F(x, y) = 0 түріндегі теңдік x, y сандарының барлық жұптары үшін дұрыс болмаса, x, y екі айнымалысы бар теңдеу деп аталады. Олар x = x 0, y = y 0 екі саны F(x, y) = 0 түріндегі кейбір теңдеуді қанағаттандырады дейді, егер теңдеуде осы сандарды x және y айнымалыларының орнына қойғанда оның сол жағы нөлге айналады. .
Берілген түзудің теңдеуі (белгіленген координаталар жүйесінде) - бұл түзуде жатқан әрбір нүктенің координаталары қанағаттандырылатын және онда жатпайтын әрбір нүктенің координаталары қанағаттандырылмайтын екі айнымалысы бар теңдеу.
Келесіде «F(x, y) = 0 түзуінің теңдеуі берілген» өрнектің орнына біз жиі қысқаша айтамыз: F(x, y) = 0 сызығы берілген.
Егер екі түзудің теңдеулері берілсе: F(x, y) = 0 және Ф(x, y) = 0, онда жүйенің бірлескен шешімі
F(x,y) = 0, Ф(x, y) = 0
олардың барлық қиылысу нүктелерін береді. Дәлірек айтқанда, осы жүйенің бірлескен шешімі болып табылатын әрбір сан жұбы қиылысу нүктелерінің бірін анықтайды,
157. Берілген ұпайлар *) М 1 (2; -2), М 2 (2; 2), М 3 (2; - 1), М 4 (3; -3), М 5 (5; -5), M 6 (3; -2). Берілген нүктелердің қайсысы х + у = 0 теңдеуімен анықталған түзудің бойында жатқанын және қайсысы онда жатпайтынын анықтаңыз. Бұл теңдеу қай түзуді анықтайды? (Оны сызбаға салыңыз.)
158. x 2 + y 2 = 25 теңдеуімен анықталған түзуден абсциссалары мына сандарға тең нүктелерді табыңыз: 1) 0, 2) -3, 3) 5, 4) 7; сол түзудің бойында ординаталары мына сандарға тең нүктелерді табыңдар: 5) 3, 6) -5, 7) -8. Бұл теңдеу қай түзуді анықтайды? (Оны сызбаға салыңыз.)
159. Төмендегі теңдеулер арқылы қандай түзулер анықталатынын анықтаңыз (сызба бойынша құрастырыңыз): 1)х - у = 0; 2) x + y = 0; 3) x - 2 = 0; 4)x + 3 = 0; 5) у - 5 = 0; 6) y + 2 = 0; 7) x = 0; 8) y = 0; 9) x 2 - xy = 0; 10) xy + y 2 = 0; 11) x 2 - y 2 = 0; 12) xy = 0; 13) у 2 - 9 = 0; 14) x 2 - 8x + 15 = 0; 15) у 2 + бойынша + 4 = 0; 16) x 2 y - 7xy + 10y = 0; 17) y - |x|; 18) x - |y|; 19) y + |x| = 0; 20) x + |y| = 0; 21) у = |x - 1|; 22) у = |x + 2|; 23) x 2 + y 2 = 16; 24) (х - 2) 2 + (у - 1) 2 = 16; 25 (х + 5) 2 + (у-1) 2 = 9; 26) (х - 1) 2 + у 2 = 4; 27) x 2 + (y + 3) 2 = 1; 28) (х - 3) 2 + у 2 = 0; 29) x 2 + 2y 2 = 0; 30) 2х 2 + 3у 2 + 5 = 0; 31) (x - 2) 2 + (y + 3) 2 + 1 = 0.
160. Берілген жолдар: l)x + y = 0; 2)x - y = 0; 3)x 2 + y 2 - 36 = 0; 4) x 2 + y 2 - 2x + y = 0; 5) x 2 + y 2 + 4x - 6y - 1 = 0. Олардың қайсысы координат басынан өтетінін анықтаңыз.
161. Берілген жолдар: 1) x 2 + y 2 = 49; 2) (x - 3) 2 + (y + 4) 2 = 25; 3) (x + 6) 2 + (y - Z) 2 = 25; 4) (x + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9; 5) x 2 + y 2 - 12x + 16y - 0; 6) x 2 + y 2 - 2x + 8y + 7 = 0; 7) x 2 + y 2 - 6x + 4y + 12 = 0. Олардың қиылысу нүктелерін табыңыз: а) Ох осімен; б) Oy осімен.
162. Екі түзудің қиылысу нүктелерін табыңыз?
1) x 2 + y 2 - 8; x - y =0;
2) x 2 + y 2 - 16x + 4y + 18 = 0; x + y = 0;
3) x 2 + y 2 - 2x + 4y - 3 = 0; x 2 + y 2 = 25;
4) x 2 + y 2 - 8y + 10y + 40 = 0; x 2 + y 2 = 4.
