Artikkelen snakker om å finne vinkelen mellom fly. Etter å ha gitt definisjonen vil vi gi en grafisk illustrasjon og vurdere en detaljert metode for å finne koordinater ved hjelp av metoden. Vi får en formel for kryssende plan, som inkluderer koordinatene til normale vektorer.
Materialet vil bruke data og begreper som tidligere ble studert i artikler om planet og linjen i rommet. Først er det nødvendig å gå videre til resonnement som lar oss ha en viss tilnærming til å bestemme vinkelen mellom to kryssende plan.
To kryssende plan γ 1 og γ 2 er gitt. Krysset deres vil ha betegnelsen c. Konstruksjonen av χ-planet er assosiert med skjæringspunktet mellom disse planene. Planet χ går gjennom punktet M som en rett linje c. Skjæringen mellom planene γ 1 og γ 2 vil bli laget ved hjelp av planet χ. Vi tar betegnelsen på linjen som skjærer γ 1 og χ som linje a, og linjen som skjærer γ 2 og χ som linje b. Vi finner at skjæringspunktet mellom linjene a og b gir punktet M.
Plasseringen av punktet M påvirker ikke vinkelen mellom kryssende linjer a og b, og punktet M ligger på linje c, som planet χ går gjennom.
Det er nødvendig å konstruere et plan χ 1 vinkelrett på linjen c og forskjellig fra planet χ. Skjæringspunktet mellom planene γ 1 og γ 2 ved hjelp av χ 1 vil ta betegnelsen av linjene a 1 og b 1.
Det kan sees at når du konstruerer χ og χ 1, er linjene a og b vinkelrette på linje c, deretter er a 1, b 1 plassert vinkelrett på linje c. Finne rette linjer a og a 1 i planet γ 1 med perpendikularitet til rett linje c, så kan de betraktes som parallelle. På samme måte indikerer plasseringen av b og b 1 i γ 2-planet med perpendikularitet til rett linje c deres parallellitet. Dette betyr at det er nødvendig å gjøre en parallell overføring av planet χ 1 til χ, hvor vi får to sammenfallende rette linjer a og a 1, b og b 1. Vi finner at vinkelen mellom skjærende linjer a og b 1 er lik vinkelen til skjærende linjer a og b.
La oss se på figuren nedenfor.
Denne påstanden bevises av det faktum at mellom de kryssende linjene a og b er det en vinkel som ikke er avhengig av plasseringen av punktet M, det vil si skjæringspunktet. Disse linjene er plassert i planene γ 1 og γ 2. Faktisk kan den resulterende vinkelen betraktes som vinkelen mellom to kryssende plan.
La oss gå videre til å bestemme vinkelen mellom de eksisterende kryssende planene γ 1 og γ 2.
Definisjon 1
Vinkelen mellom to kryssende plan γ 1 og γ 2 kalt vinkelen som dannes av skjæringspunktet mellom linjene a og b, der planene γ 1 og γ 2 skjærer planet χ vinkelrett på linje c.
Tenk på figuren nedenfor.
Avgjørelsen kan sendes i annen form. Når planene γ 1 og γ 2 skjærer hverandre, hvor c er linjen de skjærer seg på, markerer du et punkt M som trekker linjene a og b vinkelrett på linje c og ligger i planene γ 1 og γ 2, så vinkelen mellom linjene a og b vil være vinkelen mellom planene. I praksis er dette anvendelig for å konstruere vinkelen mellom planene.
Ved skjæring dannes det en vinkel som er mindre enn 90 grader i verdi, det vil si at gradmålet på vinkelen er gyldig på et intervall av denne typen (0, 90]. Samtidig kalles disse planene perpendikulære hvis en rett vinkel dannes i skjæringspunktet. Vinkelen mellom parallelle plan regnes som lik null.
Den vanlige måten å finne vinkelen mellom kryssende plan er å utføre tilleggskonstruksjoner. Dette bidrar til å bestemme det med nøyaktighet, og dette kan gjøres ved å bruke tegn på likhet eller likhet i en trekant, sinus og cosinus i en vinkel.
La oss vurdere å løse problemer ved å bruke et eksempel fra Unified State Exam-problemene i blokk C 2.
Eksempel 1
Gitt et rektangulært parallellepipedum A B C D A 1 B 1 C 1 D 1, hvor side A B = 2, A D = 3, A A 1 = 7, deler punkt E side A A 1 i forholdet 4:3. Finn vinkelen mellom planene A B C og B E D 1.
Løsning
For klarhet er det nødvendig å lage en tegning. Det skjønner vi
En visuell representasjon er nødvendig for å gjøre det mer praktisk å jobbe med vinkelen mellom planene.
Vi bestemmer den rette linjen langs hvilken skjæringspunktet mellom planene A B C og B E D 1 oppstår. Punkt B er et felles punkt. Et annet felles skjæringspunkt bør finnes. La oss vurdere de rette linjene D A og D 1 E, som er plassert i samme plan A D D 1. Deres plassering indikerer ikke parallellitet, det betyr at de har et felles skjæringspunkt.
Rett linje D A ligger imidlertid i planet A B C, og D 1 E i B E D 1. Fra dette får vi at de rette linjene D A Og D 1 E ha et felles skjæringspunkt, som er felles for planene A B C og B E D 1. Indikerer skjæringspunktet mellom linjer D A og D 1 E bokstaven F. Av dette får vi at B F er den rette linjen langs hvilken planene A B C og B E D 1 skjærer.
La oss se på figuren nedenfor.
For å få svaret er det nødvendig å konstruere rette linjer plassert i planene A B C og B E D 1 som går gjennom et punkt som ligger på linje B F og vinkelrett på det. Da regnes den resulterende vinkelen mellom disse rette linjene som den ønskede vinkelen mellom planene A B C og B E D 1.
Av dette kan vi se at punktet A er projeksjonen av punktet E på planet A B C. Det er nødvendig å tegne en rett linje som skjærer linjen B F i rett vinkel i punktet M. Det kan ses at den rette linjen A M er projeksjonen av rett linje E M på planet A B C, basert på teoremet om disse perpendikulære A M ⊥ B F . Tenk på bildet nedenfor.
∠ A M E er den ønskede vinkelen dannet av planene A B C og B E D 1. Fra den resulterende trekanten A E M kan vi finne sinus, cosinus eller tangens til vinkelen, og deretter selve vinkelen, bare hvis de to sidene er kjent. Ved betingelse har vi at lengden A E finnes på denne måten: rett linje A A 1 deles på punktet E i forholdet 4:3, som betyr at den totale lengden på den rette linjen er 7 deler, da er A E = 4 deler. Vi finner A M.
Må vurderes høyre trekant A B F . Vi har en rett vinkel A med høyden A M. Fra betingelsen A B = 2 kan vi finne lengden A F ved likheten mellom trekanter D D 1 F og A E F. Vi får at A E D D 1 = A F D F ⇔ A E D D 1 = A F D A + A F ⇒ 4 7 = A F 3 + A F ⇔ A F = 4
Det er nødvendig å finne lengden på siden B F i trekanten A B F ved å bruke Pythagoras teorem. Vi får at B F = A B 2 + A F 2 = 2 2 + 4 2 = 2 5 . Lengden på siden A M finnes gjennom arealet av trekanten A B F. Vi har at arealet kan være lik både S A B C = 1 2 · A B · A F og S A B C = 1 2 · B F · A M .
Vi får at A M = A B A F B F = 2 4 2 5 = 4 5 5
Da kan vi finne verdien av tangenten til vinkelen til trekanten A E M. Vi får:
t g ∠ A M E = A E A M = 4 4 5 5 = 5
Den ønskede vinkelen oppnådd ved skjæringen av planene A B C og B E D 1 er lik a r c t g 5, så får vi ved forenkling a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6.
Svar: a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 .
Noen tilfeller av å finne vinkelen mellom kryssende linjer er spesifisert ved å bruke koordinatplanet O x y z og koordinatmetoden. La oss ta en nærmere titt.
Dersom det er gitt en oppgave hvor det er nødvendig å finne vinkelen mellom planene γ 1 og γ 2 som skjærer hverandre, betegner vi ønsket vinkel som α.
Da viser det gitte koordinatsystemet at vi har koordinatene til normalvektorene til de kryssende planene γ 1 og γ 2. Da betegner vi at n 1 → = n 1 x, n 1 y, n 1 z er normalvektoren til planet γ 1, og n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z) - for plan γ 2. La oss vurdere den detaljerte bestemmelsen av vinkelen mellom disse planene i henhold til koordinatene til vektorene.
Det er nødvendig å angi den rette linjen langs hvilken planene γ 1 og γ 2 krysser bokstaven c. På linjen c har vi et punkt M som vi tegner et plan χ vinkelrett på c. Planet χ langs linjene a og b skjærer planene γ 1 og γ 2 i punktet M. av definisjonen følger det at vinkelen mellom de skjærende planene γ 1 og γ 2 er lik vinkelen til de kryssende linjene a og b som hører til disse planene, henholdsvis.
