Сегменттің ортасының 2 координатасы. Кесіндінің ортаңғы нүктесінің координаталарын табу: мысалдар, шешімдер. Сегменттің ортасының координаталарын оның ұштарының радиус векторларының координаталары арқылы анықтау

Кесіндінің ортаңғы нүктесінің координаталарын қалай табуға болады
Алдымен сегменттің ортасы не екенін анықтайық.
Кесіндінің ортасы берілген кесіндіге жататын және оның ұштарынан бірдей қашықтықта орналасқан нүкте деп саналады.

Мұндай нүктенің координаталары, егер осы кесіндінің ұштарының координаталары белгілі болса, оңай табылады. Бұл жағдайда кесіндінің ортасының координаталары кесінді ұштарының сәйкес координаталарының қосындысының жартысына тең болады.
Сегменттің ортасының координаталары көбінесе медиана, центр сызығы және т.б. бойынша есептерді шешу арқылы табылады.
Екі жағдай үшін кесіндінің ортасының координаталарын есептеуді қарастырайық: кесінді жазықтықта көрсетілгенде және кеңістікте көрсетілгенде.
Жазықтықтағы кесінді координаталары бар екі нүкте арқылы белгіленсін. Содан кейін PH сегментінің ортасының координаталары мына формула бойынша есептеледі:

Кеңістікте кесінді координаталары және және болатын екі нүкте арқылы анықталсын. Содан кейін PH сегментінің ортасының координаталары мына формула бойынша есептеледі:

Мысал.
М (-1; 6) және О (8; 5) болса, К нүктесінің - МО ортасының координаталарын табыңыз.

Шешім.
Нүктелердің екі координатасы болғандықтан, бұл кесіндінің жазықтықта анықталғанын білдіреді. Біз сәйкес формулаларды қолданамыз:

Демек, МО ортасы К (3.5; 5.5) координаталарына ие болады.

Жауап. K (3,5; 5,5).

Төмендегі мақалада егер оның шеткі нүктелерінің координаталары бастапқы деректер ретінде қолжетімді болса, сегменттің ортасының координатасын табу мәселелері қарастырылады. Бірақ мәселені зерттеуді бастамас бұрын, бірқатар анықтамаларды енгізейік.

Анықтама 1

Сызық сегменті- екеуін қосатын түзу ерікті нүктелер, сегменттің ұштары деп аталады. Мысал ретінде бұл А және В нүктелері және сәйкесінше А В кесіндісі болсын.

А В кесіндісін А және В нүктелерінен екі бағытта жалғастырса, А В түзуін аламыз. Сонда А В кесіндісі А және В нүктелерімен шектелген түзудің бір бөлігі болады. А В кесіндісі оның ұштары болып табылатын А және В нүктелерін, сондай-ақ олардың арасында жатқан нүктелер жиынын біріктіреді. Мысалы, А және В нүктелерінің арасында жататын кез келген еркін К нүктесін алсақ, К нүктесі А В кесіндісінде жатыр деп айта аламыз.

Анықтама 2

Бөлім ұзындығы– берілген масштабтағы кесіндінің ұштары арасындағы қашықтық (бірлік ұзындықтағы кесінді). А В кесіндісінің ұзындығын былай белгілейік: A B .

Анықтама 3

Сегменттің ортаңғы нүктесі– кесіндіде жатқан және оның ұштарынан бірдей қашықтықта жатқан нүкте. Егер A B кесіндісінің ортасы С нүктесімен белгіленсе, онда теңдік ақиқат болады: A C = C B

Бастапқы деректер: О х координаталық түзу және ондағы сәйкес келмейтін нүктелер: А және В. Бұл нүктелер нақты сандарға сәйкес келеді x A және x B . С нүктесі А В кесіндісінің ортасы: координатаны анықтау керек x C .

С нүктесі А В кесіндісінің ортасы болғандықтан, теңдік ақиқат болады: | A C | = | C B | . Нүктелер арасындағы қашықтық олардың координаталарындағы айырмашылық модулімен анықталады, яғни.

| A C | = | C B | ⇔ x C - x A = x B - x C

Сонда екі теңдік болуы мүмкін: x C - x A = x B - x C және x C - x A = - (x B - x C)

Бірінші теңдіктен С нүктесінің координаталары формуласын аламыз: x C = x A + x B 2 (кесінді ұштары координаталарының қосындысының жартысы).

