ამოცანა B7 - გადაიყვანეთ ლოგარითმული და ექსპონენციალური გამოსახულებები. ლოგარითმების ძირითადი თვისებები იპოვეთ ლოგარითმების გამოხატვის მნიშვნელობა

ლოგარითმებით გამონათქვამების კონვერტაციისას ჩამოთვლილი ტოლობები გამოიყენება როგორც მარჯვნიდან მარცხნივ, ასევე მარცხნიდან მარჯვნივ.

აღსანიშნავია, რომ არ არის აუცილებელი თვისებების შედეგების დამახსოვრება: გარდაქმნების განხორციელებისას, შეგიძლიათ გაეცნოთ ლოგარითმების ძირითად თვისებებს და სხვა ფაქტებს (მაგალითად, ის ფაქტი, რომ b≥0-სთვის), საიდანაც შესაბამისი შედეგები მოჰყვება. ამ მიდგომის ერთადერთი "გვერდითი ეფექტი" არის ის, რომ გამოსავალი ცოტათი გრძელი იქნება. მაგალითად, იმისათვის, რომ გავაკეთოთ შედეგის გარეშე, რაც გამოიხატება ფორმულით და მხოლოდ ლოგარითმების ძირითადი თვისებებიდან დაწყებული, თქვენ მოგიწევთ შემდეგი ფორმის გარდაქმნების ჯაჭვის განხორციელება: .

იგივე შეიძლება ითქვას ზემოაღნიშნული სიიდან ბოლო თვისებაზე, რომელსაც ფორმულით პასუხობს , ვინაიდან ის ასევე გამომდინარეობს ლოგარითმების ძირითადი თვისებებიდან. მთავარია გავიგოთ, რომ ყოველთვის შესაძლებელია დადებითი რიცხვის სიმძლავრემ, რომელსაც აქვს ლოგარითმი მაჩვენებელში, შეცვალოს სიმძლავრის საფუძველი და რიცხვი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ. სამართლიანობისთვის, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ მაგალითები, რომლებიც გულისხმობს ამ ტიპის ტრანსფორმაციების განხორციელებას, პრაქტიკაში იშვიათია. ქვემოთ მოცემულ ტექსტში რამდენიმე მაგალითს მოვიყვანთ.

რიცხვითი გამონათქვამების გადაქცევა ლოგარითმებით

ჩვენ გავიხსენეთ ლოგარითმების თვისებები, ახლა დროა ვისწავლოთ როგორ გამოვიყენოთ ისინი პრაქტიკაში გამონათქვამების გარდაქმნისთვის. ბუნებრივია, რომ დავიწყოთ რიცხვითი გამონათქვამების კონვერტაციით, ვიდრე გამოსახულებების ცვლადებით, რადგან ისინი უფრო მოსახერხებელი და მარტივი საფუძვლების სწავლაა. ეს არის ის, რასაც ჩვენ გავაკეთებთ და დავიწყებთ ძალიან მარტივი მაგალითებით, რათა ვისწავლოთ ლოგარითმის სასურველი თვისების არჩევა, მაგრამ თანდათან გავართულებთ მაგალითებს, იქამდე, სანამ საბოლოო შედეგის მისაღებად დაგვჭირდება. გამოიყენოს რამდენიმე თვისება ზედიზედ.

ლოგარითმების სასურველი თვისების შერჩევა

ლოგარითმებს ბევრი თვისება აქვს და გასაგებია, რომ თქვენ უნდა შეძლოთ მათგან შესაბამისის არჩევა, რაც ამ კონკრეტულ შემთხვევაში გამოიწვევს საჭირო შედეგს. როგორც წესი, ამის გაკეთება რთული არ არის გარდაქმნილი ლოგარითმის ან გამოხატვის ტიპის შედარებით ფორმულების მარცხენა და მარჯვენა ნაწილების ტიპებთან, რომლებიც გამოხატავენ ლოგარითმების თვისებებს. თუ რომელიმე ფორმულის მარცხენა ან მარჯვენა მხარე ემთხვევა მოცემულ ლოგარითმს ან გამონათქვამს, მაშინ, სავარაუდოდ, სწორედ ეს თვისება უნდა იქნას გამოყენებული ტრანსფორმაციის დროს. შემდეგი მაგალითები ნათლად აჩვენებს ამას.

დავიწყოთ გამონათქვამების გარდაქმნის მაგალითებით ლოგარითმის განმარტების გამოყენებით, რომელიც შეესაბამება a log a b =b, a>0, a≠1, b>0 ფორმულას.

მაგალითი.

გამოთვალეთ, თუ შესაძლებელია: ა) 5 log 5 4, ბ) 10 log(1+2·π), გ) , დ) 2 log 2 (−7) , e) .

გამოსავალი.

მაგალითში ასო ა) აშკარად ჩანს a log a b სტრუქტურა, სადაც a=5, b=4. ეს რიცხვები აკმაყოფილებს a>0, a≠1, b>0 პირობებს, ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ უსაფრთხოდ გამოიყენოთ ტოლობა a log a b =b. გვაქვს 5 ჟურნალი 5 4=4.

ბ) აქ a=10, b=1+2·π, დაკმაყოფილებულია პირობები a>0, a≠1, b>0. ამ შემთხვევაში ხდება ტოლობა 10 log(1+2·π) =1+2·π.

გ) და ამ მაგალითში საქმე გვაქვს a log a b ფორმის ხარისხთან, სადაც და b=ln15. Ისე .

მიუხედავად იმისა, რომ მიეკუთვნება იგივე ტიპის a log a b (აქ a=2, b=−7), გამოხატვის ასო g) არ შეიძლება გარდაიქმნას a log a b =b ფორმულის გამოყენებით. მიზეზი ის არის, რომ ის უაზროა, რადგან შეიცავს უარყოფით რიცხვს ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ. მეტიც, რიცხვი b=−7 არ აკმაყოფილებს b>0 პირობას, რაც შეუძლებელს ხდის a log a b =b ფორმულის გამოყენებას, რადგან ის მოითხოვს a>0, a≠1, b> პირობების შესრულებას. 0. ასე რომ, ჩვენ არ შეგვიძლია ვისაუბროთ 2 log 2 (−7) მნიშვნელობის გამოთვლაზე. ამ შემთხვევაში 2 log 2 (−7) =−7 ჩაწერა შეცდომა იქნება.

ანალოგიურად, ე) ასოს მაგალითში შეუძლებელია ფორმის ამოხსნის მიცემა , რადგან ორიგინალურ გამოთქმას აზრი არ აქვს.

პასუხი:

ა) 5 log 5 4 =4, ბ) 10 log(1+2·π) =1+2·π, გ) , დ), ე) გამოთქმებს აზრი არ აქვს.

ხშირად სასარგებლო ტრანსფორმაციაა დადებითი რიცხვის წარმოდგენა, როგორც რაიმე დადებითი არაერთიანობის რიცხვის სიმძლავრე, ლოგარითმით მაჩვენებელში. იგი ეფუძნება ლოგარითმის იგივე განმარტებას a log a b =b, a>0, a≠1, b>0, მაგრამ ფორმულა გამოიყენება მარჯვნიდან მარცხნივ, ანუ b=a log a b სახით. . მაგალითად, 3=e ln3 ან 5=5 log 5 5 .

მოდით გადავიდეთ ლოგარითმების თვისებების გამოყენებაზე გამონათქვამების გარდაქმნისთვის.

მაგალითი.

იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: ა) log −2 1, ბ) log 1 1, გ) log 0 1, დ) log 7 1, ე) ln1, ვ) log1, გ) log 3.75 1, თ) log 5 π 7 1 .

გამოსავალი.

ა), ბ) და გ) ასოების მაგალითებში მოცემულია გამონათქვამები log −2 1, log 1 1, log 0 1, რომლებსაც აზრი არ აქვს, რადგან ლოგარითმის ფუძე არ უნდა შეიცავდეს უარყოფით რიცხვს. ნული ან ერთი, რადგან ჩვენ განვსაზღვრეთ ლოგარითმი მხოლოდ დადებითი და ერთიანობისგან განსხვავებული ფუძისთვის. მაშასადამე, ა) - გ) მაგალითებში არ შეიძლება დადგეს გამოთქმის მნიშვნელობის პოვნა.

ყველა სხვა ამოცანში, ცხადია, ლოგარითმების ფუძეები შეიცავს დადებით და არაერთობიან რიცხვებს, შესაბამისად, 7, e, 10, 3.75 და 5·π 7, ხოლო ლოგარითმების ნიშნების ქვეშ ყველგან არის ერთეულები. ჩვენ ვიცით ერთიანობის ლოგარითმის თვისება: log a 1=0 ნებისმიერი a>0, a≠1. ამრიგად, ბ) – ე) გამონათქვამების მნიშვნელობები ნულის ტოლია.

პასუხი:

ა), ბ), გ) გამოთქმებს აზრი არ აქვს, დ) log 7 1=0, ე) ln1=0, ვ) log1=0, გ) log 3.75 1=0, თ) log 5 e 7 1= 0 .

მაგალითი.

გამოთვალეთ: ა) , ბ) lne , გ) lg10 , დ) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2), ე) log −3 (−3) , ვ) log 1 1 .

გამოსავალი.

გასაგებია, რომ უნდა გამოვიყენოთ ფუძის ლოგარითმის თვისება, რომელიც შეესაბამება ფორმულას log a a=1 a>0, a≠1-ისთვის. მართლაც, ყველა ასოს დავალებაში, რიცხვი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ ემთხვევა მის ფუძეს. ამრიგად, დაუყოვნებლივ მინდა ვთქვა, რომ თითოეული მოცემული გამონათქვამის მნიშვნელობა არის 1. ამასთან, არ უნდა იჩქაროთ დასკვნების გაკეთება: ა) - დ) ასოების ქვეშ მყოფ ამოცანებში გამონათქვამების მნიშვნელობები ნამდვილად უდრის ერთს, ხოლო ამოცანებში ე) და ვ) თავდაპირველ გამონათქვამებს აზრი არ აქვს, ამიტომ არ შეიძლება ითქვას, რომ ამ გამონათქვამების მნიშვნელობები 1-ის ტოლია.

პასუხი:

ა) , ბ) lne=1, გ) lg10=1, დ) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2)=1, ე), ვ) გამოთქმებს აზრი არ აქვს.

მაგალითი.

იპოვეთ მნიშვნელობა: ა) log 3 3 11, ბ) , გ) , დ) ლოგი −10 (−10) 6 .

გამოსავალი.

ცხადია, ლოგარითმების ნიშნების ქვეშ არის ფუძის გარკვეული ძალა. ამის საფუძველზე ჩვენ გვესმის, რომ აქ დაგვჭირდება ფუძის ხარისხის თვისება: log a a p =p, სადაც a>0, a≠1 და p არის ნებისმიერი რეალური რიცხვი. ამის გათვალისწინებით, გვაქვს შემდეგი შედეგები: ა) log 3 3 11 =11, ბ) , V) . შესაძლებელია თუ არა მაგალითისთვის მსგავსი ტოლობის დაწერა log −10 (−10) 6 =6 დ) ასოს ქვეშ? არა, არ შეგიძლია, რადგან გამოთქმას log −10 (−10) 6 აზრი არ აქვს.

პასუხი:

ა) ჟურნალი 3 3 11 =11, ბ) , V) , დ) გამოთქმას აზრი არ აქვს.

მაგალითი.

წარმოადგინეთ გამონათქვამი ლოგარითმების ჯამის ან სხვაობის სახით იმავე ფუძის გამოყენებით: ა) , ბ) , გ) log((−5)·(−12)) .

გამოსავალი.

ა) ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ არის ნამრავლი და ვიცით ნამრავლის ლოგარითმის თვისება log a (x·y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0. , y>0. ჩვენს შემთხვევაში, რიცხვი ლოგარითმის საფუძველში და რიცხვები ნამრავლში დადებითია, ანუ ისინი აკმაყოფილებენ არჩეული თვისების პირობებს, შესაბამისად, შეგვიძლია უსაფრთხოდ გამოვიყენოთ იგი: .

ბ) აქ გამოვიყენებთ კოეფიციენტის ლოგარითმის თვისებას, სადაც a>0, a≠1, x>0, y>0. ჩვენს შემთხვევაში, ლოგარითმის საფუძველი არის დადებითი რიცხვი e, მრიცხველი და მნიშვნელი π დადებითია, რაც ნიშნავს, რომ ისინი აკმაყოფილებენ თვისების პირობებს, ამიტომ ჩვენ გვაქვს უფლება გამოვიყენოთ არჩეული ფორმულა: .

გ) პირველ რიგში, გაითვალისწინეთ, რომ გამოხატულება log((−5)·(−12)) აქვს აზრი. მაგრამ ამავდროულად, ჩვენ არ გვაქვს უფლება გამოვიყენოთ ნაწარმოების ლოგარითმის ფორმულა log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0, y. >0, ვინაიდან რიცხვები არის −5 და −12 – უარყოფითი და არ აკმაყოფილებს x>0, y>0 პირობებს. ანუ, თქვენ არ შეგიძლიათ განახორციელოთ ასეთი ტრანსფორმაცია: log((−5)·(−12))=log(−5)+log(−12). მაშ რა უნდა ვქნათ? ასეთ შემთხვევებში თავდაპირველ გამონათქვამს სჭირდება წინასწარი ტრანსფორმაცია უარყოფითი რიცხვების თავიდან ასაცილებლად. ჩვენ დეტალურად ვისაუბრებთ ერთ-ერთ სტატიაში ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ უარყოფითი რიცხვებით გამონათქვამების გარდაქმნის მსგავს შემთხვევებზე, მაგრამ ახლა ჩვენ მივცემთ ამ მაგალითს, რომელიც წინასწარ ნათელია და განმარტების გარეშე: log((−5)·(−12))=log(5·12)=log5+lg12.

პასუხი:

ა) , ბ) , გ) log((−5)·(−12))=log5+lg12.

მაგალითი.

გაამარტივეთ გამოთქმა: ა) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5, ბ) .

გამოსავალი.

აქ დაგვეხმარება პროდუქტის ლოგარითმის ყველა იგივე თვისება და კოეფიციენტის ლოგარითმი, რომელიც გამოვიყენეთ წინა მაგალითებში, მხოლოდ ახლა გამოვიყენებთ მათ მარჯვნიდან მარცხნივ. ანუ ლოგარითმების ჯამს ვაქცევთ ნამრავლის ლოგარითმად, ხოლო ლოგარითმების სხვაობას კოეფიციენტის ლოგარითმად. Ჩვენ გვაქვს
ა) log 3 0.25+log 3 16+log 3 0.5=log 3 (0.25 16 0.5)=log 3 2.
ბ) .

პასუხი:

ა) log 3 0.25+log 3 16+log 3 0.5=log 3 2, ბ) .

მაგალითი.

მოიშორეთ ხარისხი ლოგარითმის ნიშნით: ა) log 0.7 5 11, ბ) , გ) log 3 (−5) 6 .

გამოსავალი.

ადვილი მისახვედრია, რომ საქმე გვაქვს log a b p ფორმის გამონათქვამებთან. ლოგარითმის შესაბამის თვისებას აქვს ფორმა log a b p =p·log a b, სადაც a>0, a≠1, b>0, p არის ნებისმიერი რეალური რიცხვი. ანუ, თუ პირობები a>0, a≠1, b>0 დაკმაყოფილებულია, სიმძლავრის log a b p ლოგარითმიდან შეგვიძლია გადავიდეთ p·log a b ნამრავლზე. განვახორციელოთ ეს ტრანსფორმაცია მოცემული გამონათქვამებით.

ა) ამ შემთხვევაში a=0.7, b=5 და p=11. ასე რომ log 0.7 5 11 =11·log 0.7 5.

ბ) აქ დაკმაყოფილებულია პირობები a>0, a≠1, b>0. Ამიტომაც

გ) გამონათქვამს log 3 (−5) 6 აქვს იგივე აგებულება log a b p , a=3 , b=−5 , p=6 . მაგრამ b-სთვის პირობა b>0 არ არის დაკმაყოფილებული, რაც შეუძლებელს ხდის ფორმულის გამოყენებას log a b p =p·log a b . მერე რა, ვერ უმკლავდებით დავალებას? შესაძლებელია, მაგრამ საჭიროა გამოთქმის წინასწარი ტრანსფორმაცია, რასაც დეტალურად განვიხილავთ ქვემოთ აბზაცში სათაურის ქვეშ. გამოსავალი იქნება ასეთი: log 3 (−5) 6 =log 3 5 6 =6 log 3 5.

პასუხი:

ა) log 0.7 5 11 =11 log 0.7 5,
ბ)
გ) log 3 (−5) 6 =6 log 3 5.

ხშირად, გარდაქმნების განხორციელებისას, ძალაუფლების ლოგარითმის ფორმულა უნდა იქნას გამოყენებული მარჯვნიდან მარცხნივ სახით p·log a b=log a b p (იგივე პირობები უნდა აკმაყოფილებდეს a, b და p-ს). მაგალითად, 3·ln5=ln5 3 და log2·log 2 3=log 2 3 lg2.

მაგალითი.

ა) გამოთვალეთ log 2 5-ის მნიშვნელობა, თუ ცნობილია, რომ log2≈0.3010 და log5≈0.6990. ბ) გამოთქვით წილადი ლოგარითმის სახით მე-3 ფუძემდე.

გამოსავალი.

ა) ახალ ლოგარითმის ბაზაზე გადასვლის ფორმულა საშუალებას გვაძლევს წარმოვადგინოთ ეს ლოგარითმი, როგორც ათობითი ლოგარითმების თანაფარდობა, რომელთა მნიშვნელობები ჩვენთვის ცნობილია: . რჩება მხოლოდ გათვლების განხორციელება, გვაქვს .

ბ) აქ საკმარისია გამოვიყენოთ ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულა და გამოიყენოთ იგი მარჯვნიდან მარცხნივ, ანუ ფორმაში . ვიღებთ .

პასუხი:

ა) log 2 5≈2.3223, ბ) .

ამ ეტაპზე ჩვენ საკმაოდ საფუძვლიანად განვიხილეთ უმარტივესი გამონათქვამების ტრანსფორმაცია ლოგარითმების ძირითადი თვისებებისა და ლოგარითმის განმარტების გამოყენებით. ამ მაგალითებში ერთი თვისება უნდა გამოგვეყენებინა და მეტი არაფერი. ახლა, სუფთა სინდისით, შეგიძლიათ გადახვიდეთ მაგალითებზე, რომელთა გარდაქმნა მოითხოვს ლოგარითმების რამდენიმე თვისების გამოყენებას და სხვა დამატებით გარდაქმნებს. მათ შემდეგ აბზაცში განვიხილავთ. მანამდე კი მოკლედ გადავხედოთ ლოგარითმების ძირითადი თვისებების შედეგების გამოყენების მაგალითებს.

მაგალითი.

ა) მოიშორეთ ფესვი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ. ბ) წილადის გადაყვანა ფუძე 5 ლოგარითმში. გ) განთავისუფლდით ძალებისაგან ლოგარითმის ნიშნით და მის ფუძეში. დ) გამოთვალეთ გამოხატვის მნიშვნელობა . ე) გამოთქმა ჩაანაცვლეთ მნიშვნელობით 3 ფუძით.

გამოსავალი.

ა) თუ გავიხსენებთ დასკვნას ხარისხის ლოგარითმის თვისებიდან , მაშინ შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ გასცეთ პასუხი: .

ბ) აქ ვიყენებთ ფორმულას მარჯვნიდან მარცხნივ გვაქვს .

გ) ბ ამ შემთხვევაშიფორმულა იძლევა შედეგს . ვიღებთ .

დ) და აქ საკმარისია გამოვიყენოთ დასკვნა, რომელსაც შეესაბამება ფორმულა . Ისე .

ე) ლოგარითმის თვისება საშუალებას გვაძლევს მივაღწიოთ სასურველ შედეგს: .

პასუხი:

ა) . ბ) . V) . გ) . დ) .

რამდენიმე თვისების თანმიმდევრული გამოყენება

ლოგარითმების თვისებების გამოყენებით გამონათქვამების გარდაქმნის რეალური ამოცანები ჩვეულებრივ უფრო რთულია, ვიდრე წინა აბზაცში განვიხილეთ. მათში, როგორც წესი, შედეგი არ მიიღება ერთ საფეხურზე, მაგრამ გამოსავალი უკვე შედგება ერთი თვისების მიყოლებით გამოყენებაში, დამატებით იდენტურ გარდაქმნებთან ერთად, როგორიცაა ფრჩხილების გახსნა, მსგავსი ტერმინების მოყვანა, წილადების შემცირება და ა.შ. . მოდით უფრო ახლოს მივუდგეთ ასეთ მაგალითებს. ამაში არაფერია რთული, მთავარია ვიმოქმედოთ ფრთხილად და თანმიმდევრულად, მოქმედებების თანმიმდევრობის დაცვით.

მაგალითი.

გამოთვალეთ გამოხატვის მნიშვნელობა (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5.

გამოსავალი.

ფრჩხილებში მოთავსებულ ლოგარითმებს შორის სხვაობა, კოეფიციენტის ლოგარითმის თვისების მიხედვით, შეიძლება შეიცვალოს ლოგარითმის log 3-ით (15:5), შემდეგ კი გამოვთვალოთ მისი მნიშვნელობა log 3 (15:5)=log 3 3=1. ხოლო გამოთქმის მნიშვნელობა 7 log 7 5 ლოგარითმის განმარტებით უდრის 5-ს. ამ შედეგების ორიგინალურ გამოსახულებაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =1 5=5.

აქ არის გამოსავალი ახსნა-განმარტების გარეშე:
(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =log 3 (15:5) 5=
=log 3 3·5=1·5=5 .

პასუხი:

(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =5.

მაგალითი.

რა არის რიცხვითი გამოხატვის log 3 log 2 2 3 −1 მნიშვნელობა?

გამოსავალი.

ჩვენ პირველად გარდაქმნით ლოგარითმს ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ, სიმძლავრის ლოგარითმის ფორმულის გამოყენებით: log 2 2 3 =3. ამრიგად, log 3 log 2 2 3 =log 3 3 და შემდეგ log 3 3=1. ასე რომ log 3 log 2 2 3 −1=1−1=0 .

პასუხი:

log 3 log 2 2 3 −1=0 .

მაგალითი.

გამოხატვის გამარტივება.

გამოსავალი.

ახალ ლოგარითმულ ბაზაზე გადასვლის ფორმულა საშუალებას იძლევა, რომ ლოგარითმების თანაფარდობა ერთ ფუძესთან იყოს log 3 5. ამ შემთხვევაში, ორიგინალური გამოხატულება მიიღებს ფორმას. ლოგარითმის განმარტებით 3 log 3 5 =5, ანუ , და მიღებული გამოხატვის მნიშვნელობა, ლოგარითმის იგივე განმარტების ძალით, უდრის ორს.

აქ არის გადაწყვეტის მოკლე ვერსია, რომელიც ჩვეულებრივ მოცემულია: .

პასუხი:

.

შემდეგი აბზაცის ინფორმაციაზე შეუფერხებლად გადასვლისთვის, მოდით შევხედოთ გამონათქვამებს 5 2+log 5 3 და log0.01. მათი სტრუქტურა არ შეესაბამება ლოგარითმების არცერთ თვისებას. რა ხდება, მათი გარდაქმნა შეუძლებელია ლოგარითმების თვისებების გამოყენებით? შესაძლებელია, თუ თქვენ განახორციელებთ წინასწარ გარდაქმნებს, რომლებიც ამზადებენ ამ გამონათქვამებს ლოგარითმების თვისებების გამოსაყენებლად. Ისე 5 2+log 5 3 =5 2 5 log 5 3 =25 3=75, და log0.01=log10 −2 =−2. შემდეგ ჩვენ დეტალურად განვიხილავთ, თუ როგორ ხორციელდება ასეთი გამოხატვის მომზადება.

გამონათქვამების მომზადება ლოგარითმის თვისებების გამოსაყენებლად

გარდაქმნილ გამონათქვამში ლოგარითმები ძალიან ხშირად განსხვავდება აღნიშვნის სტრუქტურაში ფორმულების მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებისგან, რომლებიც შეესაბამება ლოგარითმების თვისებებს. მაგრამ არანაკლებ ხშირად, ამ გამონათქვამების ტრანსფორმაცია გულისხმობს ლოგარითმების თვისებების გამოყენებას: მათი გამოყენება მხოლოდ წინასწარ მომზადებას მოითხოვს. და ეს პრეპარატი შედგება გარკვეული იდენტური ტრანსფორმაციების განხორციელებისგან, რომლებიც ლოგარითმებს მოაქვს თვისებების გამოსაყენებლად მოსახერხებელ ფორმამდე.

სამართლიანობისთვის, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ გამონათქვამების თითქმის ნებისმიერი ტრანსფორმაცია შეიძლება იმოქმედოს როგორც წინასწარი გარდაქმნები, მსგავსი ტერმინების ბანალური შემცირებიდან ტრიგონომეტრიული ფორმულების გამოყენებამდე. ეს გასაგებია, რადგან გარდაქმნილი გამონათქვამები შეიძლება შეიცავდეს ნებისმიერ მათემატიკურ ობიექტს: ფრჩხილებს, მოდულებს, წილადებს, ფესვებს, სიმძლავრეებს და ა.შ. ამრიგად, ადამიანი მზად უნდა იყოს ნებისმიერი საჭირო ტრანსფორმაციისთვის, რათა შემდგომში შეძლოს ლოგარითმების თვისებების გამოყენება.

მოდით, დაუყოვნებლივ ვთქვათ, რომ ამ ეტაპზე ჩვენ არ დავსვათ ამოცანა კლასიფიცირება და ანალიზი ყველა შესაძლო წინასწარი გარდაქმნის შესახებ, რაც მოგვცემს საშუალებას შემდგომ გამოვიყენოთ ლოგარითმის თვისებები ან ლოგარითმის განმარტება. აქ ჩვენ მხოლოდ ოთხ მათგანზე გავამახვილებთ ყურადღებას, რომლებიც ყველაზე ტიპიურია და ყველაზე ხშირად გვხვდება პრაქტიკაში.

ახლა კი თითოეული მათგანის შესახებ დეტალურად, რის შემდეგაც, ჩვენი თემის ფარგლებში, რჩება მხოლოდ ლოგარითმების ნიშნების ქვეშ გამონათქვამების ცვლადებით ტრანსფორმაციის გაგება.

