Ներգրված և շրջագծված բազմանիստ գլանային գնդում: Ռեֆերատ մաթեմատիկայում մակագրված և շրջագծված բազմանիստների թեմայով: Տնային առաջադրանքների սահմանում

Գնդի մեջ փորագրված պոլիեդրա. Հիմնական սահմանումներ և թեորեմներ. Սահմանում. Ասում են, որ գունդը շրջագծված է բազմանկյունի (կամ գնդում գրված բազմանկյունի) շուրջ, եթե բազմանկյունի բոլոր գագաթները ընկած են այս ոլորտի վրա։

Սլայդ 8շնորհանդեսից «Երկրաչափության խնդիրներ» 11-րդ դասարան.

Ներկայացման հետ արխիվի չափը 1032 ԿԲ է:

Երկրաչափություն 11-րդ դասարանամփոփում

այլ շնորհանդեսներ

«Երկրաչափական մարմինների ծավալներ» - Բազմանդեղների ծավալներ: Ծավալի հայեցակարգը. Բուրգի ծավալը. Հանման կոն: Ուղիղ պրիզմայի ծավալը: Պատասխանել. Գիտությունները ձգտում են մաթեմատիկայի. Հաջողություն նյութը սովորելու հարցում: Ուղղանկյուն զուգահեռանիստի ծավալը: Նկարներ և գծագրեր. Կանոնավոր քառանկյուն բուրգի ծավալը: Տարածքների հատկությունները. Քառակուսի. Խորանարդի եզր: Մարմինների ծավալի հայեցակարգը. Քառակուսի. Մխոցի ծավալը: Կոն. Բազմանկյուն. Երկրաչափական ձևեր. Երեք փողային խորանարդ:

«Վեկտորները տարածության մեջ» - վեկտորային կոորդինատներ: Տարբերություններ. Վեկտորները տարածության մեջ. Երկու վեկտորների տարբերություն. Երկու վեկտորների բազմապատկում. Գործողություններ վեկտորներով. Միակ վեկտորը. Գործողություններ կատարելու ունակություն: Բազմանկյուն կանոն. Ձայնային վեկտորներ. Վեկտորի սահմանում. Գործողություն վեկտորներով. Վեկտորները ոչ համահավասար են։ Լուծում. «Երկրաչափական խնդիրներ միասնական պետական ​​քննության մեջ» - Բազմեյդոնի մակերեսը: Գտեք արտաքին անկյան շոշափողը: Մասնակցել է շնորհանդեսի ստեղծմանը. Առաջադրանքների ընտրանքներ. Եռանկյունի մակերեսը. Trapezoid-ի տարածքը. Գտեք եռանկյան մակերեսը: Շրջանակի մի մասի մակերեսը. Հիմնական տեղեկատու նյութ. Պլանաչափություն. Տիպիկ սխալներ. Երկրաչափության հիմունքներ. Բանավոր վարժություններ. Հնարավոր առաջադրանքներ. Կարողանալ գործողություններ կատարելերկրաչափական ձևեր

. Գտե՛ք պոլիէդրոնի ծավալը։

«Հաշվե՛ք պտտվող մարմնի ծավալը» - կոն: Գտեք ծավալը: Գնդակ. Մխոց և կոն: Մխոց. Կոնի ծավալը. Ոլորտ. Պտտման մարմինների տեսակները. Նկար. Կոնի V հատոր. Կոնու սահմանում. Գլանաձեւ անոթ: Մխոցի սահմանում. Մեր շուրջբոլորը բալոններ են: Հեղափոխության մարմինների ծավալները. Cube Շառավիղներ.

«Շարժում» 11-րդ դասարան - Համաչափությունը ճարտարապետության մեջ. Սռնու համաչափություն. Զուգահեռ փոխանցում. Շարժում. Համաչափություն բույսերում. Լոգարիթմական համաչափություն. Սիմետրիա կենդանական աշխարհում. Ներածություն. Շրջադարձ. Կենտրոնական համաչափություն. Շարժում. Հայելու համաչափություն.

Սահմանում.Ոլորտը կոչվում է մակագրված է բազմանիստ, եթե պոլիէդրոնի բոլոր երեսների հարթությունները դիպչում են այս երեսների ներսում գտնվող անիվի ձեռնասայլակների գնդին։ Այս դեպքում ասում են, որ բազմանկյունը շրջագծված է գնդով:

Թեորեմ 1.Գնդակը (գնդակը) կարող է մակագրվել կամայական քառաեդրոնի մեջ։

Տետրաեդրոնի կողային երեսներից հավասար հեռավորության վրա գտնվող կետերի բազմությունը երկփեղկ անկյունների երկու կիսադիր հարթությունների հատման ուղիղ գիծն է երկու կողային եզրերով։ Այս գիծը հատվելու է կիսաչափ հարթությամբ dihedral անկյունհիմնադրամում։ Ստացված կետը հավասար է քառանիստի բոլոր երեսներից:

ABCD քառաեդրոնում CDN և ADM հարթությունները CD և AD կողային եզրերի երկուղային անկյունների կիսադիր հարթություններ են: Նրանք հատվում են ուղիղ գծով OD: Ինքնաթիռը AKC-ն հիմքում (AC եզր) երկնիշ անկյան բիսեկտորի հարթությունն է: Այս հարթությունը կհատի OD ուղիղը S կետում (P-ն DM և KC ուղիղների հատման կետն է, որը պատկանում է միաժամանակ AKC և ADM հարթություններին, հետևաբար S կետը AP-ի և OD-ի հատման կետն է), որը. կլինի մի կետ, որը հավասար է քառանիստի բոլոր երեսներից և, հետևաբար, կլինի ABCD քառաեդրոնի մեջ ներգծված գնդիկի կենտրոնը:

Օրինակ 1. Գտե՛ք կանոնավոր քառանիստում ներգծված գնդիկի շառավիղը:

Դիտարկենք նույնանման եռանկյունները DPS և DOK (երկու անկյան տակ. D անկյունը ընդհանուր է, DPS և DOK անկյունները ուղիղ են):

Հետո PS:KO=DS:DK,

հաշվի առնելով, որ PS=r=SO և DS=DO-SO=DO-r,

, , Դա .

Պատասխան՝ կանոնավոր քառանիստում ներգծված գնդիկի շառավիղը հավասար է

Թեորեմ 2. Դուք կարող եք գունդ տեղավորել սովորական բուրգի մեջ:

Թեորեմ 3. Գունդը կարող է մակագրվել կանոնավոր կտրված բուրգի մեջ, եթե և միայն այն դեպքում, եթե նրա ապոտեմը հավասար է հիմքերի վրա գծված շրջանագծերի շառավիղների գումարին:

Թեորեմ 4. Գունդը կարելի է ներգծել ցանկացած պրիզմայի մեջ, եթե նրա ուղղահայաց հատվածում կարելի է մակագրել շրջան, որի շառավիղը հավասար է պրիզմայի բարձրության կեսին։

Թեորեմ 5. Գունդը կարելի է մակագրել կանոնավոր պրիզմայի մեջ, եթե և միայն այն դեպքում, երբ պրիզմայի բարձրությունը հավասար է նրա հիմքում գծված շրջանագծի տրամագծին:

Գնդերը նկարագրված են գլանի շուրջ, կոն և

Կտրված կոն.

Սահմանում.Ոլորտը կոչվում է նկարագրված է մխոցի մասինկամ կտրված կոն, եթե բազային շրջանների բոլոր կետերը պատկանում են ոլորտին. Ոլորտը կոչվում է նկարագրված է կոնի շուրջը, եթե բազային շրջանագծի բոլոր կետերը, ինչպես նաև կոնի գագաթը պատկանում են ոլորտին։

Այս դեպքերում մխոցը, կտրված կոնը կամ կոնը ասվում է, որ մակագրված է գնդաձեւ:

Թեորեմ 1.Գնդակը կարելի է նկարագրել կամայական գլանի շուրջ։

O 1 և O 2 համապատասխանաբար ստորին և վերին հիմքերի կենտրոններն են: Ուղիղ O 1 O 2 ուղղահայաց է հիմքի հարթություններին: Եկեք գծենք մի հարթություն, որն անցնում է այս գեներատրիցին ուղղահայաց մխոցի գեներատրիցայի միջով: Այս հարթությունը զուգահեռ կլինի հիմքի հարթություններին և կհատի O 1 O 2 ուղիղ գիծը O կետում, որը կլինի գլանով շրջագծված գնդի կենտրոնը։ O կետից մինչև հիմքի բոլոր կետերը հեռավորությունը հավասար կլինի, քանի որ O 1 O 2-ը GMT-ն է, որը հավասար է շրջանագծից (շրջանի կենտրոնով անցնող ուղիղ գիծ, ​​որը ուղղահայաց է շրջանագծի հարթությանը): Սա նշանակում է, որ O կետը OA շառավղով գնդիկի կենտրոնն է, որը շրջագծված է գլանով:

Թեորեմ 2. Կտրված կոնի շուրջ կարելի է նկարագրել գունդ:

O 1 և O 2 համապատասխանաբար ստորին և վերին հիմքերի կենտրոններն են: Ուղիղ O 1 O 2 ուղղահայաց է հիմքի հարթություններին: Դիտարկենք կտրված AB կոնի գեներատրիքսը: Եկեք գտնենք GMT-ը, որը հավասար հեռավորության վրա է A և B ձեռնասայլակներից: Դրանք կլինեն հարթություն, որն անցնում է P կետով` AB-ի կեսին և ուղղահայաց այս ուղիղ գծին: Այս հարթությունը կհատի O 1 O 2 O կետում, որը հավասար հեռավորության վրա կլինի A և B կետերից: Ակնհայտ է նաև, որ O կետը հավասար կլինի կտրված կոնի հիմքերի բոլոր կետերից: Հետևաբար, այս O կետը կլինի OA շառավղով գնդի կենտրոն, որը նկարագրված է կտրված կոնի շուրջ:

Թեորեմ 3. Գունդը կարելի է նկարագրել կոնի շուրջ։

Նախորդ թեորեմի նման, OA-ն կոնի բարձրությունն է, որը HMT-ն է՝ շրջանագծից հավասար հեռավորության վրա: Դիտարկենք AB գեներատորը և գտնենք A-ից և B-ից հավասար հեռավորության վրա գտնվող GMT-ները: Ստացված հարթությունը (ըստ նախորդ խնդրի) կհատի OA-ն O 1 կետում, որը հավասար կլինի A և B կետերից, ինչպես նաև ցանկացած կետից: կոնի հիմքը: Այսպիսով, մենք ստացանք, որ O 1 կետը O 1 A շառավղով գնդիկի կենտրոնն է, որը նկարագրված է կոնի շուրջ:

Բաց դաս «Փորագրված և շրջագծված բազմանիստ» թեմայով.

Դասի թեման՝ բուրգի մեջ ներգծված գունդ: Բուրգի մոտ նկարագրված գունդ։

Դասի տեսակը.Դաս նոր նյութի ներդրման վերաբերյալ. Դասի նպատակները.

Ներկայացրե՛ք պոլիէդրոնի մեջ ներգծված գունդ հասկացությունը. մի գունդ, որը շրջագծված է բազմանկյունի շուրջ: Համեմատե՛ք շրջանագիծը և շրջագծված գունդը, ներգծված շրջանագիծը և ներգծված գունդը: Վերլուծե՛ք ներգծված և շրջագծված գնդերի գոյության պայմանները: Զարգացնել թեմայի վերաբերյալ խնդիրներ լուծելու հմտություններ: Ուսանողների հմտությունների զարգացում ինքնուրույն աշխատանք.

Տրամաբանական մտածողության, ալգորիթմական մշակույթի, տարածական երևակայության, մաթեմատիկական մտածողության և ինտուիցիայի զարգացում, ստեղծագործական ունակություններ՝ շարունակական կրթության և մաթեմատիկայի բնագավառում ինքնուրույն գործունեության համար անհրաժեշտ մակարդակի վրա և դրա կիրառումը հետագա մասնագիտական ​​գործունեության մեջ.

Սարքավորումներ:

Ինտերակտիվ գրատախտակ

«Նկարագրված և նկարագրված ոլորտ» ներկայացում

Գրատախտակի վրա գծագրերի խնդիրների պայմանները: Ձեռնարկներ (աջակցող նշումներ):

Պլանաչափություն. Արձանագրված և շրջագծված շրջան. Ստերեոմետրիա. Ներգրված գնդերի Ստերեոմետրիա. Նկարագրված ոլորտը

Դասի կառուցվածքը.

Դասի նպատակների սահմանում (2 րոպե): Նոր նյութ սովորելու պատրաստում կրկնությամբ (ճակատային հարցում) (6 րոպե). Նոր նյութի բացատրություն (15 րոպե) Թեմայի ըմբռնումը՝ ինքնուրույն նշումներ կազմելով «Ստերեոմետրիա. Նկարագրված տարածք» և թեմայի կիրառումը խնդիրների լուծման մեջ (15 րոպե): Դասի ամփոփում` ստուգելով ուսումնասիրված թեմայի գիտելիքներն ու ըմբռնումը (ճակատային հարցում): Ուսանողների պատասխանների գնահատում (5 րոպե): Տնային առաջադրանքների սահմանում (2 րոպե): Պահպանեք աշխատատեղեր.

Դասի առաջընթաց 1. Դասի նպատակների սահմանում.

Ներկայացրե՛ք պոլիէդրոնի մեջ ներգծված գունդ հասկացությունը. մի գունդ, որը շրջագծված է բազմանկյունի շուրջ: Համեմատե՛ք շրջանագիծը և շրջագծված գունդը, ներգծված շրջանագիծը և ներգծված գունդը: Վերլուծե՛ք ներգծված և շրջագծված գնդերի գոյության պայմանները: Զարգացնել թեմայի վերաբերյալ խնդիրներ լուծելու հմտություններ:

2. Նոր նյութ սովորելու պատրաստում կրկնությամբ (ճակատային հարցում):Շրջանակ, որը գրված է բազմանկյունի մեջ:

Ո՞ր շրջանագիծն է կոչվում ներգրված բազմանկյան մեջ: Ինչպե՞ս է կոչվում այն ​​բազմանկյունը, որի մեջ մակագրված է շրջան: Ո՞ր կետն է բազմանկյան մեջ ներգծված շրջանագծի կենտրոնը: Ի՞նչ հատկություն ունի բազմանկյունի մեջ ներգծված շրջանագծի կենտրոնը: Որտե՞ղ է գտնվում բազմանկյունի մեջ գրված շրջանագծի կենտրոնը: Ո՞ր բազմանկյունը կարելի է նկարագրել շրջանագծի շուրջ, ի՞նչ պայմաններում:

Շրջանակ, որը շրջագծված է բազմանկյունի շուրջ:

Ո՞ր շրջանագիծն է կոչվում բազմանկյան շրջագիծ: Ինչպե՞ս է կոչվում այն ​​բազմանկյունը, որի շուրջը շրջագծված է շրջանագիծը: Ո՞ր կետն է բազմանկյունով շրջագծված շրջանագծի կենտրոնը: Ի՞նչ հատկություն ունի բազմանկյունով շրջագծված շրջանագծի կենտրոնը: Որտե՞ղ կարող է գտնվել բազմանկյունով շրջագծված շրջանագծի կենտրոնը: Ո՞ր բազմանկյունը կարելի է մակագրել շրջանագծի մեջ և ի՞նչ պայմաններում:

3. Նոր նյութի բացատրություն.Ա . Համեմատությամբ՝ ուսանողները ձևակերպում են նոր սահմանումներ և պատասխանում առաջադրված հարցերին:Գունդ՝ մակագրված բազմանկյունի մեջ։

Ձևակերպե՛ք բազմանկյունի մեջ ներգծված գնդիկի սահմանումը: Ինչպե՞ս է կոչվում այն ​​բազմանիստը, որի մեջ կարելի է մակագրել մի գունդ: Ի՞նչ հատկություն ունի բազմանիստ գնդիկի կենտրոնը. Ի՞նչ է ներկայացնում տարածության կետերի բազմությունը, որոնք հավասար են երկփեղկ անկյան երեսներից: (եռանկյուն?) Ո՞ր կետն է բազմանկյունի մեջ ներգծված գնդի կենտրոնը: Ո՞ր բազմանիստում կարելի է մակագրել գունդը, ի՞նչ պայմաններում։

IN . Ուսանողները ապացուցում են թեորեմը.Դուք կարող եք գնդիկ տեղավորել ցանկացած եռանկյունաձև բուրգի մեջ, երբ ուսանողները օգտագործում են տեղեկատու նշումներ: Ուսանողները վերլուծում են խնդրի լուծումը:

Կանոնավոր քառանկյուն բուրգում հիմքի կողմը հավասար է Ա, բարձրությունն է հ. Գտե՛ք բուրգի մեջ ներգծված ոլորտի շառավիղը:

Դ. Աշակերտները լուծում են խնդիրը.

Առաջադրանք.Կանոնավոր եռանկյուն բուրգում հիմքի կողմը 4 է, կողային երեսները դեպի հիմքը թեքված են 60 0 անկյան տակ։ Գտե՛ք այս բուրգի մեջ ներգծված ոլորտի շառավիղը:

4. Թեմայի ըմբռնում` անկախ գրառումներ կազմելիս «.Գնդակը շրջագծված է բազմանկյունի շուրջ«և կիրառում խնդիրների լուծման մեջ.

A. U Աշակերտները ինքնուրույն լրացնում են նշումներ «Բազմանիդրի շուրջ նկարագրված գունդ» թեմայով: Պատասխանեք հետևյալ հարցերին.

Ձևակերպե՛ք բազմանկյունի շուրջ շրջագծված գնդիկի սահմանումը:

Ինչպե՞ս է կոչվում այն ​​բազմանիստը, որի շուրջ կարելի է նկարագրել մի գունդ:

Ի՞նչ հատկություն ունի բազմանկյունով շրջագծված գնդիկի կենտրոնը:

Ո՞րն է տարածության այն կետերի բազմությունը, որոնք հավասար են երկու կետերից:

Ո՞ր կետն է բազմանկյունի շուրջ շրջագծված գնդիկի կենտրոնը:

Որտե՞ղ կարող է լինել բուրգի շուրջ նկարագրված ոլորտի կենտրոնը: (բազմադրո՞ն)

Ո՞ր բազմանիստի շուրջ կարելի է նկարագրել գունդը:

IN. Աշակերտները ինքնուրույն լուծում են խնդիրը:

Առաջադրանք.Կանոնավոր եռանկյուն բուրգում հիմքի կողմը հավասար է 3-ի, իսկ կողային կողերը դեպի հիմքը թեքված են 60 0 անկյան տակ։ Գտե՛ք բուրգի շուրջը շրջագծված ոլորտի շառավիղը:

ՀԵՏ. Կազմված ուրվագծի ստուգում և խնդրի լուծման վերլուծություն։

5. Ամփոփել դասը՝ ստուգելով ուսումնասիրված թեմայի գիտելիքներն ու ըմբռնումը (ճակատային հարցում): Ուսանողների պատասխանների գնահատում:

Ա. Աշակերտները ինքնուրույն ամփոփում են դասը:

IN. Պատասխանեք լրացուցիչ հարցերի:

Հնարավո՞ր է նկարագրել քառանկյուն բուրգի շուրջ մի գունդ, որի հիմքում ընկած է ռոմբ, որը քառակուսի չէ:

Հնարավո՞ր է ուղղանկյուն զուգահեռանիստի շուրջ գունդ նկարագրել: Եթե ​​այո, ապա որտե՞ղ է նրա կենտրոնը:

Որտեղ դասարանում սովորած տեսությունը կիրառվում է իրական կյանքում (ճարտարապետություն, բջջային հեռախոսակապ, գեոստացիոնար արբանյակներ, GPS հայտնաբերման համակարգ):

6. Տնային առաջադրանքների սահմանում.

Ա.Նշում կատարեք «Պրիզմայի շուրջ նկարագրված ոլորտ. Պրիզմայի մեջ գրված գունդ»։ (Խնդիրները դիտե՛ք դասագրքում՝ թիվ 632,637,638)

Բ.Լուծի՛ր դասագրքից թիվ 640 խնդիրը.

S. ձեռնարկից B.G. Զիվ» Դիդակտիկ նյութերերկրաչափություն 10-րդ դասարանում» լուծել խնդիրներ՝ տարբերակ թիվ 3 Գ12 (1), տարբերակ թիվ 4 Գ12 (1):

Դ. Լրացուցիչ առաջադրանք՝ Տարբերակ թիվ 5 Գ12 (1):

7. Պահպանեք առաջադրանքները.

Ձեռնարկից Բ.Գ. Ziv «Դիդակտիկ նյութեր երկրաչափության 10 դասարանի մասին» խնդիրներ են լուծում՝ տարբերակ թիվ 3 C12 (1), տարբերակ թիվ 4 C12 (1):

Ուսումնական և մեթոդական հավաքածու

Երկրաչափություն, 10-11. Դասագիրք ուսումնական հաստատությունների համար. Հիմնական և պրոֆիլային մակարդակներ / L.S. Աթանասյան, Վ.Ֆ. Բուտուզովը, Ս.Բ. Կադոմցև և այլք, Մ.: Կրթություն, 2010:

Բ.Գ. Զիվ «Դիդակտիկ նյութեր երկրաչափության մասին 10 դասարան», Մ.: Կրթություն.

Մաթեմատիկայի ուսուցիչ

GBOU ճեմարան-գիշերօթիկ դպրոց «DPC»

Նիժնի Նովգորոդ

Ասում են, որ բազմանկյունը գրված է գնդում, եթե նրա բոլոր գագաթները պատկանում են այս ոլորտին: Ասում են, որ գունդն ինքնին շրջագծված է բազմանկյունի շուրջ:

Թեորեմ. Գունդը կարելի է նկարագրել բուրգի շուրջը, եթե և միայն այն դեպքում, երբ կարելի է շրջանագիծ նկարագրել այս բուրգի հիմքի շուրջ:

Գնդի մեջ փորագրված պոլիեդրա

Թեորեմ. Գնդը կարելի է նկարագրել պրիզմայի շուրջ, եթե և միայն այն դեպքում, երբ կարելի է շրջանագիծ նկարագրել այս պրիզմայի հիմքի շուրջ: Նրա կենտրոնը կլինի կետ Օ, որը պրիզմայի հիմքերի շուրջ նկարագրված շրջանագծերի կենտրոնները միացնող հատվածի միջնակետն է։ Գնդի շառավիղը Ռհաշվարկված բանաձևով

Որտեղ հ- պրիզմայի բարձրություն, r- պրիզմայի հիմքի շուրջ նկարագրված շրջանագծի շառավիղը:

Սլայդ ռեժիմում պատասխանները և լուծումները հայտնվում են մկնիկը սեղմելուց հետո

Վարժություն 1

Հնարավո՞ր է ուղղանկյուն զուգահեռանիստի շուրջ գունդ նկարագրել:

Պատասխան՝ Այո։ Նրա կենտրոնը անկյունագծերի հատման կետն է, իսկ շառավիղը հավասար է զուգահեռանիստի անկյունագծի կեսին

Վարժություն 2

Հնարավո՞ր է նկարագրել մի գունդ թեք զուգահեռականի շուրջ, որի բոլոր դեմքերը ռոմբուսներ են:

Պատասխան՝ ոչ։

Վարժություն 3

Հնարավո՞ր է նկարագրել մի գունդ թեք պրիզմայի շուրջ:

Պատասխան՝ ոչ։

Վարժություն 4

Կարո՞ղ է պրիզմայով սահմանափակված գնդիկի կենտրոնը գտնվել պրիզմայից դուրս:

Պատասխան. Այո, եթե պրիզմայի հիմքը բութ եռանկյուն է:

Վարժություն 5

Կարո՞ղ է բուրգի մոտ նկարագրված ոլորտի կենտրոնը գտնվել այս բուրգից դուրս:

Պատասխան՝ Այո։

Գունդը շրջագծված է խորանարդի շուրջ

Սլայդ ռեժիմում պատասխանները և լուծումները հայտնվում են մկնիկը սեղմելուց հետո

Վարժություն 1

Գտե՛ք միավորի խորանարդով շրջագծված ոլորտի շառավիղը:

Վարժություն 2

Գտե՛ք միավորի շրջանակում ներգծված խորանարդի եզրը:

Վարժություն 3

Գտե՛ք ուղղանկյուն զուգահեռ գծով շրջագծված գնդիկի շառավիղը, որի մեկ գագաթից ձգվող եզրերը հավասար են 1, 2, 3-ի:

Վարժություն 4

Նույն գագաթից ձգվող խորանարդի երկու եզրերն են 1 և 2։ Շրջագծված գնդի շառավիղը 1,5 է։ Գտե՛ք զուգահեռականի նույն գագաթից դուրս եկող երրորդ եզրը:

Ոլորտը շրջագծված քառաեդրոնով

Սլայդ ռեժիմում պատասխանները և լուծումները հայտնվում են մկնիկը սեղմելուց հետո

Վարժություն 1

Գտե՛ք միավոր քառաեդրոնի շուրջ շրջագծված ոլորտի շառավիղը:

Լուծում. Տետրաեդրոնում SABCմենք ունենք.

BE=SE=

Ուղղանկյուն եռանկյունու մեջ OBEմենք ունենք.

Ռ, գտնում ենք

Վարժություն 2

Գտե՛ք կանոնավոր քառանիստի եզրը, որը գրված է միավորի հարթության մեջ:

Վարժություն 3

Բուրգի հիմքը կանոնավոր եռանկյուն է, որի կողմը հավասար է 3-ի: Կողային եզրերից մեկը հավասար է 2-ի և ուղղահայաց է հիմքի հարթությանը: Գտե՛ք շրջագծված ոլորտի շառավիղը:

Լուծում. Թող Օ- նկարագրված ոլորտի կենտրոնը, Ք- հիմքի շուրջ նկարագրված շրջանագծի կենտրոնը, Ե- միջին Ս.Կ.. Քառանկյուն CEOQ- ուղղանկյուն, որի մեջ CE = 1, CQ=Հետևաբար, R=OC= 2.

Պատասխան. Ռ = 2.

Վարժություն 4

Նկարում պատկերված է բուրգ SABC, որի համար եզր Ս.Կ.հավասար է 2-ի և ուղղահայաց հիմքի հարթությանը ABC, անկյուն ACBհավասար է 90 o, AC = մ.թ.ա = 1. Կառուցե՛ք այս բուրգի շուրջը շրջագծված գնդիկի կենտրոնը և գտե՛ք դրա շառավիղը:

Լուծում. Միջոցով Դկողիկներ ԱԲեկեք ուղիղ գիծ գծենք զուգահեռ Ս.Կ.. Միջոցով Եկողիկներ Ս.Կ.եկեք ուղիղ գիծ գծենք զուգահեռ CD. Նրանց հատման կետը Օկլինի նկարագրված ոլորտի ցանկալի կենտրոնը։ Ուղղանկյուն եռանկյունու մեջ OCDմենք ունենք.

OD=CD=Թեորեմով

Պյութագորաս, մենք գտնում ենք

Վարժություն 5

Գտե՛ք կանոնավոր եռանկյուն բուրգով շրջագծված գնդիկի շառավիղը, որի կողային եզրերը հավասար են 1-ի, իսկ հարթության անկյունները գագաթին հավասար են 90°-ի։

Լուծում. Տետրաեդրոնում SABCմենք ունենք.

AB=AE= SE =

Ուղղանկյուն եռանկյունու մեջ OAEմենք ունենք.

Լուծելով այս հավասարումը Ռ, գտնում ենք

Գունդը շրջագծված է եռանկյուն պրիզմայով

Սլայդ ռեժիմում պատասխանները և լուծումները հայտնվում են մկնիկը սեղմելուց հետո

Վարժություն 1

Գտե՛ք կանոնավոր պրիզմայով շրջագծված գնդիկի շառավիղը, որի բոլոր եզրերը հավասար են 1-ի:

Լուծում. Մենք ունենք.

Ա.Ա. 1 = 1, AD=OD=

Հետևաբար, R=AO=

Վարժություն 2

Կանոնավոր եռանկյուն պրիզմայի շուրջը շրջագծված է 2 շառավղով գունդ, որի կողմը հավասար է 1-ի: Գտե՛ք պրիզմայի բարձրությունը:

Լուծում. Մենք ունենք. Ա.Օ. = 2, OD=

Հետևաբար, h = AA 1 = 2 AO=

Վարժություն 3

1 շառավղով գունդը շրջագծված է կանոնավոր եռանկյուն պրիզմայի շուրջը, որի բարձրությունը 1 է: Գտե՛ք պրիզմայի հիմքի կողմը:

Լուծում. Մենք ունենք. Ա.Օ. = 1 , OD=

Հետևաբար, AD=

Նշանակում է, AB =

Վարժություն 4

Գտե՛ք ուղղանկյուն եռանկյուն պրիզմայի շուրջ շրջագծված գնդիկի շառավիղը, որի հիմքում ուղղանկյուն եռանկյուն 1-ի հավասար ոտքերով և 2-ի հավասար պրիզմայի բարձրությամբ:

Լուծում. Գնդի շառավիղը հավասար է անկյունագծի կեսին Ա 1 Գուղղանկյուն ACC 1 Ա 1 .

Մենք ունենք. Ա.Ա. 1 = 2, AC =

Հետևաբար, R=

Կանոնավոր վեցանկյուն պրիզմայով շրջագծված գունդ

Սլայդ ռեժիմում պատասխանները և լուծումները հայտնվում են մկնիկը սեղմելուց հետո

Զորավարժություններ

Գտե՛ք կանոնավոր վեցանկյուն պրիզմայի շուրջ շրջագծված գնդիկի շառավիղը, որի բոլոր եզրերը հավասար են 1-ի:

Լուծում. մենք ունենք AG = 1, OG=

Հետևաբար, R=AO=

Կանոնավոր քառանկյուն բուրգով շրջագծված գունդ

Սլայդ ռեժիմում պատասխանները և լուծումները հայտնվում են մկնիկը սեղմելուց հետո

Զորավարժություններ

Գտե՛ք կանոնավոր քառանկյուն բուրգով շրջագծված գնդիկի շառավիղը, որի բոլոր եզրերը հավասար են 1-ի:

Կանոնավոր վեցանկյուն բուրգով շրջագծված գունդ

Սլայդ ռեժիմում պատասխանները և լուծումները հայտնվում են մկնիկը սեղմելուց հետո

Զորավարժություններ

Գտե՛ք կանոնավոր 6 անկյունային բուրգով շրջագծված գնդիկի շառավիղը, որի հիմքի եզրերը հավասար են 1-ի, իսկ կողային եզրերը՝ 2-ի:

Լուծում. Եռանկյուն Ս.Ա.Դ.– 2 կողմով հավասարակողմ. Շառավիղ Ռշրջագծված գունդը հավասար է եռանկյան շրջագծի շառավղին Ս.Ա.Դ.. Հետևաբար,

Գնդակը շրջագծված է ութանիստով

Սլայդ ռեժիմում պատասխանները և լուծումները հայտնվում են մկնիկը սեղմելուց հետո

Զորավարժություններ

Գտե՛ք միավորի ութանիստով շրջագծված ոլորտի շառավիղը:

Լուծում. Շառավիղ Ռշրջագծված գունդը հավասար է քառակուսու անկյունագծի կեսին ABCD 1-ին կողմի հետ: Հետևաբար,

Գնդակը շրջագծված է իկոսաեդրոնի շուրջ

Սլայդ ռեժիմում պատասխանները և լուծումները հայտնվում են մկնիկը սեղմելուց հետո

Զորավարժություններ

Գտե՛ք միավոր իկոսաեդրոնի շուրջ շրջագծված ոլորտի շառավիղը:

Լուծում. Ուղղանկյունի մեջ ABCD AB = CD = 1, Ք.ա.Եվ մ.թ – 1 կողմերով կանոնավոր հնգանկյունների անկյունագծերը: Հետևաբար.

BC=AD=

Պյութագորասի թեորեմի համաձայն AC =

Պահանջվող շառավիղը հավասար է այս անկյունագծի կեսին, այսինքն.

Զորավարժություններ

Գտեք միավորի տասներկուանիստով շրջագծված ոլորտի շառավիղը:

Լուծում. ABCDE- սովորական հնգանկյուն կողքով

Ուղղանկյունի մեջ ACGF AF=CG= 1, A.C.Եվ ՖԳ – հնգանկյունի անկյունագծեր ABCDEև հետևաբար AC=FG=

Պյութագորասի թեորեմի համաձայն

FC=Պահանջվող շառավիղը

հավասար է այս անկյունագծի կեսին, այսինքն.

Զորավարժություններ

Նկարում պատկերված է կտրված քառանիստը, որը ստացվել է եռանկյուն բուրգերի կանոնավոր քառաեդրոնի անկյունները կտրելով, որոնց երեսները կանոնավոր վեցանկյուններ և եռանկյուններ են։ Գտե՛ք գնդիկի շառավիղը, որը շրջագծված է կտրված քառաեզրով, որի եզրերը հավասար են 1-ի:

Զորավարժություններ

Նկարում պատկերված է կտրված խորանարդը, որը ստացվել է խորանարդի անկյուններից եռանկյունաձև բուրգեր կտրելով, որոնց երեսները կանոնավոր ութանկյուններ և եռանկյուններ են։ Գտե՛ք կտրված խորանարդով շրջագծված գնդիկի շառավիղը, որի եզրերը հավասար են 1-ի:

Զորավարժություններ

Նկարում պատկերված է կտրված ութանիստը, որը ստացվել է ութանիստի անկյուններից եռանկյունաձև բուրգեր կտրելով, որոնց երեսները կանոնավոր վեցանկյուններ և եռանկյուններ են։ Գտե՛ք գնդիկի շառավիղը, որը շրջագծված է կտրված ութանիստով, որի եզրերը հավասար են 1-ի:

Զորավարժություններ

Նկարում պատկերված է կտրված իկոսաեդրոն, որը ստացվել է հնգանկյուն բուրգերի իկոսաեդրոնի անկյունները կտրելով, որոնց երեսները կանոնավոր վեցանկյուններ և հնգանկյուններ են։ Գտե՛ք այն գնդիկի շառավիղը, որը շրջագծված է կտրված իկոսաեդրոնով, որի եզրերը հավասար են 1-ի:

Զորավարժություններ

Նկարում պատկերված է կտրված տասներկուանիստ, որը ստացվել է տասներկուանիստի անկյուններից եռանկյունաձև բուրգեր կտրելով, որոնց երեսները կանոնավոր տասնանկյուններ և եռանկյուններ են։ Գտե՛ք մի գնդիկի շառավիղը, որը շրջագծված է կտրված տասներկուանիստով, որի եզրերը հավասար են 1-ի:

Զորավարժություններ

Գտե՛ք շրջանակի շառավիղը, որը շրջագծված է միավոր խորանարդագեդրոնի շուրջ

Լուծում. Հիշեցնենք, որ խորանարդիկից ստացվում է խորանարդիկ՝ կտրելով կանոնավոր եռանկյունաձև բուրգեր, որոնց գագաթները գտնվում են խորանարդի գագաթներում, իսկ կողային եզրերը հավասար են խորանարդի եզրի կեսին: Եթե ​​ութանիստի եզրը հավասար է 1-ի, ապա համապատասխան խորանարդի եզրը հավասար է Շրջագծված գնդիկի շառավիղը հավասար է խորանարդի կենտրոնից մինչև նրա եզրի կեսը հեռավորությանը, այսինքն. հավասար է 1.

Պատասխան. Ռ = 1.

Գնդի մեջ ներգծված բազմանիստ Բազմայրն ասում են, որ ներգրված է գնդում, եթե նրա բոլոր գագաթները պատկանում են այս ոլորտին: Ասում են, որ գունդն ինքնին շրջագծված է բազմանկյունի շուրջ: Թեորեմ. Գունդը կարելի է նկարագրել բուրգի շուրջը, եթե և միայն այն դեպքում, երբ կարելի է շրջանագիծ նկարագրել այս բուրգի հիմքի շուրջ:

Գնդի մեջ ներգրված բազմաձև թեորեմ. Գունդը կարելի է նկարագրել ուղիղ պրիզմայի մոտ, եթե և միայն այն դեպքում, երբ շրջան կարելի է նկարագրել այս պրիզմայի հիմքի մոտ: Նրա կենտրոնը կլինի O կետը, որը պրիզմայի հիմքերի շուրջ նկարագրված շրջանագծերի կենտրոնները միացնող հատվածի միջնակետն է։ Գնդի R շառավիղը հաշվարկվում է բանաձևով, որտեղ h-ը պրիզմայի բարձրությունն է, r-ը՝ պրիզմայի հիմքի շուրջը շրջագծված շրջանագծի շառավիղը։

Վարժություն 3 Բուրգի հիմքը կանոնավոր եռանկյուն է, որի կողմը հավասար է 3-ի: Կողային եզրերից մեկը հավասար է 2-ի և ուղղահայաց է հիմքի հարթությանը: Գտե՛ք շրջագծված ոլորտի շառավիղը: Լուծում. Թող O լինի շրջագծված ոլորտի կենտրոնը, Q՝ հիմքի շուրջ շրջագծված շրջանագծի կենտրոնը, E՝ SC միջնակետը: Քառանկյուն CEOQ-ն ուղղանկյուն է, որում CE = 1, CQ = Հետեւաբար, R=OC=2: Պատասխան՝ R = 2:

Վարժություն 4 Նկարում պատկերված է SABC բուրգը, որի համար SC եզրը հավասար է 2-ի և ուղղահայաց է ABC հիմքի հարթությանը, ACB անկյունը հավասար է 90 o, AC = BC = 1: Կառուցեք ոլորտի կենտրոնը: շրջագծել այս բուրգի շուրջը և գտնել դրա շառավիղը: Լուծում. AB եզրի D միջին միջով SC-ին զուգահեռ ուղիղ գծում ենք։ SC եզրի միջին E միջով մենք ուղիղ գիծ ենք քաշում CD-ին զուգահեռ: Նրանց հատման կետը O կլինի շրջագծված ոլորտի ցանկալի կենտրոնը: OCD ուղղանկյուն եռանկյունում մենք ունենք՝ OD = CD = Պյութագորասի թեորեմով մենք գտնում ենք.

Վարժություն 5 Գտե՛ք կանոնավոր եռանկյուն բուրգով շրջագծված գնդիկի շառավիղը, որի կողային եզրերը հավասար են 1-ի, իսկ հարթության անկյունները գագաթին հավասար են 90 աստիճանի: Լուծում. SABC քառաեդրոնում ունենք՝ AB = AE = SE = OAE ուղղանկյուն եռանկյունում ունենք՝ լուծելով այս հավասարումը R-ի համար՝ մենք գտնում ենք.

Վարժություն 4 Գտե՛ք ուղղանկյուն եռանկյուն պրիզմայով շրջագծված գնդիկի շառավիղը, որի հիմքում ուղղանկյուն եռանկյուն է, որի ոտքերը հավասար են 1-ի, իսկ պրիզմայի բարձրությունը հավասար է 2-ի: Պատասխան՝ Լուծում: Գնդի շառավիղը հավասար է ACC 1 A 1 ուղղանկյան A 1 C անկյունագծի կեսին: Ունենք՝ AA 1 = 2, AC = Հետևաբար, R =

Վարժություն Գտե՛ք կանոնավոր 6 անկյունային բուրգով շրջագծված գնդիկի շառավիղը, որի եզրերը հավասար են 1-ի, իսկ կողային եզրերը՝ 2-ի: Լուծում. SAD եռանկյունը հավասարակողմ է 2-րդ կողմի հետ: Շրջագծված ոլորտի R շառավիղը հավասար է SAD եռանկյունու շուրջ շրջագծված շրջանագծի շառավղին: Հետևաբար,

Վարժություն Գտե՛ք միավոր իկոսաեդրոնի շուրջ շրջագծված ոլորտի շառավիղը: Լուծում. ABCD ուղղանկյունում AB = CD = 1, BC և AD 1 կողմերով կանոնավոր հնգանկյունների անկյունագծերն են: Հետևաբար, BC = AD = Պյութագորասի թեորեմով AC = Պահանջվող շառավիղը հավասար է այս անկյունագծի կեսին, այսինքն.

Վարժություն Գտե՛ք միավոր տասներկուանիստով շրջագծված գնդի շառավիղը: Լուծում. ABCDE-ն կողքով կանոնավոր հնգանկյուն է: Ուղղանկյունում ACGF AF = CG = 1, AC և FG-ը ABCDE հնգանկյունի անկյունագծերն են և, հետևաբար, AC = FG = Պյութագորասի թեորեմով FC = Պահանջվող շառավիղը հավասար է սրա կեսին: անկյունագծային, այսինքն.

Զորավարժություն Նկարում պատկերված է կտրված քառանիստը, որը ստացվել է եռանկյուն բուրգերի կանոնավոր քառաեդրոնի անկյունները կտրելով, որոնց երեսները կանոնավոր վեցանկյուններ և եռանկյուններ են: Գտե՛ք գնդիկի շառավիղը, որը շրջագծված է կտրված քառաեզրով, որի եզրերը հավասար են 1-ի:

Վարժություն Նկարում պատկերված է կտրված ութանիստ, որը ստացվել է ութանիստի անկյուններից եռանկյունաձև բուրգեր կտրելով, որոնց երեսները կանոնավոր վեցանկյուններ և եռանկյուններ են: Գտե՛ք կտրված ութանիստով շրջագծված գնդիկի շառավիղը, որի եզրերը հավասար են 1-ի: Վարժություն Նկարում պատկերված է կտրված պատկերապատիկ, որը ստացվել է հնգանկյուն բուրգերի սրբապատկերի անկյունները կտրելով, որոնց երեսները կանոնավոր վեցանկյուններ և հնգանկյուններ են: Գտե՛ք մի գնդիկի շառավիղը, որը շրջագծված է կտրված իկոսաեդրոնով, որի եզրերը հավասար են 1-ի:
Զորավարժություն Նկարում պատկերված է կտրված տասներկուանիստ, որը ստացվում է եռանկյունաձև բուրգեր կտրելով տասներկուանիստի անկյուններից, որոնց երեսները կանոնավոր տասնանկյուններ և եռանկյուններ են: Գտե՛ք մի գնդիկի շառավիղը, որը շրջագծված է կտրված տասներկուանիստով, որի եզրերը հավասար են 1-ի:
Վարժություն Գտե՛ք միավոր խորանարդագնդով շրջագծված գնդիկի շառավիղը: Լուծում. Հիշեցնենք, որ խորանարդիկից ստացվում է խորանարդիկ՝ կտրելով կանոնավոր եռանկյունաձև բուրգեր, որոնց գագաթները գտնվում են խորանարդի գագաթներում, իսկ կողային եզրերը հավասար են խորանարդի եզրի կեսին: Եթե ​​ութանիստի եզրը հավասար է 1-ի, ապա համապատասխան խորանարդի եզրը հավասար է Շրջագծված գնդիկի շառավիղը հավասար է խորանարդի կենտրոնից մինչև նրա եզրի կեսը հեռավորությանը, այսինքն. հավասար է 1. Պատասխան՝ R = 1։