За да видите този PDF файл с форматиране и маркиране, изтеглете го и го отворете на вашия компютър.
Министерство на образованието на Оренбургска област
Държавна автономна професионална образователна институция
"Орски машиностроителен колеж"
Орск, Оренбургска област
Проучване
математика
«
МАТЕМАТИКА БЕЗ
ФОРМУЛИ, УРАВНЕНИЯ И
НЕРАВЕНСТВА
»
Подготвени
:
Торик Екатерина
,
група ученик
15LP
Ръководител:
Марченко О.В.
.,
учител по математика
матики
Математика
–
това е специален свят, в който формулите играят водеща роля,
символи и геометрични обекти. В изследванията
На работа решихме
разберете какво се случва, ако премахнете формули, уравнения и
неравенство?
Уместността на това изследване е, че
от година на година
Загубен интерес към математиката. Те не обичат математиката, особено защото
-
за формули.
В това
В нашата работа искаме не само да покажем красотата на математиката, но и
преодоляване на възникващите идеи за „сухота“ в съзнанието на учениците,
формален характер, изолация на тази наука от живота и практиката.
Цел на работата: да се докаже, че математиката ще остане пълна
напреднала наука, с
това е интересно и многостранно, ако премахнете формули, уравнения и
неравенства.
Цели на работата:
покажи този математик
А
без формули, уравнения и
неравенства
е пълна наука
; проведе анкета
и двете
ча
Ю
работещ; проучване
информационен
електронни източници; запознайте се с основните решения
логически проблеми.
Ако приемем, че математическите формули
-
просто удобен език
да представи идеите и методите на математиката, тогава самите тези идеи могат да бъдат описани,
използвайки познати и визуални образи от
околния живот.
Обект на нашето изследване бяха методи за решаване на математически
задачи без формули, уравнения и неравенства.
Нашите студенти бяха помолени да отговорят на въпроса: какво
какво ще се случи с математиката, ако формули, уравнения и други
равенство?
като изберете един отговор от следните опции:
а) цифрите, цифрите, буквите ще останат б) ще остане само теорията
в) теоремите и доказателствата ще останат г) графиките ще останат
д) математиката ще стане литература ж) нищо няма да остане
Резултатите от това
проучването показа, че по-голямата част от студентите са уверени без
формули, уравнения и неравенства, математиката ще стане литература. Ние решихме
опровергайте това мнение. Без формули, уравнения и неравенства по математика, в
на първо място ще има логически задачи, които
e най-често представляват
повечето задачи на олимпиадата по математика. Разнообразие от логика
задачите са много големи. Има и много начини за разрешаването им. Но най-великият
Широко разпространение са получили: методът на разсъжденията, методът на таблиците, методът
графики, кръгове Хей
Лера, блоков метод
-
схеми
Метод на разсъждение
най-примитивен начин. По този начин
най-простите логически задачи се решават. Идеята му е, че ние
извършете разсъждения, като използвате последователно всички условия на проблема и
стигаме до извода, че
ще бъде отговорът на проблема.
По този начин
обикновено решават прости логически задачи.
Основната техника, която се използва при решаване на текстова логика
задачи е
строителни маси
. Таблиците не само ви позволяват да визуализирате
настоящо състояние h
проблеми или нейния отговор, но помагат много
правят правилни логически заключения при решаване на проблем.
Графичен метод.
Графика
-
това е колекция от обекти с връзки между тях.
Обектите са представени като върхове или възли на графика (те са означени
Че
очила) и връзки
-
като дъги или ребра. Ако връзката е еднопосочна
обозначени на диаграмата с линии със стрелки, ако връзката между обектите
двустранно е обозначено на диаграмата с линии без стрелки.
Метод на кръга на Ойлер.
При решаването се използват диаграми на Ойлер
голяма група логически задачи. Условно всички тези задачи могат да бъдат разделени на три
Тип. В задачите от първия тип е необходимо символично да се изразят мн
жестове,
защриховани върху диаграмите на Ойлер с помощта на знака
ki на операциите на пресичане,
комбинации и добавки.
В задачи от втори тип, диаграми на Ойлер
се използват за анализ на ситуации, свързани с дефинирането на клас. Трети тип
проблеми, за които се използват диаграми на Ойлер,
-
задачи за
логическа сметка.
Блоков метод
-
схеми
.
Този тип логическо решаване на проблеми
включени в курса
обучение на ученици от общообразователни институции на курс по компютърни науки.
Програмиране на езика
Паскал
.
В допълнение към логическите задачи по математика,
теория за решаване просто
математически проблеми, трябва да правите абсурдни неща, които надхвърлят
ра
ограниченията на нашата логика, нашето мислене.
Абсурд
–
по математика и логика,
означава какво
-
тогава елементът няма значение в рамките на даденото
теории,
системи или
полета, принципно несъвместими с тях, въпреки че елемент
което е абсурдно в тази система
може да има смисъл по друг начин.
В математиката софизмите (умение, умение) се класифицират в отделна група.
-
сложно заключение, което все пак при повърхностен преглед
изглежда правилно.
Без формули в математиката може да възникне ситуация, в която
другият може
съществува в действителност, но няма логично обяснение. Такава ситуация
наречен парадокс. Появата на парадокси не е нещо
-
Че
неправилно, неочаквано, случайно в историята на развитието на науката
мислене. Появата им се сигнализира
говори за необходимостта от ревизия на предишните
теоретични идеи, извеждане на по-адекватни концепции, принципи
и изследователски методи.
Светът на наука като математиката не се ограничава само до решаване
специален тип задачи. Освен всички трудности,
има нещо красиво и интересно,
понякога дори смешно. Математическият хумор, както и математическият свят,
изтънчен и специален.
Така без формули, уравнения и неравенства ще остане математиката
пълноценна наука, същевременно интересна и многостранна.
Библиографски списък.
Агафонова, И. Г. Учим се да мислим: занимателни логически задачи,
тестове и упражнения за деца. Урок [Tex] /
И. Г. Агафонова
Санкт Петербург
IKF MiM
–
експрес, 1996г.
–
Балаян Е.Н. 1001 олимпиадни и занимателни задачи
и от
математика
[текс]
/ Е.Н. Балаян.
-
3
-
д изд.
-
Ростов н/д: Феникс, 2008.
-
Фарков, А. В. Математически олимпиади в училище. 5
-
11 клас.
[Tex]/
А. В. Фърков.
-
8
-
д изд., рев. и допълнителни
-
М.: Ирис
-
преса, 2009 г.
-
http://www.arhimedes.org/
Турнир на името на М. В. Ломоносова (Москва)
http://olympiads.mccme.ru/turlom/
Прикачени файлове
Внимание ученици! Курсовата работа се изпълнява самостоятелно в строго съответствие с избраната тема. Не се допускат дублиращи се теми! Моля, уведомете преподавателя за избраната тема по всеки удобен начин, индивидуално или в списък, като посочите трите си имена, номер на група и заглавие на курсовата работа.
Примерни теми за курсова работа по дисциплината
"Математическа логика"
1. Резолюционният метод и приложението му в пропозиционалната алгебра и алгебрата на предикатите.
2. Аксиоматични системи.
3. Минимални и най-къси CNF и DNF.
4. Приложение на методите на математическата логика в теорията на формалните езици.
5. Формалните граматики като логически изчисления.
6. Методи за решаване на текстови логически задачи.
7. Системи за логическо програмиране.
8. Логическа игра.
9. Неразрешимост на логика от първи ред.
10. Нестандартни модели на аритметика.
11. Метод на диагонализация в математическата логика.
12. Машини на Тюринг и тезата на Чърч.
13. Изчислимост на абак и рекурсивни функции.
14. Представимост на рекурсивни функции и отрицателни резултати на математическата логика.
15. Разрешимост на събирателната аритметика.
16. Логика от втори ред и определимост в аритметиката.
17. Методът на ултрапроизведенията в теорията на моделите.
18. Теорема на Гьодел за непълнотата на формалната аритметика.
19. Разрешими и неразрешими аксиоматични теории.
20. Интерполационна лема на Крейг и нейните приложения.
21. Най-простите преобразуватели на информация.
22. Комутационни вериги.
24. Контактни структури.
25. Приложение на булеви функции към релейни контактни вериги.
26. Приложение на булеви функции в теорията на разпознаването на образи.
27. Математическа логика и системи с изкуствен интелект.
Курсовата работа трябва да се състои от 2 части: теоретичното съдържание на темата и набор от задачи по темата (най-малко 10) с решения. Разрешено е също така да се напише курсова работа от изследователски тип, като се замени втората част (решаване на проблеми) с независима разработка (например работещ алгоритъм, програма, образец и т.н.), създадена въз основа на обсъждания теоретичен материал в първата част на творбата.
1) Barwise J. (ред.) Справочник по математическа логика. - М.: Наука, 1982.
2) Братя на езиците за програмиране. - М.: Наука, 1975.
3) Boulos J., изчислимост и логика. - М.: Мир, 1994.
4) Хиндикинова логика в задачите. - М., 1972.
5), логиката на Палютин. - М.: Наука, 1979.
6) Разрешимост на Ершов и конструктивни модели. - М.: Наука, 1980.
7), Теория на Тайтслин // УМН, 1965, 20, № 4, с. 37-108.
8) Игошин - семинар по математическа логика. - М.: Образование, 1986.
9) Логика и теория на алгоритмите на Игошин. - Саратов: Издателство Сарат. университет, 1991.
10) В Ц., използвайки Turbo Prolog. - М.: Мир, 1993.
11) въведение в метаматематиката. - М., 1957.
12) атематична логика. - М.: Мир, 1973.
13) логика при решаване на проблеми. - М.: Наука, 1990.
14) Логиката на Колмогоров: учебник по математика за университетите. специалности /, - М.: Издателство URSS, 2004. - 238 с.
15) история с възли / Прев. от английски - М., 1973.
16) логическа игра / Прев. от английски - М., 1991.
17), Максимов по теория на множествата, математическа логика и теория на алгоритмите. - 4-то изд. - М., 2001.
18), Сукачева логика. Лекционен курс. Практически проблемник и решения: Учебно ръководство. 3-то издание, рев. - Санкт Петербург.
19) Издателство "Лан", 2008. - 288 с.
20) Лискова в компютърните науки / , . - М .: Лаборатория за основни знания, 2001. - 160 с.
21) Математическа логика / Под обща редакция и др. - Минск: Висше училище, 1991.
22) въведение в математическата логика. - М.: Наука, 1984.
23) Мощенски за математическата логика. - Минск, 1973.
24) Николская с математическата логика. - М.: Московски психологически и социален институт: Флинт, 1998. - 128 с.
25) Николская логика. - М., 1981.
26) Математическа логика на Новиков. - М.: Наука, 1973.
27) Теория на Рабин. В книгата: Справочник по математическа логика, част 3. Теория на рекурсията. - М.: Наука, 1982. - с. 77-111.
28) Тей А., Грибомон П. и др.. Логически подход към изкуствения интелект. Т. 1. - М.: Мир, 1990.
29) Тей А., Грибомон П. и др.. Логически подход към изкуствения интелект. Т. 2. - М.: Мир, 1998.
30) Чен Ч., Ли Р. Математическа логика и автоматично доказателство на теореми. - М.: Наука, 1983.
31) въведение в математическата логика. - М.: Мир, 1960.
32) Логиката на Шабунин. Пропозиционална логика и предикатна логика: учебник /, пред. изд. ; Чувашка държава Университет на името на . - Чебоксари: Чувашко издателство. университет, 2003. - 56 с.