Екінші теңдіктен мынаны аламыз: x A = x B, бұл мүмкін емес, өйткені бастапқы деректерде – сәйкес келмейтін нүктелер. Осылайша, А (х А) және ұштары бар A B кесіндісінің ортасының координаталарын анықтау формуласы B(xB):

Алынған формула жазықтықтағы немесе кеңістіктегі кесінді ортасының координаталарын анықтауға негіз болады.

Бастапқы деректер: O x y жазықтығындағы тікбұрышты координаталар жүйесі, A x A, y A және B x B, y B координаталары берілген екі ерікті сәйкес келмейтін нүктелер. С нүктесі А В кесіндісінің ортасы. С нүктесі үшін x C және y C координаталарын анықтау қажет.

Талдау үшін А және В нүктелері сәйкес келмейтін және бір координаталық түзуде немесе осьтердің біріне перпендикуляр түзуде жатпайтын жағдайды алайық. A x, A y; B x, B y және C x, C y - координаталық осьтердегі А, В және С нүктелерінің проекциялары (О х және О у түзулері).

Салу бойынша A A x, B B x, C C x түзулері параллель; сызықтар да бір-біріне параллель. Осымен бірге, Талес теоремасы бойынша, A C = C B теңдігінен теңдіктер шығады: A x C x = C x B x және A y C y = C y B y және олар өз кезегінде C x нүктесінің A x B x кесіндісінің ортасы, ал C y - A y B y кесіндісінің ортасы. Содан кейін, бұрын алынған формулаға сүйене отырып, біз мынаны аламыз:

x C = x A + x B 2 және y C = y A + y B 2

А және В нүктелері бір координаталық түзуде немесе осьтердің біріне перпендикуляр түзуде жатқан жағдайда бірдей формулаларды қолдануға болады. Біз бұл жағдайға егжей-тегжейлі талдау жасамаймыз, біз оны тек графикалық түрде қарастырамыз:

Жоғарыда айтылғандардың барлығын қорытындылай келе, ұштарының координаталары бар жазықтықтағы А В кесіндісінің ортасының координаталары A (x A , y A) Және B(xB, yB) ретінде анықталады:

(x A + x B 2 , y A + y B 2)

Бастапқы деректер: O x y z координаталар жүйесі және берілген A (x A, y A, z A) және B (x B, y B, z B) координаталары бар екі ерікті нүкте. А В кесіндісінің ортасы болып табылатын С нүктесінің координаталарын анықтау керек.

A x , A y , A z ; B x , B y , B z және C x , C y , C z - барлық проекциялар ұпайлар берілгенкоординаталар жүйесінің осінде.

Фалес теоремасы бойынша мына теңдіктер ақиқат: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z.

Демек, C x , C y , C z нүктелері сәйкесінше A x B x , A y B y , A z B z кесінділерінің орта нүктелері болып табылады. Содан кейін, Кеңістіктегі кесіндінің ортасының координаталарын анықтау үшін келесі формулалар дұрыс:

x C = x A + x B 2, y c = y A + y B 2, z c = z A + Z B 2

Алынған формулалар А және В нүктелері координаталық түзулердің бірінде жатқан жағдайларда да қолданылады; осьтердің біріне перпендикуляр түзуде; бір координаталық жазықтықта немесе координаталық жазықтықтардың біріне перпендикуляр жазықтықта.

Сегмент ортасының координаталарын оның ұштарының радиус векторларының координаталары арқылы анықтау

Сегменттің ортасының координаталарын табу формуласын векторлардың алгебралық интерпретациясына сәйкес шығаруға да болады.

Бастапқы деректер: тік бұрышты декарттық координаталар жүйесі O x y, берілген координаталары А (х А, у А) және В (х В, х В) нүктелері. С нүктесі А В кесіндісінің ортасы.