ძალაუფლების იდენტიფიცირება ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ და მის ბაზაზე

დავიწყოთ მაშინვე მაგალითით. მოდით გვქონდეს ლოგარითმი. ცხადია, ამ ფორმით მისი სტრუქტურა არ უწყობს ხელს ლოგარითმების თვისებების გამოყენებას. შესაძლებელია თუ არა ამ გამოთქმის როგორმე გარდაქმნა, რათა გამარტივდეს და კიდევ უკეთესი გამოვთვალოთ მისი მნიშვნელობა? ამ კითხვაზე პასუხის გასაცემად, მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ ნომრებს 81 და 1/9 ჩვენი მაგალითის კონტექსტში. აქ ადვილი შესამჩნევია, რომ ეს რიცხვები შეიძლება წარმოდგენილი იყოს 3-ის ხარისხად, მართლაც, 81 = 3 4 და 1/9 = 3 −2. ამ შემთხვევაში ორიგინალური ლოგარითმი წარმოდგენილია სახით და შესაძლებელი ხდება ფორმულის გამოყენება . Ისე, .

გაანალიზებული მაგალითის ანალიზი წარმოშობს შემდეგ აზრს: თუ ეს შესაძლებელია, შეგიძლიათ სცადოთ ხარისხის იზოლირება ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ და მის ბაზაზე, რათა გამოიყენოთ ხარისხის ლოგარითმის თვისება ან მისი შედეგები. რჩება მხოლოდ იმის გარკვევა, თუ როგორ განვასხვავოთ ეს ხარისხი. მოდით მივცეთ რამდენიმე რეკომენდაცია ამ საკითხთან დაკავშირებით.

ზოგჯერ სავსებით აშკარაა, რომ რიცხვი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ და/ან მის ფუძეში წარმოადგენს გარკვეულ მთელ ძალას, როგორც ზემოთ განხილულ მაგალითში. თითქმის მუდმივად გვიწევს საქმე ორის ძალებთან, რომლებიც კარგად არის ნაცნობი: 4=2 2, 8=2 3, 16=2 4, 32=2 5, 64=2 6, 128=2 7, 256=2 8 , 512= 2 9, 1024=2 10. იგივე შეიძლება ითქვას სამის ძალაზე: 9 = 3 2, 27 = 3 3, 81 = 3 4, 243 = 3 5, ... ზოგადად, არ გეტკინებათ თუ თვალწინ გაქვთ ნატურალური რიცხვების ძალაუფლების ცხრილიათეულის ფარგლებში. ასევე არ არის რთული ათი, ასი, ათასი და ა.შ.

მაგალითი.

გამოთვალეთ მნიშვნელობა ან გაამარტივეთ გამოთქმა: ა) log 6 216, ბ) , გ) log 0,000001 0,001.

გამოსავალი.

ა) ცხადია, 216=6 3, ამიტომ log 6 216=log 6 6 3 =3.

ბ) ნატურალური რიცხვების ხარისხების ცხრილი საშუალებას გაძლევთ წარმოადგინოთ რიცხვები 343 და 1/243, შესაბამისად 7 3 და 3 −4 ხარისხებად. ამრიგად, შესაძლებელია მოცემული ლოგარითმის შემდეგი ტრანსფორმაცია:

გ) ვინაიდან 0,000001=10 −6 და 0,001=10 −3, მაშინ log 0,000001 0,001=log 10 −6 10 −3 =(−3)/(−6)=1/2.

პასუხი:

ა) log 6 216=3, ბ) , გ) ლოგი 0,000001 0,001=1/2.

უფრო რთულ შემთხვევებში, რიცხვების უფლებამოსილების იზოლირებისთვის, თქვენ უნდა მიმართოთ.

მაგალითი.

გამოთქმის გადაყვანა უფრო მარტივ ფორმაში log 3 648 · log 2 3 .

გამოსავალი.

ვნახოთ, რა არის 648-ის ფაქტორიზაცია:

ანუ 648=2 3 ·3 4. ამრიგად, log 3 648 log 2 3=log 3 (2 3 3 4) log 2 3.

ახლა ჩვენ გადავიყვანთ პროდუქტის ლოგარითმს ლოგარითმების ჯამში, რის შემდეგაც გამოვიყენებთ სიმძლავრის ლოგარითმის თვისებებს:
log 3 (2 3 3 4)log 2 3=(log 3 2 3 +log 3 3 4)log 2 3=
=(3· ჟურნალი 3 2+4)· ჟურნალი 2 3 .

სიმძლავრის ლოგარითმის თვისებიდან მიღებული დასკვნის საფუძველზე, რომელიც შეესაბამება ფორმულას , ნამრავლი log32·log23 არის ნამრავლი და, როგორც ცნობილია, ის უდრის ერთს. ამის გათვალისწინებით, ჩვენ ვიღებთ 3 ჟურნალი 3 2 ჟურნალი 2 3+4 ჟურნალი 2 3=3 1+4 ჟურნალი 2 3=3+4 ჟურნალი 2 3.

პასუხი:

log 3 648 log 2 3=3+4 log 2 3.

ხშირად, გამონათქვამები ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ და მის ფუძეში წარმოადგენს ზოგიერთი რიცხვის ფესვების ან/და ხარისხების პროდუქტებს ან თანაფარდობებს, მაგალითად, , . მსგავსი გამონათქვამები შეიძლება გამოიხატოს როგორც ძალაუფლება. ამისათვის ხდება გადასვლა ფესვებიდან ძალებზე და გამოიყენება. ეს გარდაქმნები შესაძლებელს ხდის გამოვყოთ ძალაუფლება ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ და მის ბაზაში, შემდეგ კი გამოიყენოთ ლოგარითმის თვისებები.

მაგალითი.

გამოთვალეთ: ა) , ბ) .

გამოსავალი.

ა) ლოგარითმის ფუძის გამოხატულება არის იგივე ფუძეების ხარისხების ნამრავლი, რაც გვაქვს 5 2 ·5 −0,5 ·5 −1 =5 2−0,5−1 =5 0,5.

ახლა მოდით გარდავქმნათ წილადი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ: ჩვენ გადავალთ ფესვიდან ხარისხზე, რის შემდეგაც გამოვიყენებთ ძალათა თანაფარდობის თვისებას იმავე საფუძვლებით: .

რჩება მიღებული შედეგების ორიგინალურ გამოხატულებაში ჩანაცვლება, გამოიყენეთ ფორმულა და დაასრულეთ ტრანსფორმაცია:

ბ) ვინაიდან 729 = 3 6 და 1/9 = 3 −2, ორიგინალური გამოხატულება შეიძლება გადაიწეროს როგორც .

შემდეგი, ჩვენ ვიყენებთ სიმძლავრის ფესვის თვისებას, გადავდივართ ფესვიდან ხარისხზე და ვიყენებთ ძალთა თანაფარდობის თვისებას ლოგარითმის ფუძის ხარისხად გადაქცევისთვის: .

ბოლო შედეგის გათვალისწინებით გვაქვს .

პასუხი:

ა) , ბ) .

ნათელია, რომ ზოგად შემთხვევაში, ლოგარითმის ნიშნით და მის საფუძველში ძალაუფლების მისაღებად, შეიძლება საჭირო გახდეს სხვადასხვა გამონათქვამის სხვადასხვა ტრანსფორმაცია. მოდით მოვიყვანოთ რამდენიმე მაგალითი.

მაგალითი.

რას ნიშნავს გამოთქმა: ა) , ბ) .

გამოსავალი.

ჩვენ ასევე აღვნიშნავთ, რომ მოცემულ გამოსახულებას აქვს ფორმა log A B p, სადაც A=2, B=x+1 და p=4. ჩვენ ამ ტიპის რიცხვითი გამონათქვამები გადავცვალეთ სიმძლავრის ლოგარითმის თვისების მიხედვით log a b p =p·log a b, შესაბამისად მოცემული გამოსახულებით მინდა იგივე გავაკეთო და log 2 (x+1) 4-ზე გადავიტანო. 4·ლოგი 2 (x+1) . ახლა გამოვთვალოთ ორიგინალური გამოხატვის და ტრანსფორმაციის შემდეგ მიღებული გამოხატვის მნიშვნელობა, მაგალითად, როდესაც x=−2. გვაქვს log 2 (−2+1) 4 =log 2 1=0 , და 4 log 2 (−2+1)=4 log 2 (−1)- უაზრო გამოთქმა. ეს ბადებს ლოგიკურ კითხვას: "რა დავაშავეთ?"

და მიზეზი არის ეს: ჩვენ შევასრულეთ ტრანსფორმაციის ჟურნალი 2 (x+1) 4 =4·log 2 (x+1) ფორმულის საფუძველზე log a b p =p·log a b, მაგრამ ჩვენ გვაქვს უფლება გამოვიყენოთ ეს ფორმულა. მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ პირობები a >0, a≠1, b>0, p - ნებისმიერი რეალური რიცხვი. ანუ ჩვენ მიერ გაკეთებული ტრანსფორმაცია ხდება თუ x+1>0, რაც იგივეა, რაც x>−1 (A-სთვის და p-ისთვის, პირობები დაკმაყოფილებულია). თუმცა, ჩვენს შემთხვევაში, x ცვლადის ODZ თავდაპირველი გამოსახულებისთვის შედგება არა მხოლოდ x>−1, არამედ x ინტერვალისგან.<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.

DL-ის გათვალისწინების აუცილებლობა

მოდით გავაგრძელოთ ჩვენ მიერ არჩეული log 2 (x+1) 4 გამოხატვის ტრანსფორმაციის ანალიზი და ახლა ვნახოთ, რა ბედი ეწევა ODZ-ს 4 · log 2 (x+1) გამოსახულებაში გადასვლისას. წინა აბზაცში ვიპოვეთ ორიგინალური გამოხატვის ODZ - ეს არის სიმრავლე (−∞, −1)∪(−1, +∞) . ახლა ვიპოვოთ x ცვლადის მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი 4·log 2 (x+1) გამოსახულებისთვის. იგი განისაზღვრება x+1>0 პირობით, რომელიც შეესაბამება სიმრავლეს (−1, +∞). აშკარაა, რომ log 2 (x+1) 4-დან 4·log 2 (x+1) გადაადგილებისას დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი ვიწროვდება. და ჩვენ შევთანხმდით, რომ თავიდან ავიცილოთ ტრანსფორმაციები, რომლებიც იწვევს DL-ის შევიწროებას, რადგან ამან შეიძლება გამოიწვიოს სხვადასხვა უარყოფითი შედეგები.

აქვე უნდა აღინიშნოს, რომ სასარგებლოა OA-ს კონტროლი ტრანსფორმაციის ყოველ საფეხურზე და მისი შევიწროების თავიდან აცილება. და თუ მოულოდნელად ტრანსფორმაციის რომელიმე ეტაპზე მოხდა DL-ის შევიწროება, მაშინ ღირს ყურადღებით დავაკვირდეთ, დასაშვებია თუ არა ეს ტრანსფორმაცია და გვქონდა თუ არა მისი განხორციელების უფლება.

სამართლიანობისთვის, ვთქვათ, რომ პრაქტიკაში ჩვეულებრივ გვიწევს მუშაობა გამონათქვამებთან, რომლებშიც ცვლადების ცვლადი მნიშვნელობა ისეთია, რომ გარდაქმნების განხორციელებისას შეგვიძლია გამოვიყენოთ ლოგარითმების თვისებები შეზღუდვების გარეშე ჩვენთვის უკვე ცნობილი სახით, ორივე მარცხნიდან მარჯვნივ და მარჯვნიდან მარცხნივ. თქვენ სწრაფად ეჩვევით ამას და იწყებთ გარდაქმნების განხორციელებას მექანიკურად, ისე, რომ არ ფიქრობთ იმაზე, შესაძლებელი იყო თუ არა მათი განხორციელება. და ასეთ მომენტებში, როგორც იღბლიანი იქნებოდა, უფრო რთული მაგალითები იშლება, რომლებშიც ლოგარითმების თვისებების უყურადღებო გამოყენება შეცდომებს იწვევს. ასე რომ, თქვენ ყოველთვის უნდა იყოთ დაკვირვებით და დარწმუნდეთ, რომ არ არის ODZ-ის შევიწროება.

არ დააზარალებს ცალ-ცალკე გამოვყოთ ძირითადი გარდაქმნები ლოგარითმების თვისებებზე დაფუძნებული, რაც ძალიან ფრთხილად უნდა განხორციელდეს, რამაც შეიძლება გამოიწვიოს OD-ის შევიწროება და, შედეგად, შეცდომები:

ლოგარითმების თვისებებზე დაფუძნებული გამონათქვამების ზოგიერთმა ტრანსფორმაციამ შეიძლება გამოიწვიოს საპირისპირო - ODZ-ის გაფართოება. მაგალითად, 4·log 2-დან (x+1) log 2-ზე (x+1) 4-ზე გადასვლა აფართოებს ODZ-ს სიმრავლიდან (−1, +∞) (−∞, −1)∪(−1, +∞). ასეთი გარდაქმნები ხდება, თუ ჩვენ დავრჩებით ODZ-ის ჩარჩოში ორიგინალური გამოხატვისთვის. ასე რომ, ახლახან ნახსენები ტრანსფორმაცია 4·log 2 (x+1)=log 2 (x+1) 4 ხდება x ცვლადის ODZ-ზე ორიგინალური გამოსახულებისთვის 4·log 2 (x+1), ანუ x+1> 0, რაც იგივეა, რაც (−1, +∞).

ახლა, როდესაც ჩვენ განვიხილეთ ნიუანსები, რომლებსაც ყურადღება უნდა მიაქციოთ ლოგარითმების თვისებების გამოყენებით ცვლადებით გამონათქვამების გარდაქმნისას, რჩება იმის გარკვევა, თუ როგორ სწორად განახორციელოთ ეს გარდაქმნები.

X+2>0. მუშაობს ჩვენს შემთხვევაში? ამ კითხვაზე პასუხის გასაცემად, მოდით შევხედოთ x ცვლადის ODZ-ს. იგი განისაზღვრება უტოლობების სისტემით , რომელიც უდრის x+2>0 პირობას (საჭიროების შემთხვევაში იხილეთ სტატია უტოლობების სისტემების ამოხსნა). ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია უსაფრთხოდ გამოვიყენოთ სიმძლავრის ლოგარითმის თვისება.

Ჩვენ გვაქვს
3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =
=3·7·log(x+2)-log(x+2)-5·4·log(x+2)=
=21·log(x+2)−log(x+2)−20·log(x+2)=
=(21−1−20)·log(x+2)=0 .

თქვენ შეგიძლიათ სხვაგვარად იმოქმედოთ, რადგან ODZ ამის საშუალებას გაძლევთ, მაგალითად ასე:

პასუხი:

3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =0.

მაგრამ რა უნდა გავაკეთოთ, როდესაც ლოგარითმების თვისებების თანმხლები პირობები არ არის დაკმაყოფილებული ODZ-ში? ამას მაგალითებით გავიგებთ.

მოდით, მოგვთხოვონ გამოთქმის log(x+2) 4 − log(x+2) 2 გამარტივება. ამ გამოხატვის ტრანსფორმაცია, წინა მაგალითისგან განსხვავებით, არ იძლევა სიმძლავრის ლოგარითმის თვისების თავისუფალ გამოყენებას. რატომ? x ცვლადის ODZ ამ შემთხვევაში არის ორი ინტერვალის x>−2 და x გაერთიანება<−2 . При x>−2 ჩვენ შეგვიძლია მარტივად გამოვიყენოთ სიმძლავრის ლოგარითმის თვისება და ვიმოქმედოთ როგორც ზემოთ მოცემულ მაგალითში: log(x+2) 4 −log(x+2) 2 =4 log(x+2)−2 log(x+2)=2 log(x+2). მაგრამ ODZ შეიცავს კიდევ ერთ ინტერვალს x+2<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к log(−|x+2|) 4 −log(−|x+2|) 2და შემდგომ k lg|x+2| ხარისხის თვისებების გამო 4 −lg|x+2| 2. შედეგად მიღებული გამოხატულება შეიძლება გარდაიქმნას სიმძლავრის ლოგარითმის თვისების გამოყენებით, ვინაიდან |x+2|>0 ცვლადის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის. Ჩვენ გვაქვს ჟურნალი|x+2| 4 −lg|x+2| 2 =4·lg|x+2|−2·lg|x+2|=2·lg|x+2|. ახლა თქვენ შეგიძლიათ გათავისუფლდეთ მოდულისგან, რადგან მან თავისი საქმე გააკეთა. ვინაიდან ტრანსფორმაციას ვატარებთ x+2-ზე<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .

მოდით შევხედოთ კიდევ ერთ მაგალითს, რათა მოდულებთან მუშაობა გახდეს ნაცნობი. გამოთქმიდან წარმოვიდგინოთ გადადით x−1, x−2 და x−3 წრფივი ბინომების ლოგარითმების ჯამს და განსხვავებას. ჯერ ვპოულობთ ODZ-ს:

ინტერვალზე (3, +∞) x−1, x−2 და x−3 გამონათქვამების მნიშვნელობები დადებითია, ამიტომ შეგვიძლია მარტივად გამოვიყენოთ ჯამისა და სხვაობის ლოგარითმის თვისებები:

ხოლო ინტერვალზე (1, 2) გამოხატვის x−1 მნიშვნელობები დადებითია, ხოლო x−2 და x−3 გამონათქვამების მნიშვნელობები უარყოფითი. ამიტომ, განხილულ ინტერვალზე წარმოვადგენთ x−2 და x−3 მოდულის გამოყენებით, როგორც −|x−2| და −|x−3| შესაბამისად. სადაც

ახლა ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ ნამრავლის ლოგარითმის და კოეფიციენტის თვისებები, ვინაიდან განხილულ ინტერვალზე (1, 2) გამოსახულებების მნიშვნელობები x−1 , |x−2| და |x−3| - დადებითი.

Ჩვენ გვაქვს

მიღებული შედეგები შეიძლება გაერთიანდეს:

ზოგადად, მსგავსი მსჯელობა საშუალებას იძლევა, პროდუქტის ლოგარითმის, თანაფარდობის და ხარისხის ფორმულებზე დაყრდნობით, მივიღოთ სამი პრაქტიკულად სასარგებლო შედეგი, რომელთა გამოყენება საკმაოდ მოსახერხებელია:

• log a (X·Y) ფორმის ორი თვითნებური გამონათქვამის X და Y ნამრავლის ლოგარითმი შეიძლება შეიცვალოს ლოგარითმების ჯამით log a |X|+log a |Y| , a>0 , a≠1 .
• კონკრეტული ფორმის log a (X:Y) ლოგარითმი შეიძლება შეიცვალოს ლოგარითმების სხვაობით log a |X|−log a |Y| , a>0, a≠1, X და Y არის თვითნებური გამონათქვამები.
• ზოგიერთი B გამოხატვის ლოგარითმიდან log a B p ფორმის ლუწი p ხარისხამდე შეგვიძლია გადავიდეთ გამოსახულებაში p·log a |B| , სადაც a>0, a≠1, p არის ლუწი რიცხვი და B არის თვითნებური გამოხატულება.

მსგავსი შედეგები მოცემულია, მაგალითად, ექსპონენციალური და ამოხსნის ინსტრუქციებში ლოგარითმული განტოლებებიმათემატიკის ამოცანების კრებულში უნივერსიტეტებში ჩასვლისათვის, მ.ი.სკანავის რედაქციით.

მაგალითი.

გამოხატვის გამარტივება .

გამოსავალი.

კარგი იქნება სიძლიერის, ჯამისა და სხვაობის ლოგარითმის თვისებების გამოყენება. მაგრამ შეგვიძლია ამის გაკეთება აქ? ამ კითხვაზე პასუხის გასაცემად უნდა ვიცოდეთ DZ.

მოდით განვსაზღვროთ:

აშკარაა, რომ x+4, x−2 და (x+4) 13 ცვლადის დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონში გამონათქვამებმა შეიძლება მიიღონ როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი მნიშვნელობები. ამიტომ, ჩვენ მოგვიწევს მუშაობა მოდულების საშუალებით.

მოდულის თვისებები საშუალებას გაძლევთ გადაწეროთ ის როგორც , ასე

ასევე, არაფერი გიშლით ხელს, გამოიყენოთ სიმძლავრის ლოგარითმის თვისება და შემდეგ მოიტანოთ მსგავსი ტერმინები:

გარდაქმნების სხვა თანმიმდევრობა იწვევს იმავე შედეგს:

და რადგან ODZ-ზე გამოსახულებას x−2 შეუძლია მიიღოს როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი მნიშვნელობები, მაშინ ლუწი მაჩვენებლის 14 განთავსებისას

ამოცანა B7 იძლევა გარკვეულ გამოხატულებას, რომელიც გამარტივებას საჭიროებს. შედეგი უნდა იყოს ჩვეულებრივი რიცხვი, რომელიც შეიძლება ჩაიწეროს თქვენს პასუხების ფურცელზე. ყველა გამონათქვამი პირობითად იყოფა სამ ტიპად:

1. ლოგარითმული,
2. საჩვენებელი,
3. კომბინირებული.

ექსპონენციალური და ლოგარითმული გამონათქვამები მათი სუფთა სახით პრაქტიკულად არასოდეს მოიძებნება. თუმცა, იმის ცოდნა, თუ როგორ ხდება მათი გაანგარიშება, აბსოლუტურად აუცილებელია.

ზოგადად, პრობლემა B7 მოგვარებულია საკმაოდ მარტივად და საკმაოდ არის საშუალო კურსდამთავრებულის შესაძლებლობებში. მკაფიო ალგორითმების ნაკლებობა კომპენსირდება მისი სტანდარტიზაციით და ერთფეროვნებით. თქვენ შეგიძლიათ ისწავლოთ ასეთი პრობლემების გადაჭრა უბრალოდ ბევრი ტრენინგის საშუალებით.

ლოგარითმული გამონათქვამები

B7 ამოცანების დიდი უმრავლესობა მოიცავს ლოგარითმებს ამა თუ იმ ფორმით. ეს თემა ტრადიციულად რთულად ითვლება, რადგან მისი შესწავლა ჩვეულებრივ მე-11 კლასში ხდება - დასკვნითი გამოცდებისთვის მასობრივი მომზადების ეპოქაში. შედეგად, ბევრ კურსდამთავრებულს აქვს ძალიან ბუნდოვანი გაგება ლოგარითმების შესახებ.

მაგრამ ამ ამოცანაში არავის სჭირდება ღრმა თეორიული ცოდნა. ჩვენ შევხვდებით მხოლოდ უმარტივეს გამონათქვამებს, რომლებიც საჭიროებენ მარტივ მსჯელობას და ადვილად ითვისებენ დამოუკიდებლად. ქვემოთ მოცემულია ძირითადი ფორმულები, რომლებიც უნდა იცოდეთ ლოგარითმებთან გამკლავებისთვის:

გარდა ამისა, თქვენ უნდა შეგეძლოთ შეცვალოთ ფესვები და წილადები ძალებით რაციონალური მაჩვენებლით, წინააღმდეგ შემთხვევაში ზოგიერთ გამონათქვამში უბრალოდ არაფერი იქნება ამოღებული ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ. ჩანაცვლების ფორმულები:

დავალება. იპოვნეთ გამონათქვამების მნიშვნელობა:
log 6 270 − log 6 7.5
log 5 775 − log 5 6.2

პირველი ორი გამონათქვამი გარდაიქმნება ლოგარითმების სხვაობის სახით:
log 6 270 − log 6 7.5 = log 6 (270: 7.5) = log 6 36 = 2;
log 5 775 − log 5 6.2 = log 5 (775: 6.2) = log 5 125 = 3.

მესამე გამოხატვის გამოსათვლელად, თქვენ მოგიწევთ ძალაუფლების იზოლირება - როგორც ბაზაში, ასევე არგუმენტში. პირველი, მოდით ვიპოვოთ შიდა ლოგარითმი:

შემდეგ - გარე:

log a log b x ფორმის კონსტრუქციები ბევრისთვის რთული და გაუგებარი ჩანს. იმავდროულად, ეს მხოლოდ ლოგარითმის ლოგარითმია, ე.ი. log a (log b x). ჯერ გამოითვლება შიდა ლოგარითმი (დააყენეთ log b x = c), შემდეგ კი გარე: log a c.

დემონსტრაციული გამონათქვამები

ექსპონენციალურ გამოსახულებას დავარქმევთ k ფორმის ნებისმიერ კონსტრუქციას, სადაც a და k რიცხვები თვითნებური მუდმივებია და a > 0. ასეთ გამოსახულებებთან მუშაობის მეთოდები საკმაოდ მარტივია და განიხილება მე-8 კლასის ალგებრის გაკვეთილებზე.

ქვემოთ მოცემულია ძირითადი ფორმულები, რომლებიც აუცილებლად უნდა იცოდეთ. ამ ფორმულების პრაქტიკაში გამოყენება, როგორც წესი, არ იწვევს პრობლემებს.

1. a n · a m = a n + m;
2. a n / a m = a n − m ;
3. (a n) m = a n · m;
4. (a · b ) n = a n · b n ;
5. (a : b ) n = a n : b n .

თუ თქვენ წააწყდებით რთულ გამონათქვამს ძალებით და გაუგებარია როგორ მივუდგეთ მას, გამოიყენეთ უნივერსალური ტექნიკა - დაშლა მარტივ ფაქტორებად. შედეგად, ძალაუფლების საფუძვლებში დიდი რაოდენობა იცვლება მარტივი და გასაგები ელემენტებით. შემდეგ რჩება მხოლოდ ზემოაღნიშნული ფორმულების გამოყენება - და პრობლემა მოგვარდება.

დავალება. იპოვეთ გამონათქვამების მნიშვნელობები: 7 9 · 3 11: 21 8, 24 7: 3 6: 16 5, 30 6: 6 5: 25 2.

გამოსავალი. მოდით დავშალოთ ძალაუფლების ყველა საფუძველი მარტივ ფაქტორებად:
7 9 3 11: 21 8 = 7 9 3 11: (7 3) 8 = 7 9 3 11: (7 8 3 8) = 7 9 3 11: 7 8: 3 8 = 7 3 3 = 189.
24 7: 3 6: 16 5 = (3 2 3) 7: 3 6: (2 4) 5 = 3 7 2 21: 3 6: 2 20 = 3 2 = 6.
30 6: 6 5: 25 2 = (5 3 2) 6: (3 2) 5: (5 2) 2 = 5 6 3 6 2 6: 3 5: 2 5: 5 4 = 5 2 3 2 = 150 .

კომბინირებული დავალებები

თუ იცით ფორმულები, მაშინ ყველა ექსპონენციალური და ლოგარითმული გამონათქვამი შეიძლება ამოიხსნას სიტყვასიტყვით ერთ ხაზზე. თუმცა, პრობლემა B7-ში ძალები და ლოგარითმები შეიძლება გაერთიანდეს საკმაოდ ძლიერი კომბინაციების შესაქმნელად.

სექციები: მათემატიკა

გაკვეთილის ტიპი:ცოდნის განზოგადებისა და სისტემატიზაციის გაკვეთილი

მიზნები:

• განაახლოს სტუდენტების ცოდნა ლოგარითმებისა და მათი თვისებების შესახებ ზოგადი გამეორებისა და ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის მომზადების ფარგლებში;
• ხელი შეუწყოს მოსწავლეთა გონებრივი აქტივობის განვითარებას, სავარჯიშოების შესრულებისას თეორიული ცოდნის გამოყენების უნარს;
• ხელი შეუწყოს განვითარებას პიროვნული თვისებებიმოსწავლეები, თვითკონტროლის უნარები და მათი საქმიანობის თვითშეფასება; განავითარეთ შრომისმოყვარეობა, მოთმინება, შეუპოვრობა და დამოუკიდებლობა.

აღჭურვილობა:კომპიუტერი, პროექტორი, პრეზენტაცია (დანართი 1), ბარათები საშინაო დავალებით (შეგიძლიათ დაურთოთ ფაილი დავალებასთან ერთად ელექტრონულ დღიურში).

გაკვეთილების დროს

ᲛᲔ. ორგანიზების დრო. მოგესალმებით, მოემზადეთ გაკვეთილისთვის.

II. საშინაო დავალების განხილვა.

III. დაასახელეთ გაკვეთილის თემა და მიზანი. Მოტივაცია.(სლაიდი 1) პრეზენტაცია.

ჩვენ ვაგრძელებთ მათემატიკის კურსის ზოგად მიმოხილვას ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის მოსამზადებლად. და დღეს გაკვეთილზე ვისაუბრებთ ლოგარითმებზე და მათ თვისებებზე.

ლოგარითმების გამოთვლისა და ლოგარითმული გამონათქვამების კონვერტაციის ამოცანები აუცილებლად წარმოდგენილია როგორც ძირითადი, ისე პროფილის დონის საკონტროლო და საზომ მასალებში. ამიტომ, ჩვენი გაკვეთილის მიზანია აღვადგინოთ იდეები ცნება „ლოგარითმის“ მნიშვნელობის შესახებ და განაახლონ ლოგარითმული გამონათქვამების გარდაქმნის უნარები. ჩაწერეთ გაკვეთილის თემა რვეულებში.

IV. ცოდნის განახლება.

1. /ზეპირად/ჯერ გავიხსენოთ რას ჰქვია ლოგარითმი. (სლაიდი 2)

(დადებითი b რიცხვის ლოგარითმი a-ს დასაფუძნებლად (სადაც a > 0, a?1) არის მაჩვენებელი, რომელზეც უნდა გაიზარდოს რიცხვი a რიცხვის მისაღებად)

შესვლა a b = n<->a n = b, (a> 0, a 1, b> 0)

ასე რომ, "LOGARITHM" არის "ექსპონსორი"!

(სლაიდი 3) შემდეგ a n = b შეიძლება გადაიწეროს ფორმაში = b – ძირითადი ლოგარითმული იდენტობა.

თუ ფუძე a = 10, მაშინ ლოგარითმს ეწოდება ათობითი და აღინიშნება lgb.

თუ a = e, მაშინ ლოგარითმს ეწოდება ბუნებრივი და აღინიშნება lnb.

2. /წერილობით/ (სლაიდი 4)შეავსეთ ცარიელი ადგილები, რომ მიიღოთ სწორი განტოლებები:

ჟურნალი? x + შესვლა a ? = ჟურნალი? (?y)

შესვლა ა? - ჟურნალი? y = ჟურნალი? (x/?)

შესვლა x ? = pLog? (?)

გამოცდა:

1; 1; a,y,x; x,a,a,y; p,a,x.

ეს არის ლოგარითმების თვისებები. და თვისებების კიდევ ერთი ჯგუფი: (სლაიდი 5)

გამოცდა:

a,1,n,x; n,x,p,a; x,b,a,y; a, x, b; ა, 1, ბ.

V. ზეპირი ნაშრომი

(სლაიდი 6) No1. გამოთვალეთ:

ა ბ გ დ) ; დ) .

პასუხები : ა) 4; ბ) – 2; 2-ზე; დ) 7; დ) 27.

(სლაიდი 7) No2. იპოვე X:

ა) ; ბ) (პასუხები: ა) 1/4; ბ) 9).

No3. აქვს თუ არა აზრი ასეთი ლოგარითმის განხილვას:

ა) ; ბ) ; V)? (არა)

VI. დამოუკიდებელი მუშაობაჯგუფებში, ძლიერი სტუდენტები - კონსულტანტები. (სლაიდი 8)

No 1. გამოთვალეთ: .

#2: გამარტივება:

No 3. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა თუ

No 4. გაამარტივე გამოთქმა:

No5. გამოთვალეთ:

No6. გამოთვალეთ:

No 7. გამოთვალეთ:

No 8. გამოთვალეთ:

დასრულების შემდეგ შეამოწმეთ და განიხილეთ მომზადებული ხსნარის ან დოკუმენტის კამერის გამოყენებით.

VII. გაზრდილი სირთულის ამოცანის ამოხსნა(ძლიერი მოსწავლე დაფაზე, დანარჩენი რვეულებში) (სლაიდი 9)

იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა:

VIII. Საშინაო დავალება(ბარათებზე) დიფერენცირებული.(სლაიდი 10)

No1. გამოთვალეთ:

No2. იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა:

F.F.Lysenko და სხვები. თემატური ტესტები 10 – 11 კლასებისთვის. ნაწილი 1 / როსტოვ-დონზე: „ლეგიონი“, 2008 წ

V.V. Kochagin ინტენსიური ვარჯიში. ერთიანი სახელმწიფო საგამოცდო მათემატიკა. / M: “Eksmo”, 2008 წ

ინტერნეტ რესურსები:

1. ლ.ვ. არტამონოვა, მათემატიკის მასწავლებელი, მუნიციპალური საგანმანათლებლო დაწესებულება „მოსკალენსკის ლიცეუმი“ პრეზენტაცია „ლოგარითმების ქვეყანაში“
2. ა.ა. კუკშევა, მუნიციპალური საგანმანათლებლო დაწესებულება "ეგორიევსკაიას საშუალო სკოლა" პრეზენტაცია "ლოგარითმები და მათი თვისებები"

ლოგარითმები, ისევე როგორც ნებისმიერი რიცხვი, შეიძლება ყველანაირად დაემატოს, გამოკლდეს და გარდაიქმნას. მაგრამ რადგან ლოგარითმები ზუსტად არ არის რეგულარული ნომრები, აქ არის წესები, რომლებიც ე.წ ძირითადი თვისებები.

თქვენ აუცილებლად უნდა იცოდეთ ეს წესები - მათ გარეშე არც ერთი სერიოზული ლოგარითმული პრობლემის გადაჭრა შეუძლებელია. გარდა ამისა, ისინი ძალიან ცოტაა - ყველაფრის სწავლა ერთ დღეში შეგიძლიათ. მოდით დავიწყოთ.

ლოგარითმების შეკრება და გამოკლება

განვიხილოთ ორი ლოგარითმი ერთი და იგივე ფუძით: log ა xდა შესვლა ა წ. შემდეგ მათი დამატება და გამოკლება შესაძლებელია და:

1. ჟურნალი ა x+ლოგი ა წ= ჟურნალი ა (x · წ);
2. ჟურნალი ა x- ჟურნალი ა წ= ჟურნალი ა (x : წ).

ასე რომ, ლოგარითმების ჯამი ტოლია ნამრავლის ლოგარითმისა, ხოლო სხვაობა ტოლია კოეფიციენტის ლოგარითმის. გთხოვთ გაითვალისწინოთ: მთავარი აქ არის იდენტური საფუძველი. თუ მიზეზები განსხვავებულია, ეს წესები არ მუშაობს!

ეს ფორმულები დაგეხმარებათ გამოთვალოთ ლოგარითმული გამოხატულება მაშინაც კი, როცა მისი ცალკეული ნაწილები არ არის გათვალისწინებული (იხ. გაკვეთილი „რა არის ლოგარითმი“). გადახედეთ მაგალითებს და ნახეთ:

ჟურნალი 6 4 + ჟურნალი 6 9.

ვინაიდან ლოგარითმებს აქვთ იგივე ფუძეები, ვიყენებთ ჯამის ფორმულას:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 2 48 − log 2 3.

საფუძვლები იგივეა, ჩვენ ვიყენებთ განსხვავების ფორმულას:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 3 135 − log 3 5.

ისევ ბაზები იგივეა, ამიტომ გვაქვს:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

როგორც ხედავთ, ორიგინალური გამონათქვამები შედგება "ცუდი" ლოგარითმებისგან, რომლებიც ცალკე არ არის გამოთვლილი. მაგრამ გარდაქმნების შემდეგ მიიღება სრულიად ნორმალური რიცხვები. ბევრი აგებულია ამ ფაქტზე ტესტის ფურცლები. დიახ, ტესტის მსგავსი გამონათქვამები წარმოდგენილია მთელი სერიოზულობით (ზოგჯერ პრაქტიკულად ცვლილებების გარეშე) ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე.

მაჩვენებლის ამოღება ლოგარითმიდან

ახლა ცოტა გავართულოთ დავალება. რა მოხდება, თუ ლოგარითმის საფუძველი ან არგუმენტი არის ძალა? მაშინ ამ ხარისხის მაჩვენებლის ამოღება შესაძლებელია ლოგარითმის ნიშნიდან შემდეგი წესების მიხედვით:

ადვილი მისახვედრია, რომ ბოლო წესი პირველ ორს მიჰყვება. მაგრამ უმჯობესია დაიმახსოვროთ ის მაინც - ზოგიერთ შემთხვევაში ეს მნიშვნელოვნად შეამცირებს გამოთვლების რაოდენობას.

რა თქმა უნდა, ყველა ამ წესს აქვს აზრი, თუ შეინიშნება ლოგარითმის ODZ: ა > 0, ა ≠ 1, x> 0. და კიდევ ერთი: ისწავლეთ ყველა ფორმულის გამოყენება არა მარტო მარცხნიდან მარჯვნივ, არამედ პირიქით, ე.ი. თქვენ შეგიძლიათ შეიყვანოთ რიცხვები ლოგარითმის ნიშანიმდე ლოგარითმში. ეს არის ის, რაც ყველაზე ხშირად საჭიროა.

დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 7 49 6 .

მოდით, თავი დავაღწიოთ არგუმენტის ხარისხს პირველი ფორმულის გამოყენებით:
ჟურნალი 7 49 6 = 6 ჟურნალი 7 49 = 6 2 = 12

დავალება. იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა:

[წარწერა სურათზე]

გაითვალისწინეთ, რომ მნიშვნელი შეიცავს ლოგარითმს, რომლის საფუძველი და არგუმენტი ზუსტი ხარისხებია: 16 = 2 4; 49 = 7 2. Ჩვენ გვაქვს:

[წარწერა სურათზე]

ვფიქრობ, ბოლო მაგალითი მოითხოვს გარკვეულ განმარტებას. სად წავიდა ლოგარითმები? ბოლო მომენტამდე ჩვენ ვმუშაობთ მხოლოდ მნიშვნელით. იქ მდგარი ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი ძალაუფლების სახით წარმოვადგინეთ და ამოვიღეთ მაჩვენებლები - მივიღეთ „სამსართულიანი“ წილადი.

ახლა გადავხედოთ ძირითად წილადს. მრიცხველი და მნიშვნელი შეიცავს ერთსა და იმავე რიცხვს: log 2 7. ვინაიდან log 2 7 ≠ 0, შეგვიძლია შევამციროთ წილადი - 2/4 დარჩება მნიშვნელში. არითმეტიკის წესების მიხედვით, ოთხი შეიძლება გადავიდეს მრიცხველზე, რაც გაკეთდა. შედეგი იყო პასუხი: 2.

გადასვლა ახალ საძირკველზე

ლოგარითმების შეკრებისა და გამოკლების წესებზე საუბრისას, მე კონკრეტულად ხაზგასმით აღვნიშნე, რომ ისინი მუშაობენ მხოლოდ ერთი და იგივე ფუძეებით. რა მოხდება, თუ მიზეზები განსხვავებულია? რა მოხდება, თუ ისინი არ არიან იგივე რიცხვის ზუსტი სიმძლავრეები?

ახალ საძირკველზე გადასვლის ფორმულები სამაშველოში მოდის. მოდით ჩამოვაყალიბოთ ისინი თეორემის სახით:

მიეცით ლოგარითმის ჟურნალი ა x. შემდეგ ნებისმიერი ნომრისთვის გისეთივე როგორც გ> 0 და გ≠ 1, ტოლობა მართალია:

[წარწერა სურათზე]

კერძოდ, თუ დავაყენებთ გ = x, ვიღებთ:

[წარწერა სურათზე]

მეორე ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი შეიძლება შეიცვალოს, მაგრამ ამ შემთხვევაში მთელი გამოთქმა „გადატრიალებულია“, ე.ი. ლოგარითმი გამოჩნდება მნიშვნელში.

ეს ფორმულები იშვიათად გვხვდება ჩვეულებრივ ციფრულ გამონათქვამებში. მათი მოხერხებულობის შეფასება შესაძლებელია მხოლოდ ლოგარითმული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას.

თუმცა არის პრობლემები, რომელთა მოგვარებაც საერთოდ შეუძლებელია, გარდა ახალ ფონდში გადასვლისა. მოდით შევხედოთ რამდენიმე მათგანს:

დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 5 16 log 2 25.

გაითვალისწინეთ, რომ ორივე ლოგარითმის არგუმენტები შეიცავს ზუსტ ძალას. ამოვიღოთ ინდიკატორები: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; ჟურნალი 2 25 = ჟურნალი 2 5 2 = 2ლოგი 2 5;

ახლა მოდით "შევუბრუნდეთ" მეორე ლოგარითმს:

[წარწერა სურათზე]

ვინაიდან პროდუქტი არ იცვლება ფაქტორების გადაწყობისას, ჩვენ მშვიდად გავამრავლეთ ოთხი და ორი, შემდეგ კი ლოგარითმებს მივმართეთ.

დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log 9 100 lg 3.

პირველი ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი ზუსტი სიმძლავრეებია. მოდით დავწეროთ ეს და მოვიშოროთ ინდიკატორები:

[წარწერა სურათზე]

ახლა მოდით დავაღწიოთ ათობითი ლოგარითმი ახალ ბაზაზე გადასვლით:

[წარწერა სურათზე]

ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა

ხშირად ამოხსნის პროცესში აუცილებელია რიცხვის ლოგარითმის სახით წარმოდგენა მოცემულ ბაზაზე. ამ შემთხვევაში შემდეგი ფორმულები დაგვეხმარება:

პირველ შემთხვევაში, ნომერი ნხდება არგუმენტში მდგომი ხარისხის მაჩვენებელი. ნომერი ნშეიძლება იყოს აბსოლუტურად ნებისმიერი, რადგან ეს მხოლოდ ლოგარითმის მნიშვნელობაა.

მეორე ფორმულა რეალურად არის პერიფრაზირებული განმარტება. სწორედ ამას ჰქვია: ძირითადი ლოგარითმული იდენტობა.

ფაქტობრივად, რა მოხდება, თუ ნომერი ბაწიეთ ისეთ ძალამდე, რომ რიცხვი ბამ ძალას აძლევს რიცხვს ა? ეს მართალია: თქვენ მიიღებთ იმავე რიცხვს ა. კიდევ ერთხელ ყურადღებით წაიკითხეთ ეს აბზაცი - ბევრი ადამიანი მასზე ჩერდება.

ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულების მსგავსად, ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა ზოგჯერ ერთადერთი შესაძლო გამოსავალია.

დავალება. იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა:

[წარწერა სურათზე]

გაითვალისწინეთ, რომ log 25 64 = log 5 8 - უბრალოდ აიღო კვადრატი ლოგარითმის ფუძიდან და არგუმენტიდან. ძალაუფლების გამრავლების წესების გათვალისწინებით იგივე საფუძველი, ვიღებთ:

[წარწერა სურათზე]

თუ ვინმემ არ იცის, ეს იყო რეალური დავალება ერთიანი სახელმწიფო გამოცდიდან :)

ლოგარითმული ერთეული და ლოგარითმული ნული

დასასრულს, მე მივცემ ორ იდენტობას, რომლებსაც ძნელად შეიძლება ვუწოდოთ თვისებები - უფრო მეტიც, ისინი ლოგარითმის განსაზღვრის შედეგებია. ისინი გამუდმებით ჩნდებიან პრობლემებში და, რა გასაკვირია, პრობლემებს უქმნიან თუნდაც „მოწინავე“ მოსწავლეებს.

1. ჟურნალი ა ა= 1 არის ლოგარითმული ერთეული. ერთხელ და სამუდამოდ გახსოვდეთ: ლოგარითმი ნებისმიერ ბაზაზე ასწორედ ამ ფუძიდან უდრის ერთს.
2. ჟურნალი ა 1 = 0 არის ლოგარითმული ნული. ბაზა აშეიძლება იყოს ნებისმიერი, მაგრამ თუ არგუმენტი შეიცავს ერთს, ლოგარითმი ნულის ტოლია! იმიტომ რომ ა 0 = 1 არის განმარტების პირდაპირი შედეგი.

ეს არის ყველა თვისება. დარწმუნდით, რომ ივარჯიშეთ მათ პრაქტიკაში! ჩამოტვირთეთ მოტყუების ფურცელი გაკვეთილის დასაწყისში, ამობეჭდეთ და მოაგვარეთ პრობლემები.