163. Полярлық координаталар жүйесінде M 1 (l; π/3), M 2 (2; 0), M 3 (2; π/4), M 4 (√3; π/6) және М нүктелері. 5 ( 1; 2/3π). Осы нүктелердің қайсысы р = 2cosΘ теңдеуі бойынша полярлық координаталар бойынша анықталған түзуде жатыр, ал қайсысы онда жатпайтынын анықтаңыз. Бұл теңдеу арқылы қандай түзу анықталады? (Оны сызбаға салыңыз.)
164. p = 3/cosΘ теңдеуімен анықталған түзуден полярлық бұрыштары мына сандарға тең нүктелерді табыңыз: а) π/3, б) - π/3, в) 0, г) π/6. Бұл теңдеу қай түзуді анықтайды? (Сызба бойынша құрастырыңыз.)
165. p = 1/sinΘ теңдеуімен анықталған түзуден полярлық радиустары мына сандарға тең нүктелерді табыңыз: а) 1 6) 2, в) √2. Бұл теңдеу қай түзуді анықтайды? (Сызба бойынша құрастырыңыз.)
166. Полярлық координатада қандай түзулер келесі теңдеулер арқылы анықталатынын белгілеңіз (сызба бойынша оларды тұрғызыңыз): 1) p = 5; 2) Θ = π/2; 3) Θ = - π/4; 4) p cosΘ = 2; 5) p sinΘ = 1; 6.) p = 6cosΘ; 7) p = 10 sinΘ; 8) sinΘ = 1/2; 9) sinp = 1/2.
167. Сызба бойынша келесі Архимед спиральдарын тұрғызыңыз: 1) p = 20; 2) p = 50; 3) p = Θ/π; 4) p = -Θ/π.
168. Сызба бойынша келесі гиперболалық спиральдарды тұрғызыңыз: 1) p = 1/Θ; 2) p = 5/Θ; 3) p = π/Θ; 4) p= - π/Θ
169. Сызба бойынша келесі логарифмдік спиральдарды тұрғызыңыз: 1) p = 2 Θ; 2) p = (1/2) Θ.
170. Архимед спиралі p = 3Θ полюстен шығатын және поляр осіне Θ = π/6 бұрышпен көлбеу сәуле арқылы кесілген кесінділердің ұзындықтарын анықтаңыз. Сурет салу.
171. Архимед спиральында p = 5/πΘ, полярлық радиусы 47-ге тең С нүктесі алынған. Бұл спираль С нүктесінің полярлық радиусын қанша бөлікке кесетінін анықтаңыз. Сызбаны салыңыз.
172. Гиперболалық спираль P = 6/Θ, полярлық радиусы 12 болатын Р нүктесін табыңыз. Сызбаны салыңыз.
173. p = 3 Θ логарифмдік спиральда полярлық радиусы 81 болатын Р нүктесін табыңыз. Сызбаны салыңыз.
Осылайша, аджип. = с/2 = 2 және bhyp.2 = с2 – агып.2 = 16 – 4 = 12. x2 y2 Қалаған гиперболаның теңдеуі мына түрде болады: − = 1. 4 12 11-есеп. Парабола теңдеуін жазыңыз. оның фокусы F( -7, 0) және директриса теңдеуі x – 7 = 0 болса. Шешуі Директриса теңдеуінен x = -p/2 = 7 немесе p = -14 болады. Сонымен, қажетті параболаның теңдеуі 2 у = -28х. Есеп 12. Төмендегі теңдеулер арқылы қандай түзулер анықталатынын анықтаңыз. Сызбалар жасаңыз. 3 2 1. y = 7 − x − 6 x + 13, y< 7, x ∈ R. 2 Решение 3 2 y−7=− x − 6 x + 13. Возводим обе части 2 уравнения в квадрат: 9 2 (y − 7) 2 = 4 (x − 6 x + 13) или 4 (y − 7) = (x 2 − 6 x + 13). 2 9 Выделяем в правой части полный квадрат: 4 (x − 3) 2 (y − 7) 2 (y − 7) = (x − 3) + 4 или 2 2 − = −1. 9 4 9 Это – сопряженная гипербола. О′(3, 7), полуоси а = 2, b = 3. Заданное же уравнение определяет ветвь гиперболы, расположенную под прямой y – 7 = 0, т.к. y < 7. 1 y +1 2. x = 1 − . 2 2 Решение Область допустимых значений (х, у) определяется условиями ⎧ y +1 ⎪ ≥ 0, ⎧ y ≥ −1, ⎨ 2 → ⎨ ⎪ 1 − x ≥ 0, ⎩ x ≤ 1. ⎩ (y + 1)/2 = 4⋅(1 – x)2 → y + 1 = 8⋅(1 – x)2. Искомая кривая – часть параболы с вершиной в точке (1, -1). 