksi punaista viivaa taulukossa. Kulmien vastaaville arvoille tangenttia ja kotangenttia ei ole olemassa.
Analysoidaan useita trigonometrian ongelmia FIPI-tehtävien pankista.
1. Kolmiossa kulma on , . Löytö .
Ongelma ratkeaa neljässä sekunnissa.
Siitä lähtien meillä on: .
2. Kolmiossa kulma on , , . Löytö . , on yhtä suuri kuin puolet hypotenuusasta.
Kolmio, jossa kulmat , Ja on tasakylkinen. Siinä hypotenuusa on kertaa suurempi kuin jalka.
Yksi matematiikan haaroista, joiden kanssa koululaiset selviävät suurimmista vaikeuksista, on trigonometria. Ei ihme: tämän tietoalueen hallitsemiseksi vapaasti tarvitset spatiaalista ajattelua, kykyä löytää sinejä, kosineja, tangentteja, kotangentteja kaavoilla, yksinkertaistaa lausekkeita ja pystyä käyttämään numeroa pi laskelmissa. Lisäksi sinun tulee osata soveltaa trigonometriaa lauseiden todistamisessa, mikä edellyttää joko kehittynyttä matemaattista muistia tai kykyä päätellä monimutkaisia loogisia ketjuja.
Trigonometrian alkuperä
Tutustuminen tähän tieteeseen tulisi aloittaa kulman sinin, kosinin ja tangentin määrittelyllä, mutta ensin sinun on selvitettävä, mitä trigonometria yleensä tekee.
Historiallisesti suorakulmaiset kolmiot ovat olleet pääasiallinen tutkimuskohde tässä matemaattisen tieteen osassa. 90 asteen kulman läsnäolo mahdollistaa erilaisten toimintojen suorittamisen, joiden avulla voidaan määrittää tarkasteltavan kuvan kaikkien parametrien arvot käyttämällä kahta sivua ja yhtä kulmaa tai kahta kulmaa ja yhtä sivua. Aiemmin ihmiset huomasivat tämän kuvion ja alkoivat käyttää sitä aktiivisesti rakennusten rakentamisessa, navigoinnissa, tähtitiedossa ja jopa taiteessa.
Ensimmäinen taso
Aluksi ihmiset puhuivat kulmien ja sivujen suhteesta yksinomaan suorakulmaisten kolmioiden esimerkissä. Sitten löydettiin erityisiä kaavoja, jotka mahdollistivat tämän matematiikan osan arkielämän käytön rajojen laajentamisen.
Trigonometrian opiskelu koulussa alkaa nykyään suorakulmaisilla kolmioilla, minkä jälkeen opiskelijoiden käytössä on fysiikka ja abstraktien trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen, joiden parissa työ alkaa lukiossa.
Pallomainen trigonometria
Myöhemmin, kun tiede saavutti seuraavan kehitystason, kaavoja, joissa on sini, kosini, tangentti, kotangentti, alettiin käyttää pallogeometriassa, jossa pätevät muut säännöt, ja kolmion kulmien summa on aina yli 180 astetta. Tätä osiota ei opeteta koulussa, mutta sen olemassaolosta on tiedettävä ainakin siksi, että maan pinta ja minkä tahansa muun planeetan pinta on kupera, mikä tarkoittaa, että kaikki pintamerkinnät ovat "kaaren muotoisia" kolmiulotteinen tila.
Ota maapallo ja lanka. Kiinnitä lanka mihin tahansa kahteen maapallon pisteeseen niin, että se on kireällä. Kiinnitä huomiota - se on saanut kaaren muodon. Juuri tällaisilla muodoilla käsittelee pallogeometriaa, jota käytetään geodesiassa, tähtitiedessä ja muilla teoreettisilla ja soveltavilla aloilla.
Suorakulmainen kolmio
Kun olet oppinut hieman trigonometrian käyttötapoja, palataan perustrigonometriaan ymmärtääksemme paremmin, mitä sini, kosini, tangentti ovat, mitä laskelmia niiden avulla voidaan tehdä ja mitä kaavoja käyttää.
Ensimmäinen askel on ymmärtää suorakulmaiseen kolmioon liittyvät käsitteet. Ensinnäkin hypotenuusa on 90 asteen kulman vastainen puoli. Hän on pisin. Muistamme, että Pythagoraan lauseen mukaan sen numeerinen arvo on yhtä suuri kuin kahden muun sivun neliöiden summan juuri.
Esimerkiksi jos kaksi sivua ovat 3 ja 4 senttimetriä vastaavasti, hypotenuusan pituus on 5 senttimetriä. Muuten, muinaiset egyptiläiset tiesivät tästä noin neljä ja puoli tuhatta vuotta sitten.
Kahta jäljellä olevaa sivua, jotka muodostavat suoran kulman, kutsutaan jaloiksi. Lisäksi on muistettava, että kolmion kulmien summa suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä on 180 astetta.
Määritelmä
Lopuksi, kun ymmärrämme geometrisen perustan, voimme siirtyä kulman sinin, kosinin ja tangentin määritelmään.
Kulman sini on vastakkaisen haaran (eli halutun kulman vastakkaisen sivun) suhde hypotenuusaan. Kulman kosini on viereisen jalan suhde hypotenuusaan.
Muista, ettei sini eikä kosini voi olla suurempi kuin yksi! Miksi? Koska hypotenuusa on oletuksena pisin, riippumatta siitä, kuinka pitkä jalka on, se on lyhyempi kuin hypotenuusa, mikä tarkoittaa, että niiden suhde on aina pienempi kuin yksi. Joten jos saat tehtävän vastauksessa sinin tai kosinin, jonka arvo on suurempi kuin 1, etsi virhettä laskelmissa tai päättelyssä. Tämä vastaus on selvästi väärä.
Lopuksi kulman tangentti on vastakkaisen sivun suhde viereiseen sivuun. Sama tulos antaa sinin jaon kosinilla. Katso: kaavan mukaan jaamme sivun pituuden hypotenuusalla, jonka jälkeen jaamme toisen sivun pituudella ja kerromme hypotenuusalla. Siten saamme saman suhteen kuin tangentin määritelmässä.
Kotangentti on kulman vieressä olevan sivun suhde vastakkaiseen sivuun. Saamme saman tuloksen jakamalla yksikön tangentilla.
Joten olemme pohtineet määritelmiä siitä, mitä sini, kosini, tangentti ja kotangentti ovat, ja voimme käsitellä kaavoja.
Yksinkertaisimmat kaavat
Trigonometriassa ei tule toimeen ilman kaavoja - kuinka löytää sini, kosini, tangentti, kotangentti ilman niitä? Ja juuri tätä vaaditaan ongelmien ratkaisemisessa.
Ensimmäinen kaava, joka sinun tulee tietää aloittaessasi trigonometrian opiskelun, sanoo, että kulman sinin ja kosinin neliöiden summa on yhtä suuri kuin yksi. Tämä kaava on suora seuraus Pythagoraan lauseesta, mutta se säästää aikaa, jos haluat tietää kulman arvon, ei sivun.
Monet opiskelijat eivät muista toista kaavaa, joka on myös erittäin suosittu koulutehtäviä ratkaistaessa: ykkösen ja kulman tangentin neliön summa on yhtä suuri kuin yksi jaettuna kulman kosinin neliöllä. Katso tarkemmin: loppujen lopuksi tämä on sama väite kuin ensimmäisessä kaavassa, vain identiteetin molemmat puolet jaettiin kosinin neliöllä. Osoittautuu, että yksinkertainen matemaattinen operaatio tekee trigonometrisesta kaavasta täysin tunnistamattoman. Muista: kun tiedät, mitä sini, kosini, tangentti ja kotangentti ovat, muunnossäännöt ja muutama peruskaava, voit milloin tahansa itsenäisesti johtaa tarvittavat monimutkaisemmat kaavat paperiarkille.
Kaksoiskulmakaavat ja argumenttien lisääminen
Kaksi muuta kaavaa, jotka sinun on opittava, liittyvät kulmien summan ja eron sinin ja kosinin arvoihin. Ne on esitetty alla olevassa kuvassa. Huomaa, että ensimmäisessä tapauksessa sini ja kosini kerrotaan molemmat kertaa, ja toisessa lisätään sinin ja kosinin paritulo.
Kaksikulma-argumentteihin liittyy myös kaavoja. Ne ovat täysin johdettu aiemmista - käytännössä yritä saada ne itse ottamalla alfa-kulma yhtä suureksi kuin beeta-kulma.
Lopuksi huomaa, että kaksoiskulmakaavat voidaan muuntaa alentamaan sinin, kosinin ja tangentin alfa-astetta.
Lauseet
Perustrigonometrian kaksi päälausetta ovat sinilause ja kosinilause. Näiden lauseiden avulla voit helposti ymmärtää, kuinka löytää sini, kosini ja tangentti, ja siten kuvion pinta-ala ja kummankin sivun koko jne.
Sinilause sanoo, että jakamalla kolmion kunkin sivun pituus vastakkaisen kulman arvolla, saadaan sama luku. Lisäksi tämä luku on yhtä suuri kuin kaksi rajatun ympyrän sädettä, toisin sanoen ympyrää, joka sisältää kaikki annetun kolmion pisteet.
Kosinilause yleistää Pythagoraan lauseen projisoimalla sen mihin tahansa kolmioon. Osoittautuu, että vähennä kahden sivun neliöiden summasta niiden tulo kerrottuna niiden viereisen kulman kaksoiskosinuksella - tuloksena oleva arvo on yhtä suuri kuin kolmannen sivun neliö. Siten Pythagoraan lause osoittautuu kosinilauseen erikoistapaukseksi.
Virheitä huolimattomuudesta
Tietäenkin, mitä sini, kosini ja tangentti ovat, on helppo tehdä virhe hajamielisyyden tai yksinkertaisimpien laskelmien virheen vuoksi. Tällaisten virheiden välttämiseksi tutustutaan suosituimpiin niistä.
Ensinnäkin tavallisia murtolukuja ei pidä muuntaa desimaaliluvuiksi ennen kuin lopputulos on saatu - voit jättää vastauksen tavalliseksi murtoluvuksi, ellei ehto toisin mainita. Tällaista muutosta ei voida kutsua virheeksi, mutta on muistettava, että ongelman jokaisessa vaiheessa voi ilmaantua uusia juuria, joita kirjoittajan idean mukaan pitäisi vähentää. Tässä tapauksessa tuhlaat aikaa tarpeettomiin matemaattisiin operaatioihin. Tämä pätee erityisesti arvoihin, kuten kolmen tai kahden juureen, koska niitä esiintyy tehtävissä jokaisessa vaiheessa. Sama koskee "rumien" numeroiden pyöristämistä.
Huomaa lisäksi, että kosinilause pätee mihin tahansa kolmioon, mutta ei Pythagoraan lauseeseen! Jos unohdat vahingossa vähentää sivujen tulon kaksinkertaisena kerrottuna niiden välisen kulman kosinilla, et saa vain täysin väärää tulosta, vaan myös osoitat aiheen täydellisen väärinymmärryksen. Tämä on pahempaa kuin huolimaton virhe.
Kolmanneksi, älä sekoita 30 ja 60 asteen kulmien arvoja sineille, kosineille, tangenteille ja kotangenteille. Muista nämä arvot, koska 30 asteen sini on yhtä suuri kuin 60:n kosini ja päinvastoin. Ne on helppo sekoittaa, minkä seurauksena saat väistämättä virheellisen tuloksen.
Sovellus
Monilla opiskelijoilla ei ole kiirettä aloittaa trigonometrian opiskelu, koska he eivät ymmärrä sen soveltavaa merkitystä. Mikä on sini, kosini, tangentti insinöörille tai tähtitieteilijälle? Nämä ovat käsitteitä, joiden avulla voit laskea etäisyyden kaukaisiin tähtiin, ennustaa meteoriitin putoamisen, lähettää tutkimusluotaimen toiselle planeetalle. Ilman niitä on mahdotonta rakentaa rakennusta, suunnitella autoa, laskea pinnan kuormitusta tai kohteen liikerataa. Ja nämä ovat vain ilmeisimpiä esimerkkejä! Loppujen lopuksi trigonometriaa muodossa tai toisessa käytetään kaikkialla musiikista lääketieteeseen.
Lopulta
Olet siis sini, kosini, tangentti. Voit käyttää niitä laskelmissa ja ratkaista koulutehtäviä onnistuneesti.
Trigonometrian koko olemus tiivistyy siihen tosiasiaan, että tuntemattomat parametrit on laskettava kolmion tunnetuista parametreista. Parametreja on yhteensä kuusi: kolmen sivun pituudet ja kolmen kulman suuruudet. Koko ero tehtävien välillä on siinä, että syötetiedot annetaan eri tavalla.
Kuinka löytää sini, kosini, tangentti jalkojen tai hypotenuusan tunnettujen pituuksien perusteella, tiedät nyt. Koska nämä termit tarkoittavat vain suhdetta ja suhdeluku on murto-osa, trigonometrisen ongelman päätavoitteena on löytää tavallisen yhtälön tai yhtälöjärjestelmän juuret. Ja täällä sinua auttaa tavallinen koulumatematiikka.
Luku I. Suorakulmaisten kolmioiden ratkaisu
§ 3 (37). Perussuhteet ja tehtävät
Trigonometriassa tarkastellaan ongelmia, joissa on tarpeen laskea tietyt kolmion elementit riittävällä määrällä sen annettujen elementtien numeerisia arvoja. Näitä tehtäviä kutsutaan yleensä ns ratkaisu kolmio.
Olkoon ABC suorakulmainen kolmio, C suora kulma, a ja b- teräviä kulmia A ja B vastapäätä olevat jalat, Kanssa- hypotenuusa (kuvio 3);
sitten meillä on:
Terävän kulman kosini on viereisen jalan suhde hypotenuusaan:
cos A = b/ c, cos B = a / c (1)
Terävän kulman sini on vastakkaisen jalan suhde hypotenuusaan:
sin A = a / c, sin B = b/ c (2)
Terävän kulman tangentti on vastakkaisen jalan suhde viereiseen:
rusketus A = a / b, tg B = b/ a (3)
Terävän kulman kotangentti on viereisen jalan suhde vastakkaiseen:
ctgA= b/ a, ctg B = a / b (4)
Terävien kulmien summa on 90°.
Suorakulmaisten kolmioiden perustehtävät.
Tehtävä I. Kun otetaan huomioon hypotenuusa ja yksi terävistä kulmista, laske muut elementit.
Ratkaisu. Anna annettu Kanssa ja A. Kulma B = 90° - A tunnetaan myös; jalat löytyvät kaavoista (1) ja (2).
a = c sinA, b = c cos A.
Tehtävä II . Kun annetaan jalka ja yksi terävistä kulmista, laske muut elementit.
Ratkaisu. Anna annettu a ja A. Kulma B = 90° - A tunnetaan; kaavoista (3) ja (2) löydämme:
b = a tg B (= a ctg A), Kanssa = a/sin A
Tehtävä III. Kun otetaan huomioon jalka ja hypotenuusa, laske loput elementit.
Ratkaisu. Anna annettu a ja Kanssa(ja a< с ). Yhtälöistä (2) löydämme kulman A:
sin A = a / c ja A = arc sin a / c ,
ja lopuksi jalka b:
b = Kanssa cos A (= Kanssa synti B).
Tehtävä IV. Jalat a ja b annetaan löytää muita elementtejä.
Ratkaisu. Yhtälöistä (3) löydämme terävän kulman, esimerkiksi A:
tg A = a / b, A = arctaani a / b ,
kulma B \u003d 90 ° - A,
hypotenuusa: c = a/sin A (= b/sinB; = a/cos B)
Alla on esimerkki suorakulmaisen kolmion ratkaisemisesta logaritmisilla taulukoilla*.
* Suorakulmaisten kolmioiden alkioiden laskenta luonnollisten taulukoiden mukaan tunnetaan VIII luokan geometriakurssista.
Logaritmisilla taulukoilla laskettaessa tulee kirjoittaa vastaavat kaavat, prologaritmi ne, korvata numeeriset tiedot, etsiä taulukoista tunnettujen elementtien (tai niiden trigonometristen funktioiden) tarvittavat logaritmit, laskea haluttujen elementtien (tai niiden trigonometristen funktioiden) logaritmit. ) ja etsi tarvittavat elementit taulukoista.
Esimerkki. Danan jalka a= 166,1 ja hypotenuusa Kanssa= 187,3; laske terävät kulmat, toinen jalka ja pinta-ala.
Ratkaisu. Meillä on:
sin A = a / c; lg sin A = lg a-lg c; 
A ≈ 62°30", B ≈ 90° - 62°30" ≈ 27°30".
Laskemme jalan b:
b = a tg B; lg b= loki b+ lg tg B; 
Kolmion pinta-ala voidaan laskea kaavalla
S = 1/2 ab = 0,5 a 2 tg B; 
Ohjausta varten laskemme kulman A liukusäätimellä:
A \u003d kaari synti a / c= kaari sin 166 / 187 ≈ 62°.
Merkintä. jalka b voidaan laskea Pythagoraan lauseella käyttämällä neliö- ja neliöjuuritaulukoita (taulukot III ja IV):
b= √187,3 2 - 166,1 2 = √35080 - 27590 ≈ 86,54.
Ero aiemmin saadun arvon kanssa b= 86.48 selittyy taulukoiden virheillä, jotka antavat funktioiden likimääräiset arvot. Tulos 86,54 on tarkempi.
Kuten näet, tämä ympyrä on rakennettu suorakulmaiseen koordinaattijärjestelmään. Ympyrän säde on yhtä suuri kuin yksi, kun taas ympyrän keskipiste on origossa, sädevektorin alkusijainti on kiinteä akselin positiivista suuntaa pitkin (esimerkissämme tämä on säde).
Jokainen ympyrän piste vastaa kahta numeroa: akselin suuntainen koordinaatti ja akselin suuntainen koordinaatti. Mitä nämä koordinaattiluvut ovat? Ja ylipäätään, mitä tekemistä niillä on käsillä olevan aiheen kanssa? Muista tätä varten harkittu suorakulmainen kolmio. Yllä olevassa kuvassa näet kaksi kokonaista suorakulmaista kolmiota. Harkitse kolmiota. Se on suorakaiteen muotoinen, koska se on kohtisuorassa akseliin nähden.
Mikä on yhtä suuri kuin kolmiosta? Oikein. Lisäksi tiedämme, että on yksikköympyrän säde, ja siksi . Korvaa tämä arvo kosinikaavaamme. Tässä on mitä tapahtuu:
Ja mikä on yhtä kuin kolmiosta? No tottakai, ! Korvaa säteen arvo tähän kaavaan ja saa:
Joten, voitko kertoa minulle, mitkä ovat ympyrään kuuluvan pisteen koordinaatit? No ei mitenkään? Ja jos ymmärrät sen ja olet vain numeroita? Mitä koordinaattia se vastaa? No, tietysti koordinaatit! Mitä koordinaattia se vastaa? Juuri niin, koordinoi! Eli pointti.
Ja mitkä sitten ovat tasa-arvoisia ja? Se on oikein, käytetään sopivia tangentin ja kotangentin määritelmiä ja saadaan, a.
Entä jos kulma on suurempi? Tässä esimerkiksi, kuten tässä kuvassa:
Mikä tässä esimerkissä on muuttunut? Selvitetään se. Tätä varten käännymme jälleen suorakulmaiseen kolmioon. Tarkastellaan suorakulmaista kolmiota: kulma (kulman vieressä). Mikä on kulman sinin, kosinin, tangentin ja kotangentin arvo? Aivan oikein, noudatamme vastaavia trigonometristen funktioiden määritelmiä:
No, kuten näet, kulman sinin arvo vastaa silti koordinaattia; kulman kosinin arvo - koordinaatti; ja tangentin ja kotangentin arvot vastaaviin suhteisiin. Siten nämä suhteet ovat sovellettavissa mihin tahansa sädevektorin kiertoon.
On jo mainittu, että sädevektorin alkusijainti on akselin positiivista suuntaa pitkin. Toistaiseksi olemme kiertäneet tätä vektoria vastapäivään, mutta mitä tapahtuu, jos käännämme sitä myötäpäivään? Ei mitään poikkeuksellista, saat myös tietyn kokoisen kulman, mutta vain se on negatiivinen. Siten, kun kierretään sädevektoria vastapäivään, saamme positiiviset kulmat, ja kun käännetään myötäpäivään - negatiivinen.
Tiedämme siis, että sädevektorin koko kierros ympyrän ympäri on tai. Onko mahdollista kiertää sädevektoria verran tai verran? No tietysti voit! Siksi ensimmäisessä tapauksessa sädevektori tekee yhden täyden kierroksen ja pysähtyy kohtaan tai.
Toisessa tapauksessa, eli sädevektori tekee kolme täydellistä kierrosta ja pysähtyy kohtaan tai.
Siten yllä olevista esimerkeistä voimme päätellä, että kulmat, jotka eroavat toisistaan tai (jossa on mikä tahansa kokonaisluku), vastaavat sädevektorin samaa sijaintia.
Alla oleva kuva esittää kulmaa. Sama kuva vastaa nurkkaa ja niin edelleen. Tätä listaa voi jatkaa loputtomiin. Kaikki nämä kulmat voidaan kirjoittaa yleisellä kaavalla tai (missä on mikä tahansa kokonaisluku)
Nyt, kun tiedät trigonometristen perusfunktioiden määritelmät ja käyttämällä yksikköympyrää, yritä vastata, mitä arvot ovat yhtä suuria:
Tässä on yksikköympyrä avuksi:
Onko vaikeuksia? Otetaanpa sitten selvää. Tiedämme siis, että:
Täältä määritämme tiettyjä kulman mittaa vastaavien pisteiden koordinaatit. No, aloitetaan järjestyksessä: kulma kohdassa vastaa pistettä, jolla on koordinaatit, joten:
Ei ole olemassa;
Lisäksi samaa logiikkaa noudattaen saamme selville, että kulmat vastaavat pisteitä, joilla on vastaavasti koordinaatit. Tämän tietäen on helppo määrittää trigonometristen funktioiden arvot vastaavissa pisteissä. Kokeile ensin itse ja tarkista sitten vastaukset.
Vastaukset:
Ei ole olemassa
Ei ole olemassa
Ei ole olemassa
Ei ole olemassa
Näin ollen voimme tehdä seuraavan taulukon:
Kaikkia näitä arvoja ei tarvitse muistaa. Riittää, kun muistat yksikköympyrän pisteiden koordinaattien ja trigonometristen funktioiden arvojen välisen vastaavuuden:
Mutta kulmien trigonometristen funktioiden arvot ja, alla olevassa taulukossa, täytyy muistaa:
Älä pelkää, nyt näytämme yhden esimerkeistä melko yksinkertainen vastaavien arvojen muistaminen:
Tämän menetelmän käyttämiseksi on tärkeää muistaa sinin arvot kaikille kolmelle kulman mittalle () sekä kulman tangentin arvo. Nämä arvot tiedossa on melko helppoa palauttaa koko taulukko - kosiniarvot siirretään nuolien mukaisesti, eli:
Kun tiedät tämän, voit palauttaa arvot. Osoittaja " " vastaa ja nimittäjä " " vastaa. Kotangenttiarvot siirretään kuvassa olevien nuolien mukaisesti. Jos ymmärrät tämän ja muistat kaavion nuolilla, riittää, että muistat koko arvon taulukosta.
Ympyrän pisteen koordinaatit
Onko mahdollista löytää piste (sen koordinaatit) ympyrästä, ympyrän keskipisteen koordinaatit, sen säde ja kiertokulma?
No tietysti voit! Otetaan esiin yleinen kaava pisteen koordinaattien löytämiseksi.
Tässä meillä on esimerkiksi tällainen ympyrä:
Meille on annettu, että piste on ympyrän keskipiste. Ympyrän säde on yhtä suuri. On tarpeen löytää pisteen koordinaatit, jotka saadaan kiertämällä pistettä asteina.
Kuten kuvasta näkyy, pisteen koordinaatti vastaa janan pituutta. Janan pituus vastaa ympyrän keskipisteen koordinaattia, eli se on yhtä suuri. Janan pituus voidaan ilmaista käyttämällä kosinin määritelmää:
Sitten meillä on se pisteelle koordinaatti.
Samalla logiikalla löydämme pisteen y-koordinaatin arvon. Tällä tavalla,
Joten yleisesti ottaen pisteiden koordinaatit määritetään kaavoilla:
Ympyrän keskipisteen koordinaatit,
ympyrän säde,
Sädevektorin kiertokulma.
Kuten näette, harkitsemamme yksikköympyrän osalta nämä kaavat pienenevät merkittävästi, koska keskustan koordinaatit ovat nolla ja säde on yhtä suuri:
No, kokeillaanpa näitä kaavoja maistiaisena, harjoitellaan pisteiden etsimistä ympyrästä?
1. Etsi yksikköympyrän pisteen koordinaatit, joka saadaan kytkemällä piste päälle.
2. Etsi yksikköympyrän pisteen koordinaatit, joka saadaan kiertämällä pistettä.
3. Etsi yksikköympyrän pisteen koordinaatit, jotka saadaan kytkemällä piste päälle.
4. Piste - ympyrän keskipiste. Ympyrän säde on yhtä suuri. On tarpeen löytää pisteen koordinaatit, joka saadaan kiertämällä alkusädevektoria.
5. Piste - ympyrän keskipiste. Ympyrän säde on yhtä suuri. On tarpeen löytää pisteen koordinaatit, joka saadaan kiertämällä alkusädevektoria.
Onko sinulla vaikeuksia löytää ympyrän pisteen koordinaatit?
Ratkaise nämä viisi esimerkkiä (tai ymmärrä ratkaisua hyvin), niin opit löytämään ne!
1.
Sen voi nähdä. Ja tiedämme, mikä vastaa aloituspisteen täyttä käännettä. Siten haluttu piste on samassa asennossa kuin käännettäessä. Tämän tietäen löydämme pisteen halutut koordinaatit:
2. Ympyrä on yksikkö, jonka keskipiste on pisteessä, mikä tarkoittaa, että voimme käyttää yksinkertaistettuja kaavoja:
Sen voi nähdä. Tiedämme, mikä vastaa lähtöpisteen kahta täydellistä kiertoa. Siten haluttu piste on samassa asennossa kuin käännettäessä. Tämän tietäen löydämme pisteen halutut koordinaatit:
Sini ja kosini ovat taulukkoarvoja. Muistamme heidän arvonsa ja saamme:
Siten halutulla pisteellä on koordinaatit.
3. Ympyrä on yksikkö, jonka keskipiste on pisteessä, mikä tarkoittaa, että voimme käyttää yksinkertaistettuja kaavoja:
Sen voi nähdä. Kuvataan tarkasteltu esimerkki kuvassa:
Säde muodostaa kulmat akselin kanssa, joka on yhtä suuri kuin ja. Kun tiedämme, että kosinin ja sinin taulukkoarvot ovat yhtä suuret, ja kun olemme päättäneet, että kosini saa negatiivisen arvon ja sini on positiivinen, meillä on:
Vastaavia esimerkkejä analysoidaan tarkemmin tutkittaessa aiheen trigonometristen funktioiden pelkistyskaavoja.
Siten halutulla pisteellä on koordinaatit.
4.
Sädevektorin kiertokulma (ehdon mukaan)
Sinin ja kosinin vastaavien etumerkkien määrittämiseksi rakennamme yksikköympyrän ja kulman:
Kuten näette, arvo eli arvo on positiivinen ja arvo eli negatiivinen. Kun tiedämme vastaavien trigonometristen funktioiden taulukkoarvot, saamme, että:
Korvataan saadut arvot kaavaamme ja etsitään koordinaatit:
Siten halutulla pisteellä on koordinaatit.
5. Tämän ongelman ratkaisemiseksi käytämme kaavoja yleisessä muodossa, missä
Ympyrän keskipisteen koordinaatit (esimerkissämme
Ympyrän säde (ehdon mukaan)
Sädevektorin kiertokulma (ehdon mukaan).
Korvaa kaikki arvot kaavaan ja saa:
ja - taulukon arvot. Muistamme ja korvaamme ne kaavaan:
Siten halutulla pisteellä on koordinaatit.
YHTEENVETO JA PERUSKAAVA
Kulman sini on vastakkaisen (kaukaisen) jalan suhde hypotenuusaan.
Kulman kosini on viereisen (läheisen) jalan suhde hypotenuusaan.
Kulman tangentti on vastakkaisen (kaukaisen) jalan suhde viereiseen (läheiseen).
Kulman kotangentti on viereisen (läheisen) jalan suhde vastakkaiseen (kaukaiseen).
