Բ7 խնդիրը տալիս է որոշակի արտահայտություն, որը պետք է պարզեցվի: Արդյունքը պետք է լինի սովորական թիվ, որը կարող է գրվել ձեր պատասխանների թերթիկի վրա: Բոլոր արտահայտությունները պայմանականորեն բաժանվում են երեք տեսակի.
- Լոգարիթմական,
- ցուցիչ,
- Համակցված.
Էքսպոնենցիալ և լոգարիթմական արտահայտություններն իրենց մաքուր ձևով գործնականում երբեք չեն գտնվել: Այնուամենայնիվ, իմանալը, թե ինչպես են դրանք հաշվարկվում, բացարձակապես անհրաժեշտ է:
Ընդհանուր առմամբ, B7 խնդիրը լուծվում է բավականին պարզ և գտնվում է միջին շրջանավարտի հնարավորությունների մեջ։ Հստակ ալգորիթմների բացակայությունը փոխհատուցվում է դրա ստանդարտացմամբ և միապաղաղությամբ։ Դուք կարող եք սովորել լուծել նման խնդիրները պարզապես մեծ քանակությամբվերապատրաստում.
Լոգարիթմական արտահայտություններ
B7 խնդիրների ճնշող մեծամասնությունը ներառում է լոգարիթմներ այս կամ այն ձևով: Այս թեման ավանդաբար համարվում է բարդ, քանի որ դրա ուսումնասիրությունը սովորաբար տեղի է ունենում 11-րդ դասարանում՝ ավարտական քննություններին զանգվածային պատրաստվելու դարաշրջանում: Արդյունքում շատ շրջանավարտներ լոգարիթմների մասին շատ աղոտ պատկերացում ունեն:
Բայց այս առաջադրանքում ոչ ոք չի պահանջում խորը տեսական գիտելիքներ։ Մենք կհանդիպենք միայն ամենապարզ արտահայտություններին, որոնք պահանջում են պարզ հիմնավորում և հեշտությամբ կարող են ինքնուրույն տիրապետել: Ստորև բերված են հիմնական բանաձևերը, որոնք դուք պետք է իմանաք լոգարիթմները հաղթահարելու համար.
Բացի այդ, դուք պետք է կարողանաք արմատներն ու կոտորակները փոխարինել ուժերով ռացիոնալ ցուցիչով, հակառակ դեպքում որոշ արտահայտություններում պարզապես լոգարիթմի նշանի տակից հանելու բան չի լինի: Փոխարինման բանաձևեր.
Առաջադրանք. Գտեք արտահայտությունների իմաստը.
log 6 270 − log 6 7.5
log 5 775 − log 5 6.2
Առաջին երկու արտահայտությունները փոխակերպվում են որպես լոգարիթմների տարբերություն.
log 6 270 − log 6 7.5 = log 6 (270: 7.5) = log 6 36 = 2;
log 5 775 − log 5 6.2 = log 5 (775: 6.2) = log 5 125 = 3։
Երրորդ արտահայտությունը հաշվարկելու համար դուք ստիպված կլինեք մեկուսացնել ուժերը՝ և՛ հիմքում, և՛ փաստարկի մեջ: Նախ, եկեք գտնենք ներքին լոգարիթմը.
Ապա - արտաքին:
Log a log b x ձևի կառուցվածքները շատերին թվում են բարդ և սխալ ընկալված: Մինչդեռ սա ընդամենը լոգարիթմի լոգարիթմ է, այսինքն. log a (log b x ). Նախ հաշվարկվում է ներքին լոգարիթմը (տեղադրում ենք log b x = c), իսկ հետո արտաքինը՝ log a c:
Ցուցադրական արտահայտություններ
Էքսպոնենցիալ արտահայտություն մենք կանվանենք a k ձևի ցանկացած կառուցվածք, որտեղ a և k թվերը կամայական հաստատուններ են, և a > 0: Նման արտահայտությունների հետ աշխատելու մեթոդները բավականին պարզ են և քննարկվում են 8-րդ դասարանի հանրահաշվի դասերին:
Ստորև բերված են հիմնական բանաձևերը, որոնք դուք անպայման պետք է իմանաք: Այս բանաձեւերի կիրառումը գործնականում, որպես կանոն, խնդիրներ չի առաջացնում։
- a n · a m = a n + m;
- a n / a m = a n − m;
- (a n) m = a n · m;
- (a · b) n = a n · b n;
- (a : b ) n = a n : b n .
Եթե դուք հանդիպում եք ուժերով բարդ արտահայտության, և պարզ չէ, թե ինչպես մոտենալ դրան, օգտագործեք ունիվերսալ տեխնիկա՝ տարրալուծում պարզ գործոնների: Արդյունքում, լիազորությունների հիմքերում մեծ թվերը փոխարինվում են պարզ և հասկանալի տարրերով։ Այնուհետև մնում է կիրառել վերը նշված բանաձևերը, և խնդիրը կլուծվի:
Առաջադրանք. Գտեք արտահայտությունների արժեքները՝ 7 9 · 3 11: 21 8, 24 7: 3 6: 16 5, 30 6: 6 5: 25 2:
Լուծում. Եկեք տարանջատենք ուժերի բոլոր հիմքերը պարզ գործոնների.
7 9 3 11: 21 8 = 7 9 3 11: (7 3) 8 = 7 9 3 11: (7 8 3 8) = 7 9 3 11: 7 8: 3 8 = 7 3 3 = 189:
24 7: 3 6: 16 5 = (3 2 3) 7: 3 6: (2 4) 5 = 3 7 2 21: 3 6: 2 20 = 3 2 = 6:
30 6: 6 5: 25 2 = (5 3 2) 6: (3 2) 5: (5 2) 2 = 5 6 3 6 2 6: 3 5: 2 5: 5 4 = 5 2 3 2 = 150 .
Համակցված առաջադրանքներ
Եթե գիտեք բանաձևերը, ապա բոլոր էքսպոնենցիալ և լոգարիթմական արտահայտությունները կարող են լուծվել բառացիորեն մեկ տողում: Այնուամենայնիվ, B7 խնդիրում հզորությունները և լոգարիթմները կարող են համակցվել և կազմել բավականին ուժեղ համակցություններ:
Լոգարիթմներով արտահայտությունները փոխակերպելիս թվարկված հավասարություններն օգտագործվում են ինչպես աջից ձախ, այնպես էլ ձախից աջ։
Հարկ է նշել, որ անհրաժեշտ չէ անգիր անել հատկությունների հետևանքները. փոխակերպումներ կատարելիս կարող եք յոլա գնալ լոգարիթմների հիմնական հատկություններից և այլ փաստերից (օրինակ, այն փաստը, որ b≥0-ի համար), որից. հետևում են համապատասխան հետևանքներ. Այս մոտեցման միակ «կողմնակի ազդեցությունն» այն է, որ լուծումը մի փոքր ավելի երկար կլինի։ Օրինակ՝ առանց հետևանքի անելու համար, որն արտահայտվում է բանաձևով 
և ելնելով միայն լոգարիթմների հիմնական հատկություններից, դուք պետք է կատարեք հետևյալ ձևի փոխակերպումների շղթա. 
.
Նույնը կարելի է ասել վերը նշված ցանկից վերջին սեփականության մասին, որին պատասխանվում է բանաձևով 
, քանի որ դա բխում է նաև լոգարիթմների հիմնական հատկություններից։ Հիմնական բանը հասկանալն այն է, որ ցուցիչում լոգարիթմ ունեցող դրական թվի հզորությունը միշտ էլ հնարավոր է փոխարինել հզորության հիմքը և լոգարիթմի նշանի տակ գտնվող թիվը: Արդարության համար մենք նշում ենք, որ նման վերափոխումների իրականացում ենթադրող օրինակներ գործնականում հազվադեպ են: Տեքստում ստորև կտանք մի քանի օրինակ:
Թվային արտահայտությունների փոխակերպում լոգարիթմներով
Մենք հիշել ենք լոգարիթմների հատկությունները, այժմ ժամանակն է սովորել, թե ինչպես դրանք գործնականում կիրառել արտահայտությունները փոխակերպելու համար: Բնական է սկսել թվային արտահայտությունները փոխակերպելով, քան փոփոխականներով արտահայտությունները, քանի որ դրանք ավելի հարմար և հեշտ են սովորել հիմունքները: Սա այն է, ինչ մենք կանենք, և մենք կսկսենք շատ պարզ օրինակներից, որպեսզի սովորենք, թե ինչպես ընտրել լոգարիթմի ցանկալի հատկությունը, բայց մենք աստիճանաբար կբարդացնենք օրինակները, մինչև վերջնական արդյունք ստանալու համար մեզ անհրաժեշտ կլինի. մի քանի հատկություններ անընդմեջ կիրառելու համար:
Ընտրելով լոգարիթմների ցանկալի հատկությունը
Լոգարիթմների հատկությունները շատ են, և պարզ է, որ պետք է կարողանալ դրանցից ընտրել համապատասխանը, ինչը կոնկրետ դեպքում կբերի պահանջվող արդյունքի։ Սովորաբար դա դժվար չէ անել՝ համեմատելով փոխարկված լոգարիթմի կամ արտահայտության տեսակը լոգարիթմների հատկություններն արտահայտող բանաձևերի ձախ և աջ մասերի տեսակների հետ։ Եթե բանաձևերից մեկի ձախ կամ աջ կողմը համընկնում է տվյալ լոգարիթմի կամ արտահայտության հետ, ապա, ամենայն հավանականությամբ, հենց այս հատկությունն է, որ պետք է օգտագործվի փոխակերպման ժամանակ։ Հետևյալ օրինակները հստակորեն ցույց են տալիս դա։
Սկսենք արտահայտությունների փոխակերպման օրինակներից՝ օգտագործելով լոգարիթմի սահմանումը, որը համապատասխանում է a log a b =b, a>0, a≠1, b>0 բանաձևին։
Օրինակ։
Հաշվեք, եթե հնարավոր է. ա) 5 լոգ 5 4, բ) 10 լոգ (1+2·π), գ) 
, դ) 2 log 2 (−7) , e) .
Լուծում.
ա) տառի տակ գտնվող օրինակում հստակ երևում է a log a b կառուցվածքը, որտեղ a=5, b=4: Այս թվերը բավարարում են a>0, a≠1, b>0 պայմանները, այնպես որ կարող եք ապահով կերպով օգտագործել a log a b =b հավասարությունը: Մենք ունենք 5 լոգ 5 4=4:
բ) Այստեղ a=10, b=1+2·π, բավարարված են a>0, a≠1, b>0 պայմանները: Այս դեպքում տեղի է ունենում 10 log(1+2·π) =1+2·π հավասարությունը։
գ) Եվ այս օրինակում մենք գործ ունենք a log a b ձևի աստիճանի հետ, որտեղ և b=ln15: Այսպիսով 
.
Չնայած a log a b տիպին պատկանելուն (այստեղ a=2, b=−7), g տառի տակ գտնվող արտահայտությունը չի կարող փոխարկվել a log a b =b բանաձևի միջոցով: Պատճառն այն է, որ այն անիմաստ է, քանի որ այն պարունակում է բացասական թիվ լոգարիթմի նշանի տակ։ Ավելին, b=−7 թիվը չի բավարարում b>0 պայմանին, ինչը անհնարին է դարձնում a log a b =b բանաձևին դիմելը, քանի որ այն պահանջում է a>0, a≠1, b> պայմանների կատարում։ 0. Այսպիսով, մենք չենք կարող խոսել 2 log 2 (−7) արժեքի հաշվարկման մասին: Այս դեպքում 2 log 2 (−7) =−7 գրելը սխալ կլինի։
Նմանապես, ե) տառի օրինակում հնարավոր չէ ձևի լուծում տալ 
, քանի որ բնօրինակ արտահայտությունը իմաստ չունի։
Պատասխան.
ա) 5 լոգ 5 4 =4, բ) 10 լոգ (1+2·π) =1+2·π, գ) , դ), ե) արտահայտությունները իմաստ չունեն։
Հաճախ օգտակար փոխակերպումը դրական թիվ ներկայացնելն է որպես որոշ դրական ոչ միասնական թվի ուժ՝ ցուցիչի լոգարիթմով: Այն հիմնված է a log a log a b =b, a>0, a≠1, b>0 լոգարիթմի նույն սահմանման վրա, սակայն բանաձեւը կիրառվում է աջից ձախ, այսինքն՝ b=a log a b ձեւով: . Օրինակ՝ 3=e ln3 կամ 5=5 log 5 5:
Եկեք անցնենք արտահայտությունների փոխակերպման համար լոգարիթմների հատկությունների օգտագործմանը:
Օրինակ։
Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ ա) log −2 1, բ) log 1 1, գ) log 0 1, դ) log 7 1, ե) ln1, զ) log1, է) log 3,75 1, ը) log 5։ π 7 1 .
Լուծում.
ա), բ) և գ տառերի տակ գտնվող օրինակներում բերված են log −2 1, log 1 1, log 0 1 արտահայտությունները, որոնք իմաստ չունեն, քանի որ լոգարիթմի հիմքը չպետք է բացասական թիվ պարունակի. զրո կամ մեկ, քանի որ մենք լոգարիթմ ենք սահմանել միայն այն հիմքի համար, որը դրական է և տարբերվում է միասնությունից։ Ուստի ա) - գ) օրինակներում խոսք չի կարող լինել արտահայտության իմաստը գտնելու մասին։
Մնացած բոլոր առաջադրանքներում, ակնհայտորեն, լոգարիթմների հիմքերը պարունակում են համապատասխանաբար 7, e, 10, 3.75 և 5·π 7 դրական և ոչ միասնական թվեր, իսկ լոգարիթմների նշանների տակ ամենուր միավորներ են։ Եվ մենք գիտենք միասնության լոգարիթմի հատկությունը՝ log a 1=0 ցանկացած a>0, a≠1: Այսպիսով, b) – e) արտահայտությունների արժեքները հավասար են զրոյի:
Պատասխան.
ա), բ), գ) արտահայտությունները իմաստ չունեն, դ) log 7 1=0, ե) ln1=0, զ) log1=0, է) log 3.75 1=0, ը) log 5 e 7 1= 0 .
Օրինակ։
Հաշվեք՝ ա) , բ) lne , գ) lg10 , դ) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2), ե) լոգ −3 (−3) , զ) լոգ 1 1 .
Լուծում.
Հասկանալի է, որ մենք պետք է օգտագործենք հիմքի լոգարիթմի հատկությունը, որը համապատասխանում է log a a=1 բանաձևին a>0, a≠1-ի համար։ Իրոք, բոլոր տառերի տակ առաջադրանքներում լոգարիթմի նշանի տակ գտնվող թիվը համընկնում է դրա հիմքի հետ։ Այսպիսով, ուզում եմ անմիջապես ասել, որ տրված արտահայտություններից յուրաքանչյուրի արժեքը 1 է։ Այնուամենայնիվ, չպետք է շտապեք եզրակացություններ անել. ա) - դ) տառերի տակ առաջադրանքներում արտահայտությունների արժեքները իսկապես հավասար են մեկին, իսկ առաջադրանքներում e) և զ) բնօրինակ արտահայտությունները իմաստ չունեն, ուստի. չի կարելի ասել, որ այս արտահայտությունների արժեքները հավասար են 1-ի:
Պատասխան.
ա) , բ) lne=1, գ) lg10=1, դ) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2)=1, ե), զ) արտահայտությունները իմաստ չունեն։
Օրինակ։
Գտեք արժեքը՝ ա) log 3 3 11, բ) 
, գ) , դ) լոգ −10 (−10) 6.
Լուծում.
Ակնհայտ է, որ լոգարիթմների նշանների տակ կան հիմքի որոշ ուժեր: Ելնելով դրանից՝ մենք հասկանում ենք, որ այստեղ մեզ անհրաժեշտ կլինի հիմքի աստիճանի հատկությունը՝ log a a p =p, որտեղ a>0, a≠1 և p ցանկացած իրական թիվ է։ Հաշվի առնելով դա՝ ունենք հետևյալ արդյունքները՝ ա) log 3 3 11 =11, բ) 
, V) 
. Հնարավո՞ր է օրինակի համար նմանատիպ հավասարություն գրել log −10 (−10) 6 =6 ձևի դ) տառի տակ։ Ոչ, դուք չեք կարող, քանի որ log −10 (−10) 6 արտահայտությունն անիմաստ է:
Պատասխան.
ա) մատյան 3 3 11 = 11, բ) , V) , դ) արտահայտությունը իմաստ չունի.
Օրինակ։
Ներկայացրե՛ք արտահայտությունը որպես լոգարիթմների գումար կամ տարբերություն՝ օգտագործելով նույն հիմքը. ա) 
, բ) , գ) լոգ((−5)·(−12)) .
Լուծում.
ա) Լոգարիթմի նշանի տակ կա արտադրյալ, և մենք գիտենք արտադրյալի լոգարիթմի հատկությունը log a (x·y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0. , y>0. Մեր դեպքում լոգարիթմի հիմքում թվերը և արտադրյալի թվերը դրական են, այսինքն՝ բավարարում են ընտրված հատկության պայմանները, հետևաբար, մենք կարող ենք ապահով կիրառել այն. 
.
բ) Այստեղ մենք կօգտագործենք քանորդի լոգարիթմի հատկությունը, որտեղ a>0, a≠1, x>0, y>0: Մեր դեպքում լոգարիթմի հիմքը դրական e թիվ է, π համարիչը և հայտարարը դրական են, ինչը նշանակում է, որ դրանք բավարարում են գույքի պայմանները, ուստի մենք իրավունք ունենք օգտագործել ընտրված բանաձևը. 
.
գ) Նախ նշենք, որ log((−5)·(−12)) արտահայտությունն իմաստ ունի։ Բայց միևնույն ժամանակ, դրա համար մենք իրավունք չունենք կիրառելու արտադրանքի լոգարիթմի բանաձևը log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0, y. >0, քանի որ −5 և −12 թվերը բացասական են և չեն բավարարում x>0, y>0 պայմանները։ Այսինքն, դուք չեք կարող իրականացնել նման վերափոխում. log((−5)·(−12))=log(−5)+log(−12). Ուրեմն ի՞նչ պետք է անենք։ Նման դեպքերում բնօրինակ արտահայտությունը նախնական փոխակերպման կարիք ունի՝ բացասական թվերից խուսափելու համար։ Բացասական թվերով արտահայտությունները լոգարիթմի նշանի տակ փոխակերպելու նմանատիպ դեպքերի մասին մանրամասն կխոսենք հոդվածներից մեկում, բայց առայժմ լուծում կտանք այս օրինակին, որը նախապես պարզ է և առանց բացատրության. log((−5)·(−12))=log(5·12)=log5+lg12.
Պատասխան.
Ա) , բ) , գ) log((−5)·(−12))=log5+lg12.
Օրինակ։
Պարզեցրե՛ք արտահայտությունը՝ ա) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5, բ) .
Լուծում.
Այստեղ մեզ կօգնեն արտադրյալի լոգարիթմի բոլոր նույն հատկությունները և գործակիցի լոգարիթմը, որոնք մենք օգտագործել ենք նախորդ օրինակներում, միայն հիմա դրանք կկիրառենք աջից ձախ: Այսինքն՝ մենք լոգարիթմների գումարը վերածում ենք արտադրյալի լոգարիթմի, իսկ լոգարիթմների տարբերությունը՝ քանորդի լոգարիթմի։ Մենք ունենք
Ա) log 3 0.25+log 3 16+log 3 0.5=log 3 (0.25 16 0.5)=log 3 2.
բ) 
.
Պատասխան.
Ա) log 3 0.25+log 3 16+log 3 0.5=log 3 2, բ) 
.
Օրինակ։
Ազատվեք աստիճանից լոգարիթմի նշանի տակ. ա) լոգ 0,7 5 11, բ) 
, գ) լոգ 3 (−5) 6.
Լուծում.
Հեշտ է հասկանալ, որ մենք գործ ունենք log a b p ձևի արտահայտությունների հետ։ Լոգարիթմի համապատասխան հատկությունն ունի log a b p =p·log a b ձևը, որտեղ a>0, a≠1, b>0, p ցանկացած իրական թիվ է։ Այսինքն, եթե a>0, a≠1, b>0 պայմանները բավարարված են, ապա հզորության log a b p լոգարիթմից կարող ենք անցնել p·log a b արտադրյալին։ Այս փոխակերպումն իրականացնենք տրված արտահայտություններով.
ա) Այս դեպքում a=0.7, b=5 և p=11. Այսպիսով log 0.7 5 11 =11·log 0.7 5.
բ) Այստեղ բավարարվում են a>0, a≠1, b>0 պայմանները: Ահա թե ինչու 
գ) log 3 (−5) 6 արտահայտությունն ունի նույն կառուցվածքը log a b p , a=3 , b=−5 , p=6 : Բայց b-ի համար b>0 պայմանը չի բավարարվում, ինչը անհնարին է դարձնում log a b p =p·log a b բանաձևի օգտագործումը: Ուրեմն ի՞նչ, չե՞ք կարողանում հաղթահարել առաջադրանքը: Հնարավոր է, բայց պահանջվում է արտահայտության նախնական վերափոխում, որը մանրամասն կքննարկենք ստորև՝ վերնագրի տակ գտնվող պարբերությունում։ Լուծումը կլինի այսպիսին. log 3 (−5) 6 =log 3 5 6 =6 log 3 5.
Պատասխան.
ա) լոգ 0,7 5 11 = 11 լոգ 0,7 5,
բ)
գ) լոգ 3 (−5) 6 =6 լոգ 3 5.
Շատ հաճախ, փոխակերպումներ կատարելիս, ուժի լոգարիթմի բանաձևը պետք է կիրառվի աջից ձախ p·log a b=log a b p ձևով (նույն պայմանները պետք է պահպանվեն a, b և p-ի համար): Օրինակ՝ 3·ln5=ln5 3 և log2·log 2 3=log 2 3 lg2:
Օրինակ։
ա) Հաշվե՛ք log 2 5-ի արժեքը, եթե հայտնի է, որ log2≈0.3010 և log5≈0.6990. բ) Կոտորակն արտահայտիր լոգարիթմի տեսքով 3-րդ հիմքի վրա:
Լուծում.
ա) Նոր լոգարիթմի բազայի անցնելու բանաձևը թույլ է տալիս մեզ ներկայացնել այս լոգարիթմը որպես տասնորդական լոգարիթմների հարաբերակցություն, որոնց արժեքները մեզ հայտնի են. Մնում է հաշվարկներն իրականացնել, ունենք 
.
բ) Այստեղ բավական է օգտագործել նոր բազա տեղափոխվելու բանաձևը և կիրառել այն աջից ձախ, այսինքն՝ ձևով. 
. Մենք ստանում ենք 
.
Պատասխան.
ա) log 2 5≈2.3223, բ) .
Այս փուլում մենք բավականին մանրակրկիտ ուսումնասիրել ենք ամենապարզ արտահայտությունների փոխակերպումը` օգտագործելով լոգարիթմների հիմնական հատկությունները և լոգարիթմի սահմանումը: Այս օրինակներում մենք պետք է կիրառեինք մեկ հատկություն և ոչ ավելին։ Այժմ հանգիստ խղճով կարող եք անցնել օրինակներին, որոնց փոխակերպումը պահանջում է լոգարիթմների մի քանի հատկությունների և այլ լրացուցիչ փոխակերպումների օգտագործում։ Դրանցով կզբաղվենք հաջորդ պարբերությունում։ Բայց մինչ այդ համառոտ նայենք լոգարիթմների հիմնական հատկություններից հետևանքների կիրառման օրինակներին։
Օրինակ։
ա) Ազատվել արմատից լոգարիթմի նշանի տակ: բ) Կոտորակը դարձրեք 5 հիմքի լոգարիթմի: գ) Ազատվեք լոգարիթմի նշանի տակ և դրա հիմքում գտնվող ուժերից: դ) Հաշվիր արտահայտության արժեքը 
. ե) արտահայտությունը փոխարինի՛ր 3 հիմքով հզորությամբ։
Լուծում.
ա) Եթե հետևանքը հիշենք աստիճանի լոգարիթմի հատկությունից 
, ապա կարող եք անմիջապես տալ պատասխանը. 
.
բ) Այստեղ մենք օգտագործում ենք բանաձևը 
աջից ձախ ունենք 
.
գ) Բ այս դեպքումբանաձևը տալիս է արդյունքը . Մենք ստանում ենք 
.
դ) Եվ այստեղ բավական է կիրառել այն եզրակացությունը, որին համապատասխանում է բանաձեւը 
. Այսպիսով 
.
ե) Լոգարիթմի հատկությունը թույլ է տալիս մեզ հասնել ցանկալի արդյունքի. 
.
Պատասխան.
Ա) . բ) . V) 
. G) 
. դ) .
Մի քանի հատկությունների հաջորդական կիրառում
Լոգարիթմների հատկությունների օգտագործմամբ արտահայտությունների փոխակերպման իրական առաջադրանքները սովորաբար ավելի բարդ են, քան նախորդ պարբերությունում քննարկվածները: Դրանցում, որպես կանոն, արդյունքը չի ստացվում մեկ քայլով, այլ լուծումն արդեն իսկ բաղկացած է գույքի հաջորդական կիրառությունից մյուսի հետևից՝ լրացուցիչ նույնական փոխակերպումների հետ միասին, ինչպիսիք են փակագծերը բացելը, համանման տերմիններ բերելը, կոտորակների կրճատումը և այլն։ . Այսպիսով, եկեք ավելի մոտենանք նման օրինակներին: Սրանում ոչ մի բարդ բան չկա, գլխավորը զգույշ և հետևողական գործելն է՝ պահպանելով գործողությունների հերթականությունը։
Օրինակ։
Հաշվիր արտահայտության արժեքը (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5.
Լուծում.
Փակագծերում տրված լոգարիթմների տարբերությունը, ըստ քանորդի լոգարիթմի հատկության, կարելի է փոխարինել լոգարիթմի log 3-ով (15:5), այնուհետև հաշվել դրա արժեքը log 3 (15:5)=log 3 3=1։ Իսկ 7 log 7 5 արտահայտության արժեքը լոգարիթմի սահմանմամբ հավասար է 5-ի։ Այս արդյունքները փոխարինելով սկզբնական արտահայտությամբ՝ ստանում ենք (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =1 5=5.
Ահա լուծում առանց բացատրության.
(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =log 3 (15:5) 5=
=log 3 3·5=1·5=5:
Պատասխան.
(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =5.
Օրինակ։
Որքա՞ն է log 3 log 2 2 3 −1 թվային արտահայտության արժեքը:
Լուծում.
Մենք նախ փոխակերպում ենք լոգարիթմը լոգարիթմի նշանի տակ՝ օգտագործելով հզորության լոգարիթմի բանաձևը՝ log 2 2 3 =3: Այսպիսով, log 3 log 2 2 3 =log 3 3 և ապա log 3 3=1: Այսպիսով, log 3 log 2 2 3 −1=1−1=0:
Պատասխան.
log 3 log 2 2 3 −1=0 .
Օրինակ։
Պարզեցրեք արտահայտությունը.
Լուծում.
Նոր լոգարիթմային բազա տեղափոխելու բանաձևը թույլ է տալիս լոգարիթմների և մեկ հիմքի հարաբերակցությունը ներկայացնել որպես log 3 5: Այս դեպքում բնօրինակ արտահայտությունը կունենա . Լոգարիթմի սահմանմամբ 3 log 3 5 =5, այսինքն 
, և ստացված արտահայտության արժեքը, լոգարիթմի նույն սահմանման ուժով, հավասար է երկուսի։
Ահա լուծման կարճ տարբերակը, որը սովորաբար տրվում է. 
.
Պատասխան.
.
Հաջորդ պարբերության տեղեկատվությանը սահուն անցնելու համար եկեք նայենք 5 2+log 5 3 և log0.01 արտահայտություններին: Նրանց կառուցվածքը չի համապատասխանում լոգարիթմների ոչ մի հատկության։ Այսպիսով, ի՞նչ է տեղի ունենում, դրանք չեն կարող փոխակերպվել՝ օգտագործելով լոգարիթմների հատկությունները: Դա հնարավոր է, եթե իրականացնեք նախնական փոխակերպումներ, որոնք պատրաստում են այս արտահայտությունները լոգարիթմների հատկությունների կիրառման համար: Այսպիսով 5 2+log 5 3 =5 2 5 log 5 3 =25 3=75, 
և log0.01=log10 −2 =−2: Հաջորդիվ մենք մանրամասն կանդրադառնանք, թե ինչպես է իրականացվում նման արտահայտությունների պատրաստումը։
Արտահայտությունների պատրաստում լոգարիթմների հատկություններն օգտագործելու համար
Փոխակերպվող արտահայտության լոգարիթմները շատ հաճախ նշումների կառուցվածքով տարբերվում են բանաձևերի ձախ և աջ մասերից, որոնք համապատասխանում են լոգարիթմների հատկություններին: Բայց ոչ պակաս հաճախ, այս արտահայտությունների փոխակերպումը ներառում է լոգարիթմների հատկությունների օգտագործումը. դրանց օգտագործումը պահանջում է միայն նախնական նախապատրաստում: Եվ այս պատրաստումը բաղկացած է որոշակի նույնական փոխակերպումներ իրականացնելուց, որոնք լոգարիթմները բերում են հատկությունների կիրառման համար հարմար ձևի:
Արդարության համար մենք նշում ենք, որ արտահայտությունների գրեթե ցանկացած փոխակերպում կարող է հանդես գալ որպես նախնական փոխակերպումներ՝ սկսած նմանատիպ տերմինների սովորական կրճատումից մինչև եռանկյունաչափական բանաձևերի օգտագործումը: Սա հասկանալի է, քանի որ փոխակերպվող արտահայտությունները կարող են պարունակել ցանկացած մաթեմատիկական առարկա՝ փակագծեր, մոդուլներ, կոտորակներ, արմատներ, հզորություններ և այլն։ Այսպիսով, մարդը պետք է պատրաստ լինի իրականացնել ցանկացած անհրաժեշտ փոխակերպում, որպեսզի հետագայում կարողանա օգտվել լոգարիթմների հատկություններից:
Անմիջապես ասենք, որ այս պահին մենք խնդիր չենք դնում դասակարգելու և վերլուծելու բոլոր հնարավոր նախնական փոխակերպումները, որոնք թույլ կտան մեզ հետագայում կիրառել լոգարիթմների հատկությունները կամ լոգարիթմի սահմանումը: Այստեղ մենք կկենտրոնանանք դրանցից միայն չորսի վրա, որոնք առավել բնորոշ են և առավել հաճախ հանդիպող գործնականում:
Իսկ հիմա դրանցից յուրաքանչյուրի մասին մանրամասն, որից հետո մեր թեմայի շրջանակներում մնում է հասկանալ փոփոխականներով արտահայտությունների փոխակերպումը լոգարիթմների նշանների ներքո։
Լոգարիթմի նշանի տակ և դրա հիմքում հզորությունների նույնականացում
Անմիջապես սկսենք օրինակով. Եկեք ունենանք լոգարիթմ. Ակնհայտ է, որ այս ձևով նրա կառուցվածքը չի նպաստում լոգարիթմների հատկությունների օգտագործմանը: Հնարավո՞ր է ինչ-որ կերպ փոխակերպել այս արտահայտությունը պարզեցնելու համար, և նույնիսկ ավելի լավ հաշվարկել դրա արժեքը: Այս հարցին պատասխանելու համար եկեք ավելի մոտիկից նայենք 81 և 1/9 թվերին մեր օրինակի համատեքստում: Այստեղ հեշտ է նկատել, որ այս թվերը կարող են ներկայացվել որպես 3, իսկապես, 81 = 3 4 և 1/9 = 3 −2 աստիճան: Այս դեպքում սկզբնական լոգարիթմը ներկայացվում է ձևով և հնարավոր է դառնում կիրառել բանաձևը . Այսպիսով, 
.
Վերլուծված օրինակի վերլուծությունը առաջացնում է հետևյալ միտքը. հնարավորության դեպքում կարող եք փորձել մեկուսացնել աստիճանը լոգարիթմի նշանի տակ և դրա հիմքում՝ աստիճանի լոգարիթմի հատկությունը կամ դրա հետևանքները կիրառելու համար։ Մնում է միայն պարզել, թե ինչպես կարելի է տարբերակել այս աստիճանները: Եկեք մի քանի առաջարկություններ տանք այս հարցում։
Երբեմն միանգամայն ակնհայտ է, որ լոգարիթմի նշանի տակ և/կամ դրա հիմքում գտնվող թիվը ներկայացնում է որոշակի ամբողջ հզորություն, ինչպես վերը քննարկված օրինակում: Գրեթե անընդհատ մենք պետք է գործ ունենանք երկուսի ուժերի հետ, որոնք լավ ծանոթ են՝ 4=2 2, 8=2 3, 16=2 4, 32=2 5, 64=2 6, 128=2 7, 256=2 8 , 512= 2 9, 1024=2 10։ Նույնը կարելի է ասել երեքի հզորությունների մասին՝ 9 = 3 2, 27 = 3 3, 81 = 3 4, 243 = 3 5, ... Ընդհանրապես, չի խանգարի, եթե աչքիդ առաջ բնական թվերի հզորությունների աղյուսակմեկ տասնյակի սահմաններում: Դժվար չէ նաև տասը, հարյուր, հազար և այլնի ամբողջ հզորություններով աշխատելը։
Օրինակ։
Հաշվի՛ր արժեքը կամ պարզի՛ր արտահայտությունը՝ ա) log 6 216, բ) , գ) log 0,000001 0,001։
Լուծում.
ա) Ակնհայտորեն, 216=6 3, ուրեմն log 6 216=log 6 6 3 =3:
բ) Բնական թվերի հզորությունների աղյուսակը թույլ է տալիս 343 և 1/243 թվերը ներկայացնել որպես համապատասխանաբար 7 3 և 3 −4 ուժեր։ Հետևաբար, հնարավոր է տրված լոգարիթմի հետևյալ փոխակերպումը. 
գ) Քանի որ 0,000001=10 −6 և 0,001=10 −3, ապա log 0,000001 0,001=log 10 −6 10 −3 =(−3)/(−6)=1/2.
Պատասխան.
ա) լոգ 6 216=3, բ) 
, գ) լոգ 0,000001 0,001=1/2.
Ավելի բարդ դեպքերում թվերի ուժերը մեկուսացնելու համար պետք է դիմել։
Օրինակ։
Արտահայտությունը փոխարկեք ավելի պարզ ձևի log 3 648 · log 2 3:
Լուծում.
Տեսնենք, թե որն է 648-ի ֆակտորիզացիան.
Այսինքն՝ 648=2 3 ·3 4։ Այսպիսով, log 3 648 log 2 3=log 3 (2 3 3 4) log 2 3.
Այժմ արտադրյալի լոգարիթմը վերածում ենք լոգարիթմների գումարի, որից հետո կիրառում ենք հզորության լոգարիթմի հատկությունները.
log 3 (2 3 3 4)log 2 3=(log 3 2 3 +log 3 3 4)log 2 3=
=(3·log 3 2+4)·log 2 3.
Հզորության լոգարիթմի հատկության հետևանքով, որը համապատասխանում է բանաձևին. , log32·log23 արտադրյալը ,-ի արտադրյալն է, և, ինչպես հայտնի է, այն հավասար է մեկի։ Սա հաշվի առնելով՝ ստանում ենք 3 log 3 2 log 2 3+4 log 2 3=3 1+4 log 2 3=3+4 log 2 3.
Պատասխան.
log 3 648 log 2 3=3+4 log 2 3.
Շատ հաճախ լոգարիթմի նշանի տակ և դրա հիմքում արտահայտությունները ներկայացնում են որոշ թվերի արմատների և/կամ հզորությունների արտադրյալներ կամ հարաբերակցություններ, օրինակ՝ , . Նմանատիպ արտահայտությունները կարող են արտահայտվել որպես լիազորություններ: Դրա համար արմատներից անցում է կատարվում դեպի ուժեր, և օգտագործվում են: Այս փոխակերպումները հնարավորություն են տալիս մեկուսացնել ուժերը լոգարիթմի նշանի տակ և դրա հիմքում, այնուհետև կիրառել լոգարիթմների հատկությունները։
Օրինակ։
Հաշվիր՝ ա) 
, բ) .
Լուծում.
ա) Լոգարիթմի հիմքի արտահայտությունը նույն հիմքերով հզորությունների արտադրյալն է մեր ունեցած հզորությունների համապատասխան հատկությամբ 5 2 ·5 −0,5 ·5 −1 =5 2−0,5−1 =5 0,5.
Այժմ եկեք փոխակերպենք կոտորակը լոգարիթմի նշանի տակ. արմատից կանցնենք հզորության, որից հետո կօգտագործենք նույն հիմքերով հզորությունների հարաբերակցության հատկությունը. 
.
Մնում է ստացված արդյունքները փոխարինել սկզբնական արտահայտությամբ, օգտագործել բանաձևը և ավարտիր վերափոխումը. 
բ) Քանի որ 729 = 3 6 և 1/9 = 3 −2, սկզբնական արտահայտությունը կարող է վերագրվել որպես .
Այնուհետև մենք կիրառում ենք հզորության արմատի հատկությունը, արմատից շարժվում դեպի հզորություն և օգտագործում ենք հզորությունների հարաբերակցության հատկությունը՝ լոգարիթմի հիմքը հզորության փոխարկելու համար. 
.
Վերջին արդյունքը հաշվի առնելով՝ ունենք 
.
Պատասխան.
Ա) 
, բ) .
Հասկանալի է, որ ընդհանուր դեպքում լոգարիթմի նշանի տակ և դրա հիմքում ուժեր ստանալու համար կարող են պահանջվել տարբեր արտահայտությունների տարբեր փոխակերպումներ։ Բերենք մի երկու օրինակ։
Օրինակ։
Ո՞րն է արտահայտության իմաստը. ա) 
, բ) 
.
Լուծում.
Այնուհետև նշում ենք, որ տրված արտահայտությունն ունի log A B p ձևը, որտեղ A=2, B=x+1 և p=4: Այս տիպի թվային արտահայտությունները փոխակերպեցինք ըստ հզորության log a b p =p·log a b լոգարիթմի հատկության, հետևաբար, տրված արտահայտությամբ ես ուզում եմ անել նույնը և log 2 (x+1) 4-ից տեղափոխել 4·log 2 (x+1) . Հիմա հաշվարկենք սկզբնական արտահայտության արժեքը և փոխակերպումից հետո ստացված արտահայտությունը, օրինակ, երբ x=−2։ Մենք ունենք log 2 (−2+1) 4 =log 2 1=0 , և 4 log 2 (−2+1)=4 log 2 (−1)- անիմաստ արտահայտություն. Սա տրամաբանական հարց է առաջացնում. «Ի՞նչ սխալ ենք արել»:
Եվ պատճառը սա է. մենք կատարել ենք փոխակերպման log 2 (x+1) 4 =4·log 2 (x+1) , հիմնվելով log a b p =p·log a b բանաձևի վրա, բայց մենք իրավունք ունենք կիրառելու այս բանաձևը: միայն այն դեպքում, եթե a >0, a≠1, b>0, p - ցանկացած իրական թիվ: Այսինքն՝ մեր կատարած փոխակերպումը տեղի է ունենում, եթե x+1>0, որը նույնն է, ինչ x>−1 (A-ի և p-ի համար պայմանները բավարարված են)։ Այնուամենայնիվ, մեր դեպքում, սկզբնական արտահայտության համար x փոփոխականի ODZ-ը բաղկացած է ոչ միայն x>−1 միջակայքից, այլ նաև x միջակայքից։<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.
DL-ի հետ հաշվի առնելու անհրաժեշտությունը
Շարունակենք վերլուծել մեր ընտրած log 2 (x+1) 4 արտահայտության փոխակերպումը, իսկ հիմա տեսնենք, թե ինչ է տեղի ունենում ODZ-ի հետ՝ անցնելով 4 · log 2 (x+1) արտահայտությանը: Նախորդ պարբերությունում մենք գտանք սկզբնական արտահայտության ODZ - սա բազմությունն է (−∞, −1)∪(−1, +∞) ։ Այժմ եկեք գտնենք x փոփոխականի ընդունելի արժեքների միջակայքը 4·log 2 (x+1) արտահայտության համար: Որոշվում է x+1>0 պայմանով, որը համապատասխանում է (−1, +∞) բազմությանը։ Ակնհայտ է, որ log 2 (x+1) 4-ից 4·log 2 (x+1) տեղափոխելիս թույլատրելի արժեքների միջակայքը նեղանում է։ Եվ մենք պայմանավորվեցինք խուսափել փոխակերպումներից, որոնք հանգեցնում են DL-ի նեղացման, քանի որ դա կարող է հանգեցնել տարբեր բացասական հետևանքների:
Այստեղ հարկ է նշել, որ օգտակար է վերահսկել OA-ն փոխակերպման յուրաքանչյուր քայլում և կանխել դրա նեղացումը: Եվ եթե հանկարծ փոխակերպման ինչ-որ փուլում տեղի ունեցավ DL-ի նեղացում, ապա արժե շատ ուշադիր նայել, թե արդյոք այս փոխակերպումը թույլատրելի է, և արդյոք մենք իրավունք ունեինք այն իրականացնելու:
Արդարության համար ասենք, որ գործնականում մենք սովորաբար պետք է աշխատենք արտահայտությունների հետ, որոնցում փոփոխականների փոփոխական արժեքն այնպիսին է, որ փոխակերպումներ կատարելիս մենք կարող ենք օգտագործել լոգարիթմների հատկությունները առանց սահմանափակումների մեզ արդեն հայտնի ձևով, երկուսն էլ. ձախից աջ և աջից ձախ: Դուք արագ ընտելանում եք դրան, և սկսում եք մեխանիկորեն փոխակերպումներ իրականացնել՝ չմտածելով, թե արդյոք հնարավոր էր դրանք իրականացնել։ Եվ նման պահերին, ինչպես բախտը բերեց, ավելի բարդ օրինակներ են սայթաքում, որոնցում լոգարիթմների հատկությունների անզգույշ կիրառումը հանգեցնում է սխալների: Այսպիսով, դուք պետք է միշտ զգոն լինեք և համոզվեք, որ ODZ-ի նեղացում չկա:
Չի խանգարի առանձին ընդգծել լոգարիթմների հատկությունների վրա հիմնված հիմնական փոխակերպումները, որոնք պետք է իրականացվեն շատ ուշադիր, ինչը կարող է հանգեցնել OD-ի նեղացման և, որպես հետևանք, սխալների.
Արտահայտությունների որոշ փոխակերպումներ, որոնք հիմնված են լոգարիթմների հատկությունների վրա, կարող են հանգեցնել նաև հակառակի` ODZ-ի ընդլայնմանը: Օրինակ, անցումը 4·log 2-ից (x+1) դեպի log 2 (x+1) 4 ընդլայնում է ODZ-ը բազմությունից (−1, +∞) մինչև (−∞, −1)∪(−1, +∞) . Նման փոխակերպումներ տեղի են ունենում, եթե մենք մնանք ODZ-ի շրջանակներում սկզբնական արտահայտության համար։ Այսպիսով, հենց նշված փոխակերպումը 4·log 2 (x+1)=log 2 (x+1) 4 տեղի է ունենում x փոփոխականի ODZ-ի վրա՝ 4·log 2 (x+1) սկզբնական արտահայտության համար, այսինքն. x+1> 0, որը նույնն է, ինչ (−1, +∞):
Այժմ, երբ մենք քննարկեցինք այն նրբությունները, որոնց վրա պետք է ուշադրություն դարձնեք լոգարիթմների հատկությունների օգտագործմամբ արտահայտությունները փոփոխականներով փոխակերպելիս, մնում է պարզել, թե ինչպես ճիշտ իրականացնել այդ փոխակերպումները:
X+2>0. Արդյո՞ք դա աշխատում է մեր դեպքում: Այս հարցին պատասխանելու համար եկեք նայենք x փոփոխականի ODZ-ին: Այն որոշվում է անհավասարությունների համակարգով 
, որը համարժեք է x+2>0 պայմանին (անհրաժեշտության դեպքում տե՛ս հոդվածը անհավասարությունների համակարգերի լուծում). Այսպիսով, մենք կարող ենք ապահով կերպով կիրառել հզորության լոգարիթմի հատկությունը։
Մենք ունենք
3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =
=3·7·log(x+2)−log(x+2)−5·4·log(x+2)=
=21 log(x+2)−log(x+2)−20 log(x+2)=
=(21−1−20)·log(x+2)=0 .
Դուք կարող եք այլ կերպ վարվել, քանի որ ODZ-ն թույլ է տալիս դա անել, օրինակ այսպես. 
Պատասխան.
3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =0.
Բայց ի՞նչ անել, երբ ODZ-ում լոգարիթմների հատկություններին ուղեկցող պայմանները բավարարված չեն: Սա կհասկանանք օրինակներով։
Եկեք մեզանից պահանջենք պարզեցնել log(x+2) 4 − log(x+2) 2 արտահայտությունը։ Այս արտահայտության փոխակերպումը, ի տարբերություն նախորդ օրինակի արտահայտության, թույլ չի տալիս ազատ օգտագործել հզորության լոգարիթմի հատկությունը։ Ինչո՞ւ։ x փոփոխականի ODZ-ն այս դեպքում x>−2 և x երկու ինտերվալների միավորումն է<−2 . При x>−2 մենք կարող ենք հեշտությամբ կիրառել հզորության լոգարիթմի հատկությունը և գործել այնպես, ինչպես վերը նշված օրինակում. log(x+2) 4 −log(x+2) 2 =4 log(x+2)−2 log(x+2)=2 log(x+2). Բայց ODZ-ը պարունակում է ևս մեկ ինտերվալ x+2<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к log(−|x+2|) 4 −log(−|x+2|) 2իսկ հետագա՝ k lg|x+2| աստիճանի հատկությունների շնորհիվ 4 −lg|x+2| 2. Ստացված արտահայտությունը կարող է փոխակերպվել՝ օգտագործելով հզորության լոգարիթմի հատկությունը, քանի որ փոփոխականի ցանկացած արժեքի համար |x+2|>0: Մենք ունենք տեղեկամատյան|x+2| 4 −lg|x+2| 2 =4·lg|x+2|−2·lg|x+2|=2·lg|x+2|. Այժմ դուք կարող եք ազատվել մոդուլից, քանի որ այն կատարել է իր գործը: Քանի որ մենք փոխակերպումն իրականացնում ենք x+2-ով<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .
Դիտարկենք ևս մեկ օրինակ, որպեսզի մոդուլների հետ աշխատելը ծանոթ դառնա։ Եկեք պատկերացնենք արտահայտությունից 
գնալ x−1, x−2 և x−3 գծային երկանդամների լոգարիթմների գումարին և տարբերությանը։ Նախ մենք գտնում ենք ODZ-ը. 
(3, +∞) ինտերվալի վրա x−1, x−2 և x−3 արտահայտությունների արժեքները դրական են, ուստի մենք կարող ենք հեշտությամբ կիրառել գումարի և տարբերության լոգարիթմի հատկությունները. 
Իսկ (1, 2) միջակայքում x−1 արտահայտության արժեքները դրական են, իսկ x−2 և x−3 արտահայտությունների արժեքները՝ բացասական։ Հետևաբար, դիտարկվող միջակայքում մենք ներկայացնում ենք x−2 և x−3՝ օգտագործելով մոդուլը որպես −|x−2| եւ −|x−3| համապատասխանաբար. Որտեղ 
Այժմ մենք կարող ենք կիրառել արտադրյալի լոգարիթմի և քանորդի հատկությունները, քանի որ դիտարկվող (1, 2) միջակայքում դրվում են x−1, |x−2| արտահայտությունների արժեքները։ եւ |x−3| - դրական.
Մենք ունենք 
Ստացված արդյունքները կարելի է համատեղել.
Ընդհանուր առմամբ, նմանատիպ հիմնավորումը թույլ է տալիս, հիմնվելով արտադրանքի լոգարիթմի, հարաբերակցության և աստիճանի բանաձևերի վրա, ստանալ երեք գործնականում օգտակար արդյունք, որոնք բավականին հարմար են օգտագործման համար.
- Logar a (X·Y) ձևի X և Y երկու կամայական արտահայտությունների արտադրյալի լոգարիթմը կարելի է փոխարինել log a |X|+log a |Y| , a>0, a≠1.
- Որոշակի ձևի log a (X:Y) լոգարիթմը կարող է փոխարինվել լոգարիթմների տարբերությամբ log a |X|−log a |Y| , a>0, a≠1, X և Y կամայական արտահայտություններ են:
- Որոշ B արտահայտության լոգարիթմից մինչև log a B p ձևի զույգ հզորության p կարող ենք անցնել p·log a |B| , որտեղ a>0, a≠1, p զույգ թիվ է, իսկ B-ն կամայական արտահայտություն է:
Նմանատիպ արդյունքներ են տրվում, օրինակ, էքսպոնենցիալ և լոգարիթմական հավասարումներՀամալսարան ընդունողների համար մաթեմատիկայի խնդիրների ժողովածուում, որը խմբագրել է M. I. Skanavi:
Օրինակ։
Պարզեցրեք արտահայտությունը 
.
Լուծում.
Լավ կլինի կիրառել հզորության, գումարի և տարբերության լոգարիթմի հատկությունները։ Բայց կարո՞ղ ենք դա անել այստեղ: Այս հարցին պատասխանելու համար մենք պետք է իմանանք DZ.
Եկեք սահմանենք այն. 
Ակնհայտ է, որ x+4, x−2 և (x+4) 13 արտահայտությունները x փոփոխականի թույլատրելի արժեքների միջակայքում կարող են ընդունել և՛ դրական, և՛ բացասական արժեքներ: Հետեւաբար, մենք ստիպված կլինենք գործել մոդուլների միջոցով։ 
Մոդուլի հատկությունները թույլ են տալիս վերաշարադրել այն այսպես, այսպես 
Բացի այդ, ոչինչ չի խանգարում ձեզ օգտագործել հզորության լոգարիթմի հատկությունը, այնուհետև բերել նմանատիպ տերմիններ. 
Փոխակերպումների մեկ այլ հաջորդականություն հանգեցնում է նույն արդյունքին. 
և քանի որ ODZ-ի վրա x−2 արտահայտությունը կարող է ընդունել և՛ դրական, և՛ բացասական արժեքներ, ապա զույգ ցուցիչ վերցնելիս 14
Բաժիններ: Մաթեմատիկա
Դասի տեսակը.գիտելիքների ընդհանրացման և համակարգման դաս
Նպատակները:
- թարմացնել ուսանողների գիտելիքները լոգարիթմների և դրանց հատկությունների մասին՝ որպես ընդհանուր կրկնության և միասնական պետական քննության նախապատրաստման մաս.
- նպաստել ուսանողների մտավոր գործունեության զարգացմանը, վարժություններ կատարելիս տեսական գիտելիքները կիրառելու հմտություններին.
- նպաստել ուսանողների անձնական որակների, ինքնատիրապետման հմտությունների զարգացմանը և նրանց գործունեության ինքնագնահատմանը. զարգացնել աշխատասիրությունը, համբերությունը, հաստատակամությունը և անկախությունը:
Սարքավորումներ:համակարգիչ, պրոյեկտոր, շնորհանդես (Հավելված 1), տնային առաջադրանքով բացիկներ (էլեկտրոնային օրագրում առաջադրանքով ֆայլ կարող եք կցել):
Դասերի ժամանակ
I. Կազմակերպչական պահ. Ողջույններ, պատրաստվեք դասին։
II. Տնային աշխատանքների քննարկում.
III. Նշեք դասի թեման և նպատակը: Մոտիվացիա.(Սլայդ 1) Ներկայացում.
Մենք շարունակում ենք մաթեմատիկայի դասընթացի մեր ընդհանուր վերանայումը` նախապատրաստվելով միասնական պետական քննությանը: Եվ այսօր դասում մենք կխոսենք լոգարիթմների և դրանց հատկությունների մասին:
Լոգարիթմների հաշվարկման և լոգարիթմական արտահայտությունների փոխակերպման առաջադրանքներն անպայմանորեն առկա են ինչպես հիմնական, այնպես էլ պրոֆիլային մակարդակների հսկիչ և չափման նյութերում: Հետևաբար, մեր դասի նպատակն է վերականգնել «լոգարիթմ» հասկացության իմաստի մասին պատկերացումները և թարմացնել լոգարիթմական արտահայտությունների փոխակերպման հմտությունները: Գրեք դասի թեման ձեր տետրերում:
IV. Գիտելիքների թարմացում.
1. /Բանավոր/Նախ, եկեք հիշենք, թե ինչ է կոչվում լոգարիթմ: (Սլայդ 2)
(b դրական թվի լոգարիթմը a հիմքի վրա (որտեղ a > 0, a?1) այն ցուցանիշն է, որին պետք է բարձրացնել a թիվը՝ b թիվը ստանալու համար)
Մատյան a b = n<->a n = b, (a> 0, a 1, b> 0)
Այսպիսով, «LOGARITHM»-ը «EXPONSOR» է:
(Սլայդ 3) Այնուհետև a n = b-ը կարող է վերաշարադրվել ձևով = b – հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը:
Եթե հիմքը a = 10, ապա լոգարիթմը կոչվում է տասնորդական և նշանակվում է lgb:
Եթե a = e, ապա լոգարիթմը կոչվում է բնական և նշանակվում է lnb:
2. /գրավոր/ (Սլայդ 4)Լրացրո՛ւ դատարկ տեղերը՝ ճիշտ հավասարումներ ստանալու համար.
Մատյան? x + Մուտքագրեք a ? =Մատյան? (?y)
Մուտքագրվե՞լ - Մատյան? y = Մատյան. (x/?)
Մուտքագրեք x ? = pLog? (?)
Փորձաքննություն:
1; 1; a,y,x; x, a, a,y; p, a, x.
Սրանք լոգարիթմների հատկություններ են: Եվ մեկ այլ խումբ հատկություններ. (Սլայդ 5)
Փորձաքննություն:
a,1,n,x; n, x, p, a; x,b,a,y; a, x, b; ա, 1, բ.
V. Բանավոր աշխատանք
(Սլայդ 6) Թիվ 1. Հաշվել.
Ա Բ Գ Դ) ; դ) .
Պատասխանները ա) 4; բ) – 2; ժամը 2-ին; դ) 7; ե) 27.
(Սլայդ 7) Թիվ 2. Գտեք X:
Ա) ; բ) (Պատասխաններ՝ ա) 1/4; բ) 9).
Թիվ 3. Արդյո՞ք իմաստ ունի նման լոգարիթմ դիտարկելը.
Ա) ; բ) ; V)? (Ոչ)
VI. Անկախ աշխատանքխմբերով՝ ուժեղ ուսանողներ՝ խորհրդատուներ. (Սլայդ 8)
Թիվ 1. Հաշվել. 
.
# 2: Պարզեցնել.
Թիվ 3. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը, եթե
Թիվ 4. Պարզեցրե՛ք արտահայտությունը. 
Թիվ 5. Հաշվել.
Թիվ 6. Հաշվել.Թիվ 7. Հաշվել.
Թիվ 8. Հաշվել.
Ավարտից հետո ստուգեք և քննարկեք՝ օգտագործելով պատրաստված լուծումը կամ օգտագործելով փաստաթղթի տեսախցիկը:
VII. Բարձրացված բարդության առաջադրանքի լուծում(ուժեղ ուսանողը գրատախտակին, մնացածը նոթատետրերում) (Սլայդ 9)
Գտեք արտահայտության իմաստը.
VIII. Տնային աշխատանք(քարտերի վրա) տարբերակված.(Սլայդ 10)
Թիվ 1. Հաշվել. 
Թիվ 2. Գտեք արտահայտության իմաստը.
ԻՆՏԵՐՆԵՏ ՌԵՍՈՒՐՍՆԵՐ.
- Լ.Վ.
- Ա.Ա. Կուկշևա, «Եգորևսկայա միջնակարգ դպրոց» քաղաքային ուսումնական հաստատություն «Լոգարիթմները և դրանց հատկությունները» շնորհանդեսը
Առաջադրանքներ, որոնց լուծումն է լոգարիթմական արտահայտությունների փոխակերպում, բավականին տարածված են միասնական պետական քննության ժամանակ:
Դրանց հետ նվազագույն ժամանակում հաջողությամբ հաղթահարելու համար, բացի հիմնական լոգարիթմական ինքնություններից, դուք պետք է իմանաք և ճիշտ օգտագործեք ևս մի քանի բանաձևեր:
Սա է՝ a log a b = b, որտեղ a, b > 0, a ≠ 1 (Անմիջապես բխում է լոգարիթմի սահմանումից):
log a b = log c b / log c a կամ log a b = 1/log b a
որտեղ a, b, c > 0; a, c ≠ 1.
log a m b n = (m/n) log |a| |բ|
որտեղ a, b > 0, a ≠ 1, m, n Є R, n ≠ 0:
a log c b = b log c a
որտեղ a, b, c > 0 և a, b, c ≠ 1
Չորրորդ հավասարության վավերականությունը ցույց տալու համար ձախ և աջ կողմերի լոգարիթմը վերցնենք a հիմքի վրա։ Մենք ստանում ենք log a (a log բ) = log a (b log a-ով) կամ log b = log a · log a b; log c b = log c a · (log c b / log c a); log b-ով = log b-ով:
Մենք ապացուցել ենք լոգարիթմների հավասարությունը, ինչը նշանակում է, որ լոգարիթմների տակ արտահայտությունները նույնպես հավասար են։ Ֆորմուլա 4-ն ապացուցված է.
Օրինակ 1.
Հաշվիր 81 լոգ 27 5 լոգ 5 4։
Լուծում.
81 = 3 4 , 27 = 3 3 .
log 27 5 = 1/3 log 3 5, log 5 4 = log 3 4 / log 3 5. Հետևաբար,
log 27 5 log 5 4 = 1/3 log 3 5 (log 3 4 / log 3 5) = 1/3 log 3 4.
Այնուհետեւ 81 log 27 5 log 5 4 = (3 4) 1/3 log 3 4 = (3 log 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4:
Դուք կարող եք ինքներդ կատարել հետևյալ առաջադրանքը.
Հաշվել (8 log 2 3 + 3 1/ log 2 3) - log 0.2 5.
Որպես հուշում, 0.2 = 1/5 = 5 -1; log 0.2 5 = -1.
Պատասխան՝ 5.
Օրինակ 2.
Հաշվել (√11) գերան √3 9- լոգ 121 81 .
Լուծում.
Փոխենք արտահայտությունները՝ 9 = 3 2, √3 = 3 1/2, log √3 9 = 4,
121 = 11 2, 81 = 3 4, log 121 81 = 2 log 11 3 (օգտագործվել է 3-րդ բանաձևը):
Ապա (√11) log √3 9- log 121 81 = (11 1/2) 4-2 log 11 3 = (11) 2- log 11 3 = 11 2 / (11) log 11 3 = 11 2 / ( 11 լոգ 11 3) = 121/3.
Օրինակ 3.
Հաշվել մատյան 2 24 / մատյան 96 2 - մատյան 2 192 / մատյան 12 2:
Լուծում.
Օրինակում պարունակվող լոգարիթմները փոխարինում ենք 2-րդ հիմքով լոգարիթմներով։
log 96 2 = 1/log 2 96 = 1/log 2 (2 5 3) = 1/(log 2 2 5 + log 2 3) = 1/(5 + log 2 3);
log 2 192 = log 2 (2 6 3) = (log 2 2 6 + log 2 3) = (6 + log 2 3);
log 2 24 = log 2 (2 3 3) = (log 2 2 3 + log 2 3) = (3 + log 2 3);
log 12 2 = 1/log 2 12 = 1/log 2 (2 2 3) = 1/(log 2 2 2 + log 2 3) = 1/(2 + log 2 3):
Ապա log 2 24 / log 96 2 – log 2 192 / log 12 2 = (3 + log 2 3) / (1/(5 + log 2 3)) – ((6 + log 2 3) / (1/( 2 + մատյան 2 3)) =
= (3 + log 2 3) · (5 + log 2 3) – (6 + log 2 3)(2 + log 2 3).
Փակագծերը բացելուց և համանման տերմիններ բերելուց հետո ստանում ենք 3 թիվը: (Արտահայտությունը պարզեցնելիս կարող ենք log 2 3-ը նշել n-ով և պարզեցնել արտահայտությունը.
(3 + n) · (5 + n) – (6 + n) (2 + n)):
Պատասխան՝ 3.
Դուք կարող եք ինքներդ կատարել հետևյալ առաջադրանքը.
Հաշվել (log 3 4 + log 4 3 + 2) log 3 16 log 2 144 3.
Այստեղ անհրաժեշտ է անցում կատարել 3 հիմքի լոգարիթմներին և մեծ թվերի գործակցումը պարզ գործակիցների։
Պատասխան՝ 1/2
Օրինակ 4.
Տրված է երեք թվեր A = 1/(log 3 0.5), B = 1/(log 0.5 3), C = log 0.5 12 – log 0.5 3. Դասավորի՛ր դրանք աճման կարգով:
Լուծում.
Փոխակերպենք թվերը A = 1/(log 3 0.5) = log 0.5 3; C = log 0,5 12 – log 0,5 3 = log 0,5 12/3 = log 0,5 4 = -2:
Եկեք համեմատենք դրանք
log 0.5 3 > log 0.5 4 = -2 և log 0.5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.
Կամ 2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.
Պատասխանել. Հետևաբար, թվերի տեղադրման կարգը հետևյալն է. Ա; IN.
Օրինակ 5.
Քանի՞ ամբողջ թիվ կա միջակայքում (log 3 1 / 16 ; log 2 6 48):
Լուծում.
Եկեք որոշենք, թե 3 թվի որ ուժերի միջև է գտնվում 1/16 թիվը։ Մենք ստանում ենք 1/27< 1 / 16 < 1 / 9 .
Քանի որ y = log 3 x ֆունկցիան մեծանում է, ապա log 3 (1/27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.
log 6 48 = log 6 (36 4 / 3) = log 6 36 + log 6 (4 / 3) = 2 + log 6 (4 / 3): Եկեք համեմատենք տեղեկամատյան 6 (4/3) և 1/5: Եվ դրա համար մենք համեմատում ենք 4/3 և 6 1/5 թվերը։ Երկու թվերն էլ հասցնենք 5-րդ աստիճանի։ Մենք ստանում ենք (4/3) 5 = 1024 / 243 = 4 52 / 243< 6. Следовательно,
մատյան 6 (4/3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.
Հետևաբար, միջակայքը (log 3 1 / 16 ; log 6 48) ներառում է [-2; 4] և դրա վրա դրված են -2 ամբողջ թվերը; -1; 0; 1; 2; 3; 4.
Պատասխան՝ 7 ամբողջ թիվ:
Օրինակ 6.
Հաշվեք 3 լգլգ 2/ լգ 3 - լգ20:
Լուծում.
3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 lо g 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2:
Հետո 3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 – lg 20 = lg 0.1 = -1:
Պատասխան՝ -1.
Օրինակ 7.
Հայտնի է, որ log 2 (√3 + 1) + log 2 (√6 – 2) = A. Գտեք log 2 (√3 –1) + log 2 (√6 + 2):
Լուծում.
Համարներ (√3 + 1) և (√3 – 1); (√6 – 2) և (√6 + 2) խոնարհված են:
Կատարենք արտահայտությունների հետևյալ փոխակերպումը
√3 – 1 = (√3 – 1) · (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);
√6 + 2 = (√6 + 2) · (√6 – 2)) / (√6 – 2) = 2/(√6 – 2):
Այնուհետև log 2 (√3 – 1) + log 2 (√6 + 2) = log 2 (2/(√3 + 1)) + log 2 (2/(√6 – 2)) =
Մատյան 2 2 – մատյան 2 (√3 + 1) + մատյան 2 2 – մատյան 2 (√6 – 2) = 1 – մատյան 2 (√3 + 1) + 1 – մատյան 2 (√6 – 2) =
2 – log 2 (√3 + 1) – log 2 (√6 – 2) = 2 – A.
Պատասխան՝ 2 – Ա.
Օրինակ 8.
Պարզեցրե՛ք և գտե՛ք արտահայտության մոտավոր արժեքը (log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9.
Լուծում.
Եկեք նվազեցնենք բոլոր լոգարիթմները մինչև 10 ընդհանուր հիմք:
(log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9 = (lg 2 / lg 3) (lg 3 / lg 4) (lg 4 / lg 5) (lg 5 / lg 6) · … · (lg 8 / lg 9) · lg 9 = lg 2 ≈ 0,3010 (lg 2-ի մոտավոր արժեքը կարելի է գտնել աղյուսակի, սլայդի կանոնի կամ հաշվիչի միջոցով):
Պատասխան՝ 0.3010։
Օրինակ 9.
Հաշվեք log a 2 b 3 √(a 11 b -3), եթե log √ a b 3 = 1: (Այս օրինակում a 2 b 3-ը լոգարիթմի հիմքն է):
Լուծում.
Եթե log √ a b 3 = 1, ապա 3/(0.5 log a b = 1. Եվ log a b = 1/6:
Այնուհետև գրանցեք a 2 b 3√(a 11 b -3) = 1/2 log a 2 b 3 (a 11 b -3) = log a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3) ) = (log a a 11 + log a b -3) / (2(log a a 2 + log a b 3)) = (11 – 3log a b) / (2(2 + 3log a b)) Հաշվի առնելով, որ այդ log a b = 1/ 6 մենք ստանում ենք (11 – 3 1 / 6) / (2 (2 + 3 1 / 6)) = 10,5/5 = 2,1:
Պատասխան՝ 2.1.
Դուք կարող եք ինքներդ կատարել հետևյալ առաջադրանքը.
Հաշվեք մատյան √3 6 √2.1, եթե մատյան 0.7 27 = ա.
Պատասխան՝ (3 + ա) / (3ա):
Օրինակ 10.
Հաշվի՛ր 6,5 4/ լոգ 3 169 · 3 1/ լոգ 4 13 + լոգ125։
Լուծում.
6.5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log 125 = (13/2) 4/2 log 3 13 · 3 2/ log 2 13 + 2log 5 5 3 = (13/2) 2 log 13 3 3 2 log 13 2 + 6 = (13 log 13 3 / 2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3/2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = ( 3 2 /(2 log 13 3) 2) · (2 log 13 3) 2 + 6.
(2 log 13 3 = 3 log 13 2 (բանաձև 4))
Մենք ստանում ենք 9 + 6 = 15:
Պատասխան՝ 15.
Դեռ ունե՞ք հարցեր: Չգիտե՞ք, թե ինչպես գտնել լոգարիթմական արտահայտության արժեքը:
Կրկնուսույցից օգնություն ստանալու համար գրանցվեք։
Առաջին դասն անվճար է։
կայքը, նյութը ամբողջությամբ կամ մասնակի պատճենելիս անհրաժեշտ է հղում աղբյուրին:
հիմնական հատկությունները.
- լոգաքս + լոգայ = լոգա (x y);
- լոգաքս − լոգայ = լոգա (x: y):
նույնական հիմքեր
Log6 4 + log6 9.
Հիմա մի փոքր բարդացնենք խնդիրը։
Լոգարիթմների լուծման օրինակներ
Իսկ եթե լոգարիթմի հիմքը կամ արգումենտը հզորություն է: Այնուհետև այս աստիճանի ցուցիչը կարելի է հանել լոգարիթմի նշանից՝ համաձայն հետևյալ կանոնների.
Իհարկե, այս բոլոր կանոնները իմաստ ունեն, եթե դիտարկվում է լոգարիթմի ODZ՝ a > 0, a ≠ 1, x >
Առաջադրանք. Գտեք արտահայտության իմաստը.
Անցում դեպի նոր հիմք
Թող տրվի լոգարիթմի լոգաքսը: Այնուհետև c ցանկացած թվի համար, որպեսզի c > 0 և c ≠ 1, հավասարությունը ճշմարիտ է.
Առաջադրանք. Գտեք արտահայտության իմաստը.
Տես նաեւ:
Լոգարիթմի հիմնական հատկությունները
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Ցուցանիշը 2,718281828 է… Ցուցանիշը հիշելու համար կարող եք ուսումնասիրել կանոնը. ցուցիչը հավասար է 2,7-ի և Լև Նիկոլաևիչ Տոլստոյի ծննդյան տարեթվի երկու անգամ:
Լոգարիթմների հիմնական հատկությունները
Իմանալով այս կանոնը՝ դուք կիմանաք Լև Տոլստոյի և՛ ցուցիչի ճշգրիտ արժեքը, և՛ ծննդյան ամսաթիվը:
Օրինակներ լոգարիթմների համար
Լոգարիթմի արտահայտություններ
Օրինակ 1.
Ա). x=10ac^2 (a>0,c>0):
Օգտագործելով 3.5 հատկությունները, մենք հաշվարկում ենք
2.
3.
Օրինակ 2. Գտեք x եթե
Օրինակ 3. Թող տրվի լոգարիթմների արժեքը
Հաշվեք log(x), եթե
Լոգարիթմների հիմնական հատկությունները
Լոգարիթմները, ինչպես ցանկացած թիվ, կարելի է ամեն կերպ ավելացնել, հանել և փոխակերպել։ Բայց քանի որ լոգարիթմները ճշգրիտ չեն սովորական թվեր, այստեղ կան կանոններ, որոնք կոչվում են հիմնական հատկությունները.
Դուք անպայման պետք է իմանաք այս կանոնները՝ առանց դրանց ոչ մի լուրջ խնդիր հնարավոր չէ լուծել։ լոգարիթմական խնդիր. Բացի այդ, դրանք շատ քիչ են՝ դուք կարող եք ամեն ինչ սովորել մեկ օրում: Այսպիսով, եկեք սկսենք:
Լոգարիթմների գումարում և հանում
Դիտարկենք նույն հիմքերով երկու լոգարիթմներ՝ լոգաքս և լոգայ: Այնուհետև դրանք կարելի է գումարել և հանել, և.
- լոգաքս + լոգայ = լոգա (x y);
- լոգաքս − լոգայ = լոգա (x: y):
Այսպիսով, լոգարիթմների գումարը հավասար է արտադրյալի լոգարիթմին, իսկ տարբերությունը հավասար է քանորդի լոգարիթմին։ Խնդրում ենք նկատի ունենալ. առանցքային կետն այստեղ է նույնական հիմքեր. Եթե պատճառները տարբեր են, ապա այս կանոնները չեն գործում:
Այս բանաձևերը կօգնեն ձեզ հաշվարկել լոգարիթմական արտահայտությունը նույնիսկ այն դեպքում, երբ դրա առանձին մասերը չեն հաշվվում (տե՛ս «Ի՞նչ է լոգարիթմը» դասը): Նայեք օրինակներին և տեսեք.
Քանի որ լոգարիթմներն ունեն նույն հիմքերը, մենք օգտագործում ենք գումարի բանաձևը.
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2:
Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log2 48 − log2 3:
Հիմքերը նույնն են, մենք օգտագործում ենք տարբերության բանաձևը.
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4:
Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log3 135 − log3 5:
Կրկին հիմքերը նույնն են, ուստի մենք ունենք.
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3։
Ինչպես տեսնում եք, սկզբնական արտահայտությունները կազմված են «վատ» լոգարիթմներից, որոնք առանձին չեն հաշվարկվում։ Բայց փոխակերպումներից հետո լրիվ նորմալ թվեր են ստացվում։ Շատերը կառուցված են այս փաստի վրա թեստային փաստաթղթեր. Այո, թեստի նման արտահայտությունները առաջարկվում են ամենայն լրջությամբ (երբեմն գրեթե առանց փոփոխության) միասնական պետական քննության ժամանակ:
Լոգարիթմից ցուցիչի հանում
Հեշտ է տեսնել, որ վերջին կանոնը հետևում է առաջին երկուսին: Բայց ամեն դեպքում ավելի լավ է հիշել դա, որոշ դեպքերում դա զգալիորեն կնվազեցնի հաշվարկների քանակը:
Իհարկե, այս բոլոր կանոնները իմաստ ունեն, եթե դիտարկվում է լոգարիթմի ODZ՝ a > 0, a ≠ 1, x > 0: Եվ ևս մեկ բան. սովորեք կիրառել բոլոր բանաձևերը ոչ միայն ձախից աջ, այլև հակառակը: , այսինքն. Դուք կարող եք թվերը մուտքագրել նախքան լոգարիթմի նշանը հենց լոգարիթմի մեջ: Սա այն է, ինչ ամենից հաճախ պահանջվում է:
Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log7 496:
Եկեք ազատվենք փաստարկի աստիճանից՝ օգտագործելով առաջին բանաձևը.
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12
Առաջադրանք. Գտեք արտահայտության իմաստը.
Նկատի ունեցեք, որ հայտարարը պարունակում է լոգարիթմ, որի հիմքը և արգումենտը ճշգրիտ հզորություններ են՝ 16 = 24; 49 = 72. Մենք ունենք.
Կարծում եմ՝ վերջին օրինակը որոշակի պարզաբանում է պահանջում։ Որտե՞ղ են գնացել լոգարիթմները: Մինչև վերջին պահը մենք աշխատում ենք միայն հայտարարի հետ։
Լոգարիթմի բանաձևեր. Լոգարիթմների լուծումների օրինակներ:
Մենք այնտեղ կանգնած լոգարիթմի հիմքն ու փաստարկը ներկայացրեցինք հզորությունների տեսքով և հանեցինք ցուցիչները՝ ստացանք «եռահարկ» կոտորակ։
Հիմա նայենք հիմնական կոտորակին։ Համարիչը և հայտարարը պարունակում են նույն թիվը՝ log2 7։ Քանի որ log2 7 ≠ 0, մենք կարող ենք կրճատել կոտորակը - 2/4-ը կմնա հայտարարում։ Ըստ թվաբանության կանոնների՝ քառյակը կարող է փոխանցվել համարիչին, ինչն էլ արվեց։ Արդյունքը եղավ պատասխանը՝ 2.
Անցում դեպի նոր հիմք
Խոսելով լոգարիթմների գումարման-հանման կանոնների մասին՝ ես հատուկ ընդգծեցի, որ դրանք աշխատում են միայն նույն հիմքերով։ Իսկ եթե պատճառները տարբեր են: Իսկ եթե դրանք նույն թվի ճշգրիտ ուժեր չեն:
Օգնության են գալիս նոր հիմնադրամին անցնելու բանաձևերը։ Եկեք դրանք ձևակերպենք թեորեմի տեսքով.
Թող տրվի լոգարիթմի լոգաքսը: Այնուհետև c ցանկացած թվի համար, որպեսզի c > 0 և c ≠ 1, հավասարությունը ճշմարիտ է.
Մասնավորապես, եթե սահմանենք c = x, ապա կստանանք.
Երկրորդ բանաձևից հետևում է, որ լոգարիթմի հիմքը և արգումենտը կարող են փոխանակվել, բայց այս դեպքում ամբողջ արտահայտությունը «շրջվել է», այսինքն. լոգարիթմը հայտնվում է հայտարարի մեջ:
Այս բանաձևերը հազվադեպ են հանդիպում սովորական թվային արտահայտություններում: Թե որքանով են դրանք հարմար, հնարավոր է գնահատել միայն լոգարիթմական հավասարումներ և անհավասարումներ լուծելիս։
Սակայն կան խնդիրներ, որոնք բացարձակապես հնարավոր չէ լուծել, բացի նոր հիմնադրամ տեղափոխվելուց։ Եկեք նայենք դրանցից մի քանիսին.
Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log5 16 log2 25.
Նկատի ունեցեք, որ երկու լոգարիթմների արգումենտները պարունակում են ճշգրիտ ուժեր: Դուրս բերենք ցուցանիշները՝ log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;
Հիմա եկեք «հակադարձենք» երկրորդ լոգարիթմը.
Քանի որ արտադրյալը չի փոխվում գործոնները վերադասավորելիս, մենք հանգիստ բազմապատկեցինք չորսը և երկուսը, այնուհետև զբաղվեցինք լոգարիթմներով:
Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log9 100 lg 3.
Առաջին լոգարիթմի հիմքը և փաստարկը ճշգրիտ հզորություններ են: Եկեք գրենք սա և ազատվենք ցուցանիշներից.
Հիմա եկեք ազատվենք տասնորդական լոգարիթմից՝ անցնելով նոր հիմք.
Հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը
Հաճախ լուծման գործընթացում անհրաժեշտ է լինում թիվը ներկայացնել որպես լոգարիթմ տվյալ հիմքում: Այս դեպքում մեզ կօգնեն հետևյալ բանաձևերը.
Առաջին դեպքում n թիվը դառնում է փաստարկի ցուցիչ։ n թիվը կարող է լինել բացարձակապես ամեն ինչ, քանի որ դա ընդամենը լոգարիթմի արժեք է:
Երկրորդ բանաձևը իրականում վերափոխված սահմանում է: Այդպես է կոչվում.
Իրականում, ի՞նչ կլինի, եթե b թիվը բարձրացվի այնքան հզորության, որ այս հզորության b թիվը տա a թիվը: Ճիշտ է, արդյունքը նույն թիվն է a. Կրկին ուշադիր կարդացեք այս պարբերությունը. շատերը խրված են դրա վրա:
Նոր բազա տեղափոխելու բանաձևերի նման, հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը երբեմն միակ հնարավոր լուծումն է:
Առաջադրանք. Գտեք արտահայտության իմաստը.
Նկատի ունեցեք, որ log25 64 = log5 8 - պարզապես վերցրել է քառակուսին լոգարիթմի հիմքից և արգումենտից: Նկատի ունենալով ուժերը բազմապատկելու կանոնները նույն հիմքը, ստանում ենք.
Եթե որևէ մեկը չգիտի, սա իրական առաջադրանք էր միասնական պետական քննությունից :)
Լոգարիթմական միավոր և լոգարիթմական զրո
Եզրափակելով, ես կտամ երկու ինքնություն, որոնք դժվար թե կարելի է անվանել հատկություններ, ավելի շուտ, դրանք լոգարիթմի սահմանման հետևանք են: Նրանք անընդհատ հայտնվում են խնդիրների մեջ և, զարմանալիորեն, խնդիրներ են ստեղծում նույնիսկ «առաջադեմ» ուսանողների համար։
- լոգաա = 1 է: Հիշեք մեկընդմիշտ. լոգարիթմը այդ բազայի ցանկացած a հիմքի վրա հավասար է մեկի:
- լոգա 1 = 0 է: a հիմքը կարող է լինել ցանկացած բան, բայց եթե արգումենտը պարունակում է մեկ, ապա լոգարիթմը հավասար է զրոյի: Քանի որ a0 = 1 սահմանման ուղղակի հետևանքն է:
Ահա բոլոր հատկությունները: Համոզվեք, որ կիրառեք դրանք գործնականում: Ներբեռնեք խաբեբա թերթիկը դասի սկզբում, տպեք այն և լուծեք խնդիրները:
Տես նաեւ:
b-ի լոգարիթմը a-ի հիմքում նշանակում է արտահայտությունը. Հաշվարկել լոգարիթմը նշանակում է գտնել x () հզորություն, որի դեպքում հավասարությունը բավարարված է
Լոգարիթմի հիմնական հատկությունները
Անհրաժեշտ է իմանալ վերը նշված հատկությունները, քանի որ լոգարիթմների հետ կապված գրեթե բոլոր խնդիրներն ու օրինակները լուծվում են դրանց հիման վրա։ Մնացած էկզոտիկ հատկությունները կարող են ստացվել այս բանաձևերով մաթեմատիկական մանիպուլյացիաների միջոցով
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Լոգարիթմների գումարի և տարբերության բանաձևը (3.4) հաշվարկելիս բավականին հաճախ եք հանդիպում։ Մնացածը որոշ չափով բարդ են, բայց մի շարք առաջադրանքներում դրանք անփոխարինելի են բարդ արտահայտությունները պարզեցնելու և դրանց արժեքները հաշվարկելու համար։
Լոգարիթմների ընդհանուր դեպքեր
Ամենատարածված լոգարիթմներից մի քանիսն են, որոնց հիմքը հավասար է տասի, էքսպոնենցիալ կամ երկու:
Տասը հիմքի լոգարիթմը սովորաբար կոչվում է տասնորդական լոգարիթմ և ուղղակի նշանակվում է lg(x):
Ձայնագրությունից պարզ է դառնում, որ ձայնագրության մեջ հիմքերը գրված չեն։ Օրինակ
Բնական լոգարիթմը լոգարիթմ է, որի հիմքը չափորոշիչ է (նշվում է ln(x)-ով):
Ցուցանիշը 2,718281828 է… Ցուցանիշը հիշելու համար կարող եք ուսումնասիրել կանոնը. ցուցիչը հավասար է 2,7-ի և Լև Նիկոլաևիչ Տոլստոյի ծննդյան տարեթվի երկու անգամ: Իմանալով այս կանոնը՝ դուք կիմանաք Լև Տոլստոյի և՛ ցուցիչի ճշգրիտ արժեքը, և՛ ծննդյան ամսաթիվը:
Եվ մեկ այլ կարևոր լոգարիթմ երկու հիմքի համար նշվում է
Ֆունկցիայի լոգարիթմի ածանցյալը հավասար է մեկին, որը բաժանվում է փոփոխականի վրա
Ինտեգրալ կամ հակաածանցյալ լոգարիթմը որոշվում է հարաբերություններով
Տրված նյութը բավական է, որպեսզի լուծեք լոգարիթմների և լոգարիթմների հետ կապված խնդիրների լայն դաս։ Որպեսզի օգնեմ ձեզ հասկանալ նյութը, ես կտամ միայն մի քանի ընդհանուր օրինակներ դպրոցական ծրագրից և բուհերից:
Օրինակներ լոգարիթմների համար
Լոգարիթմի արտահայտություններ
Օրինակ 1.
Ա). x=10ac^2 (a>0,c>0):
Օգտագործելով 3.5 հատկությունները, մենք հաշվարկում ենք
2.
Լոգարիթմների տարբերության հատկությամբ ունենք
3.
Օգտագործելով հատկությունները 3.5 մենք գտնում ենք
Բարդ թվացող արտահայտությունը պարզեցված է ձևավորելու համար՝ օգտագործելով մի շարք կանոններ
Լոգարիթմի արժեքների որոնում
Օրինակ 2. Գտեք x եթե
Լուծում. Հաշվարկի համար մենք դիմում ենք վերջին տերմինի 5 և 13 հատկություններին
Մենք դա արձանագրում ենք ու սգում
Քանի որ հիմքերը հավասար են, մենք հավասարեցնում ենք արտահայտությունները
Լոգարիթմներ. Առաջին մակարդակ.
Թող տրվի լոգարիթմների արժեքը
Հաշվեք log(x), եթե
Լուծում. Վերցնենք փոփոխականի լոգարիթմը, որպեսզի գրենք լոգարիթմը նրա անդամների գումարի միջոցով
Սա լոգարիթմների և դրանց հատկությունների հետ մեր ծանոթության միայն սկիզբն է: Կատարեք հաշվարկներ, հարստացրեք ձեր գործնական հմտությունները - շուտով ձեզ անհրաժեշտ կլինի ձեռք բերած գիտելիքները լոգարիթմական հավասարումներ լուծելու համար: Ուսումնասիրելով նման հավասարումների լուծման հիմնական մեթոդները՝ մենք կընդլայնենք ձեր գիտելիքները մեկ այլ ոչ պակաս կարևոր թեմայի՝ լոգարիթմական անհավասարությունների...
Լոգարիթմների հիմնական հատկությունները
Լոգարիթմները, ինչպես ցանկացած թիվ, կարելի է ամեն կերպ ավելացնել, հանել և փոխակերպել։ Բայց քանի որ լոգարիթմները սովորական թվեր չեն, այստեղ կան կանոններ, որոնք կոչվում են հիմնական հատկությունները.
Դուք անպայման պետք է իմանաք այս կանոնները՝ առանց դրանց ոչ մի լուրջ լոգարիթմական խնդիր հնարավոր չէ լուծել: Բացի այդ, դրանք շատ քիչ են՝ դուք կարող եք ամեն ինչ սովորել մեկ օրում: Այսպիսով, եկեք սկսենք:
Լոգարիթմների գումարում և հանում
Դիտարկենք նույն հիմքերով երկու լոգարիթմներ՝ լոգաքս և լոգայ: Այնուհետև դրանք կարելի է գումարել և հանել, և.
- լոգաքս + լոգայ = լոգա (x y);
- լոգաքս − լոգայ = լոգա (x: y):
Այսպիսով, լոգարիթմների գումարը հավասար է արտադրյալի լոգարիթմին, իսկ տարբերությունը հավասար է քանորդի լոգարիթմին։ Խնդրում ենք նկատի ունենալ. առանցքային կետն այստեղ է նույնական հիմքեր. Եթե պատճառները տարբեր են, ապա այս կանոնները չեն գործում:
Այս բանաձևերը կօգնեն ձեզ հաշվարկել լոգարիթմական արտահայտությունը նույնիսկ այն դեպքում, երբ դրա առանձին մասերը չեն հաշվվում (տե՛ս «Ի՞նչ է լոգարիթմը» դասը): Նայեք օրինակներին և տեսեք.
Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log6 4 + log6 9:
Քանի որ լոգարիթմներն ունեն նույն հիմքերը, մենք օգտագործում ենք գումարի բանաձևը.
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2:
Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log2 48 − log2 3:
Հիմքերը նույնն են, մենք օգտագործում ենք տարբերության բանաձևը.
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4:
Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log3 135 − log3 5:
Կրկին հիմքերը նույնն են, ուստի մենք ունենք.
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3։
Ինչպես տեսնում եք, սկզբնական արտահայտությունները կազմված են «վատ» լոգարիթմներից, որոնք առանձին չեն հաշվարկվում։ Բայց փոխակերպումներից հետո լրիվ նորմալ թվեր են ստացվում։ Շատ թեստեր հիմնված են այս փաստի վրա: Այո, թեստի նման արտահայտությունները առաջարկվում են ամենայն լրջությամբ (երբեմն գրեթե առանց փոփոխության) միասնական պետական քննության ժամանակ:
Լոգարիթմից ցուցիչի հանում
Հիմա մի փոքր բարդացնենք խնդիրը։ Իսկ եթե լոգարիթմի հիմքը կամ արգումենտը հզորություն է: Այնուհետև այս աստիճանի ցուցիչը կարելի է հանել լոգարիթմի նշանից՝ համաձայն հետևյալ կանոնների.
Հեշտ է տեսնել, որ վերջին կանոնը հետևում է առաջին երկուսին: Բայց ամեն դեպքում ավելի լավ է հիշել դա, որոշ դեպքերում դա զգալիորեն կնվազեցնի հաշվարկների քանակը:
Իհարկե, այս բոլոր կանոնները իմաստ ունեն, եթե դիտարկվում է լոգարիթմի ODZ՝ a > 0, a ≠ 1, x > 0: Եվ ևս մեկ բան. սովորեք կիրառել բոլոր բանաձևերը ոչ միայն ձախից աջ, այլև հակառակը: , այսինքն. Դուք կարող եք թվերը մուտքագրել նախքան լոգարիթմի նշանը հենց լոգարիթմի մեջ:
Ինչպես լուծել լոգարիթմները
Սա այն է, ինչ ամենից հաճախ պահանջվում է:
Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log7 496:
Եկեք ազատվենք փաստարկի աստիճանից՝ օգտագործելով առաջին բանաձևը.
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12
Առաջադրանք. Գտեք արտահայտության իմաստը.
Նկատի ունեցեք, որ հայտարարը պարունակում է լոգարիթմ, որի հիմքը և արգումենտը ճշգրիտ հզորություններ են՝ 16 = 24; 49 = 72. Մենք ունենք.
Կարծում եմ՝ վերջին օրինակը որոշակի պարզաբանում է պահանջում։ Որտե՞ղ են գնացել լոգարիթմները: Մինչև վերջին պահը մենք աշխատում ենք միայն հայտարարի հետ։ Մենք այնտեղ կանգնած լոգարիթմի հիմքն ու փաստարկը ներկայացրեցինք հզորությունների տեսքով և հանեցինք ցուցիչները՝ ստացանք «եռահարկ» կոտորակ։
Հիմա նայենք հիմնական կոտորակին։ Համարիչը և հայտարարը պարունակում են նույն թիվը՝ log2 7։ Քանի որ log2 7 ≠ 0, մենք կարող ենք կրճատել կոտորակը - 2/4-ը կմնա հայտարարում։ Ըստ թվաբանության կանոնների՝ քառյակը կարող է փոխանցվել համարիչին, ինչն էլ արվեց։ Արդյունքը եղավ պատասխանը՝ 2.
Անցում դեպի նոր հիմք
Խոսելով լոգարիթմների գումարման-հանման կանոնների մասին՝ ես հատուկ ընդգծեցի, որ դրանք աշխատում են միայն նույն հիմքերով։ Իսկ եթե պատճառները տարբեր են: Իսկ եթե դրանք նույն թվի ճշգրիտ ուժեր չեն:
Օգնության են գալիս նոր հիմնադրամին անցնելու բանաձևերը։ Եկեք դրանք ձևակերպենք թեորեմի տեսքով.
Թող տրվի լոգարիթմի լոգաքսը: Այնուհետև c ցանկացած թվի համար, որպեսզի c > 0 և c ≠ 1, հավասարությունը ճշմարիտ է.
Մասնավորապես, եթե սահմանենք c = x, ապա կստանանք.
Երկրորդ բանաձևից հետևում է, որ լոգարիթմի հիմքը և արգումենտը կարող են փոխանակվել, բայց այս դեպքում ամբողջ արտահայտությունը «շրջվել է», այսինքն. լոգարիթմը հայտնվում է հայտարարի մեջ:
Այս բանաձևերը հազվադեպ են հանդիպում սովորական թվային արտահայտություններում: Թե որքանով են դրանք հարմար, հնարավոր է գնահատել միայն լոգարիթմական հավասարումներ և անհավասարումներ լուծելիս։
Սակայն կան խնդիրներ, որոնք բացարձակապես հնարավոր չէ լուծել, բացի նոր հիմնադրամ տեղափոխվելուց։ Եկեք նայենք դրանցից մի քանիսին.
Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log5 16 log2 25.
Նկատի ունեցեք, որ երկու լոգարիթմների արգումենտները պարունակում են ճշգրիտ ուժեր: Դուրս բերենք ցուցանիշները՝ log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;
Հիմա եկեք «հակադարձենք» երկրորդ լոգարիթմը.
Քանի որ արտադրյալը չի փոխվում գործոնները վերադասավորելիս, մենք հանգիստ բազմապատկեցինք չորսը և երկուսը, այնուհետև զբաղվեցինք լոգարիթմներով:
Առաջադրանք. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ log9 100 lg 3.
Առաջին լոգարիթմի հիմքը և փաստարկը ճշգրիտ հզորություններ են: Եկեք գրենք սա և ազատվենք ցուցանիշներից.
Հիմա եկեք ազատվենք տասնորդական լոգարիթմից՝ անցնելով նոր հիմք.
Հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը
Հաճախ լուծման գործընթացում անհրաժեշտ է լինում թիվը ներկայացնել որպես լոգարիթմ տվյալ հիմքում: Այս դեպքում մեզ կօգնեն հետևյալ բանաձևերը.
Առաջին դեպքում n թիվը դառնում է փաստարկի ցուցիչ։ n թիվը կարող է լինել բացարձակապես ամեն ինչ, քանի որ դա ընդամենը լոգարիթմի արժեք է:
Երկրորդ բանաձևը իրականում վերափոխված սահմանում է: Այդպես է կոչվում.
Իրականում, ի՞նչ կլինի, եթե b թիվը բարձրացվի այնքան հզորության, որ այս հզորության b թիվը տա a թիվը: Ճիշտ է, արդյունքը նույն թիվն է a. Կրկին ուշադիր կարդացեք այս պարբերությունը. շատերը խրված են դրա վրա:
Նոր բազա տեղափոխելու բանաձևերի նման, հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը երբեմն միակ հնարավոր լուծումն է:
Առաջադրանք. Գտեք արտահայտության իմաստը.
Նկատի ունեցեք, որ log25 64 = log5 8 - պարզապես վերցրել է քառակուսին լոգարիթմի հիմքից և արգումենտից: Հաշվի առնելով նույն հիմքով հզորությունները բազմապատկելու կանոնները՝ ստանում ենք.
Եթե որևէ մեկը չգիտի, սա իրական առաջադրանք էր միասնական պետական քննությունից :)
Լոգարիթմական միավոր և լոգարիթմական զրո
Եզրափակելով, ես կտամ երկու ինքնություն, որոնք դժվար թե կարելի է անվանել հատկություններ, ավելի շուտ, դրանք լոգարիթմի սահմանման հետևանք են: Նրանք անընդհատ հայտնվում են խնդիրների մեջ և, զարմանալիորեն, խնդիրներ են ստեղծում նույնիսկ «առաջադեմ» ուսանողների համար։
- լոգաա = 1 է: Հիշեք մեկընդմիշտ. լոգարիթմը այդ բազայի ցանկացած a հիմքի վրա հավասար է մեկի:
- լոգա 1 = 0 է: a հիմքը կարող է լինել ցանկացած բան, բայց եթե արգումենտը պարունակում է մեկ, ապա լոգարիթմը հավասար է զրոյի: Քանի որ a0 = 1 սահմանման ուղղակի հետևանքն է:
Ահա բոլոր հատկությունները: Համոզվեք, որ կիրառեք դրանք գործնականում: Ներբեռնեք խաբեբա թերթիկը դասի սկզբում, տպեք այն և լուծեք խնդիրները:
