সমস্যা B9 একটি ফাংশন বা ডেরিভেটিভের একটি গ্রাফ দেয় যা থেকে আপনাকে নিম্নলিখিত পরিমাণগুলির মধ্যে একটি নির্ধারণ করতে হবে:
- কোনো পর্যায়ে ডেরিভেটিভের মান x 0,
- সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন পয়েন্ট (চরম পয়েন্ট),
- ক্রমবর্ধমান এবং হ্রাস ফাংশনের ব্যবধান (একঘেয়েতার ব্যবধান)।
এই সমস্যাটিতে উপস্থাপিত ফাংশন এবং ডেরিভেটিভগুলি সর্বদা অবিচ্ছিন্ন, সমাধানটিকে আরও সহজ করে তোলে। কাজটি গাণিতিক বিশ্লেষণের বিভাগের অন্তর্গত হওয়া সত্ত্বেও, এমনকি সবচেয়ে দুর্বল ছাত্ররাও এটি করতে পারে, যেহেতু এখানে কোনও গভীর তাত্ত্বিক জ্ঞানের প্রয়োজন নেই।
ডেরিভেটিভ, এক্সট্রিম পয়েন্ট এবং একঘেয়েমি ব্যবধানের মান খুঁজে পেতে, সেখানে সহজ এবং সর্বজনীন অ্যালগরিদম রয়েছে - সেগুলির সবগুলি নীচে আলোচনা করা হবে।
এড়াতে সমস্যা B9 এর অবস্থা সাবধানে পড়ুন বোকা ভুল: কখনও কখনও আপনি বেশ দীর্ঘ পাঠ্য জুড়ে আসেন, কিন্তু কিছু গুরুত্বপূর্ণ শর্ত আছে যা সিদ্ধান্তের পথকে প্রভাবিত করে।
ডেরিভেটিভ মানের গণনা। দুই পয়েন্ট পদ্ধতি
যদি সমস্যাটিকে একটি ফাংশন f(x) এর একটি গ্রাফ দেওয়া হয়, এই গ্রাফের কোনো বিন্দু x 0 এ স্পর্শক, এবং এই বিন্দুতে ডেরিভেটিভের মান খুঁজে বের করতে হয়, নিম্নলিখিত অ্যালগরিদম প্রয়োগ করা হয়:
- স্পর্শক গ্রাফে দুটি "পর্যাপ্ত" বিন্দু খুঁজুন: তাদের স্থানাঙ্ক অবশ্যই পূর্ণসংখ্যা হতে হবে। আসুন A (x 1 ; y 1) এবং B (x 2 ; y 2) এই বিন্দুগুলি বোঝাই। স্থানাঙ্কগুলি সঠিকভাবে লিখুন - এটি সমাধানের একটি মূল বিষয়, এবং এখানে যে কোনও ভুল একটি ভুল উত্তরের দিকে নিয়ে যাবে।
- স্থানাঙ্কগুলি জেনে, আর্গুমেন্ট Δx = x 2 − x 1 এবং ফাংশনের বৃদ্ধি Δy = y 2 −y 1 এর বৃদ্ধি গণনা করা সহজ।
- অবশেষে, আমরা ডেরিভেটিভ D = Δy/Δx এর মান খুঁজে পাই। অন্য কথায়, আপনাকে আর্গুমেন্টের বৃদ্ধি দ্বারা ফাংশনের বৃদ্ধিকে ভাগ করতে হবে - এবং এটি হবে উত্তর।
আসুন আমরা আরও একবার লক্ষ্য করি: বিন্দু A এবং B অবশ্যই স্পর্শকের উপর সুনির্দিষ্টভাবে দেখতে হবে এবং f(x) ফাংশনের গ্রাফে নয়, যেমনটি প্রায়ই ঘটে। স্পর্শক রেখাটিতে অগত্যা কমপক্ষে দুটি এরকম বিন্দু থাকবে - অন্যথায় সমস্যাটি সঠিকভাবে রচনা করা হবে না।
বিন্দু A (−3; 2) এবং B (−1; 6) বিবেচনা করুন এবং বৃদ্ধি খুঁজুন:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 −y 1 = 6 − 2 = 4।
আসুন ডেরিভেটিভের মান বের করি: D = Δy/Δx = 4/2 = 2।
টাস্ক। চিত্রটি y = f(x) ফাংশনের একটি গ্রাফ এবং অ্যাবসিসা x 0 বিন্দুতে এটির একটি স্পর্শক দেখায়। x 0 বিন্দুতে f(x) ফাংশনের ডেরিভেটিভের মান খুঁজুন।
পয়েন্ট A (0; 3) এবং B (3; 0) বিবেচনা করুন, বৃদ্ধি খুঁজুন:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 −y 1 = 0 − 3 = −3।
এখন আমরা ডেরিভেটিভের মান খুঁজে পাই: D = Δy/Δx = −3/3 = −1।
টাস্ক। চিত্রটি y = f(x) ফাংশনের একটি গ্রাফ এবং অ্যাবসিসা x 0 বিন্দুতে এটির একটি স্পর্শক দেখায়। x 0 বিন্দুতে f(x) ফাংশনের ডেরিভেটিভের মান খুঁজুন।
A (0; 2) এবং B (5; 2) পয়েন্টগুলি বিবেচনা করুন এবং বৃদ্ধিগুলি সন্ধান করুন:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 −y 1 = 2 − 2 = 0।
এটি ডেরিভেটিভের মান খুঁজে বের করতে বাকি আছে: D = Δy/Δx = 0/5 = 0।
শেষ উদাহরণ থেকে, আমরা একটি নিয়ম তৈরি করতে পারি: স্পর্শকটি OX অক্ষের সমান্তরাল হলে, স্পর্শক বিন্দুতে ফাংশনের ডেরিভেটিভ শূন্য হয়। এই ক্ষেত্রে, আপনাকে কিছু গণনা করার দরকার নেই - শুধু গ্রাফটি দেখুন।
সর্বাধিক এবং সর্বনিম্ন পয়েন্টের গণনা
কখনও কখনও, একটি ফাংশনের একটি গ্রাফের পরিবর্তে, সমস্যা B9 ডেরিভেটিভের একটি গ্রাফ দেয় এবং ফাংশনের সর্বাধিক বা সর্বনিম্ন বিন্দু খুঁজে বের করতে হয়। এই পরিস্থিতিতে, দুই-পয়েন্ট পদ্ধতি অকেজো, কিন্তু অন্য, এমনকি সহজ অ্যালগরিদম আছে। প্রথমে, পরিভাষা সংজ্ঞায়িত করা যাক:
- x 0 বিন্দুটিকে f(x) ফাংশনের সর্বাধিক বিন্দু বলা হয় যদি এই বিন্দুর কিছু আশেপাশে নিম্নলিখিত অসমতা থাকে: f(x 0) ≥ f(x)।
- x 0 বিন্দুটিকে f(x) ফাংশনের ন্যূনতম বিন্দু বলা হয় যদি এই বিন্দুর কিছু আশেপাশে নিম্নলিখিত অসমতা থাকে: f(x 0) ≤ f(x)।
ডেরিভেটিভ গ্রাফ থেকে সর্বাধিক এবং সর্বনিম্ন পয়েন্ট খুঁজে পেতে, শুধুমাত্র এই পদক্ষেপগুলি অনুসরণ করুন:
- সমস্ত অপ্রয়োজনীয় তথ্য সরিয়ে ডেরিভেটিভ গ্রাফটি পুনরায় আঁকুন। অনুশীলন দেখায়, অপ্রয়োজনীয় ডেটা শুধুমাত্র সিদ্ধান্তে হস্তক্ষেপ করে। অতএব, আমরা স্থানাঙ্ক অক্ষে ডেরিভেটিভের শূন্যগুলি চিহ্নিত করি - এবং এটিই।
- শূন্যের মধ্যবর্তী ব্যবধানে ডেরিভেটিভের চিহ্ন বের কর। যদি কিছু বিন্দু x 0 এর জন্য জানা যায় যে f'(x 0) ≠ 0, তবে শুধুমাত্র দুটি বিকল্প সম্ভব: f'(x 0) ≥ 0 বা f'(x 0) ≤ 0। ডেরিভেটিভের চিহ্ন হল মূল অঙ্কন থেকে নির্ণয় করা সহজ: যদি ডেরিভেটিভ গ্রাফটি OX অক্ষের উপরে থাকে, তাহলে f'(x) ≥ 0। এবং এর বিপরীতে, যদি ডেরিভেটিভ গ্রাফটি OX অক্ষের নীচে থাকে, তাহলে f'(x) ≤ 0।
- আমরা আবার ডেরিভেটিভের শূন্য এবং চিহ্নগুলি পরীক্ষা করি। যেখানে চিহ্নটি বিয়োগ থেকে প্লাসে পরিবর্তিত হয় তা হল সর্বনিম্ন বিন্দু। বিপরীতভাবে, যদি ডেরিভেটিভের চিহ্নটি প্লাস থেকে বিয়োগে পরিবর্তিত হয় তবে এটি সর্বাধিক বিন্দু। গণনা সর্বদা বাম থেকে ডানে করা হয়।
এই স্কিমটি শুধুমাত্র অবিচ্ছিন্ন ফাংশনগুলির জন্য কাজ করে - সমস্যা B9 এ অন্য কেউ নেই।
টাস্ক। চিত্রটি ব্যবধানে সংজ্ঞায়িত f(x) ফাংশনের ডেরিভেটিভের একটি গ্রাফ দেখায় [−5; 5]। এই সেগমেন্টে f(x) ফাংশনের সর্বনিম্ন বিন্দু খুঁজুন।
আসুন অপ্রয়োজনীয় তথ্য পরিত্রাণ পেতে এবং শুধুমাত্র সীমানা ছেড়ে [−5; 5] এবং ডেরিভেটিভ x = −3 এবং x = 2.5 এর শূন্য। আমরা লক্ষণগুলিও নোট করি:
স্পষ্টতই, x = −3 বিন্দুতে ডেরিভেটিভের চিহ্নটি বিয়োগ থেকে যোগে পরিবর্তিত হয়। এটি সর্বনিম্ন পয়েন্ট।
টাস্ক। চিত্রটি ব্যবধানে সংজ্ঞায়িত f(x) ফাংশনের ডেরিভেটিভের একটি গ্রাফ দেখায় [−3; 7]। এই অংশে f(x) ফাংশনের সর্বাধিক বিন্দু খুঁজুন।
শুধু সীমানা রেখে গ্রাফটি আবার আঁকুন [−3; 7] এবং ডেরিভেটিভের শূন্য x = −1.7 এবং x = 5। আসুন ফলাফল গ্রাফে ডেরিভেটিভের চিহ্নগুলি লক্ষ্য করি। আমাদের আছে:
স্পষ্টতই, x = 5 বিন্দুতে ডেরিভেটিভের চিহ্নটি প্লাস থেকে বিয়োগে পরিবর্তিত হয় - এটি সর্বাধিক বিন্দু।
টাস্ক। চিত্রটি ব্যবধানে সংজ্ঞায়িত f(x) ফাংশনের ডেরিভেটিভের একটি গ্রাফ দেখায় [−6; 4]। সেগমেন্ট [−4; 3]।
সমস্যার অবস্থা থেকে এটি অনুসরণ করে যে গ্রাফের শুধুমাত্র অংশটি সেগমেন্ট দ্বারা সীমিত বিবেচনা করা যথেষ্ট [−4; 3]। অতএব, আমরা একটি নতুন গ্রাফ তৈরি করি যার উপর আমরা শুধুমাত্র সীমানা চিহ্নিত করি [−4; 3] এবং এর ভিতরে ডেরিভেটিভের শূন্য। যথা, পয়েন্ট x = −3.5 এবং x = 2। আমরা পাই:
এই গ্রাফে শুধুমাত্র একটি সর্বোচ্চ বিন্দু x = 2 আছে। এই সময়েই ডেরিভেটিভের চিহ্ন যোগ থেকে বিয়োগে পরিবর্তিত হয়।
অ-পূর্ণসংখ্যা স্থানাঙ্ক সহ বিন্দু সম্পর্কে একটি ছোট নোট। উদাহরণস্বরূপ, শেষ সমস্যাটিতে x = −3.5 বিন্দুটি বিবেচনা করা হয়েছিল, কিন্তু একই সাফল্যের সাথে আমরা x = −3.4 নিতে পারি। যদি সমস্যাটি সঠিকভাবে সংকলিত হয়, তবে এই ধরনের পরিবর্তনগুলি উত্তরকে প্রভাবিত করবে না, যেহেতু পয়েন্টগুলি "নির্দিষ্ট বসবাসের জায়গা ছাড়া" সমস্যা সমাধানে সরাসরি অংশগ্রহণ করে না। অবশ্যই, এই কৌশলটি পূর্ণসংখ্যা পয়েন্টগুলির সাথে কাজ করবে না।
ফাংশন বৃদ্ধি এবং হ্রাসের ব্যবধান খুঁজে পাওয়া
এই ধরনের সমস্যায়, সর্বাধিক এবং সর্বনিম্ন বিন্দুর মতো, ফাংশনটি নিজেই বাড়ে বা হ্রাস পায় এমন ক্ষেত্রগুলি খুঁজে বের করার জন্য ডেরিভেটিভের গ্রাফ ব্যবহার করার প্রস্তাব করা হয়। প্রথমে, আসুন সংজ্ঞায়িত করা যাক বৃদ্ধি এবং হ্রাস কি:
- একটি ফাংশন f(x) একটি সেগমেন্টে বৃদ্ধি পাচ্ছে বলে বলা হয় যদি এই সেগমেন্ট থেকে যেকোনো দুটি বিন্দু x 1 এবং x 2 এর জন্য নিম্নলিখিত বিবৃতিটি সত্য হয়: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . অন্য কথায়, আর্গুমেন্টের মান যত বড় হবে, ফাংশনের মান তত বেশি হবে।
- একটি ফাংশন f(x) একটি সেগমেন্টে কমছে বলে বলা হয় যদি এই সেগমেন্ট থেকে যেকোনো দুটি বিন্দু x 1 এবং x 2 এর জন্য নিম্নলিখিত বিবৃতিটি সত্য হয়: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) . সেগুলো। একটি বড় আর্গুমেন্ট মান একটি ছোট ফাংশন মানের সাথে মিলে যায়।
আসুন আমরা বৃদ্ধি এবং হ্রাসের জন্য পর্যাপ্ত শর্ত তৈরি করি:
- একটি ক্রমাগত ফাংশন f(x) সেগমেন্টে বাড়ানোর জন্য, এটি যথেষ্ট যে সেগমেন্টের অভ্যন্তরে এর ডেরিভেটিভ ইতিবাচক হবে, যেমন f’(x) ≥ 0।
- একটি ক্রমাগত ফাংশন f(x) সেগমেন্টে হ্রাস পাওয়ার জন্য, এটি যথেষ্ট যে সেগমেন্টের ভিতরে এর ডেরিভেটিভ নেতিবাচক, যেমন f’(x) ≤ 0।
আসুন প্রমাণ ছাড়াই এই বিবৃতিগুলি গ্রহণ করি। এইভাবে, আমরা ক্রমবর্ধমান এবং হ্রাসের ব্যবধান খুঁজে বের করার জন্য একটি স্কিম পাই, যা অনেক উপায়ে এক্সট্রিম পয়েন্ট গণনার জন্য অ্যালগরিদমের অনুরূপ:
- সমস্ত অপ্রয়োজনীয় তথ্য সরান. ডেরিভেটিভের মূল গ্রাফে, আমরা প্রাথমিকভাবে ফাংশনের শূন্যগুলিতে আগ্রহী, তাই আমরা কেবল সেগুলিই রেখে দেব।
- শূন্যের মধ্যবর্তী ব্যবধানে ডেরিভেটিভের চিহ্নগুলি চিহ্নিত করুন। যেখানে f’(x) ≥ 0, ফাংশন বৃদ্ধি পায় এবং যেখানে f’(x) ≤ 0, এটি হ্রাস পায়। যদি সমস্যাটি পরিবর্তনশীল x এর উপর বিধিনিষেধ সেট করে, আমরা অতিরিক্তভাবে সেগুলিকে একটি নতুন গ্রাফে চিহ্নিত করি।
- এখন যেহেতু আমরা ফাংশনের আচরণ এবং সীমাবদ্ধতাগুলি জানি, এটি সমস্যাটিতে প্রয়োজনীয় পরিমাণ গণনা করতে রয়ে গেছে।
টাস্ক। চিত্রটি ব্যবধানে সংজ্ঞায়িত f(x) ফাংশনের ডেরিভেটিভের একটি গ্রাফ দেখায় [−3; ৭.৫]। f(x) ফাংশনের হ্রাসের ব্যবধান নির্ণয় কর। আপনার উত্তরে, এই ব্যবধানে অন্তর্ভুক্ত পূর্ণসংখ্যার যোগফল নির্দেশ করুন।
যথারীতি, আসুন গ্রাফটি পুনরায় আঁকি এবং সীমানা চিহ্নিত করি [−3; 7.5], সেইসাথে ডেরিভেটিভ x = −1.5 এবং x = 5.3 এর শূন্য। তারপরে আমরা ডেরিভেটিভের লক্ষণগুলি নোট করি। আমাদের আছে:
যেহেতু ডেরিভেটিভটি ব্যবধানে ঋণাত্মক (− 1.5), এটি হ্রাসকারী ফাংশনের ব্যবধান। এই ব্যবধানের ভিতরে থাকা সমস্ত পূর্ণসংখ্যার যোগফল বাকি আছে:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
টাস্ক। চিত্রটি ব্যবধানে সংজ্ঞায়িত f(x) ফাংশনের ডেরিভেটিভের একটি গ্রাফ দেখায় [−10; 4]। ক্রমবর্ধমান ফাংশন f(x) এর ব্যবধান খুঁজুন। আপনার উত্তরে, তাদের মধ্যে সবচেয়ে বড়টির দৈর্ঘ্য নির্দেশ করুন।
আসুন অপ্রয়োজনীয় তথ্য থেকে পরিত্রাণ পাই। শুধু সীমানা ছেড়ে দেওয়া যাক [−10; 4] এবং ডেরিভেটিভের শূন্য, যার মধ্যে এইবার চারটি ছিল: x = −8, x = −6, x = −3 এবং x = 2। আসুন ডেরিভেটিভের চিহ্নগুলি চিহ্নিত করি এবং নিম্নলিখিত চিত্রটি পাই:
আমরা ক্রমবর্ধমান ফাংশনের ব্যবধানে আগ্রহী, যেমন যেমন যেখানে f’(x) ≥ 0. গ্রাফে এরকম দুটি ব্যবধান রয়েছে: (−8; −6) এবং (−3; 2)। আসুন তাদের দৈর্ঘ্য গণনা করা যাক:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5।
যেহেতু আমাদের সবচেয়ে বড় ব্যবধানের দৈর্ঘ্য খুঁজে বের করতে হবে, তাই আমরা উত্তর হিসেবে মান l 2 = 5 লিখব।
একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ স্কুল পাঠ্যক্রমের একটি কঠিন বিষয়। ডেরিভেটিভ কী সেই প্রশ্নের উত্তর প্রত্যেক স্নাতকই দেবে না।
এই নিবন্ধটি একটি সহজ এবং স্পষ্ট উপায়ে ব্যাখ্যা করে যে একটি ডেরিভেটিভ কী এবং কেন এটি প্রয়োজন৷. আমরা এখন উপস্থাপনায় গাণিতিক কঠোরতার জন্য চেষ্টা করব না। সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হল অর্থ বোঝা।
আসুন সংজ্ঞাটি মনে রাখা যাক:
ডেরিভেটিভ হল একটি ফাংশনের পরিবর্তনের হার।
চিত্রটি তিনটি ফাংশনের গ্রাফ দেখায়। আপনি কোনটি দ্রুত বাড়ছে বলে মনে করেন?
উত্তরটি সুস্পষ্ট - তৃতীয়টি। এটির পরিবর্তনের সর্বোচ্চ হার রয়েছে, অর্থাৎ সবচেয়ে বড় ডেরিভেটিভ।
এখানে আরেকটি উদাহরণ।
কোস্ট্যা, গ্রিশা এবং ম্যাটভে একই সময়ে চাকরি পেয়েছিলেন। চলুন দেখে নেওয়া যাক বছরে কীভাবে তাদের আয়ের পরিবর্তন হয়েছে:
গ্রাফ একবারে সবকিছু দেখায়, তাই না? কোস্টিয়ার আয় ছয় মাসে দ্বিগুণেরও বেশি। এবং গ্রিশার আয়ও বেড়েছে, তবে সামান্য। এবং ম্যাটভির আয় শূন্যে নেমে এসেছে। প্রারম্ভিক অবস্থা একই, কিন্তু ফাংশন পরিবর্তনের হার, যে অমৌলিক, - ভিন্ন। Matvey এর জন্য, তার আয় ডেরিভেটিভ সাধারণত নেতিবাচক।
স্বজ্ঞাতভাবে, আমরা সহজেই একটি ফাংশনের পরিবর্তনের হার অনুমান করি। কিন্তু আমরা এটা কিভাবে করব?
আমরা সত্যিই যা দেখছি তা হল একটি ফাংশনের গ্রাফ কতটা খাড়াভাবে উপরে (বা নিচে) যায়। অন্য কথায়, x পরিবর্তনের সাথে সাথে y কত দ্রুত পরিবর্তিত হয়? স্পষ্টতই, বিভিন্ন পয়েন্টে একই ফাংশনের বিভিন্ন ডেরিভেটিভ মান থাকতে পারে - অর্থাৎ, এটি দ্রুত বা ধীরগতিতে পরিবর্তিত হতে পারে।
একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ বোঝানো হয়।
আমরা একটি গ্রাফ ব্যবহার করে এটি কিভাবে খুঁজে পেতে হয় তা দেখাব।
কিছু ফাংশনের একটি গ্রাফ আঁকা হয়েছে। এর উপর একটি abscissa সহ একটি পয়েন্ট নেওয়া যাক। এই বিন্দুতে ফাংশনের গ্রাফে একটি স্পর্শক আঁকুন। আমরা একটি ফাংশনের গ্রাফ কতটা খাড়াভাবে উপরে যায় তা অনুমান করতে চাই। এই জন্য একটি সুবিধাজনক মান স্পর্শক কোণের স্পর্শক.
একটি বিন্দুতে একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ এই বিন্দুতে ফাংশনের গ্রাফে আঁকা স্পর্শক কোণের স্পর্শকের সমান।
অনুগ্রহ করে লক্ষ্য করুন যে স্পর্শকটির প্রবণতার কোণ হিসাবে আমরা স্পর্শক এবং অক্ষের ধনাত্মক দিকের মধ্যবর্তী কোণটি গ্রহণ করি।
কখনও কখনও ছাত্ররা জিজ্ঞাসা করে যে একটি ফাংশনের গ্রাফের স্পর্শক কী। এটি একটি সরল রেখা যা এই বিভাগে গ্রাফের সাথে একটি একক সাধারণ বিন্দু রয়েছে এবং আমাদের চিত্রে দেখানো হয়েছে। এটি একটি বৃত্তের স্পর্শকের মতো দেখায়।
আসুন এটি খুঁজে বের করা যাক। আমরা মনে রাখি যে একটি তীব্র কোণের স্পর্শক সঠিক ত্রিভুজসন্নিহিত বাহুর বিপরীত বাহুর অনুপাতের সমান। ত্রিভুজ থেকে:
আমরা ফাংশনের সূত্র না জেনেও একটি গ্রাফ ব্যবহার করে ডেরিভেটিভ খুঁজে পেয়েছি। সংখ্যার অধীনে গণিতের ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষায় প্রায়শই এই ধরনের সমস্যা দেখা যায়।
আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ সম্পর্ক আছে। মনে রাখবেন যে সরলরেখাটি সমীকরণ দ্বারা দেওয়া হয়েছে
এই সমীকরণে পরিমাণ বলা হয় একটি সরল রেখার ঢাল. এটি অক্ষের সরলরেখার প্রবণতার কোণের স্পর্শকের সমান।
.
আমরা যে পেতে
আসুন এই সূত্রটি মনে রাখা যাক। এটি ডেরিভেটিভের জ্যামিতিক অর্থ প্রকাশ করে।
একটি বিন্দুতে একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ সেই বিন্দুতে ফাংশনের গ্রাফে আঁকা স্পর্শকের ঢালের সমান।
অন্য কথায়, ডেরিভেটিভটি স্পর্শক কোণের স্পর্শকের সমান।
আমরা আগেই বলেছি যে একই ফাংশনের বিভিন্ন পয়েন্টে বিভিন্ন ডেরিভেটিভ থাকতে পারে। আসুন দেখি কীভাবে ডেরিভেটিভ ফাংশনের আচরণের সাথে সম্পর্কিত।
কিছু ফাংশনের গ্রাফ আঁকুন। এই ফাংশন কিছু এলাকায় বাড়তে দিন এবং অন্যগুলিতে হ্রাস করুন এবং বিভিন্ন হারে। এবং এই ফাংশন সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন পয়েন্ট আছে যাক.
এক পর্যায়ে ফাংশন বৃদ্ধি পায়। বিন্দুতে আঁকা গ্রাফের একটি স্পর্শক অক্ষের ধনাত্মক দিক সহ একটি তীব্র কোণ গঠন করে। এর মানে হল যে পয়েন্টে ডেরিভেটিভ ইতিবাচক।
বিন্দুতে আমাদের ফাংশন কমে যায়। এই বিন্দুতে স্পর্শক অক্ষের ধনাত্মক দিক দিয়ে একটি স্থূলকোণ গঠন করে। যেহেতু একটি স্থূল কোণের স্পর্শক ঋণাত্মক, বিন্দুতে ডেরিভেটিভটি ঋণাত্মক।
এখানে যা ঘটে:
যদি একটি ফাংশন বৃদ্ধি পায়, তার ডেরিভেটিভ ইতিবাচক।
যদি এটি হ্রাস পায় তবে এর ডেরিভেটিভ নেতিবাচক।
সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন পয়েন্টে কি হবে? আমরা দেখতে পাই যে বিন্দুতে (সর্বোচ্চ বিন্দু) এবং (সর্বনিম্ন বিন্দু) স্পর্শকটি অনুভূমিক। অতএব, এই বিন্দুতে স্পর্শকের স্পর্শক শূন্য, এবং ডেরিভেটিভও শূন্য।
পয়েন্ট - সর্বোচ্চ পয়েন্ট। এই মুহুর্তে, ফাংশনের বৃদ্ধি হ্রাস দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। ফলস্বরূপ, "প্লাস" থেকে "মাইনাস" বিন্দুতে ডেরিভেটিভের চিহ্নটি পরিবর্তিত হয়।
বিন্দুতে - সর্বনিম্ন বিন্দু - ডেরিভেটিভটিও শূন্য, তবে এর চিহ্নটি "মাইনাস" থেকে "প্লাস" এ পরিবর্তিত হয়।
উপসংহার: ডেরিভেটিভ ব্যবহার করে আমরা একটি ফাংশনের আচরণ সম্পর্কে আমাদের আগ্রহের সবকিছু খুঁজে পেতে পারি।
ডেরিভেটিভ যদি ধনাত্মক হয়, তাহলে ফাংশন বৃদ্ধি পায়।
ডেরিভেটিভ নেতিবাচক হলে, ফাংশন হ্রাস পায়।
সর্বাধিক বিন্দুতে, ডেরিভেটিভটি শূন্য এবং "প্লাস" থেকে "বিয়োগ" চিহ্ন পরিবর্তন করে।
সর্বনিম্ন বিন্দুতে, ডেরিভেটিভটিও শূন্য এবং "মাইনাস" থেকে "প্লাস"-এ চিহ্ন পরিবর্তন করে।
আসুন একটি টেবিলের আকারে এই উপসংহারগুলি লিখি:
| বৃদ্ধি পায় | সর্বোচ্চ পয়েন্ট | হ্রাস পায় | সর্বনিম্ন পয়েন্ট | বৃদ্ধি পায় | |
| + | 0 | - | 0 | + |
দুটি ছোট স্পষ্টীকরণ করা যাক. USE সমস্যা সমাধান করার সময় আপনার তাদের একটির প্রয়োজন হবে। আরেকটি - প্রথম বছরে, ফাংশন এবং ডেরিভেটিভগুলির আরও গুরুতর অধ্যয়ন সহ।
এটা সম্ভব যে কোনো সময়ে কোনো ফাংশনের ডেরিভেটিভ শূন্যের সমান, কিন্তু এই সময়ে ফাংশনের সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন কোনোটিই নেই। এই তথাকথিত হয় :
একটি বিন্দুতে, গ্রাফের স্পর্শকটি অনুভূমিক এবং ডেরিভেটিভটি শূন্য। যাইহোক, বিন্দুর আগে ফাংশন বাড়তে থাকে - এবং বিন্দুর পরে এটি বাড়তে থাকে। ডেরিভেটিভের চিহ্ন পরিবর্তিত হয় না - এটি যেমন ছিল তেমনই ইতিবাচক থাকে।
এটাও ঘটে যে সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন বিন্দুতে ডেরিভেটিভের অস্তিত্ব নেই। গ্রাফে, এটি একটি তীক্ষ্ণ বিরতির সাথে মিলে যায়, যখন একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে একটি স্পর্শক আঁকা অসম্ভব।
কিভাবে ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করবেন যদি ফাংশনটি একটি গ্রাফ দ্বারা নয়, একটি সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়? এই ক্ষেত্রে এটি প্রযোজ্য
সের্গেই নিকিফোরভ
যদি একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ একটি ব্যবধানে ