სავარჯიშო ამოცანები პითაგორას თეორემაზე. ამოცანები პითაგორას თეორემის გამოყენების შესახებ. ასე რომ, სამკუთხედი ABE არის მართკუთხა სამკუთხედი

იპოვეთ მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზის სიმაღლე, თუ მისი ფეხები 3 სმ და 5 სმ.

ამ პრობლემის გადასაჭრელად, თქვენ უნდა დახაზოთ სამკუთხედი და, რა თქმა უნდა, მართკუთხა. შემდგომი გადაწყვეტის მოხერხებულობისთვის მე დავხატავ მას ჰიპოტენუზაზე დაწოლილი.

ახლა მოდით დავხატოთ სიმაღლე. ეს მაინც რა არის? ეს არის სამკუთხედის კუთხიდან მოპირდაპირე მხარეს დახატული ხაზი, რომელიც ქმნის სწორ კუთხეს ამ მხარესთან.

საიდან გაჩნდა რიცხვის ფესვი 34 სმ? ცნობილი კიდურების მქონე სამკუთხედის ჰიპოტენუზის პოვნა ძალიან მარტივია პითაგორას თეორემის გამოყენებით: (ერთი ფეხის კვადრატი) + (მეორე ფეხის კვადრატი) = (ჰიპოტენუზის კვადრატი) = 9 + 25 = 34.
ჰიპოტენუზა = ჰიპოტენუზის კვადრატის ფესვი = ფესვი 34 სმ.

სიმაღლის დახატვის შემდეგ გაჩნდა ორი შიდა სამკუთხედი. ჩვენს ამოცანაში, ფაქტობრივად, ასოებით აღნიშვნა არ არის სასარგებლო, მაგრამ სიცხადისთვის:

ასე რომ, იყო სამკუთხედი ABC, მასში სიმაღლე BD დაქვეითდა ჰიპოტენუზა AC-მდე. შედეგი არის ორი შიდა მართკუთხა სამკუთხედი: ADB და BDC. ჩვენ არ ვიცით, სიმაღლემ როგორ გაიყო ჰიპოტენუზა, ამიტომ უფრო პატარა უცნობ ნაწილს - AD - x-ით აღვნიშნავთ, ხოლო უფრო დიდს - DC - AC-სა და x-ს შორის სხვაობით, ე.ი. (ფესვი 34)-x სმ.

სასურველი სიმაღლე y-ით ავღნიშნოთ. ახლა, პითაგორას თეორემის მიხედვით, ორი შიდა მართკუთხა სამკუთხედიდან შევადგენთ განტოლებათა სისტემას:
x^2 + y^2 = 9
((34-ის ფესვი)-x)^2 + y^2 = 25

გამოვსახოთ y^2 პირველი განტოლებიდან: y^2 = 9 - x^2
მოდით შევცვალოთ, ჯერ გავამარტივოთ მეორე განტოლება: ((ძირი 34)-x)^2 + y^2 = 34 - 2*(ძირი 34)*x + x^2 + y^2 = 34 - 2*( 34-ის ფესვი)*x + x^2 + 9 - x^2 = 43 - 2*(ძირი 34)*x = 25
2*(34-ის ფესვი)*x = 18
x = 9/(ძირი 34)

ჰოო! თითქმის მზადაა! ახლა, ისევ, პითაგორას თეორემის მიხედვით, სამკუთხედიდან ABD:
(ჰიპოტენუზის კვადრატი) - ((x ნაპოვნი) კვადრატი) = სასურველი სიმაღლის კვადრატი
AB^2 - x^2 = 9 - 81/34 = 225/34 = h^2
h = 15/(ძირი 34)

როდესაც პირველად დაიწყეთ კვადრატული ფესვების შესწავლა და როგორ ამოხსნათ ირაციონალური განტოლებები (ტოლობები, რომლებიც მოიცავს უცნობს ფესვის ნიშნის ქვეშ), ალბათ პირველად გესმით მათი პრაქტიკული გამოყენება. ამოღების უნარი კვადრატული ფესვირიცხვებიდან ასევე აუცილებელია ამოცანების ამოსახსნელად პითაგორას თეორემის გამოყენებით. ეს თეორემა აკავშირებს ნებისმიერი მართკუთხა სამკუთხედის გვერდების სიგრძეებს.

მოდით, მართკუთხა სამკუთხედის ფეხების სიგრძე (ის ორი გვერდი, რომელიც ხვდება მართი კუთხით) აღინიშნა ასოებით და ჰიპოტენუზის სიგრძე (მართკუთხედის მოპირდაპირე სამკუთხედის ყველაზე გრძელი გვერდი) აღინიშნა წერილი. მაშინ შესაბამისი სიგრძეები დაკავშირებულია შემდეგი მიმართებით:

ეს განტოლება საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ მართკუთხა სამკუთხედის გვერდის სიგრძე, როდესაც ცნობილია მისი დანარჩენი ორი გვერდის სიგრძე. გარდა ამისა, ის საშუალებას გაძლევთ განსაზღვროთ არის თუ არა აღნიშნული სამკუთხედი მართკუთხა სამკუთხედი, იმ პირობით, რომ სამივე გვერდის სიგრძე წინასწარ არის ცნობილი.

ამოცანების ამოხსნა პითაგორას თეორემის გამოყენებით

მასალის კონსოლიდაციისთვის ჩვენ მოვაგვარებთ შემდეგ ამოცანებს პითაგორას თეორემის გამოყენებით.

ასე რომ, მოცემული:

1. ერთი ფეხის სიგრძეა 48, ჰიპოტენუზა 80.
2. ფეხის სიგრძეა 84, ჰიპოტენუზა 91.

გადავიდეთ გამოსავალზე:

ა) მონაცემების ზემოაღნიშნული განტოლებით ჩანაცვლება იძლევა შემდეგ შედეგებს:

48 2 + ბ 2 = 80 2

2304 + ბ 2 = 6400

ბ 2 = 4096

ბ= 64 ან ბ = -64

ვინაიდან სამკუთხედის გვერდის სიგრძე არ შეიძლება იყოს უარყოფითი რიცხვის სახით, მეორე ვარიანტი ავტომატურად უარყოფილია.

პასუხი პირველ სურათზე: ბ = 64.

