Багатогранники, вписані у кулю. Основні визначення та теореми. Визначення. Сфера називається описаною біля багатогранника (або багатогранника, вписаного у сферу), якщо всі вершини багатогранника лежать на цій сфері.
Слайд 8із презентації ««Завдання з геометрії» 11 клас».Розмір архіву із презентацією 1032 КБ.
Геометрія 11 класкороткий змістінших презентацій
"Обсяги геометричних тіл" - Об'єми багатогранників. Концепція обсягу. Об'єм піраміди. Конус виносу. Об'єм прямої призми. Відповідь. Науки прагнуть математики. Успіху у вивченні матеріалу. Об'єм прямокутного паралелепіпеда. Малюнки та креслення. Об'єм правильної чотирикутної піраміди. Властивості площ. Площа. Ребро куб. Поняття обсягу тел. Квадрат. Об'єм циліндра. Конус. Багатокутник. Геометричні фігури. Три латунні куби.
"Вектори в просторі" - векторні координати. Різниці. Вектори в просторі. Різниця двох векторів. Розмноження двох векторів. Дії з векторами. Єдиний вектор. Вміння виконувати дії. Правило багатокутника. Вектори спрямовані. Визначення вектор. Дія з векторами. Вектори некомпланарні. Рішення. «Геометричні завдання в ЄДІ» – Площа поверхні багатогранника. Знайдіть тангенс зовнішнього кута. У створенні презентації брали участь. Варіанти завдань. Площа трикутника. Площа трапеції. Знайдіть площу трикутника. Площа кола. Основний довідковий матеріал. Планіметрія. Типові помилки. Основи геометрії. Усні вправи. Можливі завдання. Вміти виконувати дії згеометричними фігурами
. Знайдіть обсяг багатогранника.
"Обчислити обсяг тіла обертання" - Конус. Знайдіть обсяг. Куля. Циліндр та конус. Циліндр. Об'єм конуса. Сфера. Види тіл обертання. Фігура. Об'єм V конуса. Визначення конусу. Циліндричний посуд. Визначення циліндра. Циліндри довкола нас. Об'єми тіл обертання. Куб. Радіуси.
«Рух» 11 клас» - Симетрія в архітектурі. Осьова симетрія. Паралельне перенесення. Рух. Симетрія у рослинах. Слизька симетрія. Симетрія у тваринному світі. Вступ. Поворот. Центральна симетрія. Рух. Дзеркальна симетрія.
Визначення.Сфера називається вписаною в багатогранникякщо площини всіх граней багатогранника стосуються сфери в тачках, розташованих усередині цих граней. При цьому багатогранник називається описаним біля сфери.
Теорема 1.У довільний тетраедр можна вписати сферу (кулю).
Багато точок, рівновіддалених від бічних граней тетраедра є пряма перетину двох бісекторних площин двогранних кутів при двох бічних ребрах. Цю пряму перетне бісекторна площина двогранного кутана підставі. Отримана точка рівновіддалена від усіх граней тетраедра.
У тетраедрі ABCD площини CDN та ADM є бісекторними площинами двогранних кутів при бічних ребрах CD та AD. Вони перетинаються прямою OD. Площина AKC є біссекторною площиною двогранного кута на основі (ребро AC). Ця площина перетне пряму OD у точці S (P – точка перетину прямих DM і KC, що належить площинам AKC і ADM одночасно, отже точка S – точка перетину AP і OD), яка буде точкою, рівновіддаленою від усіх граней тетраедра і, отже, буде центром сфери, вписаної в тетраедр ABCD.
Приклад 1. Знайти радіус сфери, вписаної у правильний тетраедр.
Розглянемо подібні трикутники DPS та DOK (по двох кутах: кут D – загальний, кути DPS та DOK – прямі).
Тоді PS:KO=DS:DK,
якщо врахувати, що PS=r=SO та DS=DO-SO=DO-r,
, , то 
.