Въведение. 3
1. Математическа логика (безсмислена логика) и логика на „здравия разум“ 4
2. Математически съждения и изводи. 6
3. Математическата логика и „здравият разум” през 21 век. единадесет
4. Неестествена логика в основите на математиката. 12
Заключение. 17
Препратки… 18
Разширяването на областта на логическите интереси е свързано с общите тенденции в развитието на научното познание. По този начин възникването на математическата логика в средата на 19 век е резултат от вековните стремежи на математиците и логиците да изградят универсален символен език, свободен от „недостатъците“ на естествения език (предимно неговата полисемия, т.е. полисемия) .
По-нататъшното развитие на логиката е свързано с комбинираното използване на класическата и математическата логика в приложните области. Некласическите логики (деонтична, релевантна, правна логика, логика за вземане на решения и др.) често се занимават с несигурността и размиването на изследваните обекти, с нелинейния характер на тяхното развитие. По този начин, когато се анализират доста сложни проблеми в системите с изкуствен интелект, възниква проблемът за синергията между различните видове разсъждения при решаването на един и същ проблем. Перспективите за развитие на логиката в съответствие с конвергенцията с компютърните науки са свързани със създаването на определена йерархия от възможни модели на разсъждение, включително разсъждения на естествен език, правдоподобни разсъждения и формализирани дедуктивни заключения. Това може да се реши с помощта на класическа, математическа и некласическа логика. Така че не говорим за различни „логики“, а за различни степени на формализиране на мисленето и „измерението“ на логическите значения (двузначна, многозначна и т.н. логика).
Идентифициране на основните направления на съвременната логика:
1. обща или класическа логика;
2. символна или математическа логика;
3. некласическа логика.
Математическата логика е доста неясно понятие, поради факта, че има и безкрайно много математически логики. Тук ще обсъдим някои от тях, като отдадем почит повече на традицията, отколкото на здравия разум. Защото, съвсем вероятно, това е здрав разум... Логично?
Математическата логика ви учи да разсъждавате логически не повече от всеки друг клон на математиката. Това се дължи на факта, че „логичността“ на разсъжденията в логиката се определя от самата логика и може да се използва правилно само в самата логика. В живота, когато мислим логически, като правило използваме различни логики и различни методи на логическо разсъждение, безсрамно смесвайки дедукция с индукция... Освен това в живота ние изграждаме нашите разсъждения въз основа на противоречиви предпоставки, например „Дон Не отлагай за утре това, което може да се направи днес“ и „Ще накараш хората да се смеят набързо“. Често се случва логично заключение, което не харесваме, да доведе до преразглеждане на първоначалните предпоставки (аксиоми).
Може би е дошло времето да кажем за логиката, може би най-важното: класическата логика не се занимава със смисъла. Нито здравословно, нито друго! За изучаване на здравия разум, между другото, има психиатрия. Но в психиатрията логиката е доста вредна.
Разбира се, когато разграничаваме логиката от разума, имаме предвид преди всичко класическата логика и всекидневното разбиране на здравия разум. В математиката няма забранени направления, затова изучаването на смисъла от логиката и обратно, под различни форми присъства в редица съвременни клонове на логическата наука.
(Последното изречение се получи добре, въпреки че няма да се опитвам да дефинирам термина „логическа наука“ дори приблизително). Значението или семантиката, ако желаете, се разглежда, например, от теорията на моделите. И като цяло терминът семантика често се заменя с термина интерпретация. И ако се съгласим с философите, че тълкуването (показването!) на един обект е разбирането му в даден аспект, то граничните сфери на математиката, с които може да се атакува смисълът в логиката, стават неразбираеми!
На практика теоретичното програмиране е принудено да се интересува от семантиката. И в него, освен просто семантика, има и операционна, и денотативна, и процесуална и т.н. и така нататък. семантика...
Нека споменем само апотеоза - ТЕОРИЯТА НА КАТЕГОРИИТЕ, която доведе семантиката до формален, неясен синтаксис, където значението вече е толкова просто - подредено на рафтове, че е напълно невъзможно за простосмъртния да стигне до дъното му ... Това е за елита.
И така, какво прави логиката? Поне в най-класическата му част? Логиката прави само това, което прави. (И тя определя това изключително строго). Основното в логиката е да я дефинирате стриктно! Задайте аксиоматиката. И тогава логичните заключения трябва да са (!) до голяма степен автоматични...
Разсъждението за тези заключения е друг въпрос! Но тези аргументи вече са извън границите на логиката! Следователно те изискват строг математически усет!
Може да изглежда, че това е обикновен вербален акт на балансиране. НЕ! Като пример за определена логическа (аксиоматична) система, нека вземем добре познатата игра 15. Нека зададем (смесим) първоначалното подреждане на квадратни чипове. Тогава играта (логичен завършек!), и по-специално движението на чипове към празно пространство, може да се управлява от някакво механично устройство и вие можете търпеливо да гледате и да се радвате, когато в резултат на възможни движения последователност от 1 до 15 Но никой не забранява да контролирате механичното устройство и да го подсказвате, ОСНОВАНИ НА ЗДРАВИЯ РАЗУМ, с правилните движения на чиповете, за да ускорите процеса. Или може би дори да докажете, като използвате за логически разсъждения, например, такъв клон на математиката като КОМБИНАТОРИКАТА, че при дадена първоначална подредба на чипове изобщо е невъзможно да се получи необходимата крайна комбинация!
Няма повече здрав разум в онази част от логиката, която се нарича ЛОГИЧЕСКА АЛГЕБРА. Тук се въвеждат ЛОГИЧЕСКИТЕ ОПЕРАЦИИ и се определят техните свойства. Както показа практиката, в някои случаи законите на тази алгебра могат да съответстват на логиката на живота, но в други не. Поради такова непостоянство законите на логиката не могат да се считат за закони от гледна точка на практиката на живота. Тяхното познаване и механично използване може не само да помогне, но и да навреди. Особено психолози и юристи. Ситуацията се усложнява от факта, че наред със законите на алгебрата на логиката, които понякога съответстват или не отговарят на житейските разсъждения, има логически закони, които някои логици категорично не признават. Това се отнася преди всичко за така наречените закони на ИЗКЛЮЧИТЕЛНОТО ТРЕТО и ПРОТИВОРЕЧИЕТО.
2. Математически съждения и изводи
В мисленето понятията не се появяват отделно, те са свързани помежду си по определен начин. Формата на връзката на понятията помежду си е преценка. Във всяко съждение се установява някаква връзка или някакво отношение между понятията и това потвърждава съществуването на връзка или отношение между обектите, обхванати от съответните понятия. Ако преценките правилно отразяват тези обективно съществуващи зависимости между нещата, тогава ние наричаме такива преценки истинни, в противен случай преценките ще бъдат неверни. Така например твърдението „всеки ромб е успоредник“ е вярно твърдение; твърдението „всеки успоредник е ромб“ е невярно твърдение.
По този начин преценката е форма на мислене, която отразява наличието или отсъствието на самия обект (наличието или отсъствието на някоя от неговите характеристики и връзки).
Да мислиш означава да правиш преценки. С помощта на съжденията мисълта и концепцията получават своето по-нататъшно развитие.
Тъй като всяко понятие отразява определен клас обекти, явления или връзки между тях, всяко съждение може да се разглежда като включване или невключване (частично или пълно) на едно понятие в класа на друго понятие. Например твърдението „всеки квадрат е ромб“ показва, че понятието „квадрат“ е включено в понятието „ромб“; твърдението „пресичащите се прави не са успоредни“ показва, че пресичащите се прави не принадлежат към множеството прави, наречени успоредни.
Съждението има своя собствена езикова обвивка - изречение, но не всяко изречение е съждение.
Характерна особеност на съждението е задължителното наличие на истина или неистинност в изречението, което го изразява.
Например, изречението „триъгълник ABC е равнобедрен“ изразява някаква преценка; изречението „Ще бъде ли ABC равнобедрен?“ не изразява преценка.
Всяка наука по същество представлява определена система от преценки за обектите, които са предмет на нейното изследване. Всяко от съжденията е формализирано под формата на определено предложение, изразено с термини и символи, присъщи на тази наука. Математиката също представлява определена система от преценки, изразени в математически изречения чрез математически или логически термини или съответните им символи. Математическите термини (или символи) означават тези понятия, които съставляват съдържанието на математическата теория, логическите термини (или символи) означават логически операции, с помощта на които други математически предложения се изграждат от някои математически предложения, от някои съждения се формират други съждения , чиято съвкупност съставлява математиката като наука.
Най-общо казано, съжденията се формират в мисленето по два основни начина: пряко и косвено. В първия случай резултатът от възприятието се изразява с помощта на преценка, например „тази фигура е кръг“. Във втория случай преценката възниква в резултат на специална умствена дейност, наречена умозаключение. Например, „множеството от дадени точки на една равнина е такова, че тяхното разстояние от една точка е еднакво; Това означава, че тази фигура е кръг.
В процеса на тази умствена дейност обикновено се извършва преход от едно или повече взаимосвързани съждения към ново съждение, което съдържа нови знания за обекта на изследване. Този преход е умозаключението, което представлява най-висшата форма на мислене.
И така, изводът е процес на получаване на ново заключение от едно или повече дадени съждения. Например диагоналът на успоредник го разделя на два еднакви триъгълника (първо твърдение).
Сборът от вътрешните ъгли на триъгълник е 2d (второ предложение).
Сборът от вътрешните ъгли на успоредник е равен на 4d (нов извод).
Познавателната стойност на математическите изводи е изключително голяма. Те разширяват границите на нашето познание за обекти и явления от реалния свят поради факта, че повечето математически твърдения са заключение от сравнително малък брой основни съждения, които се получават, като правило, чрез пряк опит и които отразяват нашите най-прости и най-общи знания за неговите обекти.
Изводът се различава (като форма на мислене) от понятията и преценките по това, че е логическа операция върху индивидуални мисли.
Не всяка комбинация от преценки помежду си представлява заключение: трябва да има определена логическа връзка между преценките, отразяваща обективната връзка, която съществува в действителност.
Например, не може да се направи заключение от предложенията „сумата от вътрешните ъгли на триъгълник е 2d“ и „2*2=4“.
Ясно е какво значение има способността да се конструират правилно различни математически изречения или да се правят изводи в процеса на разсъждение в системата на нашите математически знания. Говоримият език не е подходящ за изразяване на определени преценки, още по-малко за идентифициране на логическата структура на разсъжденията. Следователно е естествено, че е имало нужда от подобряване на езика, използван в процеса на разсъждение. Математическият (или по-скоро символичен) език се оказа най-подходящ за това. Специалната област на науката, възникнала през 19 век, математическата логика, не само напълно реши проблема за създаването на теория на математическото доказателство, но също така оказа голямо влияние върху развитието на математиката като цяло.
Формалната логика (възникнала в древността в трудовете на Аристотел) не се идентифицира с математическата логика (възникнала през 19 век в произведенията на английския математик Дж. Бул). Предметът на формалната логика е изучаването на законите на връзката на съжденията и понятията в изводите и правилата за доказателства. Математическата логика се различава от формалната логика по това, че въз основа на основните закони на формалната логика, тя изследва моделите на логически процеси, основани на използването на математически методи: „Логическите връзки, които съществуват между съждения, понятия и т.н., се изразяват в формули, тълкуването на които е свободно от двусмислия, които лесно биха могли да възникнат от словесния израз. По този начин математическата логика се характеризира с формализиране на логическите операции, по-пълно абстрахиране от конкретното съдържание на изреченията (изразяване на всяка преценка).