Векторлардағы әрекеттердің геометриялық анықтамасы бойынша келесі теңдік ақиқат болады: O C → = 1 2 · O A → + O B → . С нүктесінде бұл жағдайда– O A → және O B → векторларының негізінде салынған параллелограммның диагональдарының қиылысу нүктесі, яғни. диагональдардың ортасының нүктесі нүктенің радиус векторының координаталары нүктенің координаталарына тең, онда теңдіктері ақиқат болады: O A → = (x A, y A), O B → = (x B. , y B). Координаталардағы векторларға бірнеше амалдар орындап, мынаны аламыз:

O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

Сондықтан С нүктесінің координаттары бар:

x A + x B 2 , y A + y B 2

Аналогия бойынша кеңістіктегі сегменттің ортасының координаталарын табу үшін формула анықталады:

C (x A + x B 2, y A + y B 2, z A + z B 2)

Кесіндінің орта нүктесінің координаталарын табуға есептер шығару мысалдары

Жоғарыда алынған формулаларды қолдануды көздейтін есептердің ішінде кесіндінің ортасының координаталарын есептеу тікелей сұрақ болып табылатын және берілген шарттарды осы сұраққа келтіруді көздейтін мәселелер бар: «медиана» термині. жиі пайдаланылады, мақсаты кесіндінің ұштарынан біреудің координаталарын табу, симметрия есептері де жиі кездеседі, оларды шешу де жалпы алғанда осы тақырыпты оқығаннан кейін қиындық тудырмауы керек. Типтік мысалдарды қарастырайық.

1-мысал

Бастапқы деректер:жазықтықта – берілген координаталары А (- 7, 3) және В (2, 4) нүктелері. А В кесіндісінің ортаңғы нүктесінің координаталарын табу керек.

Шешім

А В кесіндісінің ортасын С нүктесімен белгілейік. Оның координаталары сегмент ұштарының координаталарының қосындысының жартысы ретінде анықталады, яғни. А және В нүктелері.

x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Жауап: A B кесіндісінің ортасының координаталары - 5 2, 7 2.

2-мысал

Бастапқы деректер: A B C үшбұрышының координаталары белгілі: A (- 1, 0), B (3, 2), C (9, - 8). A M медианасының ұзындығын табу керек.

Шешім

1. Есептің шарттарына сәйкес, A M - медиана, бұл M - B C сегментінің орта нүктесі екенін білдіреді. Ең алдымен, B C сегментінің ортасының координаталарын табайық, яғни. M ұпай:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

1. Медиананың екі ұшының координаталары (A және M нүктелері) белгілі болғандықтан, біз нүктелер арасындағы қашықтықты анықтау және A M медианасының ұзындығын есептеу үшін формуланы пайдалана аламыз:

A M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

Жауап: 58

3-мысал

Бастапқы деректер:үш өлшемді кеңістіктің тікбұрышты координаттар жүйесінде параллелепипед A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 берілген. С 1 нүктесінің координаталары берілген (1, 1, 0), сонымен қатар В D 1 диагоналының ортасы болып табылатын және координаталары M (4, 2, - 4) болатын М нүктесі де анықталған. А нүктесінің координаталарын есептеу керек.

Шешім

Параллелепипедтің диагональдары бір нүктеде қиылысады, бұл барлық диагональдардың ортасы болып табылады. Осы тұжырымға сүйене отырып, есептің шарттарынан белгілі М нүктесі А С 1 кесіндісінің ортасы екенін есте ұстауға болады. Кеңістіктегі кесіндінің ортасының координаталарын табу формуласына сүйене отырып, А нүктесінің координаталарын табамыз: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z C 1 = 2 · (- 4) - 0 = - 8

Жауап:А нүктесінің координаталары (7, 3, - 8).

Мәтінде қатені байқасаңыз, оны бөлектеп, Ctrl+Enter пернелерін басыңыз

Бастапқы геометриялық ақпарат

Кесінді ұғымы нүкте, түзу, сәуле және бұрыш ұғымдары сияқты бастапқы геометриялық ақпаратты білдіреді. Геометрияны оқу жоғарыда аталған ұғымдардан басталады.

«Бастапқы ақпарат» деп біз әдетте қарапайым және қарапайым нәрсені айтамыз. Түсінуде, мүмкін, бұл рас. Алайда, мұндай қарапайым ұғымдаржиі кездеседі және тек біздің ғана емес қажет болып шығады Күнделікті өмір, сонымен қатар өндірісте, құрылыста және өміріміздің басқа салаларында.