I χ-planet plotter vi normalvektorer fra punktet M og betegner dem n 1 → og n 2 → . Vektor n 1 → er plassert på en linje vinkelrett på linje a, og vektor n 2 → er plassert på en linje vinkelrett på linje b. Herfra får vi det gitt flyχ har en normalvektor av linje a lik n 1 → og for linje b lik n 2 →. Tenk på figuren nedenfor.
Herfra får vi en formel som vi kan beregne sinusen til vinkelen til kryssende linjer ved å bruke koordinatene til vektorer. Vi fant at cosinus til vinkelen mellom rette linjer a og b er den samme som cosinus mellom kryssende plan γ 1 og γ 2 er utledet fra formelen cos α = cos n 1 → , n 2 → ^ = n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2, hvor vi har at n 1 → = ( n 1 x , n 1 y , n 1 z) og n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z) er koordinatene til vektorene til de representerte planene.
Vinkelen mellom kryssende linjer beregnes ved hjelp av formelen
α = a r c cos n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2
Eksempel 2
I henhold til betingelsen er parallellepipedet A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 gitt , der A B = 2, A D = 3, A A 1 = 7, og punkt E deler siden A A 1 4: 3. Finn vinkelen mellom planene A B C og B E D 1.
Løsning
Fra tilstanden er det klart at sidene er parvis vinkelrette. Dette betyr at det er nødvendig å innføre et koordinatsystem O x y z med toppunktet i punktet C og koordinataksene O x, O y, O z. Det er nødvendig å sette retningen til de riktige sidene. Tenk på figuren nedenfor.
Kryssende fly A B C Og B E D 1 danne en vinkel som kan finnes av formelen α = a r c cos n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2, der n 1 → = (n 1 x, n 1 y, n 1 z) og n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z ) er normale vektorer av disse flyene. Det er nødvendig å bestemme koordinatene. Fra figuren ser vi at koordinataksen O x y sammenfaller med planet A B C, dette betyr at koordinatene til normalvektoren k → er lik verdien n 1 → = k → = (0, 0, 1).
Normalvektoren til planet B E D 1 tas vektor produkt B E → og B D 1 →, hvor deres koordinater er funnet av koordinatene til ekstrempunktene B, E, D 1, som er bestemt ut fra forholdene til problemet.
Vi får at B (0, 3, 0), D 1 (2, 0, 7). Fordi A E E A 1 = 4 3, fra koordinatene til punktene A 2, 3, 0, A 1 2, 3, 7 finner vi E 2, 3, 4. Vi finner at B E → = (2 , 0 , 4) , B D 1 → = 2 , - 3 , 7 n 2 → = B E → × B D 1 = i → j → k → 2 0 4 2 - 3 7 = 12 · i → - 6 j → - 6 k → ⇔ n 2 → = (12 , - 6 , - 6)
Det er nødvendig å erstatte de funnet koordinatene i formelen for å beregne vinkelen gjennom buen cosinus. Vi får
α = a r c cos 0 12 + 0 (- 6) + 1 (- 6) 0 2 + 0 2 + 1 2 12 2 + (- 6) 2 + (- 6) 2 = a r c cos 6 6 6 = a r c cos 6 6
Koordinatmetoden gir et lignende resultat.
Svar: a r c cos 6 6 .
Det endelige problemet vurderes med mål om å finne vinkelen mellom plan som skjærer hverandre med de eksisterende kjente ligningene til planene.
Eksempel 3
Regn ut sinus, cosinus til vinkelen og verdien av vinkelen dannet av to kryssende linjer, som er definert i koordinatsystemet O x y z og gitt av ligningene 2 x - 4 y + z + 1 = 0 og 3 y - z - 1 = 0.
Løsning
Når du studerte emnet for den generelle rettlinjeligningen av formen A x + B y + C z + D = 0, ble det avslørt at A, B, C er koeffisienter lik koordinatene til normalvektoren. Dette betyr at n 1 → = 2, - 4, 1 og n 2 → = 0, 3, - 1 er normalvektorer for de gitte linjene.
Det er nødvendig å erstatte koordinatene til de normale vektorene til planene i formelen for å beregne ønsket vinkel på kryssende plan. Da får vi det
α = a r c cos 2 0 + - 4 3 + 1 (- 1) 2 2 + - 4 2 + 1 2 = a r c cos 13 210
Herfra har vi at cosinus til vinkelen har formen cos α = 13 210. Da er ikke vinkelen på kryssende linjer stump. Ved å erstatte den trigonometriske identiteten finner vi at verdien av sinusen til vinkelen er lik uttrykket. La oss regne ut og finne det
sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 13 210 = 41 210
Svar: sin α = 41.210, cos α = 13.210, α = a r c cos 13.210 = a r c sin 41.210.
Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter
Vinkel mellom rette linjer i rommet vil vi kalle noen av de tilstøtende vinklene dannet av to rette linjer trukket gjennom et vilkårlig punkt parallelt med dataene.
La to linjer gis i rommet:
Åpenbart kan vinkelen φ mellom rette linjer tas som vinkelen mellom retningsvektorene deres og . Siden , da bruker formelen for cosinus av vinkelen mellom vektorer vi får
Betingelsene for parallellitet og perpendikularitet til to rette linjer tilsvarer betingelsene for parallellitet og perpendikularitet til retningsvektorene deres og:
To rette parallell hvis og bare hvis deres tilsvarende koeffisienter er proporsjonale, dvs. l 1 parallell l 2 hvis og bare hvis parallell 
.
To rette vinkelrett hvis og bare hvis summen av produktene til de tilsvarende koeffisientene er lik null: .
U mål mellom linje og fly
La det være rett d- ikke vinkelrett på θ-planet;
d′− projeksjon av en linje d til θ-planet;
Den minste vinkelen mellom rette linjer d Og d"Vi ringer vinkel mellom en rett linje og et plan.
La oss betegne det som φ=( d,θ)
Hvis d⊥θ, deretter ( d,θ)=π/2
Oi→j→k→− rektangulært koordinatsystem.
Planligning:
θ: Øks+Av+Cz+D=0
Vi antar at den rette linjen er definert av et punkt og en retningsvektor: d[M 0,s→]
Vektor n→(EN,B,C)⊥θ
Så gjenstår det å finne ut vinkelen mellom vektorene n→ og s→, la oss betegne det som γ=( n→,s→).
Hvis vinkelen γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .
Hvis vinkelen er γ>π/2, så er den ønskede vinkelen φ=γ−π/2
sinφ=sin(2π−γ)=cosγ
sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ
Deretter, vinkel mellom rett linje og plan kan beregnes ved hjelp av formelen:
sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+Bp 2+Cp 3∣ ∣ √EN 2+B 2+C 2√s 21+s 22+s 23
Spørsmål 29. Konseptet med kvadratisk form. Tegnbestemthet av kvadratiske former.
Kvadratisk form j (x 1, x 2, …, x n) n reelle variabler x 1, x 2, …, x n kalles summen av formen 
, (1)
Hvor en ij – noen tall kalt koeffisienter. Uten tap av generalitet kan vi anta det en ij = en ji.
Den kvadratiske formen kalles gyldig, Hvis en ij
Î GR. Matrise av kvadratisk form kalles en matrise som består av koeffisientene. Den kvadratiske formen (1) tilsvarer den eneste symmetriske matrisen 
Det er A T = A. Følgelig kan kvadratisk form (1) skrives i matriseform j ( X) = x T Ah, Hvor x T = (X 1 X 2 … x n). (2)
Og omvendt tilsvarer hver symmetrisk matrise (2) en unik kvadratisk form opp til notasjonen av variabler.
Rangering av kvadratisk form kalles rangeringen av matrisen. Den kvadratiske formen kalles ikke-degenerert, hvis matrisen er ikke-entall EN. (husk at matrisen EN kalles ikke-degenerert hvis determinanten ikke er lik null). Ellers er den kvadratiske formen degenerert.
positiv bestemt(eller strengt tatt positiv) hvis
j ( X) > 0 , for alle X = (X 1 , X 2 , …, x n), unntatt X = (0, 0, …, 0).
Matrise EN positiv bestemt kvadratisk form j ( X) kalles også positiv bestemt. Derfor tilsvarer en positiv bestemt kvadratisk form en unik positiv bestemt matrise og omvendt.
Den kvadratiske formen (1) kalles negativt definert(eller strengt tatt negativ) hvis
j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), unntatt X = (0, 0, …, 0).
På samme måte som ovenfor kalles en matrise med negativ bestemt kvadratisk form også negativ bestemt.
Følgelig vil den positive (negative) bestemte kvadratiske formen j ( X) når minimum (maksimum) verdi j ( X*) = 0 at X* = (0, 0, …, 0).
Merk at de fleste kvadratiske former ikke er tegnbestemte, det vil si at de verken er positive eller negative. Slike kvadratiske former blir til 0 ikke bare ved opprinnelsen til koordinatsystemet, men også på andre punkter.
Når n> 2, kreves det spesielle kriterier for å kontrollere fortegnet på en kvadratisk form. La oss se på dem.
Større mindreårige kvadratisk form kalles mindreårige:
det vil si at disse er mindreårige i størrelsesorden 1, 2, ..., n matriser EN, plassert i øvre venstre hjørne, den siste av dem sammenfaller med determinanten til matrisen EN.
Positivt bestemthetskriterium (Sylvester-kriterium)
X) = x T Ah var positiv definitivt, er det nødvendig og tilstrekkelig at alle de store mindreårige i matrisen EN var positive, det vil si: M 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. Negativt sikkerhetskriterium For at den kvadratiske formen j ( X) = x T Ah var negativ bestemt, er det nødvendig og tilstrekkelig at de viktigste mindreårige av partall er positive, og av oddetall - negative, dvs.: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n
Jeg skal være kort. Vinkelen mellom to rette linjer er lik vinkelen mellom retningsvektorene deres. Så hvis du klarer å finne koordinatene til retningsvektorene a = (x 1 ; y 1 ; z 1) og b = (x 2 ; y 2; z 2), så kan du finne vinkelen. Mer presist, cosinus til vinkelen i henhold til formelen:
La oss se hvordan denne formelen fungerer ved å bruke spesifikke eksempler:
Oppgave. I kuben ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 er punktene E og F markert - midtpunktene til henholdsvis kantene A 1 B 1 og B 1 C 1. Finn vinkelen mellom linjene AE og BF.
Siden kanten på kuben ikke er spesifisert, la oss sette AB = 1. Vi introduserer et standard koordinatsystem: origo er i punktet A, x-, y-, z-aksene er rettet langs henholdsvis AB, AD og AA 1. Enhetssegmentet er lik AB = 1. La oss nå finne koordinatene til retningsvektorene for linjene våre.
La oss finne koordinatene til vektor AE. For dette trenger vi punktene A = (0; 0; 0) og E = (0,5; 0; 1). Siden punktet E er midten av segmentet A 1 B 1, er dets koordinater lik det aritmetiske gjennomsnittet av koordinatene til endene. Merk at opprinnelsen til vektoren AE sammenfaller med opprinnelsen til koordinatene, så AE = (0,5; 0; 1).
La oss nå se på BF-vektoren. På samme måte analyserer vi punktene B = (1; 0; 0) og F = (1; 0.5; 1), fordi F er midten av segmentet B 1 C 1. Vi har:
BF = (1 − 1; 0,5 − 0; 1 − 0) = (0; 0,5; 1).
Så retningsvektorene er klare. Cosinus til vinkelen mellom rette linjer er cosinus til vinkelen mellom retningsvektorene, så vi har:
Oppgave. I et vanlig trekantet prisme ABCA 1 B 1 C 1, hvor alle kanter er lik 1, er punktene D og E markert - midtpunktene til henholdsvis kantene A 1 B 1 og B 1 C 1. Finn vinkelen mellom linjene AD og BE.
La oss introdusere et standard koordinatsystem: origo er ved punkt A, x-aksen er rettet langs AB, z - langs AA 1. La oss rette y-aksen slik at OXY-planet faller sammen med ABC-planet. Enhetssegmentet er lik AB = 1. La oss finne koordinatene til retningsvektorene for de nødvendige linjene.
La oss først finne koordinatene til vektoren AD. Tenk på punktene: A = (0; 0; 0) og D = (0,5; 0; 1), fordi D - midten av segmentet A 1 B 1. Siden begynnelsen av vektoren AD sammenfaller med opprinnelsen til koordinatene, får vi AD = (0,5; 0; 1).
La oss nå finne koordinatene til vektor BE. Punkt B = (1; 0; 0) er lett å beregne. Med punkt E - midten av segmentet C 1 B 1 - er det litt mer komplisert. Vi har:
Det gjenstår å finne cosinus til vinkelen:
Oppgave. I et regulært sekskantet prisme ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, hvor alle kanter er lik 1, er punktene K og L markert - midtpunktene til henholdsvis kantene A 1 B 1 og B 1 C 1 . Finn vinkelen mellom linjene AK og BL.
La oss introdusere et standard koordinatsystem for et prisme: vi plasserer opprinnelsen til koordinatene i sentrum av den nedre basen, x-aksen er rettet langs FC, y-aksen er rettet gjennom midtpunktene til segmentene AB og DE, og z-en. aksen er rettet vertikalt oppover. Enhetssegmentet er igjen lik AB = 1. La oss skrive ned koordinatene til punktene av interesse for oss:
Punktene K og L er midtpunktene til henholdsvis segmentene A 1 B 1 og B 1 C 1, så deres koordinater er funnet gjennom det aritmetiske gjennomsnittet. Når vi kjenner punktene, finner vi koordinatene til retningsvektorene AK og BL:
La oss nå finne cosinus til vinkelen:
Oppgave. I en vanlig firkantet pyramide SABCD, hvor alle kanter er lik 1, er punktene E og F markert - midtpunktene til henholdsvis sidene SB og SC. Finn vinkelen mellom linjene AE og BF.
La oss introdusere et standard koordinatsystem: origo er i punkt A, x- og y-aksene er rettet langs henholdsvis AB og AD, og z-aksen er rettet vertikalt oppover. Enhetssegmentet er lik AB = 1.
Punktene E og F er midtpunktene til henholdsvis segmentene SB og SC, så koordinatene deres finnes som det aritmetiske gjennomsnittet av endene. La oss skrive ned koordinatene til severdighetene for oss:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)
Når vi kjenner punktene, finner vi koordinatene til retningsvektorene AE og BF:
Koordinatene til vektor AE faller sammen med koordinatene til punkt E, siden punkt A er origo. Det gjenstår å finne cosinus til vinkelen:
Definisjon. Hvis to linjer er gitt y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, vil den spisse vinkelen mellom disse linjene bli definert som
To linjer er parallelle hvis k 1 = k 2. To linjer er vinkelrette hvis k 1 = -1/ k 2.
Teorem. Linjene Ax + Bу + C = 0 og A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 er parallelle når koeffisientene A 1 = λA, B 1 = λB er proporsjonale. Hvis også C 1 = λC, så faller linjene sammen. Koordinatene til skjæringspunktet mellom to linjer er funnet som en løsning på likningssystemet til disse linjene.
Ligning av en linje som går gjennom et gitt punkt
Vinkelrett på en gitt linje
Definisjon. En rett linje som går gjennom punktet M 1 (x 1, y 1) og vinkelrett på den rette linjen y = kx + b er representert ved ligningen:
Avstand fra punkt til linje
Teorem. Hvis et punkt M(x 0, y 0) er gitt, blir avstanden til linjen Ax + Bу + C = 0 bestemt som
.
Bevis. La punktet M 1 (x 1, y 1) være bunnen av perpendikulæren som faller fra punkt M til en gitt rett linje. Da er avstanden mellom punktene M og M 1:
(1)
Koordinatene x 1 og y 1 kan bli funnet ved å løse ligningssystemet:
Den andre ligningen til systemet er ligningen til en linje som går gjennom et gitt punkt M 0 vinkelrett på en gitt linje. Hvis vi transformerer den første ligningen i systemet til formen:
A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + Ved 0 + C = 0,
så når vi løser, får vi:
Ved å erstatte disse uttrykkene i ligning (1), finner vi:
Teoremet er bevist.
Eksempel. Bestem vinkelen mellom linjene: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
k 1 = -3; k2 = 2; tgφ = 
; φ= p /4.
Eksempel. Vis at linjene 3x – 5y + 7 = 0 og 10x + 6y – 3 = 0 er vinkelrette.
Løsning. Vi finner: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, derfor er linjene vinkelrette.
Eksempel. Oppgitt er toppunktene til trekanten A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Finn ligningen for høyden trukket fra toppunktet C.
Løsning. Vi finner ligningen til siden AB: 
; 4 x = 6 y – 6;
2 x – 3 y + 3 = 0;
Den nødvendige høydeligningen har formen: Ax + By + C = 0 eller y = kx + b. k = . Da er y = . Fordi høyde passerer gjennom punkt C, så tilfredsstiller dens koordinater denne ligningen: 
fra hvor b = 17. Totalt:. 
Svar: 3 x + 2 år – 34 = 0.
Ligningen til en linje som går gjennom et gitt punkt i en gitt retning. Ligning av en linje som går gjennom to gitte punkter. Vinkelen mellom to rette linjer. Betingelsen for parallellitet og perpendikularitet av to rette linjer. Bestemme skjæringspunktet mellom to linjer
1. Ligning av en linje som går gjennom et gitt punkt EN(x 1 , y 1) i en gitt retning, bestemt av helningen k,
y - y 1 = k(x - x 1). (1)
Denne ligningen definerer en blyant av linjer som går gjennom et punkt EN(x 1 , y 1), som kalles strålesenteret.
2. Ligning av en linje som går gjennom to punkter: EN(x 1 , y 1) og B(x 2 , y 2), skrevet slik:
Vinkelkoeffisienten til en rett linje som går gjennom to gitte punkter, bestemmes av formelen
3. Vinkel mellom rette linjer EN Og B er vinkelen som den første rette linjen må roteres med EN rundt skjæringspunktet for disse linjene mot klokken til det faller sammen med den andre linjen B. Hvis to rette linjer er gitt ved ligninger med en helning
y = k 1 x + B 1 ,
y = k 2 x + B 2 , (4)
da bestemmes vinkelen mellom dem av formelen
Det skal bemerkes at i telleren til brøken trekkes helningen til den første linjen fra helningen til den andre linjen.
Hvis likningene til en linje er gitt i generell form
EN 1 x + B 1 y + C 1 = 0,
EN 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)
vinkelen mellom dem bestemmes av formelen
4. Betingelser for parallellitet av to linjer:
a) Hvis linjene er gitt av ligningene (4) med en vinkelkoeffisient, så er den nødvendige og tilstrekkelige betingelsen for deres parallellitet likheten mellom deres vinkelkoeffisienter:
k 1 = k 2 . (8)
b) For det tilfellet når linjene er gitt ved likninger i generell form (6), er en nødvendig og tilstrekkelig betingelse for deres parallellitet at koeffisientene for de tilsvarende strømkoordinatene i deres likninger er proporsjonale, dvs.
5. Betingelser for vinkelrett på to linjer:
a) I tilfellet når linjene er gitt av ligningene (4) med en vinkelkoeffisient, er en nødvendig og tilstrekkelig betingelse for deres perpendikularitet at deres vinkelkoeffisienter er inverse i størrelse og motsatt i fortegn, dvs.
Denne betingelsen kan også skrives i skjemaet
k 1 k 2 = -1. (11)
b) Hvis linjelikningene er gitt i generell form (6), så er betingelsen for deres perpendikularitet (nødvendig og tilstrekkelig) å tilfredsstille likheten
EN 1 EN 2 + B 1 B 2 = 0. (12)
6. Koordinatene til skjæringspunktet mellom to linjer finner man ved å løse ligningssystemet (6). Linjer (6) krysser hvis og bare hvis
1. Skriv likningene til linjer som går gjennom punktet M, hvorav den ene er parallell og den andre vinkelrett på den gitte linjen l.
Hjørne φ generelle ligninger A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 og A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, beregnet med formelen:
Hjørne φ mellom to linjer gitt kanoniske ligninger(x-x 1)/m 1 = (y-y 1)/n 1 og (x-x 2)/m 2 = (y-y 2)/n 2, beregnet med formelen:
Avstand fra punkt til linje
Hvert plan i rommet kan representeres som en lineær ligning kalt generell ligning flyet
Spesielle tilfeller.
o Hvis i ligning (8), så går planet gjennom origo.
o Når (,) planet er parallelt med henholdsvis aksen (akse, akse).
o Når (,) planet er parallelt med planet (plan, plan).
Løsning: bruk (7)
Svar: generell planligning.
Eksempel.
Et plan i det rektangulære koordinatsystemet Oxyz er gitt ved den generelle ligningen til planet 
. Skriv ned koordinatene til alle normalvektorene i dette planet.
Vi vet at koeffisientene til variablene x, y og z i den generelle ligningen til et plan er de tilsvarende koordinatene til normalvektoren til dette planet. Derfor normalvektoren til et gitt plan 
har koordinater. Settet med alle normale vektorer kan defineres som:
Skriv likningen til planet hvis det i det rektangulære koordinatsystemet Oxyz i rommet går gjennom punktet 
, A 
er normalvektoren til dette planet.
Vi presenterer to løsninger på dette problemet.
Fra den tilstanden vi har. Vi erstatter disse dataene i den generelle ligningen for planet som går gjennom punktet:
Skriv den generelle ligningen til et plan parallelt med koordinatplanet Oyz og som går gjennom punktet 
.
Et plan som er parallelt med koordinatplanet Oyz kan gis ved en generell ufullstendig planligning av formen. Siden punktet 
hører til planet etter betingelse, så må koordinatene til dette punktet tilfredsstille ligningen til planet, det vil si at likheten må være sann. Herfra finner vi. Dermed har den nødvendige ligningen formen.
Løsning. Kryssproduktet, per definisjon 10.26, er ortogonalt til vektorene p og q. Følgelig er den ortogonal til det ønskede planet og vektoren kan tas som normalvektor. La oss finne koordinatene til vektor n:
det er 
. Ved å bruke formel (11.1) får vi
Ved å åpne parentesene i denne ligningen kommer vi til det endelige svaret.
Svar: 
.
La oss omskrive normalvektoren i skjemaet og finne lengden:
I henhold til ovenstående:
Svar: 
Parallelle plan har samme normalvektor. 1) Fra ligningen finner vi normalvektoren til planet:.
2) La oss komponere ligningen til planet ved å bruke punktet og normalvektoren: 
Svar:
Vektorligning av et plan i verdensrommet
Parametrisk ligning for et plan i rommet
Ligning av et plan som går gjennom et gitt punkt vinkelrett på en gitt vektor
La et rektangulært kartesisk koordinatsystem gis i tredimensjonalt rom. La oss formulere følgende problem:
Skriv en ligning for et plan som går gjennom et gitt punkt M(x 0, y 0, z 0) vinkelrett på den gitte vektoren n = ( EN, B, C} .
Løsning. La P(x, y, z) - vilkårlig poeng rom. Punktum P tilhører planet hvis og bare hvis vektoren MP = {x − x 0, y − y 0, z − z 0) ortogonalt på vektoren n = {EN, B, C) (Figur 1).
Etter å ha skrevet betingelsen for ortogonaliteten til disse vektorene (n, MP) = 0 i koordinatform får vi:
|
EN(x − x 0) + B(y − y 0) + C(z − z 0) = 0 |
Ligning av et plan med tre punkter
I vektorform
I koordinater
Gjensidig arrangement av fly i rommet
– generelle ligninger av to plan. Deretter:
1) hvis 
, da faller flyene sammen;
2) hvis 
, da er planene parallelle;
3) hvis eller , så krysser planene og ligningssystemet
(6)
er ligningene til den rette skjæringslinjen til disse planene.
|
Løsning: Vi komponerer de kanoniske ligningene til linjen ved å bruke formelen: Svar: |
Vi tar de resulterende ligningene og mentalt "klyper av", for eksempel den venstre delen: . La oss nå sidestille dette stykket til et hvilket som helst nummer(husk at det allerede var en null), for eksempel til en: . Siden bør de to andre "stykkene" også være lik en. I hovedsak må du løse systemet: |
Komponer parametriske ligninger av følgende rette linjer: 
Løsning: Linjer er gitt ved kanoniske ligninger og på det første trinnet bør du finne et punkt som tilhører linjen og dens retningsvektor.
a) Fra ligningene 
fjern punktet og retningsvektoren: . Du kan velge et annet punkt (hvordan du gjør dette er beskrevet ovenfor), men det er bedre å ta det mest åpenbare. Forresten, for å unngå feil, bytt alltid koordinatene inn i ligningene.
La oss lage parametriske ligninger for denne linjen: 
Det praktiske med parametriske ligninger er at de gjør det veldig enkelt å finne andre punkter på en linje. La oss for eksempel finne et punkt hvis koordinater, for eksempel, tilsvarer verdien av parameteren: 
Dermed: b) Vurder kanoniske ligninger 
. Å velge et punkt her er ikke vanskelig, men forrædersk: (pass på så du ikke forvirrer koordinatene!!!). Hvordan fjerne guidevektoren? Du kan spekulere i hva denne linjen er parallell med, eller du kan bruke en enkel formell teknikk: proporsjonen inneholder "Y" og "Z", så vi skriver ned retningsvektoren , og setter en null i det gjenværende rommet: .
La oss komponere de parametriske ligningene til den rette linjen: 
c) La oss omskrive ligningene i formen , det vil si at "zet" kan være hva som helst. Og hvis noen, så la for eksempel . Dermed hører punktet til denne linjen. For å finne retningsvektoren bruker vi følgende formelle teknikk: i de opprinnelige ligningene er det "x" og "y", og i retningsvektoren på disse stedene skriver vi nuller: . I den resterende plassen legger vi enhet: . I stedet for én vil et hvilket som helst tall unntatt null gjøre.
La oss skrive ned de parametriske ligningene til den rette linjen: 