Нека илюстрираме това с един пример. Помислете за следното заключение: „Ако всички растения са червени и всички кучета са растения, тогава всички кучета са червени.“
Всяко от използваните тук преценки и преценката, която получихме в резултат на сдържано заключение, изглежда е явна глупост. Въпреки това, от гледна точка на математическата логика, тук имаме работа с истинско изречение, тъй като в математическата логика истинността или неистинността на едно заключение зависи само от истинността или неистинността на неговите съставни предпоставки, а не от тяхното конкретно съдържание. Следователно, ако едно от основните понятия на формалната логика е съждение, то аналогичното понятие на математическата логика е понятието твърдение-изявление, за което има смисъл само да се каже дали е вярно или невярно. Не трябва да се мисли, че всяко твърдение се характеризира с липса на „здрав разум“ в съдържанието си. Просто смисловата част от изречението, която съставлява това или онова твърдение, остава на заден план в математическата логика и е маловажна за логическата конструкция или анализ на това или онова заключение. (Въпреки че, разбира се, е от съществено значение за разбирането на съдържанието на това, което се обсъжда, когато се разглежда този въпрос.)
Ясно е, че в самата математика се разглеждат смислени твърдения. Установявайки различни връзки и отношения между понятията, математическите съждения утвърждават или отричат всякакви връзки между обекти и явления от действителността.
3. Математическата логика и „здравият разум” през 21 век.
Логиката е не само чисто математическа, но и философска наука. През 20 век тези две взаимосвързани хипостази на логиката се оказват разделени в различни посоки. От една страна, логиката се разбира като наука за законите на правилното мислене, а от друга страна, тя се представя като набор от слабо свързани изкуствени езици, които се наричат формални логически системи.
За мнозина е очевидно, че мисленето е сложен процес, с помощта на който се решават ежедневни, научни или философски проблеми и се раждат гениални идеи или фатални заблуди. Езикът се разбира от мнозина просто като средство, чрез което резултатите от мисленето могат да бъдат предадени на съвременниците или оставени на потомците. Но, свързвайки в съзнанието си мисленето с понятието „процес“, а езика с понятието „средство“, ние по същество преставаме да забелязваме неизменния факт, че в този случай „средството“ не е напълно подчинено на „процеса“. , но в зависимост от нашия целенасочен или несъзнателен избор на определени или словесни клишета оказва силно влияние върху хода и резултата от самия “процес”. Освен това има много случаи, когато подобно „обратно въздействие” се оказва не само пречка за правилното мислене, но понякога дори и негов разрушител.
От философска гледна точка задачата, поставена в рамките на логическия позитивизъм, никога не е била изпълнена. По-специално, в по-късните си изследвания, един от основателите на тази тенденция, Лудвиг Витгенщайн, стигна до извода, че естественият език не може да бъде реформиран в съответствие с програмата, разработена от позитивистите. Дори езикът на математиката като цяло устоя на мощния натиск на „логикализма“, въпреки че много термини и структури на езика, предложени от позитивистите, навлязоха в някои раздели на дискретната математика и значително ги допълниха. Популярността на логическия позитивизъм като философско направление през втората половина на 20-ти век спада значително - много философи стигат до извода, че отхвърлянето на много „нелогичности“ на естествения език, опитът да се притисне в рамките на основните принципи на логическия позитивизъм води до дехуманизация на процеса на познание и в същото време дехуманизация на човешката култура като цяло.
Много методи за разсъждение, използвани в естествения език, често са много трудни за недвусмислено картографиране в езика на математическата логика. В някои случаи такова картографиране води до значително изкривяване на същността на естествените разсъждения. И има основание да се смята, че тези проблеми са следствие от първоначалната методологическа позиция на аналитичната философия и позитивизма за нелогичността на естествения език и необходимостта от неговата радикална реформа. Самата оригинална методологическа постановка на позитивизма също не издържа на критика. Да се обвинява говоримият език в нелогичност е просто абсурдно. Всъщност нелогичността не характеризира самия език, а много потребители на този език, които просто не знаят или не искат да използват логиката и компенсират този недостатък с психологически или реторични техники за въздействие върху обществеността или в разсъжденията си използват като логика система, която се нарича логика само по неразбиране. В същото време има много хора, чиято реч се отличава с яснота и логика и тези качества не се определят от познаване или непознаване на основите на математическата логика.
В разсъжденията на онези, които могат да бъдат класифицирани като законодатели или последователи на формалния език на математическата логика, често се разкрива своеобразна „слепота“ по отношение на елементарни логически грешки. Един от големите математици, Анри Поанкаре, обърна внимание на тази слепота в основните трудове на Г. Кантор, Д. Хилберт, Б. Ръсел, Дж. Пеано и други в началото на нашия век.
Един пример за такъв нелогичен подход към разсъжденията е формулирането на известния парадокс на Ръсел, в който две чисто разнородни понятия „елемент“ и „множество“ са неразумно объркани. В много съвременни произведения по логика и математика, в които се забелязва влиянието на програмата на Хилберт, много твърдения, които са очевидно абсурдни от гледна точка на естествената логика, не са обяснени. Връзката между „елемент“ и „множество“ е най-простият пример от този вид. Много работи в тази посока твърдят, че определено множество (да го наречем A) може да бъде елемент на друго множество (да го наречем B).
Например в известен наръчник по математическа логика ще намерим следната фраза: „Самите множества могат да бъдат елементи на множества, така че например множеството от всички множества от цели числа има множества като свои елементи.“ Имайте предвид, че това изявление не е просто отказ от отговорност. Съдържа се като „скрита“ аксиома във формалната теория на множествата, която много експерти смятат за основата на съвременната математика, както и във формалната система, която математикът К. Гьодел изгражда, когато доказва известната си теорема за непълнотата на формалните системи. Тази теорема се отнася до доста тесен клас формални системи (те включват формална теория на множествата и формална аритметика), чиято логическа структура очевидно не съответства на логическата структура на естествените разсъждения и обосновка.
Повече от половин век обаче тя е обект на разгорещени дискусии между логици и философи в контекста на общата теория на познанието. При такова широко обобщение на тази теорема се оказва, че много елементарни понятия са фундаментално непознаваеми. Но с по-трезв подход се оказва, че теоремата на Гьодел само показва непоследователността на програмата за формално оправдаване на математиката, предложена от Д. Хилберт и възприета от много математици, логици и философи. По-широкият методологичен аспект на теоремата на Гьодел едва ли може да се счита за приемлив, докато не се отговори на следния въпрос: дали програмата на Хилберт за обосноваване на математиката е единствената възможна? За да разберем двусмислието на твърдението „множество A е елемент от множество B“, достатъчно е да зададем прост въпрос: „От какви елементи е образувано множество B в този случай?“ От гледна точка на естествената логика са възможни само две взаимно изключващи се обяснения. Обяснение едно. Елементите на множеството B са имената на някои множества и по-специално името или обозначението на множеството A. Например множеството от всички четни числа се съдържа като елемент в множеството от всички имена (или обозначения) на множества, отличаващи се по някои характеристики от множеството на всички цели числа. За да дадем по-ясен пример: множеството от всички жирафи се съдържа като елемент в множеството от всички известни животински видове. В по-широк контекст множеството B може също да се формира от концептуални дефиниции на множества или препратки към множества. Обяснение две. Елементите на множеството B са елементите на някои други множества и по-специално всички елементи на множеството A. Например всяко четно число е елемент от множеството на всички цели числа или всеки жираф е елемент от набор от всички животни. Но тогава се оказва, че и в двата случая изразът „множество A е елемент от множество B“ няма смисъл. В първия случай се оказва, че елементът на множеството B не е самото множество A, а неговото име (или обозначение, или препратка към него). В този случай имплицитно се установява връзка на еквивалентност между множеството и неговото обозначение, което е неприемливо нито от гледна точка на обикновения здрав разум, нито от гледна точка на математическата интуиция, която е несъвместима с прекомерния формализъм. Във втория случай се оказва, че множество A е включено в множество B, т.е. е негово подмножество, но не и елемент. Тук също има очевидна подмяна на понятията, тъй като отношението на включване на множества и отношението на принадлежност (като елемент от множество) в математиката имат коренно различни значения. Известният парадокс на Ръсел, който подкопа доверието на логиците в концепцията за множество, се основава на този абсурд - парадоксът се основава на двусмислената предпоставка, че едно множество може да бъде елемент от друго множество.
Възможно е и друго възможно обяснение. Нека множество A се дефинира чрез просто изброяване на неговите елементи, например A = (a, b). Множеството B от своя страна се определя чрез изброяване на някои набори, например B = ((a, b), (a, c)). В този случай изглежда очевидно, че елементът на B не е името на множеството A, а самото множество A. Но дори и в този случай елементите на множеството A не са елементи на множеството B, а множеството A тук се разглежда като неделима колекция, която може да бъде заменена с нейното име. Но ако считаме, че всички елементи на множествата, съдържащи се в него, са елементи на B, тогава в този случай множеството B ще бъде равно на множеството (a, b, c), а множеството A в този случай няма да бъде елемент от B, но негово подмножество. Така се оказва, че тази версия на обяснението, в зависимост от нашия избор, се свежда до изброените по-рано опции. А ако не се предложи избор, се получава елементарна неяснота, която често води до „необясними” парадокси.
Би било възможно да не се обръща специално внимание на тези терминологични нюанси, ако не беше едно обстоятелство. Оказва се, че много от парадоксите и несъответствията на съвременната логика и дискретната математика са пряко следствие или имитация на тази неяснота.
Например в съвременните математически разсъждения често се използва понятието „самоприложимост“, което е в основата на парадокса на Ръсел. Във формулировката на този парадокс самоприложимостта предполага съществуването на множества, които са елементи на себе си. Това твърдение веднага води до парадокс. Ако разгледаме множеството от всички „несамоприложими“ множества, се оказва, че то е едновременно „самоприложимо“ и „несамоприложимо“.
Математическата логика допринесе много за бързото развитие на информационните технологии през 20-ти век, но понятието „преценка“, което се появява в логиката още по времето на Аристотел и върху което като основа почива логическата основа на естествения език , изпадна от полезрението му. Подобен пропуск изобщо не допринесе за развитието на логическа култура в обществото и дори породи илюзията сред мнозина, че компютрите са способни да мислят не по-зле от самите хора. Мнозина дори не се смущават от факта, че на фона на общата компютъризация в навечерието на третото хилядолетие, логическите абсурди в самата наука (да не говорим за политиката, законотворчеството и псевдонауката) са дори по-често срещани, отколкото в края на 19 век. . И за да разберем същността на тези абсурди, няма нужда да се обръщаме към сложни математически структури с многоместни отношения и рекурсивни функции, които се използват в математическата логика. Оказва се, че за разбирането и анализирането на тези абсурди е напълно достатъчно да се приложи много по-проста математическа структура на съждението, която не само не противоречи на математическите основи на съвременната логика, но по някакъв начин ги допълва и разширява.
Библиография
1. Василиев Н. А. Въображаема логика. Избрани произведения. - М.: Наука. 1989 г.; - стр. 94-123.
2. Кулик Б.А. Основни принципи на философията на здравия разум (когнитивен аспект) // Новини за изкуствения интелект, 1996, № 3, стр. 7-92.
3. Кулик Б.А. Логически основи на здравия разум / Под редакцията на D.A. Поспелов. - Санкт Петербург, Политехника, 1997. 131 с.
4. Кулик Б.А. Логиката на здравия разум. - Здрав разум, 1997, № 1(5), с. 44 - 48.
5. Стяжкин Н. И. Формиране на математическата логика. М.: Наука, 1967.
6. Соловьов А. Дискретна математика без формули. 2001//http://soloviev.nevod.ru/2001/dm/index.html
Общинска образователна бюджетна институция -
СОУ No51
Оренбург.
Проект на:
учител по математика
Егорчева Виктория Андреевна
2017
Хипотеза : Ако теорията на графите се доближи до практиката, тогава могат да се получат най-полезните резултати.
Мишена: Запознайте се с понятието графики и научете как да ги прилагате при решаване на различни задачи.
Задачи:
1) Разширете знанията за методите за конструиране на графики.
2) Идентифицирайте видове проблеми, чието решение изисква използването на теория на графите.
3) Проучете използването на графики в математиката.