Відповідь: радіус сфери, вписаної в правильний тетраедр, дорівнює
Теорема 2. До правильної піраміди можна вписати сферу.
Теорема 3. У правильну усічену піраміду можна вписати сферу тоді й тільки тоді, коли її апофема дорівнює сумі радіусів кіл, вписаних у її основи.
Теорема 4. У будь-яку призму можна вписати сферу, якщо її перпендикулярне перетин можна вписати коло, радіус якої дорівнює половині висоти призми.
Теорема 5. У правильну призму можна вписати сферу тоді і лише тоді, коли висота призми дорівнює діаметру кола, вписаного в його основу.
Сфери, описані біля циліндра, конуса та
Усіченого конуса.
Визначення.Сфера називається описаної біля циліндраабо усіченого конуса, якщо всі точки кіл основ належать сфері; Сфера називається описаної біля конуса, якщо всі точки кола основи, а також вершина конуса належать сфері.
У цих випадках говорять, що циліндр, усічений конус або конус вписаний у сферу.
Теорема 1.Біля довільного циліндра можна описати сферу.
О 1 і О 2 – центри нижньої та верхньої основи відповідно. Пряма О 1 Про 2 перпендикулярна площин основи. Проведемо площину, що проходить через середину утворюючої циліндра, перпендикулярно до цієї утворюючої. Ця площина буде паралельна площинам основи і перетинати пряму О 1 Про 2 в точці О, яка і буде центром сфери, описаної біля циліндра. Відстань від точки Про до всіх точок основи буде рівною, так як О 1 Про 2 є ГМТ, рівновіддалених від кола (пряма, що проходить через центр кола і перпендикулярна площині кола). Значить точка є центром сфери з радіусом ОА, описаної біля циліндра.
Теорема 2. Біля зрізаного конуса можна описати сферу.
О 1 і О 2 – центри нижньої та верхньої основи відповідно. Пряма О 1 Про 2 перпендикулярна площин основи. Розглянемо утворюючу усіченого конуса АВ. Знайдемо ГМТ, рівновіддалених від тачок А і В. Їм буде площина, що проходить через точку Р – середину АВ і перпендикулярна до цієї прямої. Ця площина перетне О 1 О 2 у точці О, яка буде рівновіддалена від точок А і В. Також очевидно, що точка О буде рівновіддалена від усіх точок основ усіченого конуса. Отже ця точка буде центром сфери з радіусом ОА, описаної біля усіченого конуса.
Теорема 3. Біля конуса можна описати сферу.
Аналогічно минулій теоремі ОА – висота конуса, яка є ГМТ, рівновіддаленим від кола. Розглянемо утворюючу АВ і знайдемо ГМТ, рівновіддалених від А і В. Отримана площина (за попереднім завданням) перетне ОА в точці О 1 яка буде рівновіддалена від точок А і В, як і від будь-яких точок основи конуса. Таким чином, ми отримали, що точка О 1 є центром сфери з радіусом О 1 А, описаної біля конуса.
Відкритий урок на тему «Вписані та описані багатогранники»
Тема уроку: Сфера, вписана у піраміду. Сфера описана біля піраміди.
Тип уроку:Ознайомлення з новим матеріалом. Цілі уроку:- запровадити поняття сфери, вписаної в багатогранник; сфери, описаної у багатогранника. Порівняти описане коло та описану сферу, вписане коло та вписану сферу. Проаналізувати умови існування вписаної сфери та описаної сфери. Сформувати навички розв'язання задач на тему. Розвиток у учнів навичок самостійної роботи.
Розвиток логічного мислення, алгоритмічної культури, просторової уяви, розвиток математичного мислення та інтуїції, творчих здібностей на рівні, необхідному для продовження освіти та для самостійної діяльності в галузі математики та її додатків у майбутній професійній діяльності;
- Інтерактивна дошка
Презентація «Вписана та описана сфера»
Умови завдань у малюнках на дошці. Роздатковий матеріал (опорні конспекти).