Анықтамалардан бастайық.

Анықтама 1

Кесінді – екі нүктемен (ұштармен) шектелген түзудің бөлігі.

Егер сегменттің ұштары $A$ және $B$ нүктелері болса, онда алынған кесінді $AB$ немесе $BA$ түрінде жазылады. Мұндай кесінді $A$ және $B$ нүктелерін, сондай-ақ осы нүктелер арасында жатқан түзудің барлық нүктелерін қамтиды.

Анықтама 2

Кесіндінің орта нүктесі деп оны екі тең кесіндіге бөлетін кесіндідегі нүктені айтады.

Егер бұл $C$ нүктесі болса, онда $AC=CB$.

Сегіндіні өлшеу өлшем бірлігі ретінде қабылданған белгілі бір кесіндімен салыстыру арқылы жүзеге асады. Ең жиі қолданылатын сантиметр. Егер берілген кесіндіге сантиметр дәл төрт рет қойылса, бұл кесіндінің ұзындығы $4$ см дегенді білдіреді.

Қарапайым бақылауды енгізейік. Егер нүкте кесіндіні екі кесіндіге бөлсе, онда бүкіл кесіндінің ұзындығы осы кесінділердің ұзындықтарының қосындысына тең болады.

Кесіндінің орта нүктесінің координаталарын табу формуласы

Кесіндінің орта нүктесінің координаталарын табу формуласы жазықтықтағы аналитикалық геометрия курсына қолданылады.

Координаталарды анықтайық.

Анықтама 3

Координаттар - нүктенің жазықтықтағы, беттегі немесе кеңістіктегі орнын көрсететін нақты (немесе реттелген) сандар.

Біздің жағдайда координаталар координата осьтерімен анықталған жазықтықта белгіленеді.

Сурет 3. Координаталық жазықтық. Author24 - студенттер жұмысын онлайн алмасу

Сызбаға сипаттама берейік. Жазықтықта бастапқы нүкте деп аталатын нүкте таңдалады. Ол $O$ әрпімен белгіленеді. Координаталар басы арқылы екі түзу (координаталық осьтер) сызылады, олар тік бұрышта қиылысады, олардың бірі қатаң көлденең, ал екіншісі тік. Бұл жағдай қалыпты деп саналады. Көлденең түзу абсцисса осі деп аталады және $OX$ белгіленеді, тік түзу ордината осі $OY$ деп аталады.

Осылайша, осьтер $XOY$ жазықтығын анықтайды.

Мұндай жүйедегі нүктелердің координаталары екі санмен анықталады.

Белгілі бір координаттарды анықтайтын әртүрлі формулалар (теңдеулер) бар. Әдетте, аналитикалық геометрия курсында олар түзу сызықтар, бұрыштар, кесінділердің ұзындықтары және т.б. үшін әртүрлі формулаларды зерттейді.

Тікелей кесіндінің ортасының координаталары формуласына көшейік.

Анықтама 4

$E(x,y)$ нүктесінің координаталары $M_1M_2$ кесіндісінің ортасы болса, онда:

Сурет 4. Кесіндінің ортасының координаталарын табу формуласы. Author24 - студенттер жұмысын онлайн алмасу

Практикалық бөлім

Мектептегі геометрия курсының мысалдары өте қарапайым. Бірнеше негізгілерін қарастырайық.

Жақсырақ түсіну үшін алдымен қарапайым көрнекі мысалды қарастырайық.

1-мысал

Бізде сурет бар:

Суретте $AC, CD, DE, EB$ сегменттері тең.

1. Қай сегменттердің ортасы $D$ нүктесі?
2. $DB$ сегментінің орта нүктесі қай нүкте?

1. $D$ нүктесі — $AB$ және $CE$ сегменттерінің ортаңғы нүктесі;
2. $E$ нүктесі.

Ұзындығын есептеу керек тағы бір қарапайым мысалды қарастырайық.

2-мысал

$B$ нүктесі $AC$ сегментінің ортасы. $AB = 9$ см $AC$ ұзындығы қандай?

$B$ $AC$-ды екіге бөлетіндіктен, $AB = BC= 9$ см, Демек, $AC = 9+9=18$ см.

Жауабы: 18 см.

Басқа ұқсас мысалдар әдетте бірдей және ұзындық мәндерін және олардың алгебралық операциялармен көрсетілуін салыстыру мүмкіндігіне бағытталған. Көбінесе проблемаларда сантиметр сегментке дәл сәйкес келмейтін жағдайлар болады. Содан кейін өлшем бірлігі тең бөліктерге бөлінеді. Біздің жағдайда сантиметр 10 миллиметрге бөлінеді. Қалғанын бөлек өлшеп, оны миллиметрмен салыстырыңыз. Мұндай жағдайды дәлелдейтін мысал келтірейік.

Тынымсыз жұмыстан кейін мен кенеттен веб-беттердің өлшемі айтарлықтай үлкен екенін байқадым, егер бәрі осылай жалғаса берсе, мен жайбарақат кете аламын =) Сондықтан мен сіздердің назарларыңызға өте кең таралған геометриялық мәселеге арналған шағын эссені ұсынамын - осыған байланысты сегментті бөлу туралы, және, ерекше жағдай ретінде, сегментті екіге бөлу туралы.

Бір себептермен бұл тапсырма басқа сабақтарға сәйкес келмеді, бірақ қазір оны егжей-тегжейлі және жайбарақат қарастыруға үлкен мүмкіндік бар. Жақсы жаңалық - біз векторлардан үзіліс жасап, нүктелер мен сегменттерге назар аударамыз.

Осыған байланысты сегментті бөлу формулалары

Осыған байланысты сегментті бөлу түсінігі

Көбінесе сізге уәде етілген нәрсені күтудің қажеті жоқ, бірден бірнеше тармақты қарастырайық және, әрине, керемет - сегмент:

Қарастырылып отырған есеп жазықтықтың кесінділері үшін де, кеңістік сегменттері үшін де жарамды. Яғни, демонстрациялық сегментті жазықтықта немесе кеңістікте қалауыңызша орналастыруға болады. Түсіндіруге ыңғайлы болу үшін мен оны көлденеңінен сыздым.

Бұл сегментпен не істейміз? Бұл жолы кесуге. Біреу бюджетті, біреу жарын, біреу отын кесіп жатыр, ал біз сегментті екіге бөлеміз. Сегмент белгілі бір нүктені пайдаланып екі бөлікке бөлінеді, ол, әрине, тікелей оның үстінде орналасқан:

Бұл мысалда нүкте кесіндіні кесіндінің ұзындығының жартысы болатындай етіп бөледі. Сондай-ақ нүкте кесіндіні төбесінен санайтын қатынаста («бірден екіге») бөлетінін айтуға болады.

Құрғақ математикалық тілбұл факт былайша жазылады: , немесе көбінесе әдеттегі пропорция түрінде: . Сегменттердің қатынасы әдетте гректің «lambda» әрпімен белгіленеді, бұл жағдайда: .

Пропорцияны басқа ретпен құрастыру оңай: - бұл белгі кесіндінің кесіндіден екі есе ұзын екенін білдіреді, бірақ есептерді шешу үшін мұның іргелі маңызы жоқ. Бұлай болуы мүмкін, олай болуы мүмкін.

Әрине, сегментті басқа жағынан оңай бөлуге болады және тұжырымдаманы нығайту үшін екінші мысал:

Мұнда келесі қатынас дұрыс: . Егер пропорцияны керісінше жасасақ, онда мынаны аламыз: .

Осыған байланысты сегментті бөлу нені білдіретінін түсінгеннен кейін біз практикалық мәселелерді қарастыруға көшеміз.

Егер жазықтықтың екі нүктесі белгілі болса, онда кесіндіні қатысты бөлетін нүктенің координаталары мына формулалармен өрнектеледі:

Бұл формулалар қайдан пайда болды? Аналитикалық геометрия курсында бұл формулалар векторлардың көмегімен қатаң түрде шығарылады (оларсыз біз қайда болар едік? =)). Сонымен қатар, олар тек декарттық координаталар жүйесі үшін ғана емес, сонымен қатар ерікті аффиндік координаталар жүйесі үшін де жарамды (сабақты қараңыз). Векторлардың сызықтық (бейне) тәуелділігі. Векторлардың негізі ). Бұл жалпыға бірдей міндет.

1-мысал

Егер нүктелер белгілі болса, қатынастағы кесіндіні бөлетін нүктенің координаталарын табыңыз

Шешім: Бұл мәселеде. Осы қатынаста кесіндіні бөлу формулаларын пайдалана отырып, біз мына нүктені табамыз:

Жауап:

Есептеу техникасына назар аударыңыз: алдымен алым мен бөлгішті бөлек есептеу керек. Нәтиже жиі (бірақ әрқашан емес) үш немесе төрт қабатты фракция болып табылады. Осыдан кейін біз фракцияның көп қабатты құрылымынан құтыламыз және соңғы жеңілдетулерді жүргіземіз.

Тапсырма сурет салуды қажет етпейді, бірақ оны жоба түрінде орындау әрқашан пайдалы:

Шынында да, қатынас қанағаттандырылды, яғни сегмент сегментке қарағанда үш есе қысқа . Егер пропорция айқын болмаса, онда сегменттерді әрқашан қарапайым сызғышпен ақымақтықпен өлшеуге болады.

Бірдей құнды екінші шешім: онда кері санақ нүктеден басталады және келесі қатынас әділ болады: (адам сөзімен айтқанда, сегмент сегментке қарағанда үш есе ұзын ). Осыған байланысты сегментті бөлу формулаларына сәйкес:

Жауап:

Назар аударыңыз, формулаларда нүктенің координаттарын бірінші орынға жылжыту керек, өйткені кішкентай триллер одан басталды.

Екінші әдіс қарапайым есептеулерге байланысты ұтымды екені де анық. Бірақ бәрібір бұл тапсырмакөбіне «дәстүрлі» жолмен шешіледі. Мысалы, шартқа сәйкес кесінді берілсе, онда сіз пропорцияны құрасыз деп болжанады, егер сегмент берілген болса, онда пропорция «жасырын» білдіреді.

Мен екінші әдісті бердім, себебі олар көбінесе мәселенің шарттарын әдейі шатастыруға тырысады. Сондықтан дөрекі сызбаны біріншіден, жағдайды дұрыс талдау үшін, екіншіден, тексеру мақсатында жүргізу өте маңызды. Мұндай қарапайым тапсырмада қателесу ұят.

2-мысал

Берілген ұпайлар . Табу:

а) кесіндіні -ге қатысты бөлетін нүкте;
б) кесіндіні -ге қатысты бөлетін нүкте.

Бұл өз бетіңізше шешуге болатын мысал. Толық шешім және сабақ соңында жауап беру.

Кейде сегменттің ұштарының бірі белгісіз проблемалар бар:

3-мысал

Нүкте сегментке жатады. Сегмент сегментке қарағанда екі есе ұзын екені белгілі. Егер болса, нүктесін табыңыз .

Шешім: Шарттан нүктенің кесіндіні төбесінен санайтын қатынаста бөлетіні шығады, яғни пропорция дұрыс: . Осыған байланысты сегментті бөлу формулаларына сәйкес:

Енді біз : нүктесінің координаталарын білмейміз, бірақ бұл ерекше мәселе емес, өйткені оларды жоғарыдағы формулалардан оңай өрнектеуге болады. Жалпы мағынада айтудың қажеті жоқ, нақты сандарды ауыстыру және есептеулерді мұқият анықтау оңайырақ:

Жауап:

Тексеру үшін сегменттің ұштарын алуға болады және формулаларды тікелей ретпен қолдана отырып, қатынас нақты нүктеге әкелетініне көз жеткізіңіз. Және, әрине, сурет салу артық болмайды. Сізді дойбы дәптердің, қарапайым қарындаштың және сызғыштың артықшылықтарына сендіру үшін мен сізге өз бетіңізше шешуге болатын күрделі мәселені ұсынамын:

4-мысал

Нүкте. Сегмент сегментке қарағанда бір жарым есе қысқа. Нүктелердің координаталары белгілі болса, нүктені табыңыз .

Шешімі сабақтың соңында. Айтпақшы, бұл жалғыз емес, егер сіз үлгіден басқа жолмен жүрсеңіз, бұл қате болмайды, ең бастысы - жауаптар сәйкес келеді.

Кеңістіктік сегменттер үшін бәрі бірдей болады, тек тағы бір координат қосылады.

Егер кеңістіктегі екі нүкте белгілі болса, онда кесіндіні қатысты бөлетін нүктенің координаталары мына формулалармен өрнектеледі:
.

5-мысал

Ұпайлар беріледі. Кесіндіге жататын нүктенің координаталарын табыңыз, егер ол белгілі болса .

Шешім: Шарт мына қатынасты білдіреді: . Бұл мысалнақты сынақтан алынған және оның авторы аздап еркелікке жол берген (біреу сүрініп кетсе) - шартқа пропорцияны келесідей жазу ұтымдырақ болар еді: .

Сегменттің ортаңғы нүктесінің координаталары формулаларына сәйкес:

Жауап:

Тексеру мақсатындағы 3D сызбаларды жасау әлдеқайда қиын. Дегенмен, сіз әрқашан кем дегенде шартты түсіну үшін схемалық сызбаны жасай аласыз - қандай сегменттерді корреляциялау керек.

Жауаптағы бөлшектерге келетін болсақ, таң қалмаңыз, бұл әдеттегі нәрсе. Мен мұны бірнеше рет айттым, бірақ қайталаймын: жоғары математикада қарапайым дұрыс және бұрыс бөлшектер. Жауап формада жасайды, бірақ дұрыс емес бөлшектері бар опция стандарттырақ.

Өз бетінше шешуге арналған қыздыру тапсырмасы:

6-мысал

Ұпайлар беріледі. Нүктенің кесіндіні қатынасқа бөлетіні белгілі болса, оның координаталарын табыңыз.

Шешімі мен жауабы сабақтың соңында. Егер пропорцияларды шарлау қиын болса, схемалық сызбаны жасаңыз.

Тәуелсіз және сынақтарҚарастырылған мысалдар өз бетінше де, үлкен мәселелердің бөлігі ретінде де кездеседі. Осы мағынада үшбұрыштың ауырлық центрін табу мәселесі тән.

Сегменттің бір ұшы белгісіз болатын тапсырма түрін талдаудың артық мағынасын көрмеймін, өйткені барлығы жалпақ корпусқа ұқсас болады, тек шамалы есептеулер бар. Мектеп жылдарымызды жақсырақ еске түсірейік:

Сегменттің ортаңғы нүктесінің координаталарының формулалары

Тіпті оқытылмаған оқырмандар сегментті екіге бөлуді есте сақтай алады. Кесіндіні екі тең бөлікке бөлу мәселесі осы тұрғыдан кесіндіні бөлудің ерекше жағдайы болып табылады. Екі қолды ара ең демократиялық жолмен жұмыс істейді, ал үстелдегі әрбір көршіге бірдей таяқша беріледі:

Осы салтанатты сағатта барабандар соғып, елеулі үлесті қарсы алды. Және жалпы формулалар керемет түрде таныс және қарапайым нәрсеге айналды:

Ыңғайлы сәт - сегменттің ұштарының координаттарын ауыртпалықсыз қайта реттеуге болатын факт:

IN жалпы формулалармұндай сәнді бөлме, сіз түсінесіз, жұмыс істемейді. Бұл жерде оған ерекше қажеттілік жоқ, сондықтан бұл жақсы нәрсе.

Кеңістіктік жағдай үшін айқын ұқсастық бар. Егер кесіндінің ұштары берілсе, онда оның ортасының координаталары мына формулалармен өрнектеледі:

7-мысал

Параллелограмм оның төбелерінің координаталары арқылы анықталады. Оның диагональдарының қиылысу нүктесін табыңыз.

Шешім: Қалағандар сызбаны аяқтай алады. Мен әсіресе мектептегі геометрия курсын мүлдем ұмытып кеткендерге граффитиді ұсынамын.

Белгілі қасиеті бойынша параллелограмның диагональдары олардың қиылысу нүктесі бойынша екіге бөлінеді, сондықтан есепті екі жолмен шешуге болады.

Бірінші әдіс: Қарама-қарсы төбелерді қарастырыңыз . Кесіндіні екіге бөлу формулаларын пайдаланып, диагональдың ортасын табамыз: