Kun lausekkeita muunnetaan logaritmeilla, lueteltuja yhtälöitä käytetään sekä oikealta vasemmalle että vasemmalta oikealle.
On syytä huomata, että ominaisuuksien seurauksia ei tarvitse muistaa: muunnoksia suoritettaessa pääset toimeen logaritmien ja muiden tosiasioiden perusominaisuuksilla (esimerkiksi se, että b≥0), joista vastaavat seuraukset. Tämän lähestymistavan ainoa "sivuvaikutus" on, että ratkaisu on hieman pidempi. Esimerkiksi, jotta voidaan tehdä ilman seurausta, joka ilmaistaan kaavalla 
, ja alkaen vain logaritmien perusominaisuuksista, sinun on suoritettava seuraavan muodon muunnosketju: 
.
Sama voidaan sanoa yllä olevan luettelon viimeisestä ominaisuudesta, johon vastataan kaavalla 
, koska se seuraa myös logaritmien perusominaisuuksista. Tärkeintä on ymmärtää, että positiivisen luvun potenssi, jossa on logaritmi eksponentissa, voi aina vaihtaa potenssin kantaa ja logaritmimerkin alla olevaa lukua. Ollakseni rehellinen, toteamme, että esimerkit, jotka viittaavat tällaisten muunnosten toteuttamiseen, ovat käytännössä harvinaisia. Annamme muutaman esimerkin alla tekstissä.
Numeeristen lausekkeiden muuntaminen logaritmeilla
Olemme muistaneet logaritmien ominaisuudet, nyt on aika oppia soveltamaan niitä käytännössä lausekkeiden muuntamiseen. On luonnollista aloittaa muuntamalla numeerisia lausekkeita muuttujalausekkeiden sijaan, koska ne ovat kätevämpiä ja helpompia oppia perusasiat. Teemme näin ja aloitamme hyvin yksinkertaisilla esimerkeillä oppiaksemme valitsemaan logaritmin halutun ominaisuuden, mutta monimutkaisemme esimerkit vähitellen siihen asti, kunnes tarvitsemme lopputuloksen. käyttää useita ominaisuuksia peräkkäin.
Valitse logaritmien haluttu ominaisuus
Logaritmeilla on monia ominaisuuksia, ja on selvää, että sinun on voitava valita niistä sopiva, mikä tässä nimenomaisessa tapauksessa johtaa vaadittuun tulokseen. Yleensä tämä ei ole vaikeaa tehdä vertaamalla muunnetun logaritmin tai lausekkeen tyyppiä logaritmien ominaisuuksia ilmaisevien kaavojen vasemman ja oikean osan tyyppeihin. Jos jonkin kaavan vasen tai oikea puoli osuu yhteen tietyn logaritmin tai lausekkeen kanssa, niin todennäköisesti tätä ominaisuutta tulisi käyttää muunnoksen aikana. Seuraavat esimerkit osoittavat tämän selvästi.
Aloitetaan esimerkeillä lausekkeiden muuntamisesta käyttämällä logaritmin määritelmää, joka vastaa kaavaa a log a b =b, a>0, a≠1, b>0.
Esimerkki.
Laske, jos mahdollista: a) 5 log 5 4, b) 10 log(1+2·π), c) 
, d) 2 log 2 (−7) , e) .
Ratkaisu.
Kirjaimen a) alla olevassa esimerkissä rakenne a log a b näkyy selvästi, missä a=5, b=4. Nämä luvut täyttävät ehdot a>0, a≠1, b>0, joten voit turvallisesti käyttää yhtälöä a log a b =b. Meillä on 5 log 5 4=4 .
b) Tässä a=10, b=1+2·π, ehdot a>0, a≠1, b>0 täyttyvät. Tässä tapauksessa yhtälö 10 log(1+2·π) =1+2·π.
c) Ja tässä esimerkissä on kyse asteesta muotoa a log a b, missä ja b=ln15. Niin 
.
Vaikka kirjaimen g) alla oleva lauseke kuuluu samaan tyyppiin a log a b (tässä a=2, b=−7), sitä ei voida muuntaa kaavalla a log a b =b. Syynä on, että se on merkityksetön, koska se sisältää negatiivisen luvun logaritmimerkin alla. Lisäksi luku b=−7 ei täytä ehtoa b>0, mikä tekee mahdottomaksi turvautua kaavaan a log a b =b, koska se edellyttää ehtojen a>0, a≠1, b> täyttymistä. 0. Joten emme voi puhua arvon 2 log 2 (−7) laskemisesta. Tässä tapauksessa 2 log 2 (−7) =−7 kirjoittaminen olisi virhe.
Vastaavasti kirjaimen e) alla olevassa esimerkissä on mahdotonta antaa muotoista ratkaisua 
, koska alkuperäisessä ilmaisussa ei ole järkeä.
Vastaus:
a) 5 log 5 4 =4, b) 10 log(1+2·π) =1+2·π, c) , d), e) ilmaisuilla ei ole järkeä.
Usein hyödyllinen muunnos on esittää positiivinen luku jonkin positiivisen ei-yksikköluvun potenssina eksponentin logaritmin kanssa. Se perustuu samaan logaritmin määritelmään a log a b =b, a>0, a≠1, b>0, mutta kaavaa sovelletaan oikealta vasemmalle, eli muodossa b=a log a b . Esimerkiksi 3=e ln3 tai 5=5 log 5 5 .
Siirrytään logaritmien ominaisuuksien käyttöön lausekkeiden muuntamiseen.
Esimerkki.
Laske lausekkeen arvo: a) log −2 1, b) log 1 1, c) log 0 1, d) log 7 1, e) ln1, f) log1, g) log 3,75 1, h) log 5 π 7 1 .
Ratkaisu.
Esimerkeissä kirjainten a), b) ja c) alla on annettu lausekkeet log −2 1, log 1 1, log 0 1, joissa ei ole järkeä, koska logaritmin kanta ei saa sisältää negatiivista lukua, nolla tai yksi, koska olemme määritelleet logaritmin vain kantalle, joka on positiivinen ja eroaa yksiköstä. Siksi esimerkeissä a) - c) ei voi olla kysymys ilmaisun merkityksen löytämisestä.
Kaikissa muissa tehtävissä logaritmien kantaluvut sisältävät luonnollisesti positiivisia ja ei-yksikkölukuja 7, e, 10, 3,75 ja 5·π 7, ja logaritmien etumerkkien alla on kaikkialla yksiköitä. Ja tiedämme yksikön logaritmin ominaisuuden: log a 1=0 mille tahansa a>0, a≠1. Näin ollen lausekkeiden b) – e) arvot ovat nolla.
Vastaus:
a), b), c) lausekkeissa ei ole järkeä, d) log 7 1=0, e) ln1=0, f) log1=0, g) log 3,75 1=0, h) log 5 e 7 1= 0 .
Esimerkki.
Laske: a) , b) lne , c) lg10 , d) log 5 π 3 -2 (5 π 3 -2), e) log −3 (−3) , f) log 1 1 .
Ratkaisu.
On selvää, että meidän on käytettävä kannan logaritmin ominaisuutta, joka vastaa kaavaa log a a=1 kun a>0, a≠1. Todellakin, kaikkien kirjainten alla olevissa tehtävissä logaritmimerkin alla oleva numero on sama kuin sen kanta. Haluaisin siis heti sanoa, että kunkin annetun lausekkeen arvo on 1. Sinun ei kuitenkaan pidä kiirehtiä johtopäätöksiin: tehtävissä kirjainten a) - d) alla lausekkeiden arvot ovat todella yhtä suuria kuin yksi, ja tehtävissä e) ja f) alkuperäisillä lausekkeilla ei ole järkeä, joten se ei voida sanoa, että näiden lausekkeiden arvot ovat yhtä suuria kuin 1.
Vastaus:
a) , b) lne=1 , c) lg10=1 , d) log 5 π 3 -2 (5 π 3 -2) = 1, e), f) ilmaisuilla ei ole järkeä.
Esimerkki.
Etsi arvo: a) log 3 3 11, b) 
, c) , d) log −10 (−10) 6 .
Ratkaisu.
Ilmeisesti logaritmien etumerkkien alla on joitain kannan potenssia. Tämän perusteella ymmärrämme, että tässä tarvitaan kanta-asteen ominaisuus: log a a p =p, missä a>0, a≠1 ja p on mikä tahansa reaaliluku. Kun tämä otetaan huomioon, meillä on seuraavat tulokset: a) log 3 3 11 =11, b) 
, V) 
. Voidaanko esimerkille kirjoittaa vastaava yhtälö d)-kirjaimen alle muodossa log −10 (−10) 6 =6? Ei, et voi, koska lausekkeessa log −10 (−10) 6 ei ole järkeä.
Vastaus:
a) log 3 3 11 = 11, b) , V) , d) lausekkeessa ei ole järkeä.
Esimerkki.
Esitä lauseke logaritmien summana tai erotuksena käyttäen samaa kantaa: a) 
, b) , c) log((−5)·(−12)) .
Ratkaisu.
a) Logaritmin etumerkin alla on tulo, ja tiedämme tulon logaritmin ominaisuuden log a (x·y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0 , y>0. Meidän tapauksessamme logaritmin kannassa oleva luku ja tuotteen luvut ovat positiivisia, eli ne täyttävät valitun ominaisuuden ehdot, joten voimme käyttää sitä turvallisesti: 
.
b) Tässä käytetään osamäärälogaritmin ominaisuutta, jossa a>0, a≠1, x>0, y>0. Meidän tapauksessamme logaritmin kanta on positiivinen luku e, osoittaja ja nimittäjä π ovat positiivisia, mikä tarkoittaa, että ne täyttävät ominaisuuden ehdot, joten meillä on oikeus käyttää valittua kaavaa: 
.
c) Huomaa ensin, että lauseke log((−5)·(−12)) on järkevä. Mutta samaan aikaan meillä ei ole oikeutta soveltaa siihen logaritmin kaavaa tulon log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1, x>0, y >0, koska luvut ovat −5 ja −12 – negatiivisia eivätkä täytä ehtoja x>0, y>0. Eli et voi suorittaa tällaista muutosta: log((-5)·(-12))=log(-5)+log(-12). Mitä meidän pitäisi tehdä? Tällaisissa tapauksissa alkuperäinen lauseke tarvitsee alustavan muunnoksen negatiivisten lukujen välttämiseksi. Puhumme yksityiskohtaisesti samanlaisista tapauksista, joissa lausekkeita muunnetaan negatiivisilla luvuilla logaritmimerkin alla yhdessä artikkeleista, mutta toistaiseksi annamme ratkaisun tähän esimerkkiin, joka on selvä etukäteen ja ilman selitystä: log((−5)·(−12))=log(5·12)=log5+lg12.
Vastaus:
A) , b) , c) log((-5)·(-12))=log5+lg12.
Esimerkki.
Yksinkertaista lauseke: a) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5, b) .
Ratkaisu.
Tässä meitä auttavat kaikki samat tuotteen logaritmin ja osamäärän logaritmin ominaisuudet, joita käytimme aiemmissa esimerkeissä, vain nyt käytämme niitä oikealta vasemmalle. Toisin sanoen muunnamme logaritmien summan tulon logaritmiksi ja logaritmien eron osamäärän logaritmiksi. Meillä on
A) log 3 0,25 + log 3 16 + log 3 0,5 = log 3 (0,25 16 0,5) = log 3 2.
b) 
.
Vastaus:
A) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5=log 3 2, b) 
.
Esimerkki.
Päästä eroon logaritmimerkin alla olevasta asteesta: a) log 0,7 5 11, b) 
, c) log 3 (−5) 6 .
Ratkaisu.
On helppo nähdä, että kyseessä ovat muodon log a b p lausekkeet. Logaritmin vastaava ominaisuus on muotoa log a b p =p·log a b, missä a>0, a≠1, b>0, p on mikä tahansa reaaliluku. Eli jos ehdot a>0, a≠1, b>0 täyttyvät, potenssilog a b p logaritmista voidaan edetä tuloon p·log a b. Suoritetaan tämä muunnos annetuilla lausekkeilla.
a) Tässä tapauksessa a=0,7, b=5 ja p=11. Joten log 0,7 5 11 = 11 · log 0,7 5.
b) Tässä ehdot a>0, a≠1, b>0 täyttyvät. Siksi 
c) Lausekkeella log 3 (−5) 6 on sama rakenne log a b p , a=3 , b=−5 , p=6 . Mutta b:lle ehto b>0 ei täyty, mikä tekee mahdottomaksi käyttää kaavaa log a b p =p·log a b . Joten mitä, et selviä tehtävästä? Se on mahdollista, mutta lausekkeen alustava muunnos on tarpeen, jota käsittelemme yksityiskohtaisesti alla otsikon alla olevassa kappaleessa. Ratkaisu tulee olemaan seuraava: log 3 (−5) 6 = log 3 5 6 = 6 log 3 5.
Vastaus:
a) log 0,7 5 11 = 11 log 0,7 5,
b)
c) log 3 (−5) 6 =6 · log 3 5.
Melko usein muunnoksia suoritettaessa joudutaan soveltamaan potenssin logaritmin kaavaa oikealta vasemmalle muodossa p·log a b=log a b p (a, b:lle ja p:lle tulee täytyä samat ehdot). Esimerkiksi 3·ln5=ln5 3 ja log2·log 2 3=log 2 3 lg2.
Esimerkki.
a) Laske log 2 5:n arvo, jos tiedetään, että log2≈0,3010 ja log5≈0,6990. b) Ilmaise murto-osa logaritmina kantaan 3.
Ratkaisu.
a) Uuteen logaritmikantaan siirtymisen kaava antaa meille mahdollisuuden esittää tämä logaritmi desimaalilogaritmien suhteena, joiden arvot tunnemme: . Jäljelle jää vain laskelmien suorittaminen, meillä on 
.
b) Tässä riittää, että käytät kaavaa siirtyäksesi uuteen kantaan ja käytät sitä oikealta vasemmalle, eli muodossa 
. Saamme 
.
Vastaus:
a) log 2 5≈2,3223, b) .
Tässä vaiheessa olemme tarkastelleet varsin perusteellisesti yksinkertaisimpien lausekkeiden muuntamista logaritmien perusominaisuuksien ja logaritmin määritelmän avulla. Näissä esimerkeissä meidän piti soveltaa yhtä ominaisuutta eikä mitään muuta. Nyt voit puhtaalla omallatunnolla siirtyä esimerkkeihin, joiden muuntaminen vaatii useiden logaritmien ja muiden lisämuunnosten ominaisuuksien käyttöä. Käsittelemme niitä seuraavassa kappaleessa. Mutta ennen sitä tarkastellaan lyhyesti esimerkkejä logaritmien perusominaisuuksien seurausten soveltamisesta.
Esimerkki.
a) Päästä eroon logaritmimerkin alla olevasta juuresta. b) Muunna murto-osa 5-kantaiseksi logaritmiksi. c) Vapauta itsesi logaritmin merkin alla ja sen perustassa olevista voimista. d) Laske lausekkeen arvo 
. e) Korvaa lauseke potenssilla, jonka kantaluku on 3.
Ratkaisu.
a) Jos muistetaan seuraus asteen logaritmin ominaisuudesta 
, voit antaa heti vastauksen: 
.
b) Tässä käytetään kaavaa 
oikealta vasemmalle, meillä on 
.
c) B tässä tapauksessa kaava antaa tuloksen . Saamme 
.
d) Ja tässä riittää, että sovelletaan seurausta, jota kaava vastaa 
. Niin 
.
e) Logaritmin ominaisuus antaa meille mahdollisuuden saavuttaa haluttu tulos: 
.
Vastaus:
A) . b) . V) 
. G) 
. d) .
Useiden ominaisuuksien peräkkäinen soveltaminen
Todelliset tehtävät lausekkeiden muuntamiseksi logaritmien ominaisuuksilla ovat yleensä monimutkaisempia kuin edellisessä kappaleessa käsitellyt. Niissä tulos ei pääsääntöisesti saavuteta yhdessä vaiheessa, vaan ratkaisu koostuu jo ominaisuuden peräkkäisestä soveltamisesta toisensa jälkeen yhdessä identtisten lisämuunnosten kanssa, kuten sulkujen avaaminen, samankaltaisten termien tuominen, murtolukujen pienentäminen jne. . Joten mennään lähemmäksi tällaisia esimerkkejä. Tässä ei ole mitään monimutkaista, tärkeintä on toimia huolellisesti ja johdonmukaisesti noudattaen toimintojen järjestystä.
Esimerkki.
Laske lausekkeen arvo (log 3 15 - log 3 5) 7 log 7 5.
Ratkaisu.
Suluissa olevien logaritmien ero voidaan osamääräisen logaritmin ominaisuuden mukaan korvata logaritmilla log 3 (15:5) ja sitten laskea sen arvo log 3 (15:5)=log 3 3=1. Ja lausekkeen 7 log 7 5 arvo logaritmin määritelmän mukaan on yhtä suuri kuin 5. Korvaamalla nämä tulokset alkuperäiseen lausekkeeseen, saamme (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =1 5=5.
Tässä on ratkaisu ilman selitystä:
(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =log 3 (15:5) 5=
=log 3 3,5 = 1,5 = 5.
Vastaus:
(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =5.
Esimerkki.
Mikä on numeerisen lausekkeen log 3 log 2 2 3 −1 arvo?
Ratkaisu.
Ensin muunnetaan logaritmi logaritmin alle käyttämällä potenssin logaritmin kaavaa: log 2 2 3 =3. Siten log 3 log 2 2 3 =log 3 3 ja sitten log 3 3 = 1. Joten log 3 log 2 2 3 −1=1−1=0 .
Vastaus:
log 3 log 2 2 3 −1=0 .
Esimerkki.
Yksinkertaista ilmaisu.
Ratkaisu.
Uuteen logaritmikantaan siirtymisen kaava mahdollistaa logaritmien ja yhteen kantaan välisen suhteen esittämisen logaritminä 3 5. Tässä tapauksessa alkuperäinen lauseke on muotoa . Logaritmin määritelmän mukaan 3 log 3 5 =5, eli 
, ja tuloksena olevan lausekkeen arvo on saman logaritmin määritelmän nojalla yhtä suuri kuin kaksi.
Tässä on lyhyt versio ratkaisusta, joka yleensä annetaan: 
.
Vastaus:
.
Jotta siirrytään sujuvasti seuraavan kappaleen tietoihin, tarkastellaan lausekkeita 5 2+log 5 3 ja log0.01. Niiden rakenne ei sovi yhteenkään logaritmien ominaisuuksista. Joten mitä tapahtuu, niitä ei voida muuntaa logaritmien ominaisuuksien avulla? Se on mahdollista, jos teet alustavia muunnoksia, jotka valmistavat nämä lausekkeet logaritmien ominaisuuksien soveltamiseen. Niin 5 2+log 5 3 =5 2 5 log 5 3 =25 3=75, 
ja log0.01=log10 −2 =−2. Seuraavaksi tarkastelemme yksityiskohtaisesti, kuinka tällainen ekspressiovalmistelu suoritetaan.
Lausekkeiden valmistelu logaritmien ominaisuuksien käyttöä varten
Muunnettavan lausekkeen logaritmit eroavat hyvin usein merkintärakenteelta logaritmien ominaisuuksia vastaavien kaavojen vasemmasta ja oikeasta osasta. Mutta yhtä usein näiden lausekkeiden muuntamiseen liittyy logaritmien ominaisuuksien käyttö: niiden käyttö vaatii vain alustavaa valmistelua. Ja tämä valmistelu koostuu tiettyjen identtisten muunnosten suorittamisesta, jotka tuovat logaritmit muotoon, joka on kätevä ominaisuuksien soveltamiseksi.
Ollakseni oikeudenmukainen, huomaamme, että melkein mikä tahansa lausekkeiden muunnos voi toimia alustavina muunnoksina, samankaltaisten termien banaalista pelkistämisestä trigonometristen kaavojen käyttöön. Tämä on ymmärrettävää, koska muunnettavat lausekkeet voivat sisältää mitä tahansa matemaattisia objekteja: hakasulkeet, moduulit, murtoluvut, juuret, potenssit jne. On siis oltava valmis suorittamaan kaikki tarvittavat muunnokset, jotta voidaan edelleen hyödyntää logaritmien ominaisuuksia.
Sanotaanpa heti, että tässä vaiheessa emme aseta itsellemme tehtäväksi luokitella ja analysoida kaikkia ajateltavissa olevia alustavia muunnoksia, joiden avulla voisimme myöhemmin soveltaa logaritmien ominaisuuksia tai logaritmin määritelmää. Keskitymme tässä vain neljään niistä, jotka ovat tyypillisimpiä ja useimmin käytännössä tavattuja.
Ja nyt jokaisesta niistä yksityiskohtaisesti, minkä jälkeen aiheemme puitteissa jää vain ymmärtää lausekkeiden muunnos muuttujilla logaritmien merkkien alla.
Logaritmimerkin alla ja sen pohjassa olevien potenssien tunnistaminen
Aloitetaan heti esimerkillä. Otetaan logaritmi. Ilmeisesti tässä muodossa sen rakenne ei edistä logaritmien ominaisuuksien käyttöä. Onko mahdollista muuttaa tätä lauseketta jotenkin sen yksinkertaistamiseksi ja vielä paremmin laskea sen arvo? Vastataksemme tähän kysymykseen, katsotaanpa tarkemmin numeroita 81 ja 1/9 esimerkkimme yhteydessä. Tässä on helppo huomata, että nämä luvut voidaan esittää 3:n potenssina, todellakin 81 = 3 4 ja 1/9 = 3 −2. Tässä tapauksessa alkuperäinen logaritmi esitetään muodossa ja kaavaa on mahdollista soveltaa . Niin, 
.
Analysoidun esimerkin analyysi herättää seuraavan ajatuksen: jos mahdollista, voit yrittää eristää aste logaritmin merkin alta ja sen kannasta, jotta voidaan soveltaa asteen logaritmin ominaisuutta tai sen seurauksia. Jää vain selvittää, kuinka nämä asteet erotetaan. Annetaan joitakin suosituksia tähän asiaan.
Joskus on aivan ilmeistä, että luku logaritmimerkin alla ja/tai sen kannassa edustaa jotakin kokonaislukupotenssia, kuten edellä käsitellyssä esimerkissä. Melkein jatkuvasti joudumme käsittelemään kahden potenssien kanssa, jotka ovat hyvin tuttuja: 4=2 2, 8=2 3, 16=2 4, 32=2 5, 64=2 6, 128=2 7, 256=2 8 , 512 = 2 9, 1024 = 2 10. Samaa voidaan sanoa kolmen tehoista: 9 = 3 2, 27 = 3 3, 81 = 3 4, 243 = 3 5, ... Yleensä ei haittaa, jos sinulla on silmäsi edessä luonnollisten lukujen potenssien taulukko tusinan sisällä. Ei myöskään ole vaikeaa työskennellä kymmenen, sadan, tuhannen jne. kokonaislukupotenssien kanssa.
Esimerkki.
Laske arvo tai yksinkertaista lauseke: a) log 6 216, b) , c) log 0,000001 0,001.
Ratkaisu.
a) Ilmeisesti 216=6 3, joten log 6 216=log 6 6 3 =3.
b) Luonnollisten lukujen potenssitaulukon avulla voit esittää luvut 343 ja 1/243 potenssiina 7 3 ja 3 −4. Siksi seuraava tietyn logaritmin muunnos on mahdollinen: 
c) Koska 0,000001 = 10 -6 ja 0,001 = 10 -3, niin log 0,000001 0,001 = log 10 -6 10 -3 = (-3)/(-6) = 1/2.
Vastaus:
a) log 6 216=3, b) 
, c) log 0,000001 0,001 = 1/2.
Monimutkaisemmissa tapauksissa sinun on turvauduttava lukujen potenssien eristämiseen.
Esimerkki.
Muunna lauseke yksinkertaisempaan muotoon log 3 648 · log 2 3 .
Ratkaisu.
Katsotaanpa, mikä on 648:n kertoimet:
Eli 648 = 2 3 · 3 4. Täten, log 3 648 log 2 3=log 3 (2 3 3 4) log 2 3.
Nyt muunnamme tuotteen logaritmin logaritmien summaksi, minkä jälkeen käytämme tehon logaritmin ominaisuuksia:
log 3 (2 3 3 4)log 2 3=(log 3 2 3 +log 3 3 4)log 2 3=
=(3·log3 2+4)·log23.
Kaavaa vastaavan potenssin logaritmin ominaisuuden johdosta , tulo log32·log23 on tulo, ja, kuten tiedetään, se on yhtä suuri kuin yksi. Kun tämä otetaan huomioon, saamme 3 log 3 2 log 2 3+4 log 2 3=3 1+4 log 2 3=3+4 log 2 3.
Vastaus:
log 3 648 log 2 3=3+4 log 2 3.
Usein logaritmin merkin alla ja sen kantaosassa olevat lausekkeet edustavat joidenkin lukujen juurien ja/tai potenssien tuloja tai suhteita, esimerkiksi , . Tällaiset ilmaisut voidaan ilmaista voimana. Tätä varten siirrytään juurista voimiin, ja niitä käytetään. Nämä muunnokset mahdollistavat logaritmin etumerkin ja sen kantaosan potenssien eristämisen ja logaritmien ominaisuuksien soveltamisen.
Esimerkki.
Laske: a) 
, b) .
Ratkaisu.
a) Logaritmin kannassa oleva lauseke on saman kantavan potenssien tulos meillä olevien potenssien vastaavalla ominaisuudella 5 2 · 5 −0,5 · 5 −1 =5 2−0,5−1 =5 0,5.
Muunnetaan nyt logaritmimerkin alla oleva murto-osa: siirrymme juuresta potenssiin, jonka jälkeen käytämme potenssien suhteen ominaisuutta samoilla perusteilla: 
.
On vielä korvattava saadut tulokset alkuperäisellä lausekkeella, käytä kaavaa ja viimeistele muunnos: 
b) Koska 729 = 3 6 ja 1/9 = 3 −2, alkuperäinen lauseke voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon .
Seuraavaksi sovellamme potenssin juuren ominaisuutta, siirrymme juuresta potenssiin ja käytämme potenssien suhteen ominaisuutta muuntamaan logaritmin kanta potenssiksi: 
.
Kun otetaan huomioon viimeinen tulos, meillä on 
.
Vastaus:
A) 
, b) .
On selvää, että yleisessä tapauksessa logaritmin merkin ja sen pohjan tehojen saamiseksi voidaan tarvita erilaisia muunnoksia eri lausekkeista. Otetaanpa pari esimerkkiä.
Esimerkki.
Mitä tarkoittaa ilmaus: a) 
, b) 
.
Ratkaisu.
Huomaa lisäksi, että annettu lauseke on muotoa log A B p , jossa A=2, B=x+1 ja p=4. Muunnoimme tämän tyyppiset numeeriset lausekkeet potenssilogaritmin logaritmin ominaisuuden mukaan log a b p =p·log a b , joten haluan annetulla lausekkeella tehdä samoin ja siirtyä log 2 (x+1) 4:stä arvoon 4·log2 (x+1) . Lasketaan nyt alkuperäisen lausekkeen ja muunnoksen jälkeen saadun lausekkeen arvo, esimerkiksi kun x=−2. Meillä on log 2 (−2+1) 4 =log 2 1=0 , ja 4 log 2 (−2+1) = 4 log 2 (−1)- merkityksetön ilmaus. Tämä herättää loogisen kysymyksen: "Mitä teimme väärin?"
Ja syy on tämä: teimme muunnoksen log 2 (x+1) 4 =4·log 2 (x+1) , kaavan log a b p =p·log a b perusteella, mutta meillä on oikeus soveltaa tätä kaavaa vain jos ehdot a >0, a≠1, b>0, p - mikä tahansa reaaliluku. Toisin sanoen tekemämme muunnos tapahtuu, jos x+1>0, mikä on sama kuin x>−1 (A:n ja p:n ehdot täyttyvät). Kuitenkin meidän tapauksessamme alkuperäisen lausekkeen muuttujan x ODZ ei koostu vain välistä x>−1, vaan myös intervallista x<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.
Tarve ottaa huomioon DL
Jatketaan valitsemamme lausekkeen muunnoksen analysointia log 2 (x+1) 4, ja nyt katsotaan mitä tapahtuu ODZ:lle siirryttäessä lausekkeeseen 4 · log 2 (x+1) . Edellisessä kappaleessa löysimme alkuperäisen lausekkeen ODZ:n - tämä on joukko (−∞, −1)∪(−1, +∞) . Etsitään nyt muuttujan x hyväksyttävien arvojen alue lausekkeelle 4·log 2 (x+1) . Se määräytyy ehdolla x+1>0, joka vastaa joukkoa (−1, +∞). On selvää, että siirryttäessä log 2 (x+1) 4:stä 4·log 2 (x+1) arvoon sallittujen arvojen vaihteluväli kapenee. Ja sovimme, että vältämme muutoksia, jotka johtavat DL:n kaventumiseen, koska tämä voi johtaa erilaisiin negatiivisiin seurauksiin.
Tässä on syytä huomata, että on hyödyllistä ohjata OA:ta transformaation jokaisessa vaiheessa ja estää sen kapeneminen. Ja jos yhtäkkiä jossain muutoksen vaiheessa tapahtui DL:n kaventuminen, on syytä tarkastella erittäin huolellisesti, onko tämä muutos sallittu ja onko meillä oikeus suorittaa se.
Todettakoon, että käytännössä joudumme yleensä työskentelemään lausekkeiden kanssa, joissa muuttujien muuttujaarvo on sellainen, että muunnoksia suoritettaessa voidaan käyttää logaritmien ominaisuuksia ilman rajoituksia meille jo tunnetussa muodossa, sekä vasemmalta oikealle ja oikealta vasemmalle. Tähän tottuu nopeasti ja alat suorittaa muunnoksia mekaanisesti ajattelematta, oliko ne mahdollista suorittaa. Ja sellaisina hetkinä, kuten onni, lipsaa läpi monimutkaisempia esimerkkejä, joissa logaritmien ominaisuuksien huolimaton soveltaminen johtaa virheisiin. Joten sinun on oltava aina valppaana ja varmistettava, että ODZ ei kavennu.
Ei haittaisi erikseen korostaa logaritmien ominaisuuksiin perustuvia päämuunnoksia, jotka on suoritettava erittäin huolellisesti, mikä voi johtaa OD:n kaventumiseen ja sen seurauksena virheisiin:
Jotkut logaritmien ominaisuuksiin perustuvat lausekkeiden muunnokset voivat myös johtaa päinvastaiseen - ODZ:n laajenemiseen. Esimerkiksi siirtyminen 4·log 2 (x+1) arvosta log 2 (x+1) 4 laajentaa ODZ:n joukosta (−1, +∞) arvoon (−∞, −1)∪(−1, +∞) . Tällaisia muunnoksia tapahtuu, jos pysymme alkuperäisen lausekkeen ODZ:n puitteissa. Joten juuri mainittu muunnos 4·log 2 (x+1)=log 2 (x+1) 4 tapahtuu muuttujan x ODZ:llä alkuperäiselle lausekkeelle 4·log 2 (x+1), eli x+1> 0, joka on sama kuin (−1, +∞).
Nyt kun olemme keskustelleet vivahteista, joihin sinun on kiinnitettävä huomiota muuntaessasi lausekkeita muuttujilla logaritmien ominaisuuksien avulla, on vielä selvitettävä, kuinka nämä muunnokset suoritetaan oikein.
X+2>0. Toimiiko se meidän tapauksessamme? Vastatakseen tähän kysymykseen katsotaanpa muuttujan x ODZ:tä. Sen määrää epätasa-arvojärjestelmä 
, joka vastaa ehtoa x+2>0 (katso tarvittaessa artikkeli eriarvoisuusjärjestelmien ratkaiseminen). Siten voimme turvallisesti soveltaa potenssin logaritmin ominaisuutta.
Meillä on
3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =
=3·7·log(x+2)−log(x+2)−5·4·log(x+2)=
=21·log(x+2)−log(x+2)−20·log(x+2)=
=(21−1−20)·log(x+2)=0 .
Voit toimia eri tavalla, koska ODZ antaa sinun tehdä tämän, esimerkiksi näin: 
Vastaus:
3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =0.
Mutta mitä tehdä, kun logaritmien ominaisuuksiin liittyvät ehdot eivät täyty ODZ:ssä? Ymmärrämme tämän esimerkkien avulla.
Vaaditaan meitä yksinkertaistamaan lauseke log(x+2) 4 − log(x+2) 2 . Tämän lausekkeen muunnos, toisin kuin edellisen esimerkin lauseke, ei salli potenssin logaritmin ominaisuuden vapaata käyttöä. Miksi? Muuttujan x ODZ on tässä tapauksessa kahden välin x>−2 ja x liitto<−2 . При x>−2 voimme helposti soveltaa potenssin logaritmin ominaisuutta ja toimia kuten yllä olevassa esimerkissä: log(x+2) 4 −log(x+2) 2 =4 log(x+2)−2 log(x+2)=2 log(x+2). Mutta ODZ sisältää yhden lisävälin x+2<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к log(−|x+2|) 4 −log(−|x+2|) 2 ja edelleen johtuen asteen k ominaisuuksista lg|x+2| 4 −lg|x+2| 2. Tuloksena oleva lauseke voidaan muuntaa käyttämällä potenssin logaritmin ominaisuutta, koska |x+2|>0 mille tahansa muuttujan arvolle. Meillä on log|x+2| 4 −lg|x+2| 2 =4·lg|x+2|−2·lg|x+2|=2·lg|x+2|. Nyt voit vapauttaa itsesi moduulista, koska se on tehnyt tehtävänsä. Koska suoritamme muunnoksen kohdassa x+2<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .
Katsotaanpa vielä yksi esimerkki, jotta moduulien kanssa työskentely tulee tutuksi. Ajatellaanpa ilmaisusta 
siirry lineaaristen binomien x−1, x−2 ja x−3 logaritmien summaan ja erotukseen. Ensin löydämme ODZ: n: 
Välillä (3, +∞) lausekkeiden x−1, x−2 ja x−3 arvot ovat positiivisia, joten voimme helposti soveltaa summan ja erotuksen logaritmin ominaisuuksia: 
Ja välillä (1, 2) lausekkeen x−1 arvot ovat positiivisia ja lausekkeiden x−2 ja x−3 arvot negatiivisia. Siksi tarkasteluvälillä edustamme x−2 ja x−3 käyttämällä moduulia muodossa −|x−2| ja −|x−3| vastaavasti. Jossa 
Nyt voidaan soveltaa tulon logaritmin ja osamäärän ominaisuuksia, koska tarkasteluvälillä (1, 2) lausekkeiden arvot x−1 , |x−2| ja |x−3| -positiivinen.
Meillä on 
Saadut tulokset voidaan yhdistää:
Yleensä samanlainen päättely mahdollistaa tuotteen, suhteen ja asteen logaritmin kaavojen perusteella saada kolme käytännössä hyödyllistä tulosta, joita on melko kätevä käyttää:
- Kahden mielivaltaisen lausekkeen X ja Y tulo log a (X·Y) voidaan korvata logaritmien summalla log a |X|+log a |Y| , a>0, a≠1.
- Tietyn muodon log a (X:Y) logaritmi voidaan korvata logaritmien erolla log a |X|−log a |Y| , a>0, a≠1, X ja Y ovat mielivaltaisia lausekkeita.
- Jonkin lausekkeen B logaritmista parilliseen potenssiin p muotoon log a B p voidaan siirtyä lausekkeeseen p·log a |B| , jossa a>0, a≠1, p on parillinen luku ja B on mielivaltainen lauseke.
Samanlaisia tuloksia on annettu esimerkiksi eksponentiaalisen ja eksponentiaalisen ratkaisun ohjeissa logaritmiset yhtälöt matematiikan tehtävien kokoelmassa yliopistoihin tuleville, toimittanut M. I. Skanavi.
Esimerkki.
Yksinkertaista ilmaisu 
.
Ratkaisu.
Olisi hyvä soveltaa potenssin, summan ja erotuksen logaritmin ominaisuuksia. Mutta voimmeko tehdä tämän täällä? Vastataksemme tähän kysymykseen meidän on tiedettävä DZ.
Määritellään se: 
On aivan selvää, että lausekkeet x+4, x−2 ja (x+4) 13 muuttujan x sallittujen arvojen alueella voivat saada sekä positiivisia että negatiivisia arvoja. Siksi meidän on toimittava moduulien kautta. 
Moduulin ominaisuuksien avulla voit kirjoittaa sen uudelleen muotoon , so 
Mikään ei myöskään estä sinua käyttämästä potenssin logaritmin ominaisuutta ja tuomasta sitten samanlaisia termejä: 
Toinen muunnossarja johtaa samaan tulokseen: 
ja koska ODZ:ssä lauseke x−2 voi saada sekä positiivisia että negatiivisia arvoja, niin parillinen eksponentti 14
Tehtävä B7 antaa jonkinlaisen ilmaisun, jota on yksinkertaistettava. Tuloksena tulee olla tavallinen luku, joka voidaan kirjoittaa vastauslomakkeellesi. Kaikki lausekkeet on perinteisesti jaettu kolmeen tyyppiin:
- Logaritminen,
- Suuntaa antava,
- Yhdistetty.
Eksponentiaalisia ja logaritmisia lausekkeita puhtaassa muodossaan ei käytännössä koskaan löydy. On kuitenkin ehdottoman välttämätöntä tietää, miten ne lasketaan.
Yleisesti ottaen ongelma B7 ratkaistaan melko yksinkertaisesti ja on melko keskivertovalmistuneen kykyjen sisällä. Selkeiden algoritmien puutetta kompensoi sen standardointi ja yksitoikkoisuus. Voit oppia ratkaisemaan tällaisia ongelmia yksinkertaisesti harjoittelemalla paljon.
Logaritmiset lausekkeet
Suurin osa B7-ongelmista sisältää logaritmeja muodossa tai toisessa. Tätä aihetta pidetään perinteisesti vaikeana, koska sen opiskelu tapahtuu yleensä 11. luokalla - loppukokeisiin valmistautumisen aikakaudella. Tämän seurauksena monilla valmistuneilla on hyvin epämääräinen käsitys logaritmeista.
Mutta tässä tehtävässä kukaan ei vaadi syvällistä teoreettista tietoa. Tulemme kohtaamaan vain yksinkertaisimmat lausekkeet, jotka vaativat yksinkertaista päättelyä ja jotka on helppo hallita itsenäisesti. Alla on peruskaavat, jotka sinun tulee tietää logaritmien käsittelyyn:
Lisäksi juuret ja murtoluvut täytyy pystyä korvaamaan potenssilla rationaalisella eksponentilla, muuten joissain lausekkeissa ei yksinkertaisesti ole mitään poistettavaa logaritmimerkin alta. Korvauskaavat:
Tehtävä. Etsi ilmaisujen merkitys:
log 6 270 − log 6 7.5
log 5 775 − log 5 6.2
Kaksi ensimmäistä lauseketta muunnetaan logaritmien erotukseksi:
log 6 270 − log 6 7,5 = log 6 (270: 7,5) = log 6 36 = 2;
log 5 775 − log 5 6,2 = log 5 (775: 6,2) = log 5 125 = 3.
Kolmannen lausekkeen laskemiseksi sinun on eristettävä potenssit - sekä perustassa että argumentissa. Etsitään ensin sisäinen logaritmi:
Sitten - ulkoinen:
Loki a log b x -muodon rakenteet näyttävät monille monimutkaisilta ja väärinymmärretyiltä. Samaan aikaan tämä on vain logaritmin logaritmi, ts. log a (log b x ). Ensin lasketaan sisäinen logaritmi (laita log b x = c) ja sitten ulkoinen: log a c.
Demonstratiiviset ilmaisut
Kutsumme eksponentiaaliseksi lausekkeeksi mitä tahansa muodon a k konstruktiota, jossa luvut a ja k ovat mielivaltaisia vakioita ja a > 0. Menetelmät työskentelyyn tällaisten lausekkeiden kanssa ovat melko yksinkertaisia ja niitä käsitellään 8. luokan algebratunneilla.
Alla on peruskaavat, jotka sinun on ehdottomasti tiedettävä. Näiden kaavojen soveltaminen käytännössä ei pääsääntöisesti aiheuta ongelmia.
- a n · a m = a n + m;
- a n/a m = a n − m;
- (a n) m = a n · m;
- (a · b) n = a n · b n;
- (a : b ) n = a n : b n .
Jos törmäät monimutkaiseen ilmaisuun, jolla on voimia, etkä ole selvää, miten sitä lähestyä, käytä universaalia tekniikkaa - hajoamista yksinkertaisiin tekijöihin. Tämän seurauksena suuret luvut valtuuksien perusteissa korvataan yksinkertaisilla ja ymmärrettävillä elementeillä. Sitten jää vain soveltaa yllä olevia kaavoja - ja ongelma ratkaistaan.
Tehtävä. Etsi lausekkeiden arvot: 7 9 · 3 11: 21 8, 24 7: 3 6: 16 5, 30 6: 6 5: 25 2.
Ratkaisu. Jaetaan kaikki valtuuksien perusteet yksinkertaisiin tekijöihin:
7 9 3 11: 21 8 = 7 9 3 11: (7 3) 8 = 7 9 3 11: (7 8 3 8) = 7 9 3 11: 7 8: 3 8 = 7 3 3 = 189.
24 7: 3 6: 16 5 = (3 2 3) 7: 3 6: (2 4) 5 = 3 7 2 21: 3 6: 2 20 = 3 2 = 6.
30 6: 6 5: 25 2 = (5 3 2) 6: (3 2) 5: (5 2) 2 = 5 6 3 6 2 6: 3 5: 2 5: 5 4 = 5 2 3 2 = 150 .
Yhdistetyt tehtävät
Jos tiedät kaavat, niin kaikki eksponentiaaliset ja logaritmiset lausekkeet voidaan ratkaista kirjaimellisesti yhdellä rivillä. Tehtävässä B7 potenssit ja logaritmit voidaan kuitenkin yhdistää varsin vahvoiksi yhdistelmiksi.
Osat: Matematiikka
Oppitunnin tyyppi: tiedon yleistämisen ja systematisoinnin oppitunti
Tavoitteet:
- päivittää opiskelijoiden tietoja logaritmeista ja niiden ominaisuuksista osana yleistä toistoa ja valmistautumista yhtenäiseen valtionkokeeseen;
- edistää opiskelijoiden henkisen toiminnan kehittymistä, taitoja soveltaa teoreettista tietoa harjoituksia tehtäessä;
- edistää kehitystä henkilökohtaiset ominaisuudet opiskelijat, itsehillintätaidot ja toiminnan itsearviointi; kehittää kovaa työtä, kärsivällisyyttä, sinnikkyyttä ja itsenäisyyttä.
Laitteet: tietokone, projektori, esitys (Liite 1), kortteja kotitehtävillä (voit liittää tehtävän sisältävän tiedoston sähköiseen päiväkirjaan).
Tuntien aikana
minä Ajan järjestäminen. Tervehdys, valmistaudu oppitunnille.
II. Keskustelu kotitehtävistä.
III. Kerro oppitunnin aihe ja tarkoitus. Motivaatio.(Dia 1) Esitys.
Jatkamme matematiikan kurssin yleiskatsausta valmistautuessamme yhtenäiseen valtionkokeeseen. Ja tänään oppitunnilla puhumme logaritmeista ja niiden ominaisuuksista.
Tehtäviä logaritmien laskemiseen ja logaritmien lausekkeiden muuntamiseen on välttämättä sekä perus- että profiilitason ohjaus- ja mittausmateriaaleissa. Siksi oppituntimme tavoitteena on palauttaa ajatuksia käsitteen "logaritmi" merkityksestä ja päivittää logaritmien lausekkeiden muuntamisen taidot. Kirjoita oppitunnin aihe muistivihkoon.
IV. Tietojen päivittäminen.
1. /Suullisesti/ Muistetaan ensin, mitä kutsutaan logaritmiksi. (Dia 2)
(Positiivisen luvun b logaritmi kantaan a (jossa a > 0, a?1) on eksponentti, johon luku a on nostettava luvun b saamiseksi)
Log a b = n<->a n = b, (a> 0, a 1, b> 0)
Joten "LOGARITHM" on "EXPONSOR"!
(Dia 3) Sitten a n = b voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon = b – logaritminen perusidentiteetti.
Jos kanta a = 10, niin logaritmia kutsutaan desimaaliluvuksi ja sitä merkitään lgb.
Jos a = e, niin logaritmia kutsutaan luonnolliseksi ja merkitään lnb.
2. /Kirjallisesti/ (Dia 4) Täytä tyhjät kohdat saadaksesi oikeat yhtälöt:
Hirsi? x + Kirjaudu a ? =Loki? (?y)
Kirjaudu a? - Hirsi? y = loki ? (x/?)
Kirjaa x? = pLog? (?)
Tutkimus:
1; 1; a,y,x; x,a,a,y; p,a,x.
Nämä ovat logaritmien ominaisuuksia. Ja toinen ryhmä ominaisuuksia: (Dia 5)
Tutkimus:
a,1,n,x; n,x,p,a; x,b,a,y; a,x,b; a,1,b.
V. Suullinen työ
(Dia 6) Nro 1. Laskea:
a B C D); d) .
Vastaukset : a) 4; b) – 2; kohdassa 2; d) 7; d) 27.
(Dia 7) Nro 2. Etsi X:
A) ; b) (Vastaukset: a) 1/4; b) 9).
Nro 3. Onko järkevää harkita tällaista logaritmia:
A) ; b) ; V)? (Ei)
VI. Itsenäinen työ ryhmissä vahvat opiskelijat - konsultit. (Dia 8)
Nro 1. Laske: 
.
#2: Yksinkertaista:
Nro 3. Etsi lausekkeen if arvo
Nro 4. Yksinkertaista lauseke: 
Nro 5. Laske:
Nro 6. Laske:Nro 7. Laske:
Nro 8. Laske:
Suorituksen jälkeen tarkista ja keskustele valmiin ratkaisun tai dokumenttikameran avulla.
VII. Monimutkaisemman tehtävän ratkaiseminen(vahva oppilas taululla, loput vihkoissa) (Dia 9)
Etsi ilmaisun merkitys:
VIII. Kotitehtävät(korteilla) eriytetty.(Dia 10)
Nro 1. Laskea: 
Nro 2. Etsi ilmaisun merkitys:
INTERNET-RESURSSIT:
- L.V. Artamonova, matematiikan opettaja, Moskalensky Lyceum -esitys "Logaritmien maassa"
- A.A. Kuksheva, kunnan oppilaitos "Egoryevskaya Secondary School" -esitys "Logaritmit ja niiden ominaisuudet"
Logaritmeja, kuten kaikkia lukuja, voidaan lisätä, vähentää ja muuntaa kaikin tavoin. Mutta koska logaritmit eivät ole täsmälleen säännölliset numerot, täällä on säännöt, joita kutsutaan tärkeimmät ominaisuudet.
Sinun on ehdottomasti tiedettävä nämä säännöt - ilman niitä ei voida ratkaista yhtä vakavaa logaritmista ongelmaa. Lisäksi niitä on hyvin vähän - voit oppia kaiken yhdessä päivässä. Joten aloitetaan.
Logaritmien lisääminen ja vähentäminen
Tarkastellaan kahta logaritmia, joilla on sama kanta: log a x ja kirjaudu a y. Sitten ne voidaan lisätä ja vähentää, ja:
- Hirsi a x+loki a y= loki a (x · y);
- Hirsi a x− loki a y= loki a (x : y).
Joten logaritmien summa on yhtä suuri kuin tuotteen logaritmi ja erotus on yhtä suuri kuin osamäärän logaritmi. Huomaa: avainkohta tässä on identtiset perusteet. Jos syyt ovat erilaiset, nämä säännöt eivät toimi!
Nämä kaavat auttavat sinua laskemaan logaritmisen lausekkeen, vaikka sen yksittäisiä osia ei otettaisi huomioon (katso oppitunti "Mikä on logaritmi"). Katso esimerkkejä ja katso:
Tukki 6 4 + loki 6 9.
Koska logaritmeilla on samat kantakannat, käytämme summakaavaa:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log 2 48 − log 2 3.
Perusteet ovat samat, käytämme erokaavaa:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log 3 135 − log 3 5.
Perusteet ovat taas samat, joten meillä on:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Kuten näet, alkuperäiset lausekkeet koostuvat "huonoista" logaritmeista, joita ei lasketa erikseen. Mutta muunnosten jälkeen saadaan täysin normaaleja lukuja. Monet rakentuvat tälle tosiasialle koepaperit. Kyllä, kokeen kaltaisia ilmaisuja tarjotaan täysin vakavissaan (joskus käytännössä ilman muutoksia) Unified State Examinationissa.
Eksponentin erottaminen logaritmista
Monimutkaistaan nyt tehtävää hieman. Entä jos logaritmin kanta tai argumentti on potenssi? Sitten tämän asteen eksponentti voidaan ottaa pois logaritmin etumerkistä seuraavien sääntöjen mukaisesti:
On helppo nähdä, että viimeinen sääntö seuraa kahta ensimmäistä. Mutta on parempi muistaa se joka tapauksessa - joissakin tapauksissa se vähentää merkittävästi laskelmien määrää.
Tietenkin kaikki nämä säännöt ovat järkeviä, jos logaritmin ODZ:tä noudatetaan: a > 0, a ≠ 1, x> 0. Ja vielä yksi asia: opettele soveltamaan kaikkia kaavoja ei vain vasemmalta oikealle, vaan myös päinvastoin, ts. Voit syöttää logaritmin etumerkkiä edeltävät luvut itse logaritmiin. Tätä vaaditaan useimmiten.
Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log 7 49 6 .
Päätetään eroon argumentin asteesta käyttämällä ensimmäistä kaavaa:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Tehtävä. Etsi ilmaisun merkitys:
[Kuvan kuvateksti]
Huomaa, että nimittäjä sisältää logaritmin, jonka kanta ja argumentti ovat tarkat potenssit: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Meillä on:
[Kuvan kuvateksti] Mielestäni viimeinen esimerkki vaatii selvennystä. Mihin logaritmit ovat kadonneet? Viimeiseen hetkeen asti työskentelemme vain nimittäjällä. Esitimme siellä seisovan logaritmin perusteen ja argumentin potenssien muodossa ja poistimme eksponentit - saimme "kolmikerroksisen" murto-osan.
Katsotaan nyt pääosaa. Osoittaja ja nimittäjä sisältävät saman luvun: log 2 7. Koska log 2 7 ≠ 0, voimme pienentää murto-osaa - 2/4 jää nimittäjään. Aritmeettisten sääntöjen mukaan neljä voidaan siirtää osoittajaan, mikä on tehty. Tuloksena oli vastaus: 2.
Siirtyminen uudelle perustalle
Puhuessani logaritmien yhteen- ja vähennyssäännöistä korostin erityisesti, että ne toimivat vain samoilla perusteilla. Entä jos syyt ovat erilaiset? Entä jos ne eivät ole täsmälleen saman luvun potenssit?
Uudelle perustalle siirtymisen kaavat tulevat apuun. Muotoilkaamme ne lauseen muodossa:
Olkoon logaritmiloki annettu a x. Siis mille tahansa numerolle c sellasta c> 0 ja c≠ 1, yhtäläisyys on totta:
[Kuvan kuvateksti]
Varsinkin jos laitamme c = x, saamme:
[Kuvan kuvateksti]
Toisesta kaavasta seuraa, että logaritmin kanta ja argumentti voidaan vaihtaa, mutta tässä tapauksessa koko lauseke ”käännetään”, ts. logaritmi näkyy nimittäjässä.
Näitä kaavoja löytyy harvoin tavallisista numeerisista lausekkeista. Niiden käyttökelpoisuutta voidaan arvioida vain logaritmiset yhtälöitä ja epäyhtälöitä ratkaistaessa.
On kuitenkin ongelmia, joita ei voida ratkaista millään muulla kuin siirtymällä uudelle säätiölle. Katsotaanpa paria näistä:
Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log 5 16 log 2 25.
Huomaa, että molempien logaritmien argumentit sisältävät tarkat potenssit. Otetaan indikaattorit pois: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;
Nyt "käännetään" toinen logaritmi:
[Kuvan kuvateksti]Koska tulo ei muutu tekijöitä järjestettäessä, kerroimme rauhallisesti neljä ja kaksi ja sitten käsiteltiin logaritmeja.
Tehtävä. Etsi lausekkeen arvo: log 9 100 lg 3.
Ensimmäisen logaritmin kanta ja argumentti ovat tarkat potenssit. Kirjoitetaan tämä muistiin ja päästään eroon indikaattoreista:
[Kuvan kuvateksti]Nyt päästään eroon desimaalilogaritmista siirtymällä uuteen kantaan:
[Kuvan kuvateksti]Peruslogaritminen identiteetti
Usein ratkaisuprosessissa on tarpeen esittää luku logaritmina tiettyyn kantaan. Tässä tapauksessa seuraavat kaavat auttavat meitä:
Ensimmäisessä tapauksessa numero n siitä tulee argumentin tason indikaattori. Määrä n voi olla mitä tahansa, koska se on vain logaritmiarvo.
Toinen kaava on itse asiassa parafrasoitu määritelmä. Sitä kutsutaan: peruslogaritminen identiteetti.
Itse asiassa, mitä tapahtuu, jos numero b nostaa niin suureksi, että numero b tähän potenssiin antaa numeron a? Aivan oikein: saat saman numeron a. Lue tämä kappale huolellisesti uudelleen - monet ihmiset juuttuvat siihen.
Kuten uuteen kantaan siirtymisen kaavat, myös logaritminen perusidentiteetti on joskus ainoa mahdollinen ratkaisu.
Tehtävä. Etsi ilmaisun merkitys:
[Kuvan kuvateksti]
Huomaa, että log 25 64 = log 5 8 - yksinkertaisesti otti neliön logaritmin kantasta ja argumentista. Ottaen huomioon valtuuksien kertomisen säännöt samalla pohjalla, saamme:
[Kuvan kuvateksti]Jos joku ei tiedä, niin tämä oli oikea tehtävä Unified State Exaista :)
Logaritminen yksikkö ja logaritminen nolla
Lopuksi annan kaksi identiteettiä, joita tuskin voi kutsua ominaisuuksiksi - pikemminkin ne ovat seurauksia logaritmin määritelmästä. Ne esiintyvät jatkuvasti ongelmissa ja yllättäen aiheuttavat ongelmia jopa "edenneille" opiskelijoille.
- Hirsi a a= 1 on logaritminen yksikkö. Muista kerta kaikkiaan: logaritmi mihin tahansa kantaan a juuri tästä perustasta on yhtä suuri kuin yksi.
- Hirsi a 1 = 0 on logaritminen nolla. Pohja a voi olla mikä tahansa, mutta jos argumentti sisältää yhden, logaritmi on nolla! Koska a 0 = 1 on suora seuraus määritelmästä.
Siinä kaikki ominaisuudet. Muista harjoitella niiden toteuttamista käytännössä! Lataa huijauslehti oppitunnin alussa, tulosta se ja ratkaise ongelmat.