ბ) მეორე სამკუთხედის ფეხის სიგრძე ასევე გვხვდება:

84 2 + ბ 2 = 91 2

7056 + ბ 2 = 8281

ბ 2 = 1225

ბ= 35 ან ბ = -35

როგორც წინა შემთხვევაში, უარყოფითი გადაწყვეტილება გაუქმებულია.

პასუხი მეორე სურათზე: ბ = 35

ჩვენ გვეძლევა:

1. სამკუთხედის პატარა გვერდების სიგრძეა შესაბამისად 45 და 55, ხოლო დიდი გვერდები 75.
2. სამკუთხედის პატარა გვერდების სიგრძეა შესაბამისად 28 და 45, ხოლო დიდი გვერდები 53.

მოვაგვაროთ პრობლემა:

ა) უნდა შემოწმდეს, არის თუ არა მოცემული სამკუთხედის მოკლე გვერდების სიგრძის კვადრატების ჯამი უფრო დიდის სიგრძის კვადრატის:

45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050

ამიტომ, პირველი სამკუთხედი არ არის მართკუთხა სამკუთხედი.

ბ) იგივე ოპერაცია ტარდება:

28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809

ამრიგად, მეორე სამკუთხედი არის მართკუთხა სამკუთხედი.

ჯერ ვიპოვოთ ყველაზე დიდი სეგმენტის სიგრძე, რომელიც წარმოიქმნება (-2, -3) და (5, -2) კოორდინატებით წერტილებით. ამისათვის ჩვენ ვიყენებთ ცნობილ ფორმულას მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში წერტილებს შორის მანძილის საპოვნელად:

ანალოგიურად, ჩვენ ვპოულობთ სეგმენტის სიგრძეს, რომელიც ჩაკეტილია წერტილებს შორის კოორდინატებით (-2, -3) და (2, 1):

და ბოლოს, ჩვენ განვსაზღვრავთ სეგმენტის სიგრძეს წერტილებს შორის კოორდინატებით (2, 1) და (5, -2):

ვინაიდან თანასწორობა მოქმედებს:

მაშინ შესაბამისი სამკუთხედი მართკუთხაა.

ამრიგად, შეგვიძლია დავადგინოთ პასუხი პრობლემაზე: ვინაიდან უმოკლესი სიგრძის გვერდების კვადრატების ჯამი უდრის ყველაზე გრძელი გვერდის კვადრატს, წერტილები მართკუთხა სამკუთხედის წვეროებია.

ფუძე (მდებარეობს მკაცრად ჰორიზონტალურად), ჯამი (მკაცრად ვერტიკალურად მდებარეობს) და კაბელი (დიაგონალურად გადაჭიმული) ქმნიან მართკუთხა სამკუთხედს, შესაბამისად, კაბელის სიგრძის საპოვნელად შეიძლება გამოყენებულ იქნას პითაგორას თეორემა:

ამრიგად, კაბელის სიგრძე იქნება დაახლოებით 3.6 მეტრი.

მოცემულია: მანძილი R წერტილიდან P წერტილამდე (სამკუთხედის ფეხი) არის 24, R წერტილიდან Q წერტილამდე (ჰიპოტენუზა) არის 26.

ასე რომ, დავეხმაროთ ვიტას პრობლემის მოგვარებაში. ვინაიდან ფიგურაში ნაჩვენები სამკუთხედის გვერდები მართკუთხა სამკუთხედს უნდა ქმნიან, შეგიძლიათ გამოიყენოთ პითაგორას თეორემა მესამე გვერდის სიგრძის საპოვნელად:

ასე რომ, აუზის სიგანე 10 მეტრია.

სერგეი ვალერიევიჩი

გაკვეთილის თემა

პითაგორას თეორემა

გაკვეთილის მიზნები

სკოლის მოსწავლეებს გავაცნოთ პითაგორას თეორემა;
პითაგორას თეორემის ჩამოყალიბება და დამტკიცება;
გავაცნოთ სკოლის მოსწავლეები სხვადასხვა მეთოდებიამ თეორემის გამოყენება როცა პრობლემის გადაჭრა;
შეძენილი ცოდნის პრაქტიკაში გამოყენების უნარ-ჩვევების გამომუშავება;
მოსწავლეთა ყურადღების, დამოუკიდებლობისა და გეომეტრიისადმი ინტერესის განვითარება;
მათემატიკური მეტყველების კულტურის განვითარება.

გაკვეთილის მიზნები

ისწავლეთ ფორმების თვისებების გამოყენება ამოცანების შესრულებისას.
შეძლოს პითაგორას თეორემის გამოყენება ამოცანების ამოხსნისას.

გაკვეთილის გეგმა

მოკლე ბიოგრაფიული ინფორმაცია.
თეორემა და მისი დადასტურება.
საინტერესო ფაქტები.
პრობლემის გადაჭრა.
საშინაო დავალება.

მოკლე ბიოგრაფიული ცნობები პითაგორას შესახებ

სამწუხაროდ, პითაგორას არ დაუტოვებია რაიმე ნაწერი მისი ბიოგრაფიის შესახებ, ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია ვისწავლოთ მთელი ინფორმაცია ამ დიდი ფილოსოფოსისა და ცნობილი მათემატიკოსის შესახებ მისი მიმდევრების მოგონებებით და მაშინაც კი, ისინი ყოველთვის არ არიან სამართლიანი. ამიტომ, ამ კაცზე ბევრი ლეგენდა არსებობს. მაგრამ სიმართლე ისაა, რომ პითაგორა იყო დიდი ელინური ბრძენი, ფილოსოფოსი და ნიჭიერი მათემატიკოსი.

არასანდო ინფორმაციის თანახმად, დიდი ბრძენი და ბრწყინვალე მეცნიერი პითაგორა დაიბადა ღარიბი ოჯახიდან შორს, კუნძულ სამოსეაზე, ჩვენს წელთაღრიცხვამდე 570 წელს.

ბრწყინვალე ბავშვის დაბადება იწინასწარმეტყველა პაფიამ. მაშასადამე, მომავალმა მნათობმა მიიღო სახელი პითაგორა, რაც ნიშნავს, რომ ეს არის ზუსტად ის, ვინც პაფიამ გამოაცხადა. მან იწინასწარმეტყველა, რომ დაბადებული ბავშვი მომავალში ბევრ სარგებელს და სიკეთეს მოუტანს ადამიანებს.

ახალშობილი წარმოუდგენლად ლამაზი იყო და დროთა განმავლობაში გარშემომყოფებს თავისი გამორჩეული შესაძლებლობებით სიამოვნებდა. და რადგან ახალგაზრდა ნიჭიერმა დღეები ბრძენ უხუცესებს შორის გაატარა, ამან მომავალში ნაყოფი გამოიღო. ასე შეუყვარდა პითაგორას ჰერმოდამანტუსის წყალობით მუსიკა, ფერეკიდესმა კი ბავშვის გონება ლოგოსისკენ მიმართა. სამოსაში ცხოვრების შემდეგ პითაგორა მილეტში გაემგზავრა, სადაც გაიცნო სხვა მეცნიერი - თალესი.

პითაგორა გაეცნო იმ დროს ცნობილი ყველა ბრძენის ცოდნას, ვინაიდან მას უფლება მიეცა შეესწავლა და შეესწავლა ყველა ის საიდუმლო, რომელიც სხვებისთვის იყო აკრძალული. იგი ცდილობდა ჭეშმარიტების სიღრმეში ჩასვლას და კაცობრიობის მიერ დაგროვილი მთელი ცოდნის შთანთქმას.

ეგვიპტეში ოცდაორი წლის შემდეგ პითაგორა გადავიდა ბაბილონში, სადაც განაგრძო ურთიერთობა სხვადასხვა ბრძენებთან და ჯადოქრებთან. სიცოცხლის მიწურულს დაბრუნდა სამიოსში და აღიარეს იმ დროის ერთ-ერთ ყველაზე ბრძენ ადამიანად.

პითაგორას თეორემა

იმ ადამიანსაც კი, რომელსაც ჯერ არ ჰქონია ამ თეორემის შესწავლის შესაძლებლობა, ალბათ მოისმინა განცხადება "პითაგორას შარვლის" შესახებ. ამ თეორემის თავისებურება ის არის, რომ იგი იქცა ევკლიდეს გეომეტრიის ერთ-ერთ მთავარ თეორემად. ეს აადვილებს მართკუთხა სამკუთხედის გვერდებს შორის შესაბამისობის პოვნასა და დადგენას.

პითაგორას თეორემა ყველა სკოლის მოსწავლეს ახსოვდა არა მხოლოდ გამოთქმით: „პითაგორას შარვალი ყველა მხრიდან თანაბარია“, არამედ მისი სიმარტივისა და მნიშვნელობის გამო. და ერთი შეხედვით, ამ თეორემას, მიუხედავად იმისა, რომ მარტივი ჩანს, დიდი მნიშვნელობა აქვს, რადგან გეომეტრიაში იგი პრაქტიკულად ყოველ ნაბიჯზე გამოიყენება.

პითაგორას თეორემა ამბობს დიდი რაოდენობასხვადასხვა მტკიცებულება და ალბათ ერთადერთი თეორემაა, რომელსაც აქვს მტკიცებულებების ასეთი დიდი რაოდენობა. ეს მრავალფეროვნება ხაზს უსვამს ამ თეორემის უსაზღვრო მნიშვნელობას.

პითაგორას თეორემა შეიცავს გეომეტრიულ, ალგებრულ, მექანიკურ და სხვა მტკიცებულებებს.

არსებობს მრავალი განსხვავებული ლეგენდა პითაგორას მიერ თეორემის აღმოჩენის შესახებ. მაგრამ, მიუხედავად ამ ყველაფრისა, პითაგორას სახელი სამუდამოდ შევიდა გეომეტრიის ისტორიაში და მტკიცედ შეერწყა პითაგორას თეორემას. ყოველივე ამის შემდეგ, ეს ბრწყინვალე მათემატიკოსი იქნება პირველი, ვინც მის სახელს ატარებს თეორემის მტკიცებულებას.

თეორემის დებულებები

პითაგორას თეორემის რამდენიმე ფორმულირება არსებობს.

ევკლიდეს თეორემა გვეუბნება, რომ მართკუთხა სამკუთხედის გვერდის კვადრატი, რომელიც დახატულია მის მართი კუთხით, ტოლია მართი კუთხის შემოსაზღვრული გვერდების კვადრატების.

დავალება: იპოვეთ პითაგორას თეორემის სხვადასხვა ფორმულირება. იპოვით რაიმე განსხვავებას მათში?

გამარტივებული ევკლიდეს მტკიცებულება

მიუხედავად იმისა, ავიღოთ დაშლის მეთოდი თუ ევკლიდური მტკიცებულება, კვადრატების ნებისმიერი განლაგება შეიძლება გამოვიყენოთ. ზოგიერთ შემთხვევაში შესაძლებელია მცირე გამარტივებების მიღწევა.

ავიღოთ კვადრატი, რომელიც აგებულია ერთ-ერთ ფეხზე და აქვს იგივე მდებარეობა, როგორც სამკუთხედი. ჩვენ ვხედავთ, რომ მხარის გაგრძელება, მოპირდაპირე მხარესამ კვადრატი გადის კვადრატის წვეროზე, რომელიც აგებულია ჰიპოტენუზაზე.

თეორემის დადასტურება საკმაოდ მარტივია, რადგან საკმარისი იქნება ფიგურების ფართობების უბრალოდ შედარება სამკუთხედის ფართობთან. და ჩვენ ვხედავთ, რომ სამკუთხედის S უდრის კვადრატის ფართობის ½ და ასევე მართკუთხედის ½ S.

უმარტივესი მტკიცებულება

ალგებრული მტკიცებულება

პითაგორას თეორემის ალგებრული მტკიცებულება მოიცავს ელემენტარულ მეთოდებს, რომლებიც გვხვდება ალგებრაში. ეს არის განტოლებების ამოხსნის მეთოდები, რომლებიც შერწყმულია ცვლადების შეცვლის მეთოდთან.

მოდით განვიხილოთ ეს მტკიცებულება უფრო დეტალურად. ასე რომ, ჩვენ გვაქვს მართკუთხედი ABC, რომლის მართი კუთხე არის C.

დახაზეთ CD სიმაღლე ამ კუთხიდან.

კუთხის კოსინუსის განმარტების მიხედვით მივიღებთ:

cosA=AD/AC=AC/AB. აქედან გამომდინარე AB*AD=AC2.

და შესაბამისად:

cosB = BD/BC=BC/AB.

აქედან გამომდინარე AB*BD=BC2.

ახლა დავამატოთ ეს ტოლობები ტერმინებით და ვნახოთ, რომ: AD+DB=AB,

AC2+BC2=AB(AD+DB)=AB2.

სულ ესაა, თეორემა დამტკიცებულია.

მეცნიერებმა პითაგორას თეორემა მულტფილმების დახმარებით „დაამტკიცეს“. ინსტიტუტის თანამოაზრეების ჯგუფი. სტეკლოვამ მიიღო პრიზი ორიგინალური მათემატიკური პროექტისთვის, რომელიც მათ შეიმუშავეს სკოლის მოსწავლეებისა და მასწავლებლებისთვის. მათ შექმნეს მინი გაკვეთილები მათემატიკაში, რამაც ეს მოსაწყენი საგანი ძალიან საინტერესო და საგანმანათლებლო საგანად აქცია. ახალგაზრდა მეცნიერებმა თავიანთი უჩვეულო ჩანახატები გამოაქვეყნეს დისკებზე და განათავსეს ინტერნეტში საზოგადოების სანახავად.

კითხვები

1. ვინ არის პითაგორა?
2. რას ამბობს პითაგორას თეორემა?
3. როგორია პითაგორას თეორემის ფორმულირება?
4. რა ამოცანების ამოხსნისას გამოიყენება პითაგორას თეორემა?
5. საიდან გაჩნდა პითაგორას თეორემა? პრაქტიკული გამოყენება?
6. პითაგორას თეორემის გამოყენების რა გზები იცით?

პითაგორას თეორემის გამოყენებით ამოცანები

პითაგორას თეორემის ცოდნის გამოყენებით, შეეცადეთ გადაჭრათ შემდეგი პრობლემები:

ტურისტთა ორი ჯგუფი ერთდროულად დატოვა ტურისტული ბაზა. პირველი ჯგუფი სამხრეთით გაემართა და შვიდი კილომეტრი გაიარა, მეორემ კი დასავლეთისკენ შეუხვია და ცხრა კილომეტრი გაიარა. თეორემის ცოდნის გამოყენებით იპოვნეთ მანძილი ტურისტთა ჯგუფებს შორის.

თუ მართკუთხა სამკუთხედში მისი ფეხი არის 15 სმ და ჰიპოტენუზა 16 სმ, მაშინ რის ტოლი იქნება მეორე ფეხი?

რა იქნება ტრაპეციის ფართობი, როცა მისი ძირითადი ფუძე 24 სმ-ია, უფრო პატარა ფუძე 16 სმ, ხოლო მართკუთხა ტრაპეციის ძირითადი დიაგონალი 26 სმ?

საშინაო დავალება

მოკლე მოხსენების სახით წარმოადგინეთ პითაგორას თეორემის რამდენიმე მტკიცებულება, რომელიც გესმით და ამოხსნით ამოცანებს.

1. იპოვეთ მართკუთხა სამკუთხედის დიაგონალი იმ პირობით, რომ მისი გვერდები იყოს 8 სმ და 32 სმ.

2. იპოვეთ სამკუთხედის შუალედი, რომელიც ფუძესთანაა დახატული, თუ ტოლფერდა სამკუთხედში პერიმეტრი 38 სმ-ია, ხოლო გვერდითი მხარე 15 სმ.

3. სამკუთხედს აქვს 10 სმ, 6 სმ და 9 სმ ტოლი გვერდები სცადეთ დაადგინოთ არის თუ არა ეს სამკუთხედი მართკუთხა?

საგნები > მათემატიკა > მათემატიკა მე-8 კლასი

როგორც მარადიული კავშირის სიმბოლო
მარადიული მეგობრობის უბრალო ნიშანივით
შეკრული ხარ, ჰიპოტენუზა,
სამუდამოდ ფეხები შენთან ერთად.
საიდუმლოს მალავდი
ცოტა ხნის შემდეგ გამოჩნდა ვიღაც ბრძენი ბერძენი
და პითაგორას თეორემა
მან სამუდამოდ გადიდა.

მიზნები:

• ამოცანების ამოხსნისას პითაგორას თეორემის გამოყენების ცოდნისა და უნარების სისტემატიზაცია, განზოგადება, მათი პრაქტიკული გამოყენების ჩვენება;
• ხელი შეუწყოს მათემატიკური აზროვნების განვითარებას;
• კოგნიტური ინტერესის განვითარება.

აღჭურვილობა:პითაგორას პორტრეტი, სატელევიზიო კოშკის ნახატი და მოდელი, ცხრილები გონებრივი გაანგარიშებისთვის.

გაკვეთილის მიმდინარეობა

1. საორგანიზაციო მომენტი

2. მუშაობა მზა ნახატების მიხედვით

– შესაძლებელია თუ არა ამ პირობების გამოყენებით სამკუთხედის ფართობის პოვნა?
- სხვა რა კითხვა შეიძლება დაისვას ამ პრობლემებს?
- იპოვეთ სამკუთხედების ფართობი.
- რა თეორემა გამოიყენე სამკუთხედების გვერდების საპოვნელად?
- რა ჰქვია სამკუთხედებს 1, 4 და 3? (პითაგორა)
– მოიყვანეთ ასეთი სამკუთხედების მეტი მაგალითი.
– 6, 29 და 25 გვერდების მქონე სამკუთხედი მართკუთხაა? რა თეორემა გამოიყენე დასამტკიცებლად?

ამ დროისთვის დამოუკიდებლად მუშაობს 4 მოსწავლე.

1. იპოვეთ მართკუთხედის ფართობი, თუ მისი დიაგონალი 10 სმ-ია და მის გვერდთან ქმნის 30 გრადუსიან კუთხეს. (25√3 სმ 2)

2. მართკუთხა ტრაპეციაში ფუძეები 22 სმ და 6 სმ, ყველაზე დიდი მხარე 20 სმ იპოვეთ ტრაპეციის ფართობი. (224 სმ2)

3. 3 დონის დამოუკიდებელი მუშაობა მზა ნახატების გამოყენებით.

1 ვარიანტი

1) a = 3 სმ h = 4 სმ თან - ?	2) c = 10 სმ h = 8 სმ ა -?	3) a = 10 სმ h = 5 სმ SΔ – ?

ვარიანტი 2

1) a = 0,3 სმ c = 0,5 სმ V - ?

2) AD = 3 სმ ВД – ?

3) BD = 10 სმ AD = 8 სმ Spr. – ?

ვარიანტი 3

სამუშაოს თვითტესტი პასუხების ცხრილის გამოყენებით.

4. პრობლემის გადაჭრა

იპოვეთ რომბის გვერდი და ფართობი, თუ მისი დიაგონალებია 10 სმ და 24 სმ.

მოცემულია: ABCD – რომბი, ВD = 10 სმ, AC = 24 სმ
იპოვეთ: რომბის AB და S

1. BD არის პერპენდიკულარული AC-ზე რომბის დიაგონალების თვისების მიხედვით.
2. განვიხილოთ სამკუთხედი ABO: O = 90, BO = 5 სმ, AO = 12 სმ პითაგორას თეორემის მიხედვით, AB = BO 2 + AO 2 AB = 13 სმ.
3. S = 1/2 * 10 * 24 = 120 სმ 2.

პასუხი: AB = 13 სმ, S = 120 სმ 2

იპოვეთ ABCD ტრაპეციის ფართობი AB და CD ფუძეებით, თუ AB = 10 სმ, BC = DA = 13 სმ, CD = 20 სმ.

მოცემულია: ABCD – ტრაპეცია, AB და CD ფუძეები, AB = 10
CD = 20 სმ, BC = DA = 13 სმ
იპოვე: S?

1. დავხატოთ AN სიმაღლე და განვიხილოთ სამკუთხედი ADH: H = 90, AD = 13 სმ,
DH = (20 – 10) : 2 = 5 სმ.
AN = 13 2 – 5 2 = 12 სმ

2. S = (20 + 10) : 2 * 12 = 180 სმ 2

პასუხი: S = 180cm2.

– რა ფორმულებს იყენებდით ამოცანების გადასაჭრელად? რა ფორმულები იცით სამკუთხედის ფართობის გამოსათვლელად?

დღეს Masha L. გაგაცნობთ ტოლგვერდა სამკუთხედის ფართობის გამოთვლის ფორმულას მისი გვერდის გასწვრივ. (მოსწავლემ დამოუკიდებლად მოამზადა დავალება სახლში.)

S = a 2 * √3/4, სადაც a არის სამკუთხედის გვერდი.

ამ ფორმულის გამოყენების პრობლემის გადაჭრა.

სამკუთხედი შედგება 4 სამკუთხედისგან 1 სმ გვერდით. რამდენ ტოლგვერდა სამკუთხედს ხედავთ? რა არის ამ სამკუთხედის ფართობი?

ამოცანის ამოხსნა: 5 ტოლგვერდა სამკუთხედი, a = 2 სმ, შემდეგ S = √3 კვ. ერთეული.

5. პრაქტიკული დავალება

მოსწავლეთა მოხსენება შესრულებული სამუშაოს შესახებ: ჩვენს სოფელში არის სატელევიზიო კოშკი, რომლის სიმაღლეა 124 მ, რომ ვერტიკალურად დადგეს, საჭიროა ბიჭის მავთულები, ისინი რამდენიმე დონისაა. ჩვენ დავალებული გვქონდა გაგვეგო, რამდენი მეტრი კაბელი იქნებოდა საჭირო 4 ქვედა მავთულისთვის.

ვინაიდან სტრიები ერთნაირი სიგრძისაა, პრობლემა შემცირდა ერთი მონაკვეთის სიგრძის პოვნამდე. ამისათვის ჩვენ გამოვყავით მართკუთხა სამკუთხედი, რომლის ფეხები არის მანძილი AC და CB. ჩვენ გავიგეთ, რომ კაბელი მიმაგრებულია 40 მ სიმაღლეზე (AC = 40 მ) და გავზომეთ მანძილი კოშკის ძირიდან ზედაპირზე კაბელის მიმაგრებამდე (CB = 24 მ). პითაგორას თეორემის მიხედვით, AB = 46,7 მ, რაც ნიშნავს, რომ კაბელს დასჭირდება მინიმუმ 186,8 მ.

მოხსენების დროს ნაჩვენებია სატელევიზიო კოშკის მოდელი და მისი ნახატი.

6. გაკვეთილის შეჯამება

7. საშინაო დავალება

დაასრულეთ გაკვეთილი სიტყვებით: ისინი ამბობენ, რომ მეცნიერება განსხვავდება ხელოვნებისგან იმით, რომ სანამ ხელოვნების ქმნილებები მარადიულია, მეცნიერების დიდი ქმნილებები უიმედოდ ძველდება. საბედნიეროდ, ეს ასე არ არის;

MBNOU "ლიცეუმი No. 3 (ხელოვნება)"

გაკვეთილი მოამზადა მათემატიკის მასწავლებელმა

სვატკოვსკაია ელენა ალექსანდროვნა

ღია გაკვეთილი გეომეტრიაში

„პრობლემების გადაჭრა თემაზე „პითაგორას თეორემა“

გაკვეთილის ტიპი: გაკვეთილი - განზოგადება.
გაკვეთილის მიზნები: ა) საგანმანათლებლო:გეომეტრიული ცოდნისა და უნარ-ჩვევების სისტემის ძლიერი და შეგნებული ათვისების უზრუნველყოფა ყოველდღიური ცხოვრებადა შრომითი საქმიანობასაკმარისია დაკავშირებული დისციპლინების შესასწავლად და უწყვეტი განათლებისთვის; ალგორითმული აზროვნების ჩამოყალიბება; საგნისადმი ინტერესის განვითარება; ბ) განვითარებადი:განუვითარდეთ მოსწავლეებს ზუსტი, ეკონომიური, ინფორმაციული მეტყველება, ყველაზე შესაფერისი ენობრივი (კერძოდ, სიმბოლური, გრაფიკული) საშუალებების შერჩევის უნარი; მოსწავლეთა შემოქმედებითი გონებრივი აქტივობა კლასში დაუფორმებელი კითხვით ამოცანების გადაჭრით, მონაცემების გაანალიზებით და კვლევითი ამოცანებით; ხელი შეუწყოს სკოლის მოსწავლეთა პიროვნების ინტელექტუალური თვისებების განვითარებას (დამოუკიდებლობა, აზროვნების მოქნილობა, პრობლემის „დანახვის“ უნარი, შეფასებითი მოქმედებები, განზოგადება), სწრაფი გადართვა; ინდივიდუალური განვითარების უნარი და დამოუკიდებელი მუშაობა; აზრების მკაფიოდ და ნათლად გამოხატვის უნარის განვითარება; პითაგორას თეორემის, დასკვნის და მისი საპირისპირო თეორემის გამოყენება უნარ-ჩვევების გასავითარებლად: მართკუთხა სამკუთხედიდან უცნობი ფეხის ან ჰიპოტენუზის პოვნა სამკუთხედის ტიპის დასადგენად. ბ) საგანმანათლებლო:მოცემული ალგორითმის მიხედვით მოქმედებისა და ახლის აგების უნარის გამომუშავება; ზოგადი გაცნობა რეალობის გაგების მეთოდებში; მათემატიკური მსჯელობის სილამაზისა და მადლის გაგება; მოსწავლეებში ჩაუნერგოს ინტერესი საგნის მიმართ მათი ამოხსნაში ჩართვით პრაქტიკული პრობლემები, აპლიკაციები საინფორმაციო ტექნოლოგიები; განუვითარდებათ მათემატიკური აღნიშვნების მკაფიოდ და კომპეტენტურად შესრულების უნარი.
კომპეტენციების განვითარება:
პასუხისმგებლობა და ადაპტირება საკომუნიკაციო უნარები კრეატიულობა და ცნობისმოყვარეობა კრიტიკული და სისტემური აზროვნება ინფორმაციასთან და მედიასთან მუშაობის უნარი პრობლემების დასმისა და გადაჭრის უნარი ფოკუსირება თვითგანვითარებაზე სოციალური პასუხისმგებლობა

ICT: გაკვეთილზე პრეზენტაციისა და კომპიუტერული ტესტირების გამოყენება.

გაკვეთილის გეგმა:

დაფარული მასალის გამეორება. (სლაიდები 1-4) საშინაო დავალების შემოწმება: ინდოელი მათემატიკოსის ბჰასკარას პრობლემა ალვის შესახებ. (სლაიდი 5-6) ზეპირი გამოკითხვა. (სლაიდები 7-13) დასრულებული მასალის შემოწმება ტესტირების სახით, რასაც მოჰყვება თავად სტუდენტების ტესტირება. (სლაიდები 14-17) ამოცანების ამოხსნა თემაზე „პითაგორას თეორემა“:

ა) XI საუკუნის არაბი მათემატიკოსის უძველესი პრობლემა ფრინველებზე; (სლაიდები 18-20) ბ) პრობლემა მსროლელებთან დაკავშირებით; (სლაიდი 21) გ) პრობლემა წრის თვისებების გამოყენებით. (სლაიდები 22-25)

საშინაო დავალება: (სლაიდები 26-29)

ა) უძველესი პრობლემა ლერწმის შესახებ; ბ) წრის ტანგენსის თვისების გამოყენების პრობლემა. გ) მემორანდუმის ანალიზი; დ) კროსვორდის ამოხსნა.

ისტორიული ფონი(სლაიდები 30-34). გაკვეთილის შეჯამება, შეფასება.

გაკვეთილის პროგრესი:
1. დაფარული მასალის გამეორება. სლაიდები 1-4 თეორიით დაპროექტებულია დაფაზე.
2. საშინაო დავალების შემოწმება. სლაიდები 5-6 დაპროექტებულია დაფაზე. მოსწავლეები ამოწმებენ სწორად შესრულებას ინდოელი მათემატიკოსის ბჰასკარას პრობლემები ვერხვთან დაკავშირებით.
მდინარის ნაპირზე მარტოხელა ვერხვი ამოიზარდა. უეცრად ქარმა გატეხა მისი საყრდენი. საწყალი ვერხვი დაეცა. და მისმა ღერომ მდინარის დინებასთან სწორი კუთხე გააკეთა. გაიხსენეთ ახლა, რომ იმ ადგილას მდინარის სიგანე მხოლოდ ოთხი ფუტი იყო. ზემოდან მდინარის პირას გადახრილიყო, მხოლოდ სამი ფუტი ღერო დარჩა. გეკითხები, მალე მითხარი: რამხელაა ვერხვი?
გამოსავალი.მოდით CD იყოს საბარგულის სიმაღლე.BD = ABპითაგორას თეორემით გვაქვსAB²=AC²+BC²,AB²=9+16=25, AB = 5.CD = CB + BD,CD = 3 + 5 =8.პასუხი: 8 ფუტი.

3. ზეპირი გამოკითხვა. სლაიდები 7-13 ასახულია დაფაზე, ასახავს ამოცანებს და ერთდროულად აკეთებს კომენტარს გადაწყვეტის შესახებ. ა) იპოვეთ A კუთხის კოსინუსი და B კუთხის კოსინუსი.
(კოს cos ბ) როგორ დავწეროთ პითაგორას თეორემა AOC მართკუთხა სამკუთხედისთვის. (AC²=AO²+OC²) გ) რა ჰქვია მართკუთხა სამკუთხედებს, რომელთა გვერდები მთლიანია? ნომრები?(პითაგორა)

დ) რა ჰქვია მართკუთხა სამკუთხედებს, რომელთა გვერდები პროპორციულია?

ტოლია ისინი 3, 4 და 5 რიცხვების?(ეგვიპტური)

ე) რამდენი პითაგორას სამკუთხედია ნაჩვენები ნახატზე?(3)

ვ) იპოვეთ მართკუთხა სამკუთხედის EN წვერიფ.

ნ ფ

EH=HF=x
x²+x²=1600
2x²=1600
x²=800
x=20√2 (მმ)

ზ) იპოვეთ ABCD პერიმეტრი.

BC=CD=DE=AE=4
AD=8

TriangleABE:
AB²=AE²+BE²
AB²=16+16
AB²=32
AB=4√2

Р=4+4+8+4√2=
=16+4√2

4. გავლილი მასალის შემოწმება ტესტირების სახით.

სტუდენტები იღებენ ბარათებს სატესტო დავალებებით (2 ასლი ქსეროქსით

ქაღალდი). დასმულ კითხვებზე პასუხის გაცემის შემდეგ მოსწავლეები გადასცემენ პირველ ასლს.

მასწავლებელს და მეორეზე ამოწმებენ სლაიდებზე დავალებების სისწორეს,

პროექცია მასწავლებლის მიერ დაფაზე (სლაიდები 14-17).

1 ვარიანტი 1. მოცემული სამკუთხედებიდან რომელიამართკუთხა?
2. გამოიყენეთ პითაგორას თეორემა?ა) ბ) გ) 3. იპოვეთ მართკუთხა სამკუთხედის ფეხი გოლნიკი, თუ მისი ჰიპოტენუზა არის 17 სმ, ხოლო მეორე ფეხი 8 სმ. ა) 289 სმ გ) 15 სმ დ) 64 სმბ) 120 სმ დ) 23 სმ 4. კვადრატის მხარე ა. იპოვეთ თანხა მისი დიაგონალების სიგრძე. ა) ა გ) 2ა
ე) 2ა ბ) ა დ) ა
ვარიანტი 2 1. მოცემული სამკუთხედებიდან რომელიამართკუთხა?
2. ამ სამკუთხედებიდან რომელი შეიძლება იყოს გამოიყენეთ პითაგორას თეორემა?ა) ბ) გ) 3. იპოვეთ მართკუთხედის ჰიპოტენუზა სამკუთხედი, თუ მისი ფეხები ტოლია 5 სმ და 12 სმ. ა) 5 სმ გ) 12 სმ დ) 169 სმბ) 13 სმ დ) 17 სმ 4. კვადრატის დიაგონალის ნახევარიაბ. იპოვე მისი მხარე.ა) გ) ბ ე) ბბ) ბ დ) 2ბ

5. პრობლემების გადაჭრა თემაზე „პითაგორას თეორემა“.

ყველა მოსწავლე ამოხსნის დაფაზე და რვეულებში არსებულ პრობლემებს, ორი კი ჯდება კომპიუტერთან და

პრობლემების დამოუკიდებლად გადაჭრა.

ა) მე-11 საუკუნის არაბი მათემატიკოსის პრობლემა ფრინველების შესახებ (სლაიდები 18-20 დაფაზე):

მდინარის ორივე ნაპირზე, ერთი მეორის მოპირდაპირე მხარეს იზრდება პალმა. ერთის სიმაღლე 30 წყრთაა, მეორის 20 წყრთა. მათ ძირებს შორის მანძილი 50 წყრთაა. თითოეული პალმის ხის თავზე ჩიტი ზის. უცებ ორივე ჩიტმა შენიშნა თევზი, რომელიც წყლის ზედაპირზე მიცურავდა პალმებს შორის. მაშინვე მისკენ გამოიქცნენ და ერთდროულად მიაღწიეს. რა მანძილზე გამოჩნდა თევზი უფრო მაღალი პალმის ძირიდან?

ასე რომ, სამკუთხედში ADB: AB = ВD + AD

AB=302 +X

AB=900+ X

სამკუთხედში AEC: AC = CE + AE

AC=202+ (50 – X)

AC=400+2500 – 100Х+Х

AC=2900 – 100X+X.

მაგრამ AB=AC, რადგან ორივე ფრინველმა გაფრინდა ეს მანძილი ერთდროულად.

ამიტომ AB = AC,

900+X =2900 – 100X+X,

100X=2000,

ბ)პრობლემა მსროლელებთან დაკავშირებით (დაფაზე სლაიდი 21 პრობლემის ტექსტით):

სწორი გზის პარალელურად მისგან 500 მეტრში არის მსროლელთა ჯაჭვი. უკიდურეს ისრებს შორის მანძილი 120 მეტრია. ტყვიის ფრენის დიაპაზონი 2,8 კილომეტრია. გზის რომელ მონაკვეთზეა ხანძარი?

ასე რომ, სამკუთხედი ABE არის მართკუთხა სამკუთხედი.

AB=AE+BE

AE=AB-BE=2800-500=7840000-250000=7590000

AE=100
(მ)

AE+FD= 200 (მ)

AD=120+200 (მ).

პასუხი: ცეცხლის ქვეშ გზის სიგრძე 120+200 მეტრია.

შემდეგ სლაიდები 22-24 მასწავლებლის კომენტარებით დაპროექტებულია დაფაზე. სტუდენტები

მიიღეთ ამ მემორანდუმის მსგავსი ამონაბეჭდი.

გ) წრის თვისებების გამოყენების პრობლემა (დაფაზე სლაიდი 25 ტექსტით

აკორდი AB შედგენილია წრეში O ცენტრით. წერტილი K არის აკორდის შუა.
იპოვეთ: - წრის რადიუსი, თუ AB=24 სმ, OK=5 სმ; - AB, თუ რადიუსი არის 17 სმ, OK = 8 სმ.

ასე რომ, სამკუთხედი KOV არის მართკუთხა: AB=2AK=2KV; OV=OK+KV OV=OK+KV OV= 12+5=144+25=169 KV=OV-KO=17-8=289-64=225 OB=13 (სმ). KV=15 (სმ) AB=2KV=30 (სმ).

6. საშინაო დავალება. მოსწავლეები იღებენ ამონაბეჭდს ამოცანების ტექსტებით.
ა) უძველესი პრობლემა ჩინურიდან "მათემატიკა ცხრა წიგნში":

„არის წყალსაცავი 1 ჟანგ = 10 ჩის გვერდით, მის ცენტრში არის ლერწამი, რომელიც ამოდის წყლის ზემოთ 1 ჩით. საკითხავია: რა არის წყლის სიღრმე და რამდენია ლერწმის სიგრძე? "
ბ) წრის ტანგენსის თვისებების გამოყენების ამოცანა:

ტანგენტი MK დახატულია წრეზე O ცენტრით, სადაც M არის ტანგენციის წერტილი.
იპოვე:

ა) MK, თუ OK = 12 მ, ხოლო წრის რადიუსი არის 8 მმ;

ბ) წრის რადიუსი, თუ MK = 6 სმ, OK = 8 სმ.

გ) მემორანდუმის ანალიზი.

დ) ამოხსენით კროსვორდი:

ჰორიზონტალური:

მართკუთხა სამკუთხედის ერთ-ერთი გვერდი; პითაგორას თეორემაში გამოყენებული მოქმედება; მართკუთხა სამკუთხედის გვერდი მართი კუთხის საპირისპირო; ძველი ბერძენი მათემატიკოსი, რომლის სახელს ატარებს გაკვეთილზე შესწავლილი თეორემა; პითაგორას თეორემაში მოხსენიებული ფიგურა; სამკუთხედის ტიპი, რომლისთვისაც დებულება „ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის წვივების კვადრატების ჯამს“ მართალია; ძალა, რომელსაც ჰიპოტენუზაც და ფეხებიც ამაღლებულია პითაგორას თეორემაში.

7. ისტორიული ფონი.

დაფაზე ნაჩვენებია სლაიდები 29-33, სადაც მოცემულია ინფორმაცია პითაგორას დაბადებისა და პითაგორას თეორემის აღმოჩენის შესახებ. მოსწავლეები, რომლებმაც წინასწარ მოამზადეს მასალა, წაიკითხეს ფრაგმენტები.

ა) პითაგორა დაიბადა 600-დან 590 წლამდე. ქრისტეს შობამდე და ცხოვრობდა დაახლოებით ასი წელი. მის დაბადების შესახებ დღემდე მრავალი უცნაური ლეგენდაა შემორჩენილი. ზოგიერთი მათგანი ამტკიცებს, რომ ის არ იყო ჩვეულებრივი მოკვდავი ადამიანი, არამედ იყო ერთ-ერთი ღმერთი, რომელმაც მიიღო ადამიანის სახე, რათა შემოსულიყო სამყაროში და ესწავლებინა კაცობრიობა.

ბ) 1000 წელზე მეტი ხნის უძველესი ტრადიცია, რეალური ინფორმაცია, რომელიც იწვევს პითაგორას პიროვნების ღრმა პატივისცემას, შერეული იყო მრავალ ლეგენდასთან, ზღაპრებთან და ზღაპრებთან. ლეგენდები ერთმანეთს ეჯიბრებოდნენ, რათა პითაგორა სასწაულმოქმედად გამოეცხადებინათ; მათ თქვეს, რომ მას ოქროს ბარძაყი ჰქონდა, რომ ხალხმა დაინახა იგი ერთდროულად ორ სხვადასხვა ქალაქში, რომელიც ესაუბრებოდა თავის მოწაფეებს, რომ ერთ დღეს, როდესაც ის და მრავალი თანამგზავრი მდინარეს გადაკვეთდნენ და ესაუბრებოდნენ მას, მდინარე გადმოვიდა ნაპირებიდან და წამოიძახა. ხმამაღალი ზეადამიანური ხმა: "დიახ, გაუმარჯოს პითაგორას!" ზღვა.

გ) პორფირი ყვება პითაგორას შესახებ შემდეგ ამბავს: „ტარენტუმში მან დაინახა ხარი ბალახზე, რომელიც ღეჭავდა მწვანე ლობიოს, მიუახლოვდა მწყემსს და ურჩია, ხარს ეთქვა, ეს არ გაეკეთებინა. მწყემსმა სიცილი დაიწყო და თქვა, რომ ხარივით ლაპარაკი არ შეეძლო; მაშინ პითაგორა თავად მიუახლოვდა ხარს და რაღაც ჩასჩურჩულა ყურში, რის შემდეგაც იგი არა მხოლოდ მაშინვე გაშორდა ლობიოს ფერმერს, არამედ აღარ შეხებია ლობიოზე და მას შემდეგ ცხოვრობდა და სიბერეში გარდაიცვალა ტარენტუმში, ტაძარში. ჰერა, სადაც იგი ცნობილი იყო როგორც წმინდა ხარი და იკვებებოდა პურით, რომელსაც გამვლელები აძლევდნენ.”

დ) დიოგენე ლაერციუსი, მაგალითად, ასე ამბობს: „იტალიაში გამოჩენის შემდეგ, პითაგორამ მიწისქვეშეთში დასახლდა და დედას უბრძანა, დაეწერა ტაბლეტებზე ყველაფერი, რაც ხდებოდა და როდის, და დაეწია ტაბლეტები, სანამ არ გამოვიდოდა. . დედამ სწორედ ეს გააკეთა; და პითაგორა, დროის დალოდების შემდეგ, გამოვიდა, ჩონჩხივით გამხმარი, გამოცხადდა სახალხო კრების წინაშე და გამოაცხადა, რომ იგი ჰადესიდან იყო მოსული და იმავდროულად წაუკითხა მათ ყველაფერი, რაც მათ შეემთხვათ. ყველა გაოგნებული იყო წაკითხულით, ტიროდნენ და ტიროდნენ და პითაგორა ღმერთად ითვლებოდა. და მაინც, პითაგორას შესახებ ყველა ლეგენდის ძირითადი ტონი იგივე იყო:

”არავისზე არ საუბრობენ ასე ბევრს და ასე უჩვეულოდ” (პორფირი).

ე) პითაგორას მიერ თეორემის აღმოჩენა გარშემორტყმულია ლამაზი ლეგენდების აურათი. პროკლე, ევკლიდეს ელემენტების I წიგნის ბოლო წინადადების კომენტირებისას, წერს: „თუ მოუსმენთ მათ, ვისაც უყვარს უძველესი ლეგენდების გამეორება, მოგიწევთ თქვათ, რომ ეს თეორემა მიდის პითაგორამდე; ამბობენ, რომ ამ აღმოჩენის პატივსაცემად მან ხარი შესწირა“. თუმცა, უფრო გულუხვი მთხრობელებმა ერთი ხარი ერთ ჰეკატომბად აქციეს და ეს უკვე მთელი ასეულია. და მიუხედავად იმისა, რომ ციცერონმა ასევე აღნიშნა, რომ ნებისმიერი სისხლის დაღვრა უცხო იყო პითაგორას ორდენის წესდებასთან, ეს ლეგენდა მტკიცედ შეერწყა პითაგორას თეორემას და, ორი ათასი წლის შემდეგ, განაგრძო მგზნებარე პასუხების გამოწვევა.

8. გაკვეთილის შეჯამება.