„Ойлер изчисли, без никакви видими усилия, как диша човек или как орелът се рее над земята.“
Доминик Араго.
аз Въведение. стр.
II . Главна част.
1. Понятието графика. Проблем с мостовете на Кьонигсберг. стр.
2. Свойства на графите. стр.
3. Проблеми с използване на теория на графите. стр.
Ш. Заключение.
Значението на графиките. стр.
IV. Библиография. стр.
аз . ВЪВЕДЕНИЕ
Теорията на графите е сравнително млада наука. „Графики“ има корена на гръцката дума „графо“, което означава „пиша“. Същият корен е в думите "графика", "биография".
В работата си разглеждам как теорията на графите се използва в различни области от живота на хората. Всеки учител по математика и почти всеки ученик знае колко е трудно да се решават геометрични задачи, както и текстови задачи по алгебра. След като проучих възможността за използване на теорията на графите в училищен курс по математика, стигнах до извода, че тази теория значително опростява разбирането и решаването на проблеми.
II . ГЛАВНА ЧАСТ.
1. Понятието графика.
Първата работа по теория на графите принадлежи на Леонхард Ойлер. Той се появява през 1736 г. в публикации на Академията на науките в Санкт Петербург и започва с разглеждане на проблема за мостовете на Кьонигсберг.
Вероятно знаете, че има такъв град като Калининград, който се е казвал Кьонигсберг. През града протича река Преголя. Разделен е на два клона и обикаля острова. През 17 век в града е имало седем моста, подредени както е показано на снимката.
Казват, че един ден жител на града попитал приятеля си дали може да премине през всички мостове, така че да посети всеки от тях само веднъж и да се върне на мястото, откъдето е започнала разходката. Много жители на града се заинтересуваха от този проблем, но никой не можа да предложи решение. Този въпрос привлече вниманието на учени от много страни. Известният математик Леонхард Ойлер успява да реши проблема. Леонхард Ойлер, родом от Базел, е роден на 15 април 1707 г. Научните постижения на Ойлер са огромни. Той оказва влияние върху развитието на почти всички клонове на математиката и механиката, както в областта на фундаменталните изследвания, така и в техните приложения. Леонхард Ойлер не само решава този специфичен проблем, но също така предлага общ метод за решаване на тези проблеми. Ойлер направи следното: той „компресира“ земята в точки и „опъна“ мостовете в линии. Резултатът е фигурата, показана на фигурата.
Такава фигура, състояща се от точки и прави, свързващи тези точки, се наричаброя. Точки A, B, C, D се наричат върхове на графа, а линиите, които свързват върховете, се наричат ръбове на графа. В чертеж на върхове B, C, D Излизат 3 ребра, а от врА - 5 ребра. Наричат се върхове, от които излизат нечетен брой ръбовенечетни върхове, и върховете, от които излизат четен брой ръбове, садори.
2. Свойства на графиката.
Докато решава проблема за мостовете на Кьонигсберг, Ойлер установява по-специално свойствата на графиката:
1. Ако всички върхове на графиката са четни, тогава можете да начертаете графика с един удар (тоест без да вдигате молива от хартията и без да рисувате два пъти по една и съща линия). В този случай движението може да започне от всеки връх и да завърши в същия връх.
2. Граф с два нечетни върха може да бъде начертан и с един щрих. Движението трябва да започне от всеки нечетен връх и да завърши в друг нечетен връх.
3. Граф с повече от два нечетни върха не може да бъде начертан с един щрих.
4. Броят на нечетните върхове в графа винаги е четен.
5. Ако графиката има нечетни върхове, тогава най-малкият брой щрихи, които могат да бъдат използвани за начертаване на графиката, ще бъде равен на половината от броя на нечетните върхове на тази графика.
Например, ако една фигура има четири нечетни числа, тогава тя може да бъде нарисувана с поне две черти.
В задачата за седемте моста на Кьонигсберг и четирите върха на съответния граф са нечетни, т.е. Не можете да преминете всички мостове веднъж и да завършите пътуването там, където е започнало.
3. Решаване на задачи с помощта на графики.
1. Задачи за рисуване на фигури с един удар.
Опитът да нарисувате всяка от следните фигури с един удар на писалката ще доведе до различни резултати.
Ако във фигурата няма нечетни точки, тя винаги може да бъде начертана с едно натискане на писалката, независимо откъде започвате да рисувате. Това са фигури 1 и 5.
Ако една фигура има само една двойка нечетни точки, тогава такава фигура може да бъде начертана с един удар, като започнете да рисувате от една от нечетните точки (няма значение коя). Лесно е да се разбере, че рисунката трябва да завърши на втората нечетна точка. Това са фигури 2, 3, 6. На фигура 6 например рисуването трябва да започне или от точка А, или от точка Б.
Ако една фигура има повече от една двойка нечетни точки, тогава тя изобщо не може да бъде начертана с един удар. Това са фигури 4 и 7, съдържащи две двойки нечетни точки. Казаното е достатъчно, за да се разпознае точно кои фигури не могат да бъдат нарисувани с един щрих и кои могат да бъдат нарисувани, както и от коя точка трябва да започне рисуването.
Предлагам да нарисувате следните фигури с един щрих.
2. Решаване на логически задачи.
ЗАДАЧА №1.
В класното първенство по тенис на маса участват 6: Андрей, Борис, Виктор, Галина, Дмитрий и Елена. Шампионатът се провежда по кръгова система – всеки участник играе по веднъж срещу всеки. Към днешна дата някои игри вече са изиграни: Андрей е играл с Борис, Галина, Елена; Борис - с Андрей, Галина; Виктор - с Галина, Дмитрий, Елена; Галина - с Андрей, Виктор и Борис. Колко игри са изиграни досега и колко остават?
РЕШЕНИЕ:
Нека изградим графика, както е показано на фигурата.
7 изиграни игри.
На тази фигура графиката има 8 ръба, така че остават 8 игри за игра.
ЗАДАЧА №2
В двора, който е ограден с висока ограда, има три къщи: червена, жълта и синя. Оградата има три врати: червена, жълта и синя. От червената къща начертайте пътека до червената порта, от жълтата къща до жълтата порта, от синята къща до синята, така че тези пътища да не се пресичат.
РЕШЕНИЕ:
Решението на проблема е показано на фигурата.
3. Решаване на текстови задачи.
За да разрешите проблеми с помощта на графичния метод, трябва да знаете следния алгоритъм:
1. За какъв процес говорим в задачата?2.Какви величини характеризират този процес?3.Каква е връзката между тези количества?4. Колко различни процеса са описани в задачата?5.Има ли връзка между елементите?
Отговаряйки на тези въпроси, анализираме състоянието на проблема и го записваме схематично.
Например . Автобусът е пътувал 2 часа със скорост 45 km/h и 3 часа със скорост 60 km/h. Какво разстояние измина автобусът за тези 5 часа?
С 
¹=90 km V ¹=45 km/h t ¹=2h
S=VT
S²=180 km V²=60 km/h t²=3 h
С ¹ + С ² = 90 + 180
Решение:
1) 45 х 2 = 90 (км) - автобусът е изминал за 2 часа.
2) 60 х 3 = 180 (км) - автобусът е изминал за 3 часа.
3)90 + 180 = 270 (км) - автобусът е изминал за 5 часа.
Отговор: 270 км.
III . ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
В резултат на работата по проекта научих, че Леонхард Ойлер е основателят на теорията на графите и решава проблеми с помощта на теорията на графите. За себе си заключих, че теорията на графите се използва в различни области на съвременната математика и нейните многобройни приложения. Няма съмнение относно полезността от запознаването на нас, учениците, с основните понятия на теорията на графите. Решаването на много математически задачи става по-лесно, ако можете да използвате графики. Представяне на данни V формата на графиката им дава яснота. Много доказателства също са опростени и стават по-убедителни, ако използвате графики. Това се отнася особено за такива области на математиката като математическата логика и комбинаториката.
По този начин изучаването на тази тема има голямо общообразователно, общокултурно и общоматематическо значение. В ежедневието все повече се използват графични илюстрации, геометрични изображения и други визуални техники и методи. За тази цел е полезно да се въведе изучаването на елементи от теорията на графите в началните и средните училища, поне в извънкласните дейности, тъй като тази тема не е включена в учебната програма по математика.
V . БИБЛИОГРАФИЯ:
2008 г
Преглед.
Проектът на тема „Графиките около нас“ е изпълнен от Никита Зайцев, ученик от 7 „А“ клас в Общинско учебно заведение № 3, Красни Кут.
Отличителна черта на работата на Никита Зайцев е нейната актуалност, практическа насоченост, дълбочина на покритие на темата и възможността за използването й в бъдеще.
Работата е творческа, под формата на информационен проект. Студентът избра тази тема, за да покаже връзката на теорията на графите с практиката, използвайки примера на маршрута на училищен автобус, за да покаже, че теорията на графите се използва в различни области на съвременната математика и нейните многобройни приложения, особено в икономиката, математическата логика и комбинаториката . Той показа, че решаването на проблеми е значително опростено, ако е възможно да се използват графики; представянето на данни под формата на графика им дава яснота; много доказателства също се опростяват и стават убедителни.
Работата разглежда въпроси като:
1. Понятието графика. Проблем с мостовете на Кьонигсберг.
2. Свойства на графите.
3. Проблеми с използване на теория на графите.
4. Значението на графиките.
5. Опция за маршрут на училищен автобус.
При изпълнение на работата си Н. Зайцев използва:
1. Алхова З.Н., Макеева А.В. "Извънкласна работа по математика."
2. Списание “Математиката в училище”. Приложение „Първи септември” № 13
2008 г
3. Я.И.Перелман “Занимателни задачи и експерименти.” - Москва: Образование, 2000г.
Работата е извършена компетентно, материалът отговаря на изискванията на тази тема, приложени са съответните чертежи.
Изпратете добрата си работа в базата знания е лесно. Използвайте формата по-долу
Студенти, докторанти, млади учени, които използват базата от знания в обучението и работата си, ще ви бъдат много благодарни.
публикувано на http://www.allbest.ru/
ДИПЛОМНА РАБОТА
Тема на дипломната работа
„Използване на елементи от математическата логика в часовете по математика в началното училище“
елементарна математическа логика
Въведение
Глава 1. Теоретични основи за изучаване на елементите на математическата логика в началното училище
1.1 Разбиране на логическата структура на математическите понятия и изречения
1.2 Изучаване на логиката като клон на математиката
1.3 Логически разсъждения
Изводи по глава 1
Глава 2. Използване на елементи от математическата логика в часовете по математика в началното училище
2.1 Използване на логически елементи в начален курс по математика
2.2 Психолого-педагогически основи за използване на елементи от математическата логика според учебния комплекс „Бъдещо начално училище“
2.3 Система от задачи, насочени към разработване на концепцията за „елементи на математическата логика“ сред учениците след завършване на основното училище
Заключения по глава 2
Заключение
Библиография
Приложения
Въведение
В момента страната активно търси начини за подобряване на математическото образование. Въз основа на Федералния държавен образователен стандарт на новото общо образование учениците от началното училище трябва да спазват изискванията за резултатите от усвояването на основната образователна програма за основно общо образование по предмета математика:
1) използват основни математически знания, за да опишат и обяснят околните обекти, процеси, явления, както и да оценят техните количествени и пространствени отношения;
2) овладяване на основите на логическото и алгоритмичното мислене, пространственото въображение и математическата реч, измерване, преизчисляване, оценка и оценка, визуално представяне на данни и процеси, записване и изпълнение на алгоритми;
3) да могат да извършват устни и писмени аритметични операции с числа и числови изрази, да решават текстови задачи, да могат да действат в съответствие с алгоритъм и да изграждат прости алгоритми, да изследват, разпознават и изобразяват геометрични фигури, да работят с таблици, диаграми, графики и диаграми, вериги, агрегати, представяне, анализиране и интерпретиране на данни.