- Планіметрія. Вписане та описане коло. Стереометрія. Вписана сфера стереометрії. Описана сфера
- Постановка цілей уроку (2 хвилини). Підготовка до вивчення нового матеріалу повторенням (фронтальне опитування) (6 хвилин). Пояснення нового матеріалу (15 хвилин) Осмислення теми при самостійному складанні конспекту на тему «Стереометрія. Описана сфера» та застосування теми під час вирішення завдань (15 хвилин). Підбиття підсумків уроку перевіркою знання та розуміння вивченої теми (фронтальне опитування). Оцінка відповідей учнів (5 хвилин). Постановка домашнього завдання (2 хвилини). Резервні завдання.
- запровадити поняття сфери, вписаної в багатогранник; сфери, описаної у багатогранника. Порівняти описане коло та описану сферу, вписане коло та вписану сферу. Проаналізувати умови існування вписаної сфери та описаної сфери. Сформувати навички розв'язання задач на тему.
- Яке коло називається вписаним у багатокутник? Як називається багатокутник, в який вписано коло? Яка точка є центром кола, вписаного в багатокутник? Яку властивість має центр кола, вписаного в багатокутник? Де розташовується центр кола, вписаного в багатокутник? Який багатокутник можна описати біля кола, за яких умов?
- Яке коло називається описаним біля багатокутника? Як називається багатокутник, біля якого описано коло? Яка точка є центром кола, описаного біля багатокутника? Яку властивість має центр кола, описаного біля багатокутника? Де може розташовуватися центр кола, описаного біля багатокутника? Який багатокутник можна вписати в коло і за яких умов?
- Сформулюйте визначення сфери, вписаної багатогранник. Як називається багатогранник, до якого можна вписати сферу? Яку властивість має центр вписаної в багатогранник сфери? Що являє собою безліч точок простору, рівновіддалених від граней двогранного кута? (Тригранний кут?) Яка точка є центром сфери, вписаної в багатогранник? Який багатогранник можна вписати сферу, за яких умов?
У правильній чотирикутній піраміді сторона основи дорівнює а, висота дорівнює h. Знайдіть радіус сфери, вписаної у піраміду.
D. Учні вирішують завдання.
Завдання.У правильній трикутній піраміді сторона основи дорівнює 4, бічні грані нахилені до основи під кутом 60 0 . Знайдіть радіус, вписаний у цю піраміду сфери.
4. Осмислення теми при самостійному складанні конспекту «Сфера, описана у багатогранника» та застосування під час вирішення завдань.
А. У студенти самостійно заповнюють конспект на тему «Сфера, описана біля багатогранника». Відповідають такі питання:
Сформулюйте визначення сфери, описаної у багатогранника.
Як називається багатогранник, біля якого можна описати сферу?
Якою властивістю має центр описаної у багатогранника сфери?
Що є безліч точок простору, рівновіддалених від двох точок?
Яка точка є центром сфери, що описана біля багатогранника?
Де може бути розташований центр сфери, описаної біля піраміди? (багатогранника?)
Біля якого багатогранника можна описати сферу?
Ст. Учні самостійно вирішують завдання.
Завдання.У правильній трикутній піраміді сторона основи дорівнює 3 а бічні ребра нахилені до основи під кутом 60 0 . Знайдіть радіус описаної біля піраміди сфери.
З. Перевірка складеного конспекту та аналіз розв'язання задачі.
5. Підбиття підсумків уроку перевіркою знання та розуміння вивченої теми (фронтальне опитування). Оцінка відповідей учнів.
А. Учні самостійно підбивають підсумки уроку.
Ст. Відповідають на додаткові запитання.
Чи можна описати сферу близько чотирикутної піраміди, в основі якої лежить ромб, який не є квадратом?
Чи можна описати сферу біля прямокутного паралелепіпеда? Якщо так, то де його центр?
Де у житті застосовується вивчена під час уроку теорія (архітектура, стільниковий телефонний зв'язок, геостаціонарні супутники, система виявлення GPS).
6. Постановка домашнього завдання.
А. Скласти конспект на тему «Сфера, описана біля призми. Сфера, вписана у призму». (Розглянути за підручником завдання: №632,637,638)
В. Розв'язати із підручника завдання № 640.
З. З методики Б.Г. Зив « Дидактичні матеріализ геометрії 10 клас» розв'язати задачі: Варіант №3 С12(1), Варіант №4 С12(1).
D. Додаткове завдання: Варіант №5 С12(1).
7. Резервні завдання.
З методики Б.Г. Зив «Дидактичні матеріали з геометрії 10 клас» розв'язати задачі: Варіант №3 С12(1), Варіант №4 С12(1).
Навчально – методичний комплект
Геометрія, 10-11: Підручник для загальноосвітніх закладів. Базовий та профільний рівні/Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев та ін, М.: Просвітництво, 2010р.
Б.Г. Зів «Дидактичні матеріали з геометрії 10 клас», М.: Просвітництво.
Вчитель математики
ДБОУ ліцей-інтернат «ЦОД»
м Нижній Новгород
Багатогранник називається вписаним у сферу, якщо всі його вершини належать цій сфері. Сама сфера при цьому називається описаною у багатогранника.
Теорема. Біля піраміди можна описати сферу тоді і лише тоді, коли біля основи цієї піраміди можна описати коло.
Багатогранники, вписані у сферу
Теорема. Біля призми можна описати сферу тоді й тільки тоді, коли біля основи цієї призми можна описати коло. Її центром буде точка O, що є серединою відрізка, що з'єднує центри кіл, описаних біля підстав призми. Радіус сфери Rобчислюється за формулою
де h- Висота призми, r– радіус кола, описаного біля основи призми.
У режимі слайдів відповіді та рішення з'являються після клацання мишкою
Вправа 1
Чи можна описати сферу біля прямокутного паралелепіпеда?
Відповідь: Так. Її центром є точка перетину діагоналей, а радіус дорівнює половині діагоналі паралелепіпеда.
Вправа 2
Чи можна описати сферу біля похилого паралелепіпеда, усі грані якого ромби?
Відповідь: Ні.
Вправа 3
Чи можна описати сферу біля похилої призми?
Відповідь: Ні.
Вправа 4
Чи може центр сфери, описаної біля призми, знаходиться поза призмою?
Відповідь: Так, якщо на підставі призми – тупокутний трикутник.
Вправа 5
Чи може центр сфери, описаної біля піраміди, знаходиться поза цією пірамідою?
Відповідь: Так.
Сфера, описана біля куба
У режимі слайдів відповіді та рішення з'являються після клацання мишкою
Вправа 1
Знайдіть радіус сфери, описаної біля одиничного куба.
Вправа 2
Знайдіть ребро куба, вписаного в поодиноку сферу.
Вправа 3
Знайдіть радіус сфери, описаної біля прямокутного паралелепіпеда, ребра якого, що виходять із однієї вершини, дорівнюють 1, 2, 3.
Вправа 4
Два ребра прямокутного паралелепіпеда, що виходять з однієї вершини, дорівнюють 1 і 2. Радіус описаної сфери дорівнює 1,5 . Знайдіть третє ребро, що виходить із тієї ж вершини паралелепіпеда.
Сфера, описана біля тетраедра
У режимі слайдів відповіді та рішення з'являються після клацання мишкою
Вправа 1
Знайдіть радіус сфери, описаної у окремого тетраедра.
Рішення. У тетраедрі SABCмаємо:
BE = SE =
У прямокутному трикутнику OBEмаємо:
R, знаходимо
Вправа 2
Знайдіть ребро правильного тетраедра, вписаного в поодиноку сферу.
Вправа 3
Підставою піраміди служить правильний трикутник, сторона якого дорівнює 3. Одне з бічних ребер дорівнює 2 і перпендикулярно площині основи. Знайдіть радіус описаної галузі.
Рішення. Нехай O- Центр описаної сфери, Q– центр кола, описаного біля основи, E– середина SC. Чотирьохкутник CEOQ- Прямокутник, в якому CE = 1, CQ =Отже, R=OC= 2.
Відповідь: R = 2.
Вправа 4
На малюнку зображено піраміду SABC, для якої ребро SCодно 2 і перпендикулярно площині основи ABC, кут ACBдорівнює 90 про, AC = BC = 1 . Побудуйте центр сфери, описаної біля цієї піраміди та знайдіть її радіус.
Рішення. Через середину Dребра ABпроведемо пряму, паралельну SC. Через середину Eребра SCпроведемо пряму паралельну CD. Їх точка перетину Oбуде центром описаної сфери. У прямокутному трикутнику OCDмаємо:
OD = CD =По теоремі
Піфагора, знаходимо
Вправа 5
Знайдіть радіус сфери, описаної біля правильної трикутної піраміди, бічні ребра якої дорівнюють 1, і плоскі кути при вершині дорівнюють 90 о.
Рішення. У тетраедрі SABCмаємо:
AB = AE = SE =
У прямокутному трикутнику OAEмаємо:
Вирішуючи це рівняння щодо R, знаходимо
Сфера, описана біля трикутної призми
У режимі слайдів відповіді та рішення з'являються після клацання мишкою
Вправа 1
Знайдіть радіус сфери, описаної біля правильної призми, всі ребра якої 1.
Рішення. Маємо:
AA 1 = 1, AD = OD =
Отже, R = AO =
Вправа 2
Біля правильної трикутної призми, основа якої дорівнює 1, описана сфера радіуса 2. Знайдіть висоту призми.
Рішення. Маємо: AO = 2, OD =
Отже, h = AA 1 = 2 AO =
Вправа 3
Біля правильної трикутної призми, висота якої дорівнює 1, описано сферу радіуса 1. Знайдіть сторону основи призми.
Рішення. Маємо: AO = 1 , OD =
Отже, AD =
Значить, AB =
Вправа 4
Знайдіть радіус сфери, описаної біля прямої трикутної призми, в основі якої прямокутний трикутникз катетами, рівними 1, та висота призми дорівнює 2.
Рішення. Радіус сфери дорівнює половині діагоналі. A 1 Cпрямокутника ACC 1 A 1 .
Маємо: AA 1 = 2, AC =
Отже, R =
Сфера, описана біля правильної шестикутної призми
У режимі слайдів відповіді та рішення з'являються після клацання мишкою
Вправа
Знайдіть радіус сфери, описаної біля правильної шестикутної призми, всі ребра якої 1.
Рішення. Маємо AG = 1, OG =
Отже, R=AO=
Сфера, описана біля правильної чотирикутної піраміди
У режимі слайдів відповіді та рішення з'являються після клацання мишкою
Вправа
Знайдіть радіус сфери, описаної біля правильної чотирикутної піраміди, всі ребра якої дорівнюють 1.
Сфера, описана біля правильної шестикутної піраміди
У режимі слайдів відповіді та рішення з'являються після клацання мишкою
Вправа
Знайдіть радіус сфери, описаної біля правильної 6-кутової піраміди, ребра основи якої дорівнюють 1, а бічні ребра - 2.
Рішення. Трикутник SAD– рівносторонній зі стороною 2. Радіус Rописаної сфери дорівнює радіусу кола, описаного біля трикутника SAD. Отже,
Сфера, описана біля октаедра
У режимі слайдів відповіді та рішення з'являються після клацання мишкою
Вправа
Знайдіть радіус сфери, описаної у окремого октаедра.
Рішення. Радіус Rописаної сфери дорівнює половині діагоналі квадрата ABCDзі стороною 1. Отже,
Сфера, описана біля ікосаедра
У режимі слайдів відповіді та рішення з'являються після клацання мишкою
Вправа
Знайдіть радіус сфери, описаної у окремого ікосаедра.
Рішення. У прямокутнику ABCD AB = CD = 1, BCі AD – діагоналі правильних п'ятикутників зі сторонами 1. Отже,
BC = AD =
За теоремою Піфагора AC =
Шуканий радіус дорівнює половині цієї діагоналі, тобто.
Вправа
Знайдіть радіус сфери, описаної у окремого додекаедра.
Рішення. ABCDE- правильний п'ятикутник зі стороною
У прямокутнику ACGF AF = CG = 1, ACі FG – діагоналі п'ятикутника ABCDEі, отже, AC = FG =
За теоремою Піфагора
FC =Шуканий радіус
дорівнює половині цієї діагоналі, тобто.
Вправа
На малюнку зображено усічений тетраедр, що отримується відсіканням від кутів правильного тетраедра трикутних пірамід, гранями якого є правильні шестикутники та трикутники. Знайдіть радіус сфери, описаної у зрізаного тетраедра, ребра якого дорівнюють 1.
Вправа
На малюнку зображено усічений куб, що отримується відсіканням від кутів куба трикутних пірамід, гранями якого є правильні восьмикутники та трикутники. Знайдіть радіус сфери, описаної біля усіченого куба, ребра якого дорівнюють 1.
Вправа
На малюнку зображено усічений октаедр, що отримується відсіканням від кутів октаедра трикутних пірамід, гранями якого є правильні шестикутники та трикутники. Знайдіть радіус сфери, описаної біля зрізаного октаедра, ребра якого дорівнюють 1.
Вправа
На малюнку зображено усічений ікосаедр, що отримується відсіканням від кутів ікосаедра п'ятикутних пірамід, гранями якого є правильні шестикутники та п'ятикутники. Знайдіть радіус сфери, описаної біля усіченого ікосаедра, ребра якого дорівнюють 1.
Вправа
На малюнку зображено усічений додекаедр, що отримується відсіканням від кутів додекаедра трикутних пірамід, гранями якого є правильні десятикутники та трикутники. Знайдіть радіус сфери, описаної у зрізаного додекаедра, ребра якого дорівнюють 1.
Вправа
Знайдіть радіус сфери, описаної біля одиничного кубооктаедра
Рішення. Нагадаємо, що кубооктаедр виходить із куба відсіканням правильних трикутних пірамід з вершинами у вершинах куба та бічними ребрами, рівними половині ребра куба. Якщо ребро октаедра дорівнює 1, то ребро відповідного куба дорівнює Радіус описаної сфери дорівнює відстані від центру куба до середини ребра, тобто. дорівнює 1.
Відповідь: R = 1.
Багатогранники, вписані у сферу Багатогранник називається вписаним у сферу, якщо всі його вершини належать цій сфері. Сама сфера при цьому називається описаною у багатогранника. Теорема. Біля піраміди можна описати сферу тоді і лише тоді, коли біля основи цієї піраміди можна описати коло.
Багатогранники, вписані у сферу Теорему. Біля прямої призми можна описати сферу тоді й лише тоді, коли в основі цієї призми можна описати коло. Її центром буде точка O, що є серединою відрізка, що з'єднує центри кіл, описаних біля підстав призми. Радіус сфери R обчислюється за формулою де h – висота призми, r – радіус кола, описаного біля основи призми.
Вправа 3 Основою піраміди служить правильний трикутник, сторона якого дорівнює 3. Одне з бічних ребер дорівнює 2 і перпендикулярно площині основи. Знайдіть радіус описаної галузі. Рішення. Нехай O – центр описаної сфери, Q – центр кола, описаного біля основи, E – середина SC. Чотирьохкутник CEOQ – прямокутник, у якому CE = 1, CQ = Отже, R=OC=2. Відповідь: R = 2.
Вправа 4 На малюнку зображено піраміду SABC, для якої ребро SC дорівнює 2 і перпендикулярно до площини основи ABC, кут ACB дорівнює 90 о, AC = BC = 1. Побудуйте центр сфери, описаної біля цієї піраміди і знайдіть її радіус. Рішення. Через середину D ребра AB проведемо пряму, паралельну SC. Через середину ребра SC проведемо пряму паралельну CD. Їх точка перетину O буде центром описаної сфери. У прямокутному трикутнику OCD маємо: OD = CD = За теоремою Піфагора, знаходимо
Вправа 5 Знайдіть радіус сфери, описаної біля правильної трикутної піраміди, бічні ребра якої дорівнюють 1, і плоскі кути при вершині дорівнюють 90 о. Рішення. У тетраедрі SABC маємо: AB = AE = SE = У прямокутному трикутнику OAE маємо: Вирішуючи це рівняння щодо R, знаходимо
Вправа 4 Знайдіть радіус сфери, описаної біля прямої трикутної призми, на основі якої прямокутний трикутник з катетами, рівними 1, і висота призми дорівнює 2. Відповідь: Рішення. Радіус сфери дорівнює половині діагоналі A 1 C прямокутника ACC 1 A 1. Маємо: AA 1 = 2, AC = Отже, R =
Вправа Знайдіть радіус сфери, описаної біля правильної 6-кутової піраміди, ребра основи якої дорівнюють 1, а бічні ребра - 2. Розв'язання. Трикутник SAD – рівносторонній зі стороною 2. Радіус R описаної сфери дорівнює радіусу кола, описаного біля трикутника SAD. Отже,
Вправа Знайдіть радіус сфери, описаної у окремого ікосаедра. Рішення. У прямокутнику ABCD AB = CD = 1, BC і AD – діагоналі правильних п'ятикутників зі сторонами 1. Отже, BC = AD = За теоремою Піфагора AC = радіус шуканий дорівнює половині цієї діагоналі, тобто.
Вправа Знайдіть радіус сфери, описаної у окремого додекаедра. Рішення. ABCDE – правильний п'ятикутник зі стороною У прямокутнику ACGF AF = CG = 1, AC і FG – діагоналі п'ятикутника ABCDE і, отже, AC = FG = По теоремі Піфагора FC = Шуканий радіус дорівнює половині цієї діагоналі, тобто.
Вправа На малюнку зображено усічений тетраедр, що отримується відсіканням від кутів правильного тетраедра трикутних пірамід, гранями якого є правильні шестикутники та трикутники. Знайдіть радіус сфери, описаної у зрізаного тетраедра, ребра якого дорівнюють 1.
Вправа На малюнку зображено усічений октаедр, що отримується відсіканням від кутів октаедра трикутних пірамід, гранями якого є правильні шестикутники та трикутники. Знайдіть радіус сфери, описаної біля усіченого октаедра, ребра якого рівні 1. Вправа На малюнку зображено усічений ікосаедр, що отримується відсіканням від кутів ікосаедра п'ятикутних пірамід, гранями якого є правильні шестикутники та п'ятикутники. Знайдіть радіус сфери, описаної біля усіченого ікосаедра, ребра якого дорівнюють 1.
Вправа На малюнку зображено усічений додекаедр, що отримується відсіканням від кутів додекаедра трикутних пірамід, гранями якого є правильні десятикутники та трикутники. Знайдіть радіус сфери, описаної у зрізаного додекаедра, ребра якого дорівнюють 1.
Вправа Знайдіть радіус сфери, описаної у окремого кубооктаедра. Рішення. Нагадаємо, що кубооктаедр виходить із куба відсіканням правильних трикутних пірамід з вершинами у вершинах куба та бічними ребрами, рівними половині ребра куба. Якщо ребро октаедра дорівнює 1, то ребро відповідного куба дорівнює Радіус описаної сфери дорівнює відстані від центру куба до середини ребра, тобто. дорівнює 1. Відповідь: R = 1.