41 3. y = −2 − 9 − x 2 + 8 x . Решение Искомая кривая – часть окружности: (y + 2)2 + (x – 4)2 = 52, y ≤ -2, x ∈ [-1, 9]. 4. y2 – x2 = 0. y Решение y=-x y=x (y – x)⋅(y + x) = 0 – две пересекающиеся прямые. x 0 Задача 13. Какую линию определяет уравнение x2 + y2 = x? Решение Запишем уравнение в виде x2 – x + y2 = 0. Выделим полный квадрат из слагаемых, содержащих х: x2 – x = (x – 1/2)2 – 1/4. 2 ⎛ 1⎞ 1 Уравнение принимает вид ⎜ x − ⎟ + y 2 = ⎝ 2⎠ 4 и определяет окружность с центром в точке (1/2, 0) и радиусом 1/2. Задача 14. Преобразовать уравнение x2 – y2 = a2 поворотом осей на 45° против часовой стрелки. Решение Так как α = -45°, то cos α = 2 2, sin α = − 2 2. Отсюда преобразование поворота принимает вид (см. п.4.2): ⎧ x = 2 2 ⋅ (x′ + y′) , ⎪ ⎨ ⎪ y = 2 2 ⋅ (y′ − x′) . ⎩ Подстановка в исходное уравнение дает х′у′ = а2/2. Проиллюстрируем приведение общих уравнений прямых второго порядка к каноническому виду на нескольких примерах, иллюстрирующих разные схемы преобразований. Задача 15. Привести уравнение 5x2 + 9y2 – 30x + 18y + 9 = 0 к каноническому виду и построить кривую. Решение Сгруппируем члены этого уравнения, содержащие одноименные координаты: (5x2 – 30x) + (9y2 + 18y) +9 = 0, или 5(x2 – 6x) + 9(y2 + 2y) +9 = 0. 42 y y′ Дополняем члены в скобках до полных квадратов: x 5(x2 – 6x + 9 – 9) + 9(y2 + 2y + 1 – 1) +9 = 0, или 0 5(x – 3)2 + 9(y + 1)2 = 45. 01 x′ Обозначаем x′ = x – 3, y′ = y + 1, x0 = 3, y0 = -1, то есть точка О1(3, -1) – центр кривой. Уравнение в новой системе координат принимает вид: x′2 y′2 5 x′ + 9 y′ = 45 → 2 2 + = 1 и определяет эллипс с полуосями 9 5 а = 3, b = 5,который в исходной системе координат имеет центр в точке О1(3, -1). 5 2 3 7 Задача 16. Определить вид кривой x + xy + y 2 = 2. 4 2 4 Решение Определим угол поворота осей по формуле (7) п.4.4: π 5 7 A = ,C = , B = 4 4 4 3 1 , A ≠ C и ϕ = arctg 2 2B 1 (= arctg − 3 = − . A−C 2 6) Подвергнем уравнение кривой преобразованию: ⎧ 3 1 ⎪ x = x′ cos ϕ − y′ sin ϕ = x′ ⎪ + y′ , 2 2 ⎨ ⎪ y = x′ sin ϕ + y′ cos ϕ = − x′ 1 + y′ 3 ⎪ ⎩ 2 2 и получим уравнение эллипса 2 2 5⎛ 3 1⎞ 3⎛ 3 1 ⎞⎛ 1 3 ⎞ 7⎛ 1 3 ⎞ ⎜ x′ + y′ ⎟ + ⎜ x′ + y′ ⎟⎜ − x′ + y′ ⎟ + ⎜ − x′ + y′ ⎟ = 2 . 4⎝ 2 2⎠ 2 ⎝ 2 2 ⎠⎝ 2 2 ⎠ 4⎝ 2 2 ⎠ x′ 2 + 2y′ 2 = 2. Задача 17. Установить, какую линию определяет уравнение x2 + y2 + xy – 2x + 3y = 0. Решение Перенесем начало координат в такую точку О1(х0, у0), чтобы уравнение не содержало х′ и у′ в первой степени. Это соответствует преобразованию координат вида (см. п.4.1): ⎧ x = x′ + x0 , ⎨ ⎩ y = y′ + y0 . Подстановка в исходное уравнение дает (x′ + x0)2 + (x′ + x0)(y′ + y0) + (y′ + y0)2 – 2(x′ + x0) + 3(y′ + y0) = 0 или x′2 + x′y′ + y′2 + (2x0 + y0 - 2)x′ + (x0 + 2y0 + 3)y′ + x02 + x0y0 + y02 - 2x0 + 3y0 =0. Положим 2x0 + y0 – 2 = 0, x0 + 2y0 + 3 = 0. 43 Решение полученной системы уравнений: x0 = 7/3 и y0 = -8/3. Таким образом, координаты нового начала координат O1(7/3, -8/3), а уравнение принимает вид x′2 + x′y′ + y′ 2 = 93/25. Повернем оси координат на такой угол α, чтобы исчез член х′у′. Подвергнем последнее уравнение преобразованию (см. п.4.2): ⎧ x′ = x′′ cos α − y′′ sin α, ⎨ ⎩ y′ = x′′ sin α + y′′ cos α и получим (cos2α + sinα⋅cosα + sin2α)⋅x′′2 + y ′′ y y′ x′′ (cos2α - sin2α)⋅x′′y′′ + 0 x + (sin2α - sinα⋅cosα + cos2α)⋅y′′ 2 = 93/25. Полагая cos2α - sin2α = 0, имеем tg2α = 1. α x′ Следовательно, α1,2 = ±45°. Возьмем α = 45°, cos45° = sin45° = 2 2 . 01 После соответствующих вычислений получаем 3 2 1 2 93 x ′′ + y ′′ = . 2 2 25 x′′2 y′′2 Итак, + =1 62 25 186 25 – уравнение эллипса с полуосями a = 62 5 ≈ 1,5; b = 186 5 ≈ 2,7 в дважды штрихованной системе координат, получаемой из исходной параллельным переносом осей координат в точку О1(7/3, -8/3) и последующим поворотом на угол 45° против часовой стрелки. Уравнение x2 + y2 + xy – 2x + 3y = 0 приведено к каноническому виду x′′2 y′′2 + 2 = 1. a2 b Задача 18. Привести к каноническому виду уравнение 4x2 – 4xy + y2 – 2x – 14y + 7 = 0. Решение Система уравнений для нахождения центра кривой (формула (6) п.4.4) ⎧ 4 x0 − 2 y0 − 1 = 0, ⎨ несовместна, ⎩ −2 x0 + y0 − 7 = 0 значит, данная кривая центра не имеет. Не меняя начала координат, повернем оси на некоторый угол α, соответствующие преобразования координат имеют ⎧ x = x′ cos α − y′ sin α, вид: ⎨ ⎩ y = x′ sin α + y′ cos α. 44 Перейдем в левой части уравнения к новым координатам: 4x2 – 4xy + y2 – 2x – 14y + 7 = (4cos2α - 4cosα⋅sinα + sin2α)⋅x′2 + + 2⋅(-4sinα⋅cosα - 2cos2α + 2sin2α + sinα⋅cosα)⋅x′y′ + + (4sin2α + 4sinα⋅cosα + cos2α)⋅y′2 + + 2⋅(-cosα - 7sinα)⋅x′ + 2⋅(sinα - 7cosα)⋅y′ + 7. (*) Постараемся теперь подобрать угол α так, чтобы коэффициент при х′у′ обратился в нуль. Для этого нам придется решить тригонометрическое уравнение -4sinα⋅cosα - 2cos2α + 2sin2α + sinα⋅cosα = 0. Имеем 2sin2α - 3sinα⋅cosα - 2cos2α = 0, или 2tg2α - 3tgα - 2 = 0. Отсюда tgα = 2, или tgα = -1/2. Возьмем первое решение, что соответствует повороту осей на острый угол. Зная tgα, вычислим cosα и sinα: 1 1 tg α 2 cos α = = , sin α = = . 1 + tg 2α 5 1 + tg 2α 5 Отсюда, и учитывая (*), находим уравнение данной кривой в системе х′,у′: 5 y′2 − 6 5 x′ − 2 5 y′ + 7 = 0. (**) Дальнейшее упрощение уравнения (**) производится при помощи параллельного перенесения осей Ох′, Оу′. Перепишем уравнение (**) следующим образом: 5 5(y′2 − 2 y′) − 6 5 x′ + 7 = 0. 5 Дополнив выражение в первой скобке до полного квадрата разности и компенсируя это дополнение надлежащим слагаемым, получим: 2 ⎛ 5⎞ 6 5⎛ 5⎞ ⎜ y′ − ⎟ − ⎜ x′ − ⎟ = 0. ⎝ 5 ⎠ 5 ⎝ 5 ⎠ Введем теперь еще новые координаты х′′,у′′, полагая x′ = x′′ + 5 5, y′ = y′′ + 5 5 , что соответствует параллельному перемещению осей на величину 5 5 в направлении оси Ох′ и на величину 5 5 в направлении оси Оу′. В координатах х′′у′′ уравнение данной линии принимает вид 6 5 2 y′′ = x′′ . 5 Это есть канондық теңдеу 3 5 параметрі p = және төбесі x′′y′′ координаталар жүйесінің басындағы параболалар. Парабола 5 х′′ осіне қатысты симметриялы орналасқан және осы осьтің оң бағытында шексіз созылады. x′y′ жүйесіндегі шыңның координаталары ⎛ 5 5⎞ ⎛ 1 3⎞ ⎜ ; ⎟ және xy жүйесінде ⎜ − ; ⎟ . ⎝ 5 5 ⎠ ⎝ 5 5⎠ 19-есеп. 4x2 - 4xy + y2 + 4x - 2y - 3 =0 теңдеуі қай түзумен анықталады? Шешім қисық центрін табуға арналған жүйе бұл жағдайдакелесі пішінге ие: ⎧ 4 x0 − 2 y0 + 2 = 0, y 2x-y+3=0 ⎨ 2x-y+1=0 ⎩ −2 x0 + y0 − 1 = 0. Бұл жүйе бір 2x0 теңдеуіне эквивалентті. – y0 2x -y-1=0 + 1 = 0, сондықтан түзудің 2x – y + 1= 0 түзуін құрайтын шексіз көп центрлері бар. x Бұл теңдеудің сол жағы 0 көбейткіштерге ыдырайтынына назар аударыңыз. бірінші дәрежелі: 4x2 – 4xy + y2 + 4x –2y –3 = = (2x – y +3)(2x – y – 1). Бұл қарастырылып отырған түзудің параллель түзулер жұбы екенін білдіреді: 2xy – y +3 = 0 және 2x – y – 1 = 0. 20-есеп 1. 5x2 + 6xy + 5y2 – 4x + 4y + 12 = 0 теңдеуі. x′2 y′2 канондық түрге x′ 2 + 4у′ 2 + 4 = 0, немесе + = −1 беріледі. 4 1 Бұл теңдеу эллипстің канондық теңдеуіне ұқсас. Бірақ ол жазықтықта ешқандай нақты кескінді анықтамайды, өйткені кез келген x′,y′ нақты сандар үшін оның сол жағы теріс емес, ал оң жағы –1. Бұл және соған ұқсас теңдеулерді елес эллипс теңдеулері деп атайды. 2. 5x2 + 6xy + 5y2 – 4x + 4y + 4 = 0 x′2 y′2 теңдеуі x′ 2 + 4y′ 2 = 0 немесе + = 0 канондық түрге келтірілді. 4 1 Теңдеу де эллипстің канондық теңдеуіне ұқсас , бірақ эллипсті емес, бір нүктені анықтайды: x′ = 0, y′ = 0. Мұндай теңдеу және соған ұқсастар азғын эллипстің теңдеулері деп аталады. Есеп 21. Егер параболаның фокусы F(2, -1) нүктесінде болса, оның теңдеуін құрыңыз және D директрисасының теңдеуі: x – y – 1 = 0. Шешуі Параболаның y′2-дегі канондық түрі болсын. кейбір координаталар жүйесі x′О1у′ = 2px′. Егер y = x – 1 түзу оның директрисасы болса, онда x′О1у′ координаталар жүйесінің осьтері директрисаға параллель болады. 46 Фокус арқылы өтетін D директрисасына қалыпты кесіндінің ортаңғы нүктесі ретінде парабола төбесінің жаңа О1 басымен сәйкес келетін координаталарын табамыз. Сонымен, O1x′ осі y = -x + b, -1 = -2 + b теңдеуімен сипатталады. Неден b = 1 және О1х′: у = -х + 1. Директриса мен О1х′ осінің қиылысу К нүктесінің координаталары мына шарттан табылады: ⎧ y = x −1 ⎨ , → x К = 1 , y K = 0. ⎩ y = −x + 1 О1(x0, y0) жаңа басының координаталары: 1+ 2 3 −1 + 0 1 x0 = = ; y0 = = − . Осьтер жаңа жүйе координаталар ескіге қатысты 2 2 2 2 бұрышқа (-45°) бұрылады. p = KF = 2 табайық. Сонымен, y′ 2 = 2 2 ⋅x′ парабола теңдеуін түрлендіруге жатқызсақ, ескі координаталар жүйесіндегі параболаның теңдеуін аламыз ((5) формуланы қараңыз). 4.3): ⎧ ⎛ 3⎞ ⎛ 1⎞ ⎧ 2 ⎪ x′ = ⎜ x − 2 ⎟ cos(−45°) + ⎜ y + 2 ⎟ sin(−45°), ⎪ x′ = (x − y −) ), ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ 2 ⎨ → ⎨ ⎪ y′ = − ⎛ x − sin(−45°) + ⎛ y + cos(−45°) 3⎞ 1⎞ (−x y′ = − x y′ ) 1), ⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎩ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎩ 2 1 2 y′2 = 2 2 ⋅ x′ ⇒ (x + y − 1) 2 = 2 − x −2), 2 2 одан қажетті парабола теңдеуі мына түрге ие болады: x2 + 2xy + y2 – 6x + 2y + 9 = 0. 22-есеп. Гиперболаның теңдеуін жаз, егер эксцентриситет e = 5 болса, фокусы F(2, -3) және директриса теңдеуі y′ y D1 3x – y + 3 = 0 белгілі 3 B Шешім D1: y = 3x + 3 директрисасының теңдеуі Ox′ жаңа координаталық осі y = (-1/) түрінде болады деп қорытынды жасауға мүмкіндік береді. 3)x + b, F(2, - -7 -1 α x A 0 1 3) нүктесі арқылы өтеді, бұл −3 = − ⋅ 2 + b дегенді білдіреді, мұндағы b = -7/3 және Ох′ O1 K 3 a/ 5 -7/3 1 7 F x′ y = − x − теңдеуі арқылы берілген. 3 3 Жаңа координаталар жүйесінің басы O1(x0, y0) нүктесінде болсын. ⎨ → xK = − , y K = − жүйесінен D1 және 47 ⎧3 x − y + 3 = 0, 8 9 осінің Ох′′ қиылысу нүктесінің координаталары ретінде К нүктесінің координаталарын табайық. . ⎩3y + x + 7 = 0 5 5 Жаңа координаталық осьтерде x′2 y′2 Ох′у′ 2 − 2 = 1 түріндегі гиперболаның геометриялық қасиеттері қашықтық ретінде KF табуға мүмкіндік береді. a b F(2, - 3) фокусынан D1 директрисасына: 3x – y + 3 = 0. 3 ⋅ (2) − (−3) + 3 12 a a KF = = , O1K = = , O1F = c = a 2 + b 2 , 9 +1 10 e 5 a 12 O1K = O1F − KF ⇒ = a 2 + b2 − , 5 10 b2 өйткені e = 1 + 2 = 5, b 2 = 4a 2 . a мәні a a 12 3 =a 5− теңдеуінен табылып, a = аламыз. Бұл жағдайда b2 = 18. 5 10 2 x′2 y′2 Гиперболаның жаңа координаталардағы теңдеуі − = 1 түрінде болады. 9 2 18 К нүктесі бөлетінін біле отырып, жаңа центрдің координаталарын табамыз. OK a 5 1 қатынасындағы O1F кесіндісі λ = 1 = = : KF 12 10 4 ⎧ 1 ⎪ x0 + x F 4 5 ⎪ xK = , x0 = − , ⎪ 1+1 4 2 ⎨ қайдан ⎪ + 1 3y0 F y0 = − . ⎪y = 4 , 2 ⎪ K ⎩ 1+1 4 ∆ АВО-дан: sinα = 1 10 , cosα = 3 10 . Айналу бұрыш (-α) арқылы жасалғандықтан: sin(-α) = − 1 10 , cos(-α) = 3 10 , онда координаталарды түрлендіру формулалары (4.3-тармақта (5) қараңыз) мына пішінді алады: ⎧ ⎛ ( 3x−y+6 ) , ⎪ ⎨ → ⎨ ⎪ y′ = − ⎛ x + 5 ⎞ ⎛ − 1 ⎞ + ⎛ y + 3 ⎞ 3 , ⎪ + y′ ⎪ ⎪ + y′ = 1 ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎩ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 10 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 10 ⎩ 10 1 1 (3x − y + 6) (x + 3y + 21s және гипер −20) 92 18 4(3x – y +6 )2 – (x + 3y + 7)2 = 180 немесе 7x2 – y2 – 6xy – 18y + 26x + 17 = 0. 48 Есеп 23. (5, 3) нүктеден (6, 2 3) нүктеге бағытталған кесіндінің полярлық бұрышын табыңыз. Шешімі ρ = (6 − 5) 2 + (2 3 − 3) 2 = 2, cos ϕ = 1 2, sin ϕ = 3 2 ⇒ ϕ = 60°. (5.2-тармақты қараңыз). Есеп 24. Полюстен түзуге дейінгі қашықтық p және полюс осінен түзуге перпендикуляр полюстен бағытталған сәулеге дейінгі α бұрышы белгілі деп есептеп, полярлық координаталардағы түзудің теңдеуін құрастырыңыз. M (ρ, ϕ) Шешімі L Белгілі НЕМЕСЕ = p, ∠ ROA = α, ерікті нүкте L түзуінің M P координаталары (ρ, ϕ) болады. β М нүктесі L түзуінің бойында, егер α болса ғана, егер М нүктесінің ОП сәулесіне проекциясы Р, О А нүктесімен сәйкес келсе, яғни. p = ρ⋅cosβ болғанда, мұндағы ∠ ROM = β. ϕ = α + β бұрышы және L түзуінің теңдеуі ρ⋅cos(ϕ - α) = p пішінін алады. Есеп 25. Көрсетілген қисықтардың полярлық теңдеулерін табыңыз: 1). x = a, a > 0 Шешімі ρ⋅cosϕ = a → ρ = a/cosϕ. a 0 ρ 2). y = b, b > 0 b Шешімі ρ⋅sinϕ = b → ρ = b/sinϕ. 0 ρ 3). (x2 + y2)2 = a2xy Шешуі: xy ≥ 0, a2 ρ = a ρ cos ϕ sin ϕ → ρ = sin 2ϕ, sin 2ϕ ≥ 0. 4 2 2 2 2 Полярлық координаталардағы қисық теңдеуі ρ = sin 2ϕ , ϕ∈ [ 0, π 2] ∪ [ π, 3π 2] түрінде болады және 2 екі жапырақты раушан гүлін анықтайды: 26-есеп. Берілген сызықтарды тұрғыз. полярлық координаталар жүйесінде: 1). ρ = 2a⋅sinϕ, a > 0. Шешімі y x 2 + y 2 = 2a ⋅ , x +y 2 2 a 2 2 x + y – 2ay = 0, ρ 0 49 x2 + (y – a)2 = a2. 2). ρ = 2 + cosϕ. Шешімі Шеңбердің әрбір радиус векторы ρ = cosϕ екіге көбейтілсе, түзу алынады. Басқару нүктелерінің координаталарын табайық: ϕ = 0, ρ = 3; ϕ = π/2, ρ = 2; ϕ = π, ρ = 1,9 3). ρ = 4 − 5cosϕ Шешімі 4 – 5⋅cosϕ > 0, cosϕ< 4/5, ϕ ∈ (arccos(4/5), 2π – arccos(4/5)). При этом ρ⋅(4 - 5⋅cosϕ) = 9. Переходя к декартовым координатам, получаем ⎛ x ⎞ x2 + y2 ⎜ 4 − 5 ⎟ = 9, ⎜ x2 + y 2 ⎟ ⎝ ⎠ 16 (x 2 + y 2) = (5 x + 9) , 2 4 x 2 + y 2 = 5 x + 9, 16x2 + 16y2 = 25x2 + 90x + 81, 9x2 + 90x – 16y2 +81 = 0, 2 2 (x + 5) 2 y 2 9(x + 5) – 16y = 144 → − 2 = 1 – правая ветвь 42 3 гиперболы при указанных ϕ. Кривую можно было построить по точкам, например, при ϕ = π ρ = 9/10. 4). ρ2⋅sin2ϕ = а2. Решение sin 2ϕ ≥ 0, ϕ∈ [ 0, π 2] ∪ [ π, 3π 2]. a ρ= . sin 2ϕ Перейдем к декартовым координатам, учтем, что ρ2 2 xy sin 2ϕ = 2 cos ϕ ⋅ sin ϕ ⋅ 2 = 2 , ρ x + y2 a2 2 тогда кривая принимает вид гиперболы: y = . x Задача 27. Какие линии задаются следующими параметрическими уравне- ниями: 50
§ 9. Түзу теңдеуі туралы түсінік.
Түзуді теңдеу арқылы анықтау
F түрінің теңдігі (x, y) = 0екі айнымалы теңдеу деп аталады x, у,егер ол барлық сандар жұптары үшін дұрыс болмаса x, y.Олар екі санды айтады x = x 0 , y=y 0, түрдегі кейбір теңдеулерді қанағаттандырыңыз F(x, y)=0,егер айнымалылардың орнына осы сандарды ауыстырғанда XЖәне сағтеңдеуде оның сол жағы жоғалады.
Берілген түзудің теңдеуі (белгіленген координаталар жүйесінде) - бұл түзуде жатқан әрбір нүктенің координаталары қанағаттандырылатын, ал оның бойында жатпайтын әрбір нүктенің координаталары қанағаттандырылмайтын екі айнымалысы бар теңдеу.
Келесіде «түзудің теңдеуі берілген F(x, y) = 0" біз жиі қысқаша айтамыз: жол берілген F (x, y) = 0.
Екі жолдың теңдеулері берілсе F(x, y) = 0Және Ф(x, y) = Q,содан кейін жүйенің бірлескен шешімі
Олардың барлық қиылысу нүктелерін береді. Дәлірек айтқанда, осы жүйенің бірлескен шешімі болып табылатын сандардың әрбір жұбы қиылысу нүктелерінің бірін анықтайды.
1)X 2 +ж 2 = 8, x-y = 0;
2) X 2 +ж 2 -16x+4сағ+18 = 0, x + y= 0;
3) X 2 +ж 2 -2x+4сағ -3 = 0, X 2 + ж 2 = 25;
4) X 2 +ж 2 -8x+10у+40 = 0, X 2 + ж 2 = 4.
163. Полярлық координаталар жүйесінде нүктелер берілген
Осы нүктелердің қайсысы полярлық координаталардағы = 2 cos теңдеуімен анықталған түзуде жатқанын, ал қайсысы онда жатпайтынын анықтаңыз. Бұл теңдеу арқылы қандай түзу анықталады? (Оны сызбаға салыңыз :)
164. = теңдеуімен анықталған түзуде 
,
Полярлық бұрыштары мына сандарға тең нүктелерді табыңыз: а) 
,b) - ,c) 0, d)
. Бұл теңдеу қай түзуді анықтайды?
(Сызба бойынша құрастырыңыз.)
165. = теңдеуімен анықталған түзуде 
, полярлық радиустары мына сандарға тең нүктелерді табыңыз: а) 1, ә) 2, в) 
.
Бұл теңдеу қай түзуді анықтайды? (Сызба бойынша құрастырыңыз.)
166. Полярлық координатада қандай түзулер анықталатынын келесі теңдеулер арқылы белгілеңіз (сызбада оларды тұрғызыңыз).
1) = 5; 2) = ; 3) = 
; 4) cos = 2; 5) sin = 1;
6) = 6 cos ; 7) = 10 күнә ; 8) күнә =
Формула (теңдеу) арқылы берілген функцияны қарастырыңыз.
Бұл функция, демек (11) теңдеу осы функцияның графигі болып табылатын жазықтықтағы жақсы анықталған түзуге сәйкес келеді (20-суретті қараңыз). Функция графигінің анықтамасынан шығатыны, бұл түзу жазықтықтың координаталары (11) теңдеуді қанағаттандыратын нүктелерінен ғана тұрады.
Енді рұқсат етіңіз
Бұл функцияның графигі болып табылатын түзу (12) теңдеуді координаталары қанағаттандыратын жазықтықтың сол және тек нүктелерінен тұрады. Бұл дегеніміз, егер нүкте көрсетілген түзудің бойында жатса, онда оның координаталары (12) теңдеуді қанағаттандырады. Егер нүкте осы түзудің бойында жатпаса, онда оның координаталары (12) теңдеуді қанағаттандырмайды.
(12) теңдеу у-ға қатысты шешіледі. Құрамында х және у бар және у үшін шешілмеген теңдеуді қарастырайық, мысалы, теңдеу
Жазықтықтағы бұл теңдеу түзуге де сәйкес келетінін көрсетейік, атап айтқанда центрі координатасында және радиусы 2-ге тең шеңбер. Теңдеуді түрінде қайта жазайық.
Оның сол жағы нүктенің басынан қашықтығының квадраты болып табылады (§ 2, 2 абзац, 3 формуланы қараңыз). (14) теңдігінен бұл қашықтықтың квадраты 4-ке тең екені шығады.
Бұл координаталары (14) теңдеуді, демек (13) теңдеуді қанағаттандыратын кез келген нүкте координаталар басынан 2 қашықтықта орналасқанын білдіреді.
Мұндай нүктелердің геометриялық орны центрі координат басында және радиусы 2 болатын шеңбер болып табылады. Бұл шеңбер (13) теңдеуіне сәйкес түзу болады. Оның кез келген нүктесінің координаталары (13) теңдеуді қанағаттандыратыны анық. Егер нүкте біз тапқан шеңберде жатпаса, онда оның координат басынан қашықтығының квадраты 4-тен не үлкен, не кіші болады, яғни мұндай нүктенің координаталары (13) теңдеуді қанағаттандырмайды.
Енді жалпы жағдайда теңдеу берілсін
сол жағында х және у бар өрнек бар.
Анықтама. (15) теңдеуімен анықталған түзу координаталары осы теңдеуді қанағаттандыратын жазықтықтағы нүктелердің геометриялық орны болып табылады.
Бұл дегеніміз, егер L түзуі теңдеу арқылы анықталса, онда кез келген L нүктесінің координаталары осы теңдеуді қанағаттандырады, бірақ L-тен тыс жатқан жазықтықтағы кез келген нүктенің координаталары (15) теңдеуді қанағаттандырмайды.
(15) теңдеу сызықтық теңдеу деп аталады
Пікір. Кез келген теңдеу кез келген түзуді анықтайды деп ойлауға болмайды. Мысалы, теңдеу ешқандай сызықты анықтамайды. Шындығында, және у-ның кез келген нақты мәндері үшін бұл теңдеудің сол жағы оң, ал оң жағы нөлге тең, сондықтан бұл теңдеуді жазықтықтағы кез келген нүктенің координаталары қанағаттандыра алмайды.
Түзуді жазықтықта декарттық координаталары бар теңдеумен ғана емес, полярлық координаталардағы теңдеумен де анықтауға болады. Полярлық координаталардағы теңдеу арқылы анықталған түзу полярлық координаталары осы теңдеуді қанағаттандыратын жазықтықтағы нүктелердің геометриялық орны болып табылады.
Мысал 1. Архимед спиралін тұрғызыңыз.
Шешім. Полярлық бұрыштың кейбір мәндері мен полярлық радиустың сәйкес мәндері үшін кесте жасайық.
Полярлық координаталар жүйесінде полюспен анық сәйкес келетін нүктені тұрғызамыз; содан кейін осьті полярлық оське бұрыш жасай отырып, біз осы осьте оң координатасы бар нүктені саламыз, содан кейін полярлық бұрыш пен поляр радиусының оң мәндері бар нүктелерді саламыз (осы нүктелер үшін осьтер 30-суретте көрсетілмеген).
Нүктелерді қосу арқылы біз суретте көрсетілген қисық сызықтың бір тармағын аламыз. 30 қалың сызықпен. 0-ден осы тармаққа ауысқанда қисық шексіз айналымдар санынан тұрады.