Днес обучението по математика е част от системата на средното образование и същевременно своеобразен самостоятелен етап на обучение. Новото съдържание на обучението по математика е насочено главно към формирането на култура и независимост на мисленето на по-младите ученици, елементи на образователната дейност със средства и методи на математиката. По време на обучението децата трябва да научат общи методи на действие, като извършват поетапен контрол и самооценка на изпълнените дейности, за да установят съответствието на техните действия с планирания план.
Ето защо неслучайно в програмите по математика се обръща специално внимание на формирането на алгоритмични, логически и комбинаторни редове, които се развиват в процеса на изучаване на аритметичните, алгебричните и геометричните раздели на програмата.
В трудовете на математиците A.N. Колмогоров, А.И. Маркушевич А.С. Столяра, А.М. Пышкало, П.М. Erdnieva и други подчертават основните въпроси за подобряване на училищното обучение по математика, по-специално въпроси, свързани с укрепването на логическата основа на училищния курс, включително елементи на математическата логика в него.
През последното десетилетие, когато училището навлезе в процес на модернизация, на практика се въвеждат нови стандарти, технологии, методи и различни учебни помагала, въпросът за приемствеността в образованието между началното и основното ниво става най-важен. Наличието на набор от учебници е важен компонент на приемствеността между тези нива. Според А.А. Столяр „необходима е умствена, логическа програма, която трябва да се прилага в началните и средните класове на училището“.
Изследвания на психолози и учители V.V. Виготски, Л.В. Занков, В.В. Давидова, Н. М. Скаткина и други показват, че при определени условия е възможно да се постигне не само високо ниво на знания, умения и способности, но и общо развитие. В традиционното преподаване развитието се явява като желан, но далеч не предвидим продукт на обучението.
Според нас в психологическата и методическата литература проблемът за формирането на елементи на математическата логика у учениците се разглежда частично във връзка с обучението по математика в гимназията.
По този начин числовият набор, започвайки от първите класове на общообразователното училище, представлява лабораторията, в която е възможно по-ясно да се развият уменията за разсъждение на учениците, които са в основата на определянето на истинността или грешността на определен подход, конкретна формулировка на проблем. Възниква въпросът: „Подобна задача ли е основната цел на процеса на обучение по математика в училище и какъв дял от този проблем възниква в началното училище?“ Отговорът на този въпрос може да се получи само след задълбочен анализ на програмата и учебниците по математика за I-IV клас.
Неотложността на проблема е да се подобри съдържанието на обучението по математика в началните класове, за да се формират елементи на математическата логика в по-младите ученици.
Целта на изследванеторазглеждат изучаването на елементи от математическата логика в рамките на курса по математика при преподаване на математика в 1-4 клас и разработват образователни и методически средства за неговото прилагане.
Обект на изследване- процесът на изучаване на елементи от математическата логика при преподаване на уроци по математика в началното училище.
Вещ- методи и средства за формиране на елементи от математическата логика сред учениците в 1-4 клас.
Изследователска хипотезае, че е възможно да се организира процесът на обучение по математика, който, заедно с подготовката на математически знания и умения, ние съзнателно и систематично ще развиваме логически умения.
За постигане на целта и прилагане на хипотезата бяха идентифицирани следните: изследователски цели:
1. Дайте концепцията за логическата структура на математическите понятия и изречения;
2. Изучаване на логиката като наука и дял от математиката;
3. Разберете какво е логическо разсъждение и дайте неговите определения;
4. Анализира образователните стандарти, учебните програми и действащите учебници по математика от гледна точка на логическото развитие на учениците;
5. Да се идентифицират психологическите, педагогическите и методическите основи за формирането на елементи от математическата логика у децата в процеса на обучение по математика в началното училище;
6. Провеждане на експериментално проучване за проверка на ефективността на разработените методи в начална училищна среда.
Теоретичната и методологическа основа на изследването се състоеше от: основните принципи на диалектико-материалистическата философия и учението за личностно-активния подход към обучението, разработено на тяхна основа (A.S. Виготски, A.N. Леонтиев, S.L. Рубинщайн и др.); отправните точки на теорията на обучението за развитие (V.V. Davydov, L.V. Zankov, N.A. Menchinskaya, D.B. Elkonin, N.V. Yakimanskaya и др.); фундаментални идеи на методологичните математици (A.M. Pyshkalo, P.M. Erdniev).
Глава 1. Теоретични основи за изучаване на елементите на математическата логика в началното училище
1.1 Разбиране на логическата структура на математическите понятия и изречения
Когато изучавате математика в училище, е необходимо да овладеете определена система от понятия, твърдения и доказателства, но за да овладеете тази система и след това успешно да приложите придобитите знания и умения, преподавайки по-малки ученици и решавайки проблема с тяхното развитие с помощта на математика , трябва да разберете какви са характеристиките на математическите понятия, как те са структурирани дефиниции, изречения, изразяващи свойствата на понятията, и доказателства.
Учителят в началното училище се нуждае от такива знания, защото той е първият, който въвежда децата в света на математическите знания и отношението на детето към изучаването на математика в бъдеще зависи от това колко компетентно и успешно прави това.
Изучаването на този материал е свързано с овладяването на теоретико-множествения език, който ще се използва не само при разглеждане на логическата структура на математическите понятия, твърдения и доказателства, но и при конструирането на целия курс.
Концепциите, преподавани във въвеждащия курс по математика, обикновено се представят в четири групи. Първият включва понятия, свързани с числата и операциите с тях: число, събиране, член, по-голямо и др. Това включва алгебрични понятия: израз, равенство, уравнение и др. Третата група се състои от геометрични понятия: права, отсечка, триъгълник и др. Четвъртата група се състои от понятия, свързани с величини и тяхното измерване.
За да се изучава такова изобилие от много различни понятия, е необходимо да имате представа за понятието като логическа категория и характеристиките на математическите понятия.
В логиката понятията се разглеждат като форма на мислене, която отразява обекти (обекти или явления) в техните съществени и общи свойства. Езиковата форма на понятието е дума или група от думи.
Да мислиш за даден обект означава да можеш да го разграничиш от други подобни обекти. Математическите понятия имат редица характеристики. Основното е, че математическите обекти, по отношение на които се формират понятия, всъщност не съществуват. Всички математически обекти са създадени от човешкия ум. Идеален за обекти, които отразяват реални обекти или явления.
Например в геометрията те изучават формата и размера на обектите, без да вземат предвид други свойства: цвят, маса, твърдост и др. Те са разсеяни от всичко това, абстрахирани. Затова в геометрията вместо думата „обект” казват „геометрична фигура”.
Резултатът от абстракцията са математически понятия като "число" и "величина".
Като цяло математическите обекти съществуват само в човешкото мислене и в онези знаци и символи, които формират математическия език.
Изучавайки пространствените форми и количествените отношения на материалния свят, математиката не само използва различни техники за абстракция, но самата абстракция действа като многоетапен процес.
Появата в математиката на нови понятия и следователно на нови термини, обозначаващи тези понятия, предполага тяхното дефиниране.
Дефиницията обикновено е изречение, което обяснява същността на нов термин (или обозначение). По правило това се прави въз основа на предварително въведени понятия.
Тъй като определението на понятие чрез род и специфична разлика е по същество условно споразумение за въвеждане на нов термин или замяна на който и да е набор от известни термини, не може да се каже за определението дали е правилно или неправилно; не е нито доказано, нито опровергано. Но когато формулират определения, те се придържат към редица правила:
· Определянето трябва да бъде пропорционално. Това означава, че обемите на дефинираните и определящите понятия трябва да съвпадат. Това правило следва от факта, че дефинираните и определящите понятия са взаимозаменяеми;
· Не трябва да има порочен кръг в определението (или тяхната система). Това означава, че не можете да дефинирате едно понятие чрез самото него (дефиниращият термин не трябва да съдържа дефинирания термин) или да го дефинирате чрез друго, което на свой ред дефинира чрез него. Защото в математиката те разглеждат не само отделни понятия. И тяхната система, тогава това правило забранява порочния кръг в системата от дефиниции;
· Дефиницията трябва да е ясна. Това правило не е очевидно на пръв поглед, но означава много. На първо място, изисква се значението на термините, включени в дефиниращото понятие, да е известно до момента на въвеждане на дефиницията на новото понятие. Условията за яснота на дефиницията включват и препоръката в специфичната разлика да се включват само толкова свойства, колкото са необходими и достатъчни, за да се изолират дефинираните обекти от обхвата на родовото понятие.
При изучаване на математика в началното училище рядко се използват дефиниции чрез родово и видово разграничение. В началния курс по математика има много понятия.
При изучаването на математика в началното училище най-често се използват така наречените имплицитни определения. В тяхната структура е невъзможно да се разграничат детерминираното и детерминиращото. Сред тях се разграничават контекстуални и остензивни.
В контекстуалните определения съдържанието на ново понятие се разкрива чрез пасаж от текст, чрез контекст, чрез анализ на конкретна ситуация. Описване на смисъла на въведеното понятие. Чрез контекста се установява връзка между дефинираното понятие и други известни понятия и по този начин косвено се разкрива неговото съдържание. Пример за контекстуална дефиниция би била дефиницията на уравнение и неговото решение.
Остензивните определения са определения чрез демонстрация. Те се използват за въвеждане на термини чрез демонстриране на обектите, за които термините се отнасят. Например, по този начин понятията за равенство и неравенство могат да бъдат дефинирани в началното училище.
Изследването на реални процеси, математически описания, се използват като естествен словесен език и символно значение. Описанията са изградени с помощта на изречения. Но за да бъде математическото знание точно, адекватно отражение на реалността, която ни заобикаля, тези предложения трябва да са верни. Всяка математическа теза се характеризира със съдържание и логическа форма (структура), а съдържанието е неразривно свързано с формата и е невъзможно да се разбере първото, без да се разбере второто.
1) Числото 12 е четно;
Виждаме, че изреченията, използвани в математиката, могат да бъдат написани както на естествен (руски) език, така и на математически език, използвайки символи. За изречения 1,4,5 и 6 можем да кажем, че носят вярна информация, а за изречение 2 - невярна. Що се отнася до изречението x +5 = 8, обикновено е невъзможно да се каже дали е вярно или невярно. Разглеждането на изречение от гледна точка на вярно или невярно доведе до концепцията за твърдение.
1.2 Изучаване на логиката като дял от математиката
Логиката е една от най-древните науки. Понастоящем не е възможно да се установи точно кой, кога и къде за първи път се обърна към онези аспекти на мисленето, които съставляват предмет на логиката. Както посочва Ивин А.А. , някои от произхода на логическото учение могат да бъдат намерени в Индия, в края на 2-ро хилядолетие пр.н.е. ако обаче говорим за възникването на логиката като наука, тоест за повече или по-малко систематизирано съвкупност от знания, тогава би било справедливо да се счита за родното място на логиката великата цивилизация на Древна Гърция. Тук е било през 5-4 век пр.н.е. В периода на бързо развитие на демокрацията и свързаното с това безпрецедентно оживление на обществено-политическия живот, основите на тази наука са положени от трудовете на Демокрит, Платон и Сократ. Прародителят, „бащата” на логиката, с право се счита за най-великия мислител на древността. Ученик на Платон е Аристотел (384-322 г. пр. н. е.). Именно той в трудовете си, обединени под общото заглавие „Органон” (инструмент на познанието), за първи път задълбочено анализира и описва основните логически форми и правила на разсъжденията, а именно: формите на изводите от т.н. наречени категорични преценки - категоричният силогизъм („Първа аналитика“), формулира основните принципи на научните доказателства („Втора аналитика“), даде анализ на значението на определени видове твърдения („За тълкуването“) и очерта основните подходи към развитието на учението за понятията („Категории“). Аристотел също отделя сериозно внимание на разкриването на различни видове логически грешки и софистични техники в споровете („За софистичните опровержения“).
Логиката има дълга и богата история, неразривно свързана с историята на развитието на обществото като цяло.
Появата на логиката като теория е предшествана от практиката на мислене, датираща хиляди години назад. С развитието на трудовата, материалната и производствената дейност на хората постепенно се усъвършенстват и развиват техните мисловни способности, особено способността за абстракция и умозаключение. И това рано или късно, но неизбежно е трябвало да доведе до факта, че обект на изследване става самото мислене с неговите форми и закони.
Както посочва Ивин А.А. , историята показва, че индивидуалните логически проблеми са се появили пред човешкия ум преди повече от 2,5 хиляди години - първо в Древна Индия и Древен Китай. След това те получават по-пълно развитие в Древна Гърция и Рим. Само постепенно се оформя повече или по-малко стройна система от логически знания и се оформя независима наука.
Какви са причините за възникването на логиката? Ивин А.А. смята, че има две основни. Една от тях е възникването и първоначалното развитие на науките, особено на математиката. Този процес датира от 6 век. пр.н.е. и получава най-пълно развитие в Древна Гърция. Родена в борбата срещу митологията и религията, науката се основава на теоретично мислене, включващо изводи и доказателства. Оттук и необходимостта да се изследва природата на самото мислене като средство за познание.
Според Курбатов В.И. , логиката възниква преди всичко като опит да се идентифицират и обосноват онези изисквания, на които научното мислене трябва да отговаря, за да съответстват неговите резултати на реалността.
Друга, може би още по-важна причина е развитието на ораторското изкуство, включително съдебното изкуство, което процъфтява в условията на древногръцката демокрация. Най-големият римски оратор и учен Цицерон (106-43 г. пр. н. е.), говорейки за силата на оратора, собственик на „божествения дар“ на красноречието, подчертава: „Той може безопасно да остане дори сред въоръжени врагове, защитен не толкова от неговият персонал, колко според титлата му на говорител; той може със словото си да предизвика възмущението на своите съграждани и да свали наказание върху виновните за престъпление и измама и да спаси невинните от съд и наказание със силата на своя талант; той умее да мотивира страхливи и нерешителни хора към героизъм, умее да ги извежда от заблуда, умее да ги разпалва срещу негодници и да успокоява роптаещите срещу достойните хора; той знае как най-после с една дума може и да възбуди, и да успокои всякакви човешки страсти, когато обстоятелствата на случая го изискват.“
Според Ивин А.А., основателят на логиката - или, както понякога се казва, "бащата на логиката" - се смята за най-великият древногръцки философ и енциклопедист Аристотел (384-322 г. пр.н.е.). Трябва обаче да се има предвид, че първото доста подробно и систематично представяне на логически проблеми всъщност е дадено от по-ранния древногръцки философ и натуралист Демокрит (460 - приблизително 370 г. пр. н. е.). Сред многобройните му трудове беше обширен трактат в три книги „За логическото или за каноните“. Тук бяха разкрити не само същността на знанието, неговите основни форми и критерии за истинност, но също така беше показана огромната роля на логическото разсъждение в познанието и беше дадена класификация на съжденията. Някои видове инференциално познание бяха силно критикувани и беше направен опит за развитие на индуктивна логика - логиката на експерименталното познание. За съжаление този трактат на Демокрит, както и всички останали, не е достигнал до нас.
Нов, по-висок етап в развитието на логиката започва през 17 век. Този етап е органично свързан със създаването в неговите рамки, наред с дедуктивната логика, и на индуктивната логика. Той отразява разнообразните процеси на получаване на общи знания, базирани на все по-натрупан емпиричен материал. Необходимостта от получаване на такива знания е най-пълно осъзната и изразена в неговите трудове от изключителния английски философ и естествен учен Ф. Бейкън (1561-1626). Той става основател на индуктивната логика. „...логиката, която сега съществува, е безполезна за откриването на знания“, произнесе той суровата си присъда. Затова, сякаш в противовес на стария „Органон” на Аристотел, Бейкън пише „Новият органон...”, където очертава индуктивната логика. Той обръща основно внимание на разработването на индуктивни методи за определяне на причинно-следствената зависимост на явленията. Това е голямата заслуга на Бейкън. Обаче създадената от него доктрина за индукцията, по ирония на съдбата, се оказва не отричане на предишната логика. И неговото по-нататъшно обогатяване и развитие. Той допринесе за създаването на обобщена теория на извода. И това е естествено, тъй като, както ще бъде показано по-долу, индукцията и дедукцията не се изключват, а се предполагат взаимно и са в органично единство.
Руските учени направиха известен принос в развитието на традиционната формална логика. Така още в първите трактати по логика, започващи около 10в. бяха направени опити за независимо коментиране на трудовете на Аристотел и други учени. Оригиналните логически концепции в Русия са разработени през 18 век. и се свързват преди всичко с имената на М. Ломоносов (1711-1765) и А. Радищев (1749-1802). Разцветът на логическите изследвания у нас е в края на 19 век.
Грандиозен опит за разработване на цялостна система от нова диалектическа логика е направен от немския философ Г. Хегел (1770-1831). В своя фундаментален труд „Науката за логиката“ той на първо място разкрива фундаменталното противоречие между съществуващите логически теории и действителната практика на мислене, която по това време е достигнала значителни висоти.
Както отбелязва Курбатов V.I., Хегел преразглежда природата на мисленето, неговите закони и форми. В това отношение той стига до извода, че „диалектиката съставлява природата на самото мислене, че като разум то трябва да изпадне в самоотрицание, в противоречие“. Мислителят вижда задачата си в намирането на начин за разрешаване на тези противоречия. Хегел остро критикува старата, обикновена логика за връзката й с метафизичния метод на познанието. Но в тази критика той стигна толкова далеч, че отхвърли нейните принципи, основани на закона за тъждеството и закона за противоречието.
Ивин А.А. казва, че проблемите на диалектическата логика, нейната връзка с формалната логика са намерили по-нататъшна конкретизация и развитие в трудовете на немските философи и учени К. Маркс) 1818-1883) и Ф. Енгелс (1820-1895). Използвайки най-богатия интелектуален материал, натрупан от философията, естествените и социалните науки, те създадоха качествено нова, диалектико-материалистическа система, която беше въплътена в произведения като „Капиталът“ на К. Маркс, „Анти-Дюринг“ и „Диалектика на природата“. ” от Ф. Енгелс. От тези общофилософски позиции Маркс и Енгелс оценяват специалното „учение за мисленето и неговите закони” - логиката и диалектиката. Те не отричат значението на формалната логика, не я смятат за „глупост“, но подчертават нейния исторически характер. Така Енгелс отбеляза, че теоретичното мислене на всяка епоха е исторически продукт, който в различни времена приема много различни форми и в същото време много различно съдържание. „Следователно, науката за мисленето, както всяка друга наука, е историческа наука, наука за историческото развитие на човешкото мислене.
През последните десетилетия у нас бяха направени много плодотворни опити за системно представяне на диалектическата логика. Развитието върви в две основни посоки. От една страна, това е разкриването на моделите на отражение на развиващата се реалност в човешкото мислене, нейните обективни противоречия, а от друга страна, разкриването на моделите на развитие на самото мислене, неговата собствена диалектика.
В условията на научно-техническата революция, когато науките преминават към нови, по-дълбоки нива на познание и когато се увеличава ролята на диалектическото мислене, необходимостта от диалектическа логика все повече се засилва. Получава нови стимули за по-нататъшното си развитие.
Истинска революция в логическите изследвания предизвиква създаването през втората половина на 19 век на математическата логика, която се нарича още символна и бележи нов, модерен етап в развитието на логиката.
Началото на тази логика може да се проследи още при Аристотел, както и при неговите последователи, стоиците, под формата на елементи от логиката на предикатите и теорията за модалните изводи, както и пропозиционалната логика. Но системното развитие на проблемите му датира от много по-късно време.
Както отбелязва Ивин А.А., нарастващите успехи в развитието на математиката и навлизането на математическите методи в други науки още през втората половина на 17-ти век спешно повдигнаха два основни проблема. От една страна, това е използването на логиката за разработване на теоретичните основи на математиката, а от друга, математизирането на самата логика като наука. Най-задълбоченият и плодотворен опит за решаване на възникналите проблеми е направен от най-големия немски философ и математик Г. Лайбниц (1646-1416). Така той по същество става основател на математическата логика. Лайбниц мечтаеше за време, когато учените ще се занимават не с емпирични изследвания, а с смятане с молив в ръка. За тази цел той се опитва да изобрети универсален символен език, чрез който всяка емпирична наука може да бъде рационализирана. Новите знания, според него, ще бъдат резултат от логическо изчисление - смятане.
Според В. И. Курбатов, идеите на Лайбниц са получили известно развитие през 18 век и първата половина на 19 век. Но най-благоприятните условия за мощно развитие на символната логика възникват едва през втората половина на 19 век. По това време математизацията на науките постигна особено значителен напредък и в самата математика възникнаха нови фундаментални проблеми за нейното обосноваване. Английски учен, математик и логик Ж.П. Бул (1815-1864) прилага предимно математиката към логиката в своите произведения. Той направи математически анализ на теорията на изводите и разработи логическо смятане („булева алгебра“). Немският логик и математик Г. Фреге (1848-1925) прилага логиката в изучаването на математиката. Чрез разширеното смятане на предикатите той конструира формализирана аритметична система.
Така се откри нов, модерен етап в развитието на логическите изследвания. Може би най-важната отличителна черта на този етап е разработването и използването на нови методи за решаване на традиционни логически проблеми. Това е разработването и използването на изкуствен, т. нар. формализиран език - език на символите, т.е. азбучни и други знаци (оттук и най-разпространеното наименование на съвременната логика - „символично“).
Както посочва Ивин А.А. , има два вида логическо смятане: пропозиционално смятане и предикатно смятане. С първия се допуска абстрахиране от вътрешната, концептуална структура на съжденията, а с втория тази структура се отчита и съответно символният език се обогатява и допълва с нови знаци.
Значението на символните езици в логиката е трудно да се надцени. Г. Фреге го сравнява със значението на телескоп и микроскоп. А немският философ Г. Клаус (1912-1974) смята, че създаването на формализиран език има същото значение за технологията на логическото заключение, каквото има преходът от ръчен към машинен труд в сферата на производството. Възникнала на основата на традиционната формална логика, символната логика, от една страна, изяснява, задълбочава и обобщава предишните идеи за логическите закони и форми, особено в теорията на умозаключенията, а от друга страна, тя все повече разширява и обогатява логическите проблеми . Съвременната логика е сложна и високо развита система от знания. Той включва много посоки, отделни, относително независими „логики“, все по-пълно изразяващи нуждите на практиката и в крайна сметка отразяващи многообразието на сложността на околния свят, единството и разнообразието на мисленето за самия този свят.
Символната логика се използва все повече и в други науки - не само в математиката, но и във физиката, биологията, кибернетиката, икономиката и лингвистиката. Води до появата на нови клонове на знанието (математика). Особено впечатляваща и ясна е ролята на логиката в сферата на производството. Отваряйки възможността за автоматизиране на процеса на разсъждение, това прави възможно прехвърлянето на някои мисловни функции към технически устройства. Резултатите от него все повече се използват в техниката: при създаването на релейни контактни вериги, компютри, информационни логически системи и др. Според образния израз на един от учените, съвременната логика е не само „инструмент“ на точната мисъл, но и „мисъл“ на прецизен инструмент, електронен автомат. Постиженията на съвременната логика се използват и в правната сфера. Така в криминалистиката на различни етапи от изследването се извършва логическа и математическа обработка на събраната информация.
Нарастващите нужди на научно-техническия прогрес определят по-нататъшното интензивно развитие на съвременната логика.
Остава да се каже, че руските учени имат важен принос в развитието на системите на символната логика. Сред тях особено се откроява П. Порецки (1846-1907). Той е първият в Русия, който започва да чете лекции по математическа логика. Математическата логика продължава да се развива и днес.
Според В. И. Курбатов изучаването на математическата логика дисциплинира ума. Спомняйки си известната поговорка на М. В. Ломоносов за математиката, можем да кажем, че математическата логика, повече от всяка друга математическа наука, „подрежда ума“.
Езикът на всяка алгебра се състои от набор от знаци, наречен азбука на този език.
Знаците на азбуката, по аналогия със знаците на азбуката на естествения език, се наричат букви.
Естествено възниква въпросът: какви букви трябва да се съдържат в азбуката на езика на числовата алгебра?
На първо място, очевидно, трябва да имаме букви, за да обозначим елементите на едно множество - носител на алгебрата, в този случай за означаване на числа, и променливи за елементите на това множество.
Използвайки десетичната бройна система за обозначаване на числата, трябва да включим в азбуката на числовата алгебра десет букви, наречени числа: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, с помощта на които съгл. според определени правила, имената на всякакви числа.
Като числови променливи (променливи за числата на всяко от множеството N, N0, Z, Q или R) се използват букви от латинската азбука a, b, c, x, y, z или една от тези букви с индекс, за пример X1, X2, Xn.
Понякога буквите от латинската азбука се използват и като числови константи, тоест като имена на числа (когато говорим за конкретно, но няма значение кое конкретно число). В този случай началните букви на латинската азбука a, b, c обикновено се използват като константи, а последните букви x, y, z се използват като променливи.
Трябват ни и букви за представяне на операции. За събиране и умножение се използват съответно добре познатите знаци (букви) + и *.
В допълнение, ролята на препинателни знаци в езика на алгебрата се играе от скоби (лява и дясна).
По този начин азбуката на езика, на който е описана всяка числена алгебра, трябва да включва набор, състоящ се от четири класа букви: I - числа, от които са изградени имената на числата; II - букви от латинската азбука - числови променливи или константи; III - признаци на операция; IV -- скоби.
Знаците за изваждане (--) и деление (:) могат да бъдат въведени чрез дефиниции на съответните операции.
Постепенно азбуката на числовата алгебра се допълва с други „букви“, по-специално се въвеждат знаци за двоични отношения „равно“, „по-малко“, „по-голямо“.
Всички изброени знаци са включени в азбуката на математическия език, изкуствен език, възникнал във връзка с необходимостта от точни, кратки и недвусмислено разбираеми формулировки на математически закони, правила и доказателства.
Исторически символиката на математиката се създава през вековете с участието на много изключителни учени. Така се смята, че обозначаването на неизвестни количества с букви е използвано от Диофант (3 век), а широкото използване на главни букви от латинската азбука в алгебрата започва с Виета (16 век). малките букви на тази азбука са въведени за обозначаване от Р. Декарт (XVII век). знакът за равенство (=) се появява за първи път в трудовете на английския учен Р. Рекорд (XVI век), но става широко използван едва през XVIII век. Знаци за неравенство (< , >) се появяват в началото на 17 век, те са въведени от английския математик Гариот. И въпреки че знаците „=“, „>“, „<» появились не так давно, сами понятия равенства и неравенства возникли в глубокой древности .
Твърдението в математиката е изречение, за което въпросът е смислен: вярно ли е или невярно.
Могат да се правят различни преценки относно понятията и връзките между тях. Езиковата форма на съжденията е разказните изречения. Например. В основен курс по математика можете да намерите следните изречения:
1) Числото 12 е четно;
4) Числото 15 съдържа една десетица и 5 единици;
5) Продуктът не се променя от пренареждане на факторите;
6) Някои числа се делят на 3.
Виждаме, че изреченията, използвани в математиката, могат да бъдат написани както на естествен (руски) език, така и на математически език, използвайки символи. За изречения 1,4,5 и 6 можем да кажем, че носят вярна информация, а за изречение 2 - невярна. Що се отнася до изречението x +5 = 8, обикновено е невъзможно да се каже дали е вярно или невярно.
Ако са дадени твърдения A и B, тогава от тях могат да бъдат направени нови твърдения, като се използват свързващи елементи „и“, „или“, „ако ... тогава ...“, „или ... или ...“, „ако и само ако ако”, както и частицата „не”. Например, нека A означава твърдението „Сега е слънчево“, а B означава твърдението „Сега е ветровито“. Тогава твърдението „А и Б“ означава: „Сега е слънчево и ветровито“, твърдението „Ако не е А, значи не е Б“ означава „Ако сега не е слънчево, значи не духа“.
Такива твърдения се наричат съставни, а твърденията A и B, включени в тях, се наричат елементарни твърдения. Две съставни твърдения A и B се наричат еквивалентни, ако и двете са верни и в същото време неверни при каквито и да е предположения за истинността на елементарните твърдения, включени в тях. В този случай те пишат: A=B.
Още от първия урок по математика учениците от началното училище се сблъскват с твърдения, предимно верни. Те се запознават със следните твърдения: 2 > 1, 1< 2, 3 > 2, 2 + 1 = 3, 3 - 1= 2.
Ако A е някакво твърдение, тогава, като твърдим, че е невярно, получаваме ново твърдение, което се нарича отричане на твърдението A и се обозначава със символа B.
Така, ако дадено твърдение е вярно, то неговото отрицание е невярно и обратното. Това заключение може да бъде написано с помощта на таблица, в която "I" означава вярно твърдение, а "L" означава невярно. Таблици от този тип се наричат таблици на истината (вижте Приложение 2, Фиг. 1).
Нека A и B са две елементарни твърдения. Свързвайки ги със съюза „и“, получаваме ново твърдение, наречено съчетание данни изявления и е означено с A? Б. Запис А? B се чете: „A и B“.
По дефиниция връзката на две твърдения е вярна тогава и само ако и двете твърдения са верни. Ако поне един от тях е фалшив, тогава връзката е фалшива (вижте Приложение 2, Фиг. 2).
Помислете за твърдението „7 - 4 = 3 и 4 е четно число.“ Това е връзката на две твърдения: „7 - 4 = 3“ и „4 е четно число“. Тъй като и двете твърдения са верни, тогава тяхната конюнкция е вярна.
Ако във връзка А? Ако разменим изявления A и B, тогава получаваме конюнкция от формата B? A. От таблицата на истината става ясно, че формули A? Б и Б? И тъй като различните значения на твърдения A и B са или едновременно верни, или едновременно невярни.
Следователно те са еквивалентни и за всякакви твърдения A и B имаме: A? B = B? А
Тази нотация изразява комутативното свойство на връзката, което позволява членовете на връзката да бъдат разменени.
След като сте съставили таблици на истината за (A? B)? S и A? (B? C), получаваме, че за всякакви истинностни стойности на твърдения A, B, C, истинностните стойности на твърдения (A? B) ? S и A? (B? C) съвпадение.
Така, (A? B) ? C = A? (B? C).
Това равенство изразява асоциативното свойство на връзката. Такава връзка е вярна тогава и само ако всички твърдения, включени в нея, са верни.
Свързвайки две елементарни твърдения A и B със съюза „или“, получаваме ново твърдение, наречено дизюнкция данни изявления . Дизюнкцията на твърдения A и B се означава с A?B и се чете „A или B“. Една дизюнкция е невярна само ако и двете твърдения, от които е образувана, са неверни; във всички останали случаи дизюнкцията е вярна. Таблицата на истинността на дизюнкцията има формата (вижте Приложение 2, Фиг. 3).
За дизюнкция, както и за конюнкция, могат да бъдат посочени редица еквивалентности. За всяко A, B и C имаме:
А? B = B? A (комутативна дизюнкция);
(А? B) ? C = A? (B? C) (асоциативност на дизюнкция).
Асоциативното свойство на дизюнкцията ни позволява да пропуснем скобите и да напишем A? ВЪВ? C вместо (A? B) ? СЪС.
С помощта на таблици на истината е лесно да се установи това
(А? B) ? C = (A? C)? (B? C)
(А? B) ? C = (A? C)? (B?C)
Първото равенство изразява разпределителния закон на конюнкцията спрямо дизюнкцията, а второто равенство изразява разпределителния закон на дизюнкцията спрямо конюнкцията.
Операциите конюнкция, дизюнкция и отрицание са свързани чрез следните отношения, чиято валидност може да се установи с помощта на таблици на истинност:
Тези отношения се наричат формули на де Морган.
Нека разгледаме съставно твърдение, което се формира от две елементарни с помощта на думите „ако ... тогава ...“.
Нека например са дадени твърдения А: „Вчера беше неделя“ и Б: „Не бях на работа“. Тогава съставното твърдение „Ако вчера беше неделя, значи не бях на работа“ има формулата „Ако А, тогава Б“.
Извиква се твърдението „Ако А, то Б“. внушение на твърдения A, B и с помощта на символи се записват така: A => B. Твърдението A, включено в импликацията A => B, се нарича условие на импликацията, а твърдението B е нейното заключение.
Следователно таблицата на истината на импликацията „Ако A, тогава B“ изглежда така (вижте Приложение 2, Фиг. 4).
От две твърдения A и B можете да направите ново твърдение, което гласи така: „И ако и само ако B.“ Това твърдение се нарича еквивалентни твърдения A и B и означете: A B. Твърдение A B се счита за вярно, ако и двете твърдения A и B са верни или и двете твърдения A и B са неверни. В други случаи (т.е. ако едно твърдение е вярно, а другото е невярно), еквивалентността се счита за невярна. Така таблицата на истинност за еквивалентността на A и B има формата (вижте Приложение 2, Фиг. 5).
1.3 Логически разсъждения
Всяко разсъждение се състои от верига от твърдения, които следват едно от друго според определени правила. Способността да разсъждавате и правилно да обосновавате своите заключения е необходима за хора от всяка професия. Човек се учи да разсъждава от момента, в който започне да говори, но целенасоченото обучение по логиката на разсъжденията започва в училище. Още началният курс по математика предполага развитието на уменията на учениците да правят сравнения, да класифицират обекти, да анализират факти и да доказват най-простите твърдения. Логическите разсъждения са необходими не само за решаване на математически задачи, но и за граматически анализ, овладяване на принципите на естествената история и др. Следователно учителят в началното училище трябва да е запознат с логиката, т.е. с науката за законите и формите на мислене, за общите модели на разсъждение.
Основните видове съждения и изводи се разглеждат в класическата логика, създадена от древногръцкия философ Аристотел (384-322 г. пр. н. е.).
В логиката разсъжденията се разделят на:
1. правилен;
2. неправилно.
Правилно разсъждение е разсъждение, при което са спазени всички правила и закони на логиката. Неправилно разсъждение е разсъждение, при което са допуснати логически грешки поради нарушаване на правилата или законите на логиката.
Има два вида логически грешки:
1. паралогизми;
2. софистика.
Паралогизмите са логически грешки, които са направени неволно (поради незнание) в процесите на разсъждение.
Софизмите са логически грешки, които се допускат в процесите на разсъждение умишлено с цел да се подведе противника, да се оправдае невярно твърдение, какви ли не глупости и т.н.
Софизмите са известни от древността. Софистите широко използват подобни съображения в своята практика. Именно от тях идва името "софизъм".Множество примери за разсъждения, които софистите използват в различни спорове, са оцелели до наше време. Нека изброим някои от тях.
Най-известният древен софизъм е разсъждение, наречено „Рогата“.
Представете си ситуация: един човек иска да убеди друг, че има рога. Обосновката за това е дадена: „Това, което не си загубил, го имаш. Не си загубил рогата. Значи имаш рога."
На пръв поглед това мислене изглежда правилно. Но съдържа логическа грешка, която човек, който не разбира логиката, едва ли ще може веднага да открие.
Нека дадем друг пример. Протагор (основателят на школата на софистите) е ученик на Еватл. Учителят и ученикът сключват споразумение, според което Еватл ще плаща таксата за обучение едва след като спечели първото си дело. Но след като завърши обучението си, Еватл не бързаше да се яви в съда. Търпението на учителя се изчерпа и той заведе дело срещу своя ученик.„Във всеки случай Еватл ще трябва да ми плати“, помисли си Протагор. - Той или ще спечели този процес, или ще го загуби. Ако той спечели, плати според договореността; ако загуби, ще плати според присъдата на съда. — Нищо подобно — възрази Еватъл. - Наистина или ще спечеля процеса, или ще го загубя.
Ако спечеля, съдебното решение ще ме освободи от плащане, но ако загубя, няма да платя според нашето споразумение *.
В този пример има и логическа грешка. И кой точно - ще разберем по-нататък.
Основната задача на логиката е анализът на правилните съображения. Логиците се стремят да идентифицират и изследват модели на такива съображения, да определят различните им видове и т.н. Неправилните разсъждения в логиката се анализират само от гледна точка на допуснатите в тях грешки.
Трябва да се отбележи, че правилността на едно разсъждение не означава истинността на неговите предпоставки и заключение. Като цяло логиката не се занимава с определяне на истинността или неистинността на предпоставките и заключенията на съображенията. Но в логиката има такова правило: ако разглеждането е изградено правилно (в съответствие с правилата и законите на логиката) и в същото време се основава на истински предпоставки, тогава заключението на такова разсъждение винаги ще бъде безусловно вярно. В други случаи истинността на заключението не може да бъде гарантирана.
По този начин, ако едно разсъждение е изградено неправилно, тогава, дори въпреки факта, че неговите предпоставки са верни, заключението на такова разсъждение може да бъде вярно в един случай и невярно във втория.
Нека разгледаме например следните две съображения, които са изградени по една и съща неправилна схема:
(1) Логиката е наука.
Алхимията не е логика.
Алхимията не е наука.
(2) Логиката е наука.
Законът не е логика.
Правото не е наука.
Очевидно е, че в първото разсъждение заключението е вярно, но във второто е неправилно, въпреки че предпоставките и в двата случая са верни твърдения.
Също така е невъзможно да се гарантира истинността на заключението на аргумент, когато поне една от неговите предпоставки е неправилна, дори ако това разсъждение е правилно.
Правилното разсъждение е разсъждение, при което някои мисли (заключения) задължително следват от други мнения (предпоставки).
Пример за правилно разсъждение може да бъде следното заключение: „Всеки гражданин на Украйна трябва да признае нейната Конституция. Всички народни депутати на Украйна са граждани на Украйна. Така че всеки от тях трябва да признае конституцията на своята държава“, а пример за вярна мисъл е присъдата: „Има граждани на Украйна, които не признават поне някои членове от конституцията на своята държава“.
Следното разсъждение трябва да се счита за неправилно: „Тъй като икономическата криза в Украйна ясно се усеща след провъзгласяването на нейната независимост, последното е причината за тази криза.“ Този тип логическа грешка се нарича „след това - поради това“. Той се крие във факта, че времевата последователност на събитията в такива случаи се идентифицира с причинно-следствената връзка. Пример за невярно мнение може да бъде всяка позиция, която не отговаря на действителността, да речем твърдението, че украинската нация изобщо не съществува.
Целта на знанието е да се получи истинско знание. За да получите такова знание чрез разсъждение, трябва, първо, да имате верни предпоставки, и второ, да ги комбинирате правилно, да разсъждавате според законите на логиката. Когато използват фалшиви предпоставки, те допускат фактически грешки, а когато нарушават законите на логиката, правилата за конструиране на съображения, допускат логически грешки. Фактологичните грешки, разбира се, трябва да се избягват, което не винаги е възможно. Що се отнася до логическите, човек с висока интелектуална култура може да избегне тези грешки, тъй като основните закони на логически правилното мислене, правилата за конструиране на разсъждения и дори смислено типичните грешки в разсъжденията отдавна са формулирани.
Логиката ви учи да разсъждавате правилно, да избягвате логически грешки и да различавате правилните разсъждения от неправилните разсъждения. Той класифицира правилните съображения, за да ги разбере систематично. В този контекст може да възникне въпросът: след като има много съображения, възможно ли е, по думите на Козма Прутков, да обхванем безграничното? Да, възможно е, тъй като логиката учи човек да разсъждава, като се фокусира не върху конкретното съдържание на мислите, които са част от разсъждението, а върху схемата, структурата на разсъждението, формата на комбиниране на тези мисли. Да кажем форма на разсъждение като „Всяко x е y, а това z е x; Следователно даденото r е правилно и знанието за неговата коректност включва много по-богата информация от знанието за коректността на отделен смислен аргумент от подобна форма. И формата на разсъждение по схемата „Всяко x е y, и z също е y; следователно z е x" се отнася за неправилните. Точно както граматиката изучава формите на думите и техните комбинации в изречение, абстрахирайки се от конкретното съдържание на езиковите изрази, така и логиката изучава формите на мненията и техните комбинации, абстрахирайки се от конкретното съдържание на тези мисли.
За да се разкрие формата на една мисъл или съображение, тя трябва да бъде формализирана.
Изводи по глава 1
Въз основа на горното могат да се направят следните изводи:
1. Логиката възниква като клон на философското познание. Основните причини за възникването му са развитието на науките и ораторското изкуство. Тъй като науката се основава на теоретично мислене, което включва изграждането на заключения и доказателства, има нужда да се изучава самото мислене като форма на познание.
2. В съвременната наука значението на символната логика е много голямо. Намира приложение в кибернетиката, неврофизиологията и лингвистиката. Символната логика е съвременен етап в развитието на формалната логика. Той изучава процесите на разсъждение и доказване чрез представянето му в логически системи. Така по своя предмет тази наука е логиката, а по своя метод е математиката.
След като проучихме материалите, изяснихме идеите си за математическите понятия:
Това са концепции за идеални обекти;
Всяко математическо понятие има термин, обхват и съдържание;
На понятията се дават определения; те могат да бъдат явни или имплицитни. Имплицитните включват контекстуални и остензивни определения;
Обучението на концепции се извършва от клас в клас с разширено изследване на темата.
При изучаването на материала се запознахме с понятия, с помощта на които изяснихме значението на съюзите „и“, „или“, частицата „не“, думите „всеки“, „съществува“, „следователно“ и „еквивалентно“, използван в математиката. Това са понятията:
Изявление;
Елементарни твърдения;
Логически връзки;
Съставни изявления;
Конюнкция на твърдения;
Дизюнкция на твърдения;
Отричане на изявления.
Прегледа правилата:
Определяне на истинностната стойност на съставно твърдение;
Конструкции на отрицание на изречения с различни структури.
Глава 2. Използване на елементи от математическата логика в часовете по математика в началното училище
2.1 Използванеелементи на логиката в началния курс по математика
Математиката дава реални предпоставки за развитие на логическото мислене, задачата на учителя е да използва по-пълноценно тези възможности при обучението на децата по математика. Въпреки това, няма конкретна програма за развитие на техники за логическо мислене, която трябва да се формулира при изучаването на този предмет. В резултат на това работата по развитието на логическото мислене протича без познаване на системата от необходими техники, без познаване на тяхното съдържание и последователност на формиране.
Баракина В.Т. подчертава следните изисквания към знанията, уменията и способностите на учениците при изучаване на елементите на логиката в началното училище:
1. Елементи на теорията на множествата:
Запознават се с множества от различно естество, като използват конкретни примери и начини на записването им (чрез изброяване);
Научете се да идентифицирате елементи от набор;
Запознават се с основните видове връзки между множествата и начина им на представяне с помощта на окръжности на Ойлер-Вен;
Научете се да извършвате някои операции върху множества (обединение, пресичане).
2. Елементи на пропозиционалната теория:
Запознайте се с твърдението на ниво идеи;
Научете се да различавате твърдения от други изречения;
Запознават се с основните видове изявления;
Научете се да извършвате някои операции върху твърдения (отрицание, конюнкция, дизюнкция).
3. Елементи на комбинаториката:
Запознайте се с тази концепция на ниво идеи;
Научете се да различавате комбинаторни задачи от други типове текстови задачи, разглеждани в уроците по математика;
Научете се да решавате задачи за определяне на броя на разположенията на n елемента по m елемента.
Елементите на логиката в началното училище се разглеждат както в уроците по математика, така и в часовете по информатика. В същото време нивото на изискванията към знанията, уменията и способностите на учениците, както и съдържанието на обучението в този раздел, се различават донякъде в различните програми. Това се дължи на първо място на факта, че в момента Федералният държавен образователен стандарт за начално общо образование не изисква задължително разглеждане на тази тема в 1-4 клас.
В момента всички курсове по математика са насочени към развитието на учениците. Например курсът на Истомина Н.Б. основната му цел е развитието на методи за умствена дейност на учениците, умствени операции: анализ, синтез, сравнение, класификация, аналогия, обобщение.
...Подобни документи
Изучаване на курса по математическа логика. Основата на логиката е осъзнаването на структурата на математическата наука и нейните основни понятия. Исторически очерк. Равнозначност на изреченията. Отричане на изявления. Логично следване.
дисертация, добавена на 08.08.2007 г
Извънкласните дейности като една от формите на работа. Педагогически основи за изучаване на математическата логика в средното училище като част от извънкласните дейности. Анализ на съществуващите методи за развитие на общи логически и логически умения при учениците.
курсова работа, добавена на 19.11.2012 г
Основи на методите за изучаване на математически понятия. Математически понятия, тяхното съдържание и обхват, класификация на понятията. Психолого-педагогически особености на обучението по математика в 5-6 клас. Психологически аспекти на формирането на понятия.
дисертация, добавена на 08.08.2007 г
Езикови основи на изучаването на прилагателни в началното училище. Психолого-педагогически основи на изучаването на прилагателни в началното училище. Методика за работа с прилагателни според системата за развитие на образованието L.V. Занкова.
дисертация, добавена на 03.04.2007 г
Теоретични основи на подготовката на децата за изучаване на математика в училище. Въпроси на подготовката на децата за училище в психологическа, педагогическа и методическа литература. Понятието, същността, значението на математическата готовност за учене в училище. Изследователска програма.
курсова работа, добавена на 23.10.2008 г
Характеристики на изучаването на математика в началното училище според Федералния държавен образователен стандарт за начално общо образование. Съдържание на учебната дисциплина. Анализ на основни математически понятия. Същността на индивидуалния подход в дидактиката.
курсова работа, добавена на 29.09.2016 г
Психолого-педагогически основи за развитие на логическото мислене на учениците от началното училище. Разработване на методология за решаване на проблема с развитието на логическата грамотност на учениците в часовете по математика в началното училище, примери за решаване на нестандартни аритметични задачи.
дисертация, добавена на 31.03.2012 г
Теоретико-методически основи на тестовите задачи и техните видове. Психолого-педагогически основи. Тестове в часовете по математика. Анализ на опита на учителите при използване на тестови задачи. Кратко описание на предимствата от използването на тестова форма на контрол.
курсова работа, добавена на 17.04.2017 г
Психологически характеристики на младши ученик. Техники и методи за използване на елементи от етимологичен анализ в уроците в началното училище. Характеристики на обучението по компетентно писане на младши ученици. Анализ на учебния комплекс "Руски език" в началните класове.
дисертация, добавена на 24.03.2015 г
Развитие на речта на учениците в часовете по математика. Техники за развитие на математическата реч. Връзки между реч, мислене и език. Развитие на логиката, изразителността, доказателствата и точността на математическата реч. Повишаване нивото на речевата култура на учениците.
