Непрекъснатост на функцията. Преломни точки.

Бикът върви, люлее се, въздиша като върви:
- Ох, дъската свършва, сега ще падна!

В този урок ще разгледаме концепцията за непрекъснатост на функция, класификацията на точките на прекъсване и общ практически проблем изследвания на непрекъснатостта на функциите. От самото име на темата мнозина интуитивно предполагат какво ще се обсъжда и смятат, че материалът е доста прост. Това е вярно. Но простите задачи най-често се наказват за пренебрегване и повърхностен подход към решаването им. Затова ви препоръчвам да проучите статията много внимателно и да уловите всички тънкости и техники.

Какво трябва да знаете и да можете?Не много. За да научите добре урока, трябва да разберете какво представлява той граница на функция. За читатели с ниско ниво на подготовка е достатъчно да разберат статията Функционални ограничения. Примери за решенияи погледнете геометричното значение на границата в ръководството Графики и свойства на елементарни функции. Също така е препоръчително да се запознаете с геометрични трансформации на графики, тъй като практиката в повечето случаи включва конструиране на чертеж. Перспективите са оптимистични за всички и дори пълен чайник ще може да се справи сам със задачата в следващите час-два!

Непрекъснатост на функцията. Точки на прекъсване и тяхната класификация

Понятие за непрекъснатост на функцията

Нека разгледаме някаква функция, която е непрекъсната на цялата числова ос:

Или, казано по-накратко, нашата функция е непрекъсната върху (множеството от реални числа).

Какъв е "филистимският" критерий за приемственост? Очевидно е, че графиката на непрекъсната функция може да бъде начертана, без да се вдига моливът от хартията.

В този случай трябва ясно да се разграничат две прости понятия: област на функцияИ непрекъснатост на функцията. Общо взето не е едно и също нещо. Например:

Тази функция е дефинирана на цялата числова линия, тоест за всекиЗначението на “x” има собствено значение на “y”. По-специално, ако , тогава . Обърнете внимание, че другата точка е с препинателна точка, тъй като според дефиницията на функция стойността на аргумента трябва да съответства на единственото нещостойност на функцията. По този начин, домейннашата функция: .

въпреки това тази функция не е непрекъснато включена!Съвсем очевидно е, че в момента тя страда празнина. Терминът също е доста разбираем и визуален; наистина, тук моливът така или иначе ще трябва да бъде откъснат от хартията. Малко по-късно ще разгледаме класификацията на точките на прекъсване.

Непрекъснатост на функция в точка и на интервал

В конкретен математически проблем можем да говорим за непрекъснатост на функция в точка, непрекъснатост на функция в интервал, полуинтервал или непрекъснатост на функция в сегмент. Това е, няма "обикновена приемственост"– функцията може да бъде непрекъсната НЯКЪДЕ. И основният „градивен елемент“ на всичко останало е непрекъснатост на функцията в точката .

Теорията на математическия анализ дава дефиниция на непрекъснатостта на функция в точка, използвайки „делта“ и „епсилон“ околности, но на практика се използва друга дефиниция, на която ще обърнем голямо внимание.

Първо да си спомним едностранни границикоито нахлуха в живота ни в първия урок относно функционалните графики. Помислете за ежедневна ситуация:

Ако приближим оста до точката наляво(червена стрелка), тогава съответните стойности на „игрите“ ще вървят по оста до точката (пурпурна стрелка). Математически този факт се фиксира с помощта на ляво ограничение:

Обърнете внимание на записа (чете се „x клони към ka отляво“). „Добавката“ „минус нула“ символизира , по същество това означава, че приближаваме числото от лявата страна.

По същия начин, ако се приближите до точката „ка“ на дясно(синя стрелка), тогава „игрите“ ще достигнат същата стойност, но по зелената стрелка и дясна границаще бъде форматиран, както следва:

„Добавка“ символизира , а записът гласи: „x клони към ka отдясно.“

Ако едностранните граници са крайни и равни(както в нашия случай): , тогава ще кажем, че има ОБЩА граница. Просто е, общото ограничение е нашето „обичайно“ граница на функция, равно на крайно число.

Обърнете внимание, че ако функцията не е дефинирана на (поставете черната точка на клона на графиката), тогава горните изчисления остават валидни. Както вече беше отбелязано няколко пъти, по-специално в статията върху безкрайно малки функции, изразите означават, че "x" безкрайно близосе доближава до точката, докато НЯМА ЗНАЧЕНИЕ, дали самата функция е дефинирана в дадена точка или не. Добър пример ще бъде намерен в следващия параграф, когато функцията се анализира.

Определение: функция е непрекъсната в точка, ако границата на функцията в дадена точка е равна на стойността на функцията в тази точка: .

Определението е подробно описано със следните термини:

1) Функцията трябва да бъде дефинирана в точката, тоест стойността трябва да съществува.

2) Трябва да има обща граница на функцията. Както беше отбелязано по-горе, това предполага наличието и равенството на едностранни ограничения: .

3) Границата на функцията в дадена точка трябва да бъде равна на стойността на функцията в тази точка: .

Ако се наруши поне единот трите условия, тогава функцията губи свойството на непрекъснатост в точката .

Непрекъснатост на функция върху интервале формулиран гениално и много просто: една функция е непрекъсната на интервала, ако е непрекъсната във всяка точка от дадения интервал.

По-специално, много функции са непрекъснати в безкраен интервал, т.е. в множеството от реални числа. Това е линейна функция, полиноми, експоненциал, синус, косинус и т.н. И като цяло всяка елементарна функциянепрекъснато на своя област на дефиниция, например, логаритмична функция е непрекъсната на интервала . Надяваме се, че досега имате доста добра представа как изглеждат графиките на основните функции. По-подробна информация за тяхната приемственост може да се получи от любезен човек на име Фихтенхолц.

С непрекъснатостта на функция на сегмент и полуинтервали, всичко също не е трудно, но е по-подходящо да се говори за това в клас относно намирането на минималните и максималните стойности на функция в сегмент, но засега нека не се тревожим за това.

Класификация на точките на прекъсване

Увлекателният живот на функциите е богат на всякакви специални точки, а точките на прекъсване са само една от страниците на тяхната биография.

Забележка : за всеки случай ще се спра на елементарен момент: точката на пречупване е винаги единична точка– няма „няколко точки на прекъсване подред“, тоест няма такова нещо като „интервал на прекъсване“.

Тези точки от своя страна са разделени на две големи групи: разкъсвания от първи видИ разкъсвания от втори вид. Всеки тип празнина има свои собствени характеристики, които ще разгледаме точно сега:

Точка на прекъсване от първи род

Ако условието за непрекъснатост е нарушено в точка и едностранни ограничения краен , тогава се нарича точка на прекъсване от първи род.

Да започнем с най-оптимистичния случай. Според първоначалната идея на урока исках да разкажа теорията „в общи линии“, но за да демонстрирам реалността на материала, се спрях на варианта с конкретни герои.

Тъжно е като снимка на младоженци на фона на Вечния огън, но следният кадър е общоприет. Нека изобразим графиката на функцията на чертежа:


Тази функция е непрекъсната на цялата числова ос, с изключение на точката. И всъщност знаменателят не може да бъде равен на нула. Въпреки това, в съответствие със значението на границата, можем безкрайно близосе приближават до „нула“ както отляво, така и отдясно, тоест съществуват едностранни граници и очевидно съвпадат:
(Условие № 2 за непрекъснатост е изпълнено).

Но функцията не е дефинирана в точката, следователно, условие № 1 за непрекъснатост е нарушено и функцията претърпява прекъсване в тази точка.

Прекъсване от този тип (със съществуващите общ лимит) са наречени ремонтируема празнина. Защо подвижни? Тъй като функцията може предефинирамв точката на счупване:

Изглежда ли странно? Може би. Но такова обозначение на функцията не противоречи на нищо! Сега празнината е затворена и всички са доволни:


Нека извършим официална проверка:

2) – има общо ограничение;
3)

По този начин и трите условия са изпълнени и функцията е непрекъсната в точка според определението за непрекъснатост на функция в точка.

Въпреки това мразещите матан могат да дефинират функцията по лош начин, например :


Интересно е, че тук са изпълнени първите две условия за непрекъснатост:
1) – функцията е дефинирана в дадена точка;
2) – има общо ограничение.

Но третата граница не е премината: , тоест границата на функцията в точката не е равностойността на дадена функция в дадена точка.

Така в даден момент функцията претърпява прекъсване.

Вторият, по-тъжен случай се нарича разкъсване от първи вид със скок. И тъгата се предизвиква от едностранчиви ограничения, които крайни и различни. Пример е показан на втория чертеж на урока. Такава празнина обикновено възниква, когато частично дефинирани функции, които вече бяха споменати в статията относно трансформациите на графиките.

Разгледайте функцията на части и ние ще завършим чертежа му. Как да изградим графика? Много просто. На полуинтервал рисуваме фрагмент от парабола (зелено), на интервал - сегмент от права линия (червен) и на полуинтервал - права линия (син).

Освен това, поради неравенството, стойността се определя за квадратичната функция (зелена точка), а поради неравенството стойността се определя за линейната функция (синя точка):

В най-трудния случай трябва да прибягвате до изграждане точка по точка на всяка част от графиката (вижте първата урок за графики на функции).

Сега ще ни интересува само точката. Нека го разгледаме за приемственост:

2) Нека изчислим едностранните граници.

Отляво имаме сегмент от червена линия, така че лявата граница е:

Отдясно е синята права линия, а дясната граница:

В резултат на това получихме крайни числа, и те не е равно. Тъй като едностранни ограничения крайни и различни: , тогава нашата функция толерира прекъсване от първи вид със скок.

Логично е, че пропускът не може да бъде премахнат - функцията наистина не може да бъде допълнително дефинирана и „залепена заедно“, както в предишния пример.

Точки на прекъсване от втори род

Обикновено всички други случаи на разкъсване са умело класифицирани в тази категория. Няма да изброявам всичко, защото на практика в 99% от проблемите ще срещнете безкрайна празнина– при лява или дясна ръка и по-често и двете граници са безкрайни.

И, разбира се, най-очевидната картина е хиперболата в точка нула. Тук и двете едностранни граници са безкрайни: , следователно функцията претърпява прекъсване от втори вид в точката .

Опитвам се да напълня статиите си с възможно най-разнообразно съдържание, така че нека да разгледаме графиката на функция, която все още не е срещана:

по стандартната схема:

1) Функцията не е дефинирана в този момент, защото знаменателят отива на нула.

Разбира се, можем веднага да заключим, че функцията претърпява прекъсване в точка , но би било добре да класифицираме естеството на прекъсването, което често се изисква от условието. За това:

Нека ви напомня, че под запис разбираме безкрайно малко отрицателно число, а под записа - безкрайно малко положително число.

Едностранните ограничения са безкрайни, което означава, че функцията претърпява прекъсване от 2-ри вид в точката . Оста y е вертикална асимптотаза графиката.

Не е необичайно да съществуват и двете едностранни граници, но само една от тях е безкрайна, например:

Това е графиката на функцията.

Разглеждаме точката за приемственост:

1) Функцията не е дефинирана на този етап.

2) Нека изчислим едностранните граници:

Ще говорим за метода за изчисляване на такива едностранни граници в последните два примера на лекцията, въпреки че много читатели вече са видели и познали всичко.

Лявата граница е крайна и равна на нула (ние „не отиваме до самата точка“), но дясната граница е безкрайна и оранжевият клон на графиката се приближава безкрайно близо до нейната вертикална асимптота, дадено от уравнението (черна пунктирана линия).

Така че функцията страда втори вид прекъсванев точка .

Що се отнася до прекъсване от 1-ви вид, функцията може да бъде дефинирана в самата точка на прекъсване. Например за частична функция Чувствайте се свободни да поставите черна удебелена точка в началото на координатите. Отдясно има клон на хипербола, а дясната граница е безкрайна. Мисля, че почти всеки има представа как изглежда тази графика.

Това, което всички очакваха с нетърпение:

Как да изследваме функция за непрекъснатост?

Изследването на функция за непрекъснатост в точка се извършва по вече установена рутинна схема, която се състои в проверка на три условия на непрекъснатост:

Пример 1

Функция за изследване

Решение:

1) Единствената точка в обхвата е мястото, където функцията не е дефинирана.

2) Нека изчислим едностранните граници:

Едностранните граници са крайни и равни.

По този начин в момента функцията претърпява отстранимо прекъсване.

Как изглежда графиката на тази функция?

Бих искал да опростя , и изглежда, че се получава обикновена парабола. НОоригиналната функция не е дефинирана в точка, така че се изисква следната клауза:

Да направим чертежа:

Отговор: функцията е непрекъсната на цялата числова ос, с изключение на точката, в която претърпява отстраним прекъсване.

Функцията може да бъде допълнително дефинирана по добър или не толкова добър начин, но според условието това не е задължително.

Казвате, че това е пресилен пример? Въобще не. Това се е случвало десетки пъти в практиката. Почти всички задачи на сайта идват от реална самостоятелна работа и тестове.

Нека се отървем от нашите любими модули:

Пример 2

Функция за изследване за приемственост. Определете естеството на функционалните прекъсвания, ако съществуват. Изпълнете чертежа.

Решение: По някаква причина учениците се страхуват и не харесват функции с модул, въпреки че в тях няма нищо сложно. Вече засегнахме малко такива неща в урока. Геометрични трансформации на графики. Тъй като модулът е неотрицателен, той се разширява, както следва: , където „алфа“ е някакъв израз. В този случай нашата функция трябва да бъде написана на части:

Но дробите на двете парчета трябва да бъдат намалени с . Намаляването, както в предишния пример, няма да се осъществи без последствия. Оригиналната функция не е дефинирана в точката, тъй като знаменателят отива на нула. Следователно системата трябва допълнително да уточни условието и да направи първото неравенство строго:

Сега относно една МНОГО ПОЛЕЗНА техника за вземане на решения: преди да завършите задачата на чернова, е добре да направите чертеж (независимо дали се изисква от условията или не). Това ще помогне, първо, незабавно да видите точки на непрекъснатост и точки на прекъсване, и, второ, ще ви предпази 100% от грешки при намиране на едностранни граници.

Да направим чертежа. В съответствие с нашите изчисления, отляво на точката е необходимо да се начертае фрагмент от парабола (син цвят), а отдясно - парче от парабола (червен цвят), докато функцията не е дефинирана в самата точка:

Ако се съмнявате, вземете няколко x стойности и ги включете във функцията (не забравяйте, че модулът унищожава възможния знак минус) и проверете графиката.

Нека разгледаме аналитично функцията за непрекъснатост:

1) Функцията не е дефинирана в точката, така че веднага можем да кажем, че не е непрекъсната в нея.

2) Нека установим естеството на прекъсването; за да направим това, изчисляваме едностранни граници:

Едностранните граници са крайни и различни, което означава, че функцията претърпява прекъсване от 1-ви вид със скок в точката . Обърнете внимание отново, че когато намирате ограничения, няма значение дали функцията в точката на прекъсване е дефинирана или не.

Сега остава само да прехвърлите чертежа от черновата (направен е сякаш с помощта на проучване ;-)) и да изпълните задачата:

Отговор: функцията е непрекъсната на цялата числова ос, с изключение на точката, в която претърпява прекъсване от първи вид със скок.

Понякога те изискват допълнителна индикация за скока на прекъсване. Изчислява се просто - от дясната граница трябва да извадите лявата граница: , тоест в точката на прекъсване нашата функция скочи с 2 единици надолу (както ни казва знакът минус).

Пример 3

Функция за изследване за приемственост. Определете естеството на функционалните прекъсвания, ако съществуват. Направете рисунка.

Това е пример, който можете да решите сами, примерно решение в края на урока.

Нека да преминем към най-популярната и разпространена версия на задачата, когато функцията се състои от три части:

Пример 4

Изследвайте функция за непрекъснатост и начертайте графика на функцията .

Решение: очевидно е, че и трите части на функцията са непрекъснати на съответните интервали, така че остава да се проверят само две точки на „свързване“ между частите. Първо, нека направим чернова на чертеж, коментирах техниката на изграждане достатъчно подробно в първата част на статията. Единственото нещо е, че трябва внимателно да следваме нашите особени точки: поради неравенството стойността принадлежи на правата линия (зелена точка), а поради неравенството стойността принадлежи на параболата (червена точка):


Е, по принцип всичко е ясно =) Остава само да формализираме решението. За всяка от двете точки на „съединяване“ стандартно проверяваме 3 условия за непрекъснатост:

аз)Проверяваме точката за приемственост

1)

Едностранните граници са крайни и различни, което означава, че функцията претърпява прекъсване от 1-ви вид със скок в точката .

Нека изчислим скока на прекъсване като разликата между дясната и лявата граница:
, тоест графиката рязко се повиши с една единица.

II)Проверяваме точката за приемственост

1) – функцията е дефинирана в дадена точка.

2) Намерете едностранни ограничения:

– едностранните граници са крайни и равни, което означава, че има обща граница.

3) – границата на функция в точка е равна на стойността на тази функция в дадена точка.

На последния етап прехвърляме чертежа в окончателния вариант, след което поставяме последния акорд:

Отговор: функцията е непрекъсната на цялата числова ос, с изключение на точката, в която претърпява прекъсване от първи род със скок.

Пример 5

Изследвайте функцията за непрекъснатост и постройте нейната графика .

Това е пример за самостоятелно решение, кратко решение и приблизителна извадка на задачата в края на урока.

Може да останете с впечатлението, че в един момент функцията трябва да е непрекъсната, а в друг трябва да има прекъсване. На практика това не винаги е така. Опитайте се да не пренебрегвате останалите примери - ще има няколко интересни и важни функции:

Пример 6

Дадена функция . Изследвайте функцията за непрекъснатост в точки. Постройте графика.

Решение: и отново веднага изпълнете чертежа върху черновата:

Особеността на тази графика е, че частичната функция е дадена от уравнението на абсцисната ос. Тук тази област е начертана в зелено, но в тетрадка обикновено е подчертана с удебелен шрифт с обикновен молив. И, разбира се, не забравяйте за нашите овни: стойността принадлежи на допирателната клонка (червена точка), а стойността принадлежи на правата линия.

Всичко е ясно от чертежа - функцията е непрекъсната по цялата числова линия, остава само да се формализира решението, което се довежда до пълна автоматизация буквално след 3-4 подобни примера:

аз)Проверяваме точката за приемственост

1) – функцията е дефинирана в дадена точка.

2) Нека изчислим едностранните граници:

, което означава, че има общо ограничение.

За всеки случай нека ви напомня един тривиален факт: границата на константата е равна на самата константа. В този случай границата на нула е равна на самата нула (лява граница).

3) – границата на функция в точка е равна на стойността на тази функция в дадена точка.

По този начин една функция е непрекъсната в точка според дефиницията за непрекъснатост на функция в точка.

II)Проверяваме точката за приемственост

1) – функцията е дефинирана в дадена точка.

2) Намерете едностранни ограничения:

И тук – границата на единица е равна на самата единица.

– има общо ограничение.

3) – границата на функция в точка е равна на стойността на тази функция в дадена точка.

По този начин една функция е непрекъсната в точка според дефиницията за непрекъснатост на функция в точка.

Както обикновено, след проучване прехвърляме нашия чертеж в окончателния вариант.

Отговор: функцията е непрекъсната в точките.

Моля, имайте предвид, че в условието не бяхме попитани нищо относно изучаването на цялата функция за непрекъснатост и се счита за добра математическа форма за формулиране точно и ясноотговорът на поставения въпрос. Между другото, ако условията не изискват да изградите графика, тогава имате пълното право да не я построите (въпреки че по-късно учителят може да ви принуди да направите това).

Малка математическа „свирка на езиците“, за да я решите сами:

Пример 7

Дадена функция . Изследвайте функцията за непрекъснатост в точки. Класифицирайте точките на прекъсване, ако има такива. Изпълнете чертежа.

Опитайте се да „произнесете“ всички „думи“ правилно =) И начертайте графиката по-точно, точност, няма да е излишно навсякъде;-)

Както си спомняте, препоръчах незабавно да завършите чертежа като чернова, но от време на време се натъквате на примери, при които не можете веднага да разберете как изглежда графиката. Следователно в някои случаи е изгодно първо да се намерят едностранни граници и едва след това, въз основа на изследването, да се изобразят клоните. В последните два примера ще научим и техника за изчисляване на някои едностранни ограничения:

Пример 8

Проверете функцията за непрекъснатост и изградете нейната схематична графика.

Решение: лошите точки са очевидни: (намалява знаменателя на показателя до нула) и (намалява знаменателя на цялата дроб до нула). Не е ясно как изглежда графиката на тази функция, което означава, че е по-добре първо да направите някои изследвания.

Тази статия е за непрекъсната числова функция. За непрекъснато картографиране в различни клонове на математиката вижте непрекъснато картографиране.

Непрекъсната функция- функция без „скокове“, тоест такава, при която малки промени в аргумента водят до малки промени в стойността на функцията.

Непрекъснатата функция, най-общо казано, е синоним на понятието непрекъснато картографиране, но най-често този термин се използва в по-тесен смисъл - за картографиране между числови пространства, например върху реалната линия. Тази статия е посветена конкретно на непрекъснати функции, дефинирани върху подмножество от реални числа и приемащи реални стойности.

Енциклопедичен YouTube

1 / 5

✪ Непрекъснатост на функцията и точки на прекъсване на функцията

✪ 15 Непрекъсната функция

✪ Непрекъснати функции

✪ Математически анализ, урок 5, Непрекъснатост на функцията

✪ Непрекъсната случайна променлива. Разпределителна функция

субтитри

Определение

Ако „коригирате“ функцията f (\displaystyle f)в точката на подвижно разкъсване и поставяне f (a) = lim x → a f (x) (\displaystyle f(a)=\lim \limits _(x\to a)f(x)), тогава получаваме функция, която е непрекъсната в дадена точка. Тази операция върху функция се нарича разширяване на функцията до непрекъснатаили предефиниране на функцията чрез непрекъснатост, което оправдава името на точката като точка сменяемразкъсване.

Точка на прекъсване "скок"

Прекъсване на „скок“ възниква, ако

lim x → a − 0 f (x) ≠ lim x → a + 0 f (x) (\displaystyle \lim \limits _(x\to a-0)f(x)\neq \lim \limits _(x) към a+0)f(x)).

Точка на прекъсване "полюс"

Полюсна празнина възниква, ако една от едностранните граници е безкрайна.

lim x → a − 0 f (x) = ± ∞ (\displaystyle \lim \limits _(x\to a-0)f(x)=\pm \infty )или lim x → a + 0 f (x) = ± ∞ (\displaystyle \lim \limits _(x\to a+0)f(x)=\pm \infty ). [ ]

Значителна точка на прекъсване

В точката на значително прекъсване една от едностранните граници напълно отсъства.

Класификация на изолирани особени точки в Rn, n>1

За функции f: R n → R n (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\до \mathbb (R) ^(n))И f: C → C (\displaystyle f:\mathbb (C) \to \mathbb (C) )Няма нужда да работите с точки на прекъсване, но често трябва да работите с особени точки (точки, където функцията не е дефинирана). Класификацията е подобна.

Концепцията за „скок“ липсва. Какво има в R (\displaystyle \mathbb (R) )се счита за скок; в пространства с по-високи измерения това е съществена сингулярна точка.

Имоти

Местен

• Функция, непрекъсната в точка a (\displaystyle a), е ограничено в някаква околност на тази точка.
• Ако функцията f (\displaystyle f)непрекъснато в точка a (\displaystyle a)И f (a) > 0 (\displaystyle f(a) > 0)(или е(а)< 0 {\displaystyle f(a)<0} ), Че f (x) > 0 (\displaystyle f(x) > 0)(или f(x)< 0 {\displaystyle f(x)<0} ) за всички x (\displaystyle x), доста близо до a (\displaystyle a).
• Ако функциите f (\displaystyle f)И g (\displaystyle g)непрекъснато в точка a (\displaystyle a), след това функциите f + g (\displaystyle f+g)И f ⋅ g (\displaystyle f\cdot g)също са непрекъснати в точка a (\displaystyle a).
• Ако функциите f (\displaystyle f)И g (\displaystyle g)непрекъснато в точка a (\displaystyle a)и при което g (a) ≠ 0 (\displaystyle g(a)\neq 0), след това функцията f / g (\displaystyle f/g)също е непрекъснато в точка a (\displaystyle a).
• Ако функцията f (\displaystyle f)непрекъснато в точка a (\displaystyle a)и функция g (\displaystyle g)непрекъснато в точка b = f (a) (\displaystyle b=f(a)), след това техния състав h = g ∘ f (\displaystyle h=g\circ f)непрекъснато в точка a (\displaystyle a).

Глобален

• компактно множество) е равномерно непрекъснато върху него.
• Функция, която е непрекъсната на сегмент (или всяко друго компактно множество), е ограничена и достига своите максимални и минимални стойности върху него.
• Функционален диапазон f (\displaystyle f), непрекъснат на отсечката , е отсечката [ min f , max f ] , (\displaystyle [\min f,\ \max f],)където минимумът и максимумът са взети по отсечката [ a , b ] (\displaystyle ).
• Ако функцията f (\displaystyle f)непрекъснат на сегмента [ a , b ] (\displaystyle )И f (a) ⋅ f (b)< 0 , {\displaystyle f(a)\cdot f(b)<0,} тогава има момент, в който f (ξ) = 0 (\displaystyle f(\xi)=0).
• Ако функцията f (\displaystyle f)непрекъснат на сегмента [ a , b ] (\displaystyle )и номер φ (\displaystyle \varphi )удовлетворява неравенството е(а)< φ < f (b) {\displaystyle f(a)<\varphi или неравенство f (a) > φ > f (b) , (\displaystyle f(a)>\varphi >f(b),)тогава има смисъл ξ ∈ (a , b) , (\displaystyle \xi \in (a,b),)при което f (ξ) = φ (\displaystyle f(\xi)=\varphi ).
• Непрекъснатото преобразуване на отсечка към реалната права е инективно тогава и само ако дадената функция на отсечката е строго монотонна.
• Монотонна функция върху отсечка [ a , b ] (\displaystyle )е непрекъснат, ако и само ако диапазонът му от стойности е сегмент с краища f (a) (\displaystyle f(a))И f (b) (\displaystyle f(b)).
• Ако функциите f (\displaystyle f)И g (\displaystyle g)непрекъснат на сегмента [ a , b ] (\displaystyle ), и е(а)< g (a) {\displaystyle f(a)И f (b) > g (b) , (\displaystyle f(b)>g(b),)тогава има смисъл ξ ∈ (a , b) , (\displaystyle \xi \in (a,b),)при което f (ξ) = g (ξ) . (\displaystyle f(\xi)=g(\xi).)От тук по-специално следва, че всяко непрекъснато преобразуване на сегмент в себе си има поне една фиксирана точка.

Примери

Елементарни функции

Тази функция е непрекъсната във всяка точка x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0).

Точката е точката на прекъсване първи вид, и

lim x → 0 − f (x) = − 1 ≠ 1 = lim x → 0 + f (x) (\displaystyle \lim \limits _(x\to 0-)f(x)=-1\neq 1= \lim \limits _(x\to 0+)f(x)),

докато в самата точка функцията изчезва.

Стъпка функция

Функция стъпка, дефинирана като

f (x) = ( 1 , x ⩾ 0 0 , x< 0 , x ∈ R {\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&x\geqslant 0\\0,&x<0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R} }

е непрекъсната навсякъде с изключение на точката x = 0 (\displaystyle x=0), където функцията претърпява прекъсване от първи вид. Въпреки това, в точката x = 0 (\displaystyle x=0)има дясна граница, която съвпада със стойността на функцията в дадена точка. Така че тази функция е пример непрекъснато вдяснофункции в цялата зона на дефиниране.

По същия начин стъпковата функция, дефинирана като

f (x) = ( 1 , x > 0 0 , x ⩽ 0 , x ∈ R (\displaystyle f(x)=(\begin(cases)1,&x>0\\0,&x\leqslant 0\end( случаи)),\quad x\in \mathbb (R) )

е пример непрекъснато влявофункции в цялата зона на дефиниране.

Функция на Дирихле

f (x) = ( 1 , x ∈ Q 0 , x ∈ R ∖ Q (\displaystyle f(x)=(\begin(cases)1,&x\in \mathbb (Q) \\0,&x\in \ mathbb (R) \setminus \mathbb (Q) \end(cases)))

Дадени са дефиниции и формулировки на основните теореми и свойства на непрекъсната функция на една променлива. Разглеждат се свойствата на непрекъсната функция в точка, на отсечка, границата и непрекъснатостта на сложна функция и класификацията на точките на прекъсване. Дадени са определения и теореми, свързани с обратната функция. Очертани са свойствата на елементарните функции.

Съдържание

Можем да формулираме концепцията за приемственост в по отношение на нарастванията. За да направим това, въвеждаме нова променлива, която се нарича нарастване на променливата x в точката. Тогава функцията е непрекъсната в точката if
.
Нека представим нова функция:
.
Викат я увеличение на функциятав точка . Тогава функцията е непрекъсната в точката if
.

Определение за непрекъснатост вдясно (вляво)
Функция f (х)Наречен непрекъснато отдясно (вляво) в точка х 0 , ако е дефиниран в някаква дясна (лява) околност на тази точка и ако дясната (лявата) граница в точката x 0 равна на стойността на функцията при x 0 :
.

Теорема за ограничеността на непрекъсната функция
Нека функцията f (х)е непрекъсната в точка x 0 . След това има квартал U (x0), на който функцията е ограничена.

Теорема за запазване на знака на непрекъсната функция
Нека функцията е непрекъсната в точката. И нека има положителна (отрицателна) стойност в този момент:
.
След това има околност на точката, където функцията има положителна (отрицателна) стойност:
при .

Аритметични свойства на непрекъснати функции
Нека функциите и са непрекъснати в точката .
Тогава функциите и са непрекъснати в точката.
Ако , тогава функцията е непрекъсната в точката .

Свойство за непрекъснатост ляво-дясно
Една функция е непрекъсната в точка тогава и само ако е непрекъсната отдясно и отляво.

Доказателствата за свойствата са дадени на страницата „Свойства на непрекъснати в точка функции“.

Непрекъснатост на сложна функция

Теорема за непрекъснатост на сложна функция
Нека функцията е непрекъсната в точката. И нека функцията е непрекъсната в точката.
Тогава комплексната функция е непрекъсната в точката.

Лимит на сложна функция

Теорема за границата на непрекъсната функция на функция
Нека има граница на функцията при и тя е равна на:
.
Ето точка t 0 може да бъде ограничено или безкрайно отдалечено: .
И нека функцията е непрекъсната в точката.
Тогава има граница на сложна функция и тя е равна на:
.

Теорема за границата на сложна функция
Нека функцията има граница и картографира пунктирана околност на точка върху прободена околност на точка. Нека функцията е дефинирана в тази околност и има ограничение върху нея.
Ето крайните или безкрайно отдалечени точки: . Кварталите и съответните им граници могат да бъдат както двустранни, така и едностранни.
Тогава има граница на сложна функция и тя е равна на:
.

Точки на прекъсване

Определяне на точката на прекъсване
Нека функцията е дефинирана в някаква пунктирана околност на точката. Точката се нарича точка на прекъсване на функцията, ако е изпълнено едно от двете условия:
1) не е дефинирано в ;
2) е дефиниран в , но не е в тази точка.

Определяне на точката на прекъсване от 1-ви род
Точката се нарича точка на прекъсване от първи род, ако е точка на прекъсване и има ограничени едностранни граници отляво и отдясно:
.

Дефиниция на функция скок
Функция Jump Δв точка е разликата между границите отдясно и отляво
.

Определяне на точката на прекъсване
Точката се нарича подвижна точка на прекъсване, ако има ограничение
,
но функцията в точката или не е дефинирана, или не е равна на граничната стойност: .

По този начин точката на отстраним прекъсване е точката на прекъсване от 1-ви вид, в която скокът на функцията е равен на нула.

Определяне на точката на прекъсване от 2-ри род
Точката се нарича точка на прекъсване от втори род, ако не е точка на прекъсване от 1-ви род. Тоест, ако няма поне една едностранна граница или поне една едностранна граница в точка е равна на безкрайност.

Свойства на функции, непрекъснати на интервал

Определение на функция, непрекъсната на интервал
Една функция се нарича непрекъсната на интервал (at), ако е непрекъсната във всички точки на отворения интервал (at) и съответно в точки a и b.

Първата теорема на Вайерщрас за ограничеността на функция, непрекъсната на интервал
Ако една функция е непрекъсната на интервал, тогава тя е ограничена на този интервал.

Определяне на постижимостта на максимума (минимума)
Една функция достига своя максимум (минимум) в множеството, ако има аргумент за който
за всички .

Определяне на достъпността на горното (долното) лице
Една функция достига своята горна (долна) граница на множеството, ако има аргумент за който
.

Втората теорема на Вайерщрас за максимума и минимума на непрекъсната функция
Функция, непрекъсната на сегмент, достига своите горни и долни граници върху него или, което е същото, достига своя максимум и минимум върху сегмента.

Теорема за междинната стойност на Болцано-Коши
Нека функцията е непрекъсната на отсечката. И нека C е произволно число, разположено между стойностите на функцията в краищата на сегмента: и . След това има точка, за която
.

Следствие 1
Нека функцията е непрекъсната на отсечката. И нека стойностите на функцията в краищата на сегмента имат различни знаци: или. Тогава има точка, в която стойността на функцията е равна на нула:
.

Следствие 2
Нека функцията е непрекъсната на отсечката. Остави . Тогава функцията приема в интервала всички стойности от и само тези стойности:
при .

Обратни функции

Дефиниция на обратна функция
Нека функцията има домейн на дефиниция X и набор от стойности Y. И нека има свойството:
за всички .
Тогава за всеки елемент от множеството Y може да се асоциира само един елемент от множеството X, за който . Това съответствие дефинира функция, наречена обратна функцияДа се ​​. Обратната функция се означава по следния начин:
.

От определението следва, че
;
за всички ;
за всички .

Лема за взаимната монотонност на права и обратна функция
Ако една функция е строго нарастваща (намаляваща), тогава има обратна функция, която също е строго нарастваща (намаляваща).

Свойство на симетрия на графики на преки и обратни функции
Графиките на директните и обратните функции са симетрични спрямо правата линия.

Теорема за съществуването и непрекъснатостта на обратна функция на интервал
Нека функцията е непрекъсната и строго нарастваща (намаляваща) на сегмента. Тогава обратната функция е дефинирана и непрекъсната на отсечката, която строго расте (намалява).

За нарастваща функция. За намаляване - .

Теорема за съществуването и непрекъснатостта на обратна функция на интервал
Нека функцията е непрекъсната и строго нарастваща (намаляваща) на отворен краен или безкраен интервал. Тогава обратната функция е определена и непрекъсната на интервала, който строго расте (намалява).

За нарастваща функция.
За намаляване:.

По подобен начин можем да формулираме теоремата за съществуването и непрекъснатостта на обратната функция на полуинтервал.

Свойства и непрекъснатост на елементарните функции

Елементарните функции и техните обратни са непрекъснати в тяхната област на дефиниране. По-долу представяме формулировките на съответните теореми и предоставяме връзки към техните доказателства.

Експоненциална функция

Експоненциална функция f (x) = брадва, с основа а > 0 е границата на последователността
,
където е произволна последователност от рационални числа, клоняща към x:
.

Теорема. Свойства на експоненциалната функция
Експоненциалната функция има следните свойства:
(P.0)дефиниран, за , за всички ;
(P.1)за ≠ 1 има много значения;
(P.2)стриктно нараства при , стриктно намалява при , е постоянен при ;
(P.3) ;
(P.3*) ;
(P.4) ;
(P.5) ;
(P.6) ;
(P.7) ;
(P.8)непрекъснато за всички;
(P.9)в ;
при .

Логаритъм

Логаритмична функция, или логаритъм, y = дървена брадва, с основа ае обратната на експоненциалната функция с основа а.

Теорема. Свойства на логаритъма
Логаритмична функция с основа a, y = лог a x, има следните свойства:
(L.1)дефинирани и непрекъснати, за и , за положителни стойности на аргумента;
(L.2)има много значения;
(L.3)строго нараства като , строго намалява като ;
(L.4)в ;
в ;
(L.5) ;
(L.6)в ;
(L.7)в ;
(L.8)в ;
(L.9)при .

Експонента и натурален логаритъм

В дефинициите на експоненциалната функция и логаритъма се появява константа, която се нарича основа на степента или основа на логаритъма. В математическия анализ в по-голямата част от случаите се получават по-прости изчисления, ако числото e се използва като основа:
.
Експоненциална функция с основа e се нарича експонента: , а логаритъм с основа e се нарича натурален логаритъм: .

На страниците са представени свойствата на степента и натуралния логаритъм
"Експонента, e на степен x",
„Натурален логаритъм, функция ln x“

Силова функция

Степенна функция с показател pе функцията f (x) = x p, чиято стойност в точка x е равна на стойността на експоненциалната функция с основа x в точка p.
В допълнение, f (0) = 0 p = 0за p > 0 .

Тук ще разгледаме свойствата на степенната функция y = x p за неотрицателни стойности на аргумента. За рационални числа, за нечетно m, степенната функция също е дефинирана за отрицателно x. В този случай неговите свойства могат да бъдат получени с помощта на четно или нечетно.
Тези случаи са разгледани подробно и илюстрирани на страницата „Степенна функция, нейните свойства и графики“.

Теорема. Свойства на степенната функция (x ≥ 0)
Степенна функция, y = x p, с показател p има следните свойства:
(C.1)определени и непрекъснати на множеството
в ,
при ".

Тригонометрични функции

Теорема за непрекъснатостта на тригонометричните функции
Тригонометрични функции: синус ( грях х), косинус ( cos x), допирателна ( tg x) и котангенс ( ctg x

Теорема за непрекъснатостта на обратните тригонометрични функции
Обратни тригонометрични функции: арксинус ( arcsin x), аркосинус ( arccos x), арктангенс ( арктан х) и аркутангенса ( arcctg x), са непрекъснати в своите области на дефиниция.

Препратки:
О.И. Бесов. Лекции по математически анализ. Част 1. Москва, 2004 г.
Л.Д. Кудрявцев. Курс по математически анализ. Том 1. Москва, 2003 г.
СМ. Николски. Курс по математически анализ. Том 1. Москва, 1983 г.

Вижте също:

Определение.Нека функцията y = f(x) е дефинирана в точката x0 и някои от нейните околности. Извиква се функцията y = f(x). непрекъсната в точка x0, ако:

1. съществува
2. тази граница е равна на стойността на функцията в точка x0:

При дефинирането на границата беше подчертано, че f(x) не може да бъде дефинирана в точката x0, а ако е дефинирана в тази точка, тогава стойността на f(x0) не участва по никакъв начин в определянето на границата. При определяне на непрекъснатостта е от основно значение, че f(x0) съществува и тази стойност трябва да бъде равна на lim f(x).

Определение.Нека функцията y = f(x) е дефинирана в точката x0 и някои от нейните околности. Функция f(x) се нарича непрекъсната в точка x0, ако за всички ε>0 има положително число δ, такова че за всички x в δ-околността на точката x0 (т.е. |x-x0|
Тук се взема предвид, че стойността на границата трябва да бъде равна на f(x0), следователно, в сравнение с дефиницията на границата, условието за пробиване на δ-околността 0 се премахва
Нека дадем още едно (еквивалентно на предишното) определение по отношение на нарастванията. Нека означим Δх = x - x0, ще наречем тази стойност увеличение на аргумента. Тъй като x->x0, тогава Δx->0, т.е. Δx - b.m. (безкрайно малко) количество. Нека означим Δу = f(x)-f(x0), ще наречем тази стойност нарастване на функцията, тъй като |Δу| трябва да бъде (при достатъчно малко |Δх|) по-малко от произволно число ε>0, тогава Δу- също е б.м. стойност, следователно

Определение.Нека функцията y = f(x) е дефинирана в точката x0 и някои от нейните околности. Извиква се функцията f(x). непрекъсната в точка x0, ако безкрайно малко увеличение в аргумента съответства на безкрайно малко увеличение във функцията.

Определение.Функцията f(x), която не е непрекъсната в точката x0, наречен прекъснатв този момент.

Определение.Функция f(x) се нарича непрекъсната в множество X, ако е непрекъсната във всяка точка от това множество.

Теорема за непрекъснатостта на сбор, произведение, частно

Теорема за пределно преминаване под знака на непрекъсната функция

Теорема за непрекъснатостта на суперпозицията на непрекъснати функции

Нека функцията f(x) е дефинирана на интервал и е монотонна на този интервал. Тогава f(x) може да има само точки на прекъсване от първи вид на този сегмент.

Теорема за междинна стойност.Ако функцията f(x) е непрекъсната на сегмент и в две точки a и b (a е по-малко от b) приема неравни стойности A = f(a) ≠ B = f(b), тогава за всяко число C лежаща между A и B, има точка c ∈, в която стойността на функцията е равна на C: f(c) = C.

Теорема за ограничеността на непрекъсната функция на интервал.Ако функция f(x) е непрекъсната на интервал, тогава тя е ограничена на този интервал.

Теорема за достигане на минимални и максимални стойности.Ако функцията f(x) е непрекъсната на интервал, тогава тя достига своите долна и горна граница на този интервал.

Теорема за непрекъснатостта на обратната функция.Нека функцията y=f(x) е непрекъсната и строго нарастваща (намаляваща) на интервала [a,b]. Тогава на сегмента съществува обратна функция x = g(y), също монотонно нарастваща (намаляваща) на и непрекъсната.

Дадено е определение за непрекъснатост на функция в точка. Разглеждат се еквивалентни дефиниции по Хайне, по Коши и по отношение на инкременти. Определяне на едностранна непрекъснатост в краищата на сегмент. Формулиране на липсата на приемственост. Анализират се примери, в които е необходимо да се докаже непрекъснатостта на функция с помощта на дефинициите на Хайне и Коши.

Съдържание

Вижте също: Предел на функция – определения, теореми и свойства

Непрекъснатост в точка

Определяне на непрекъснатостта на функция в точка
Функция f (х)Наречен непрекъснато в точка х 0 квартал У (x0)тази точка и ако границата като x клони към x 0 съществува и е равна на стойността на функцията при x 0 :
.

Това означава, че x 0 - това е крайната точка. Стойността на функцията в него може да бъде само крайно число.

Определение за непрекъснатост вдясно (вляво)
Функция f (х)Наречен непрекъснато отдясно (вляво) в точка х 0 , ако е дефиниран в някаква дясна (лява) околност на тази точка и ако дясната (лявата) граница в точката x 0 равна на стойността на функцията при x 0 :
.

Примери

Пример 1

Използвайки дефинициите на Хайне и Коши, докажете, че функцията е непрекъсната за всички x.

Нека има произволно число. Нека докажем, че дадената функция е непрекъсната в точката. Функцията е дефинирана за всички x. Следователно, той е дефиниран в точка и във всеки от нейните околности.

Ние използваме определението на Хайне

Да използваме. Нека има произволна последователност, сходна към : . Прилагайки свойството на границата на продукт от последователности, имаме:
.
Тъй като има произволна последователност, сходна към , тогава
.
Приемствеността е доказана.

Използваме определението на Коши

Да използваме.
Да разгледаме случая. Имаме право да разгледаме функцията във всяка околност на точката. Затова ще приемем, че
(A1.1) .

Нека приложим формулата:
.
Като вземем предвид (A1.1), правим следната оценка:

;
(A1.2) .

Прилагайки (A1.2), оценяваме абсолютната стойност на разликата:
;
(A1.3) .
.
Съгласно свойствата на неравенствата, ако (A1.3) е изпълнено, ако и ако , тогава .

.

Сега нека да разгледаме точката. В такъв случай
.
.

.
Това означава, че функцията е непрекъсната в точката.

По подобен начин може да се докаже, че функцията , където n е естествено число, е непрекъсната по цялата реална ос.

Пример 2

Използвайки докажете, че функцията е непрекъсната за всички .

Дадената функция е дефинирана в . Нека докажем, че е непрекъснат в точката.

Да разгледаме случая.
Имаме право да разгледаме функцията във всяка околност на точката. Затова ще приемем, че
(A2.1) .

Нека приложим формулата:
(A2.2) .
Нека го поставим. Тогава
.

Като вземем предвид (A2.1), правим следната оценка:


.
Така,
.

Прилагайки това неравенство и използвайки (A2.2), оценяваме разликата:

.
Така,
(A2.3) .

Въвеждаме положителни числа и , като ги свързваме със следните отношения:
.
Съгласно свойствата на неравенствата, ако (A2.3) е изпълнено, ако и ако , тогава .

Това означава, че за всяко положително винаги има . Тогава за всички x, които удовлетворяват неравенството, автоматично се изпълнява следното неравенство:
.
Това означава, че функцията е непрекъсната в точката.

Сега нека да разгледаме точката. Трябва да покажем, че дадената функция е непрекъсната в тази точка отдясно. В такъв случай
.
Въведете положителни числа и:
.

Това показва, че за всеки позитив винаги има . Тогава за всички x такива, че , следва следното неравенство:
.
Означава, че . Тоест функцията е непрекъсната отдясно в точката.

По подобен начин може да се докаже, че функцията , където n е естествено число, е непрекъсната за .

Препратки:
О.И. Бесов. Лекции по математически анализ. Част 1. Москва, 2004 г.
Л.Д. Кудрявцев. Курс по математически анализ. Том 1. Москва, 2003 г.
СМ. Николски. Курс по математически анализ. Том 1. Москва, 1983 г.

Вижте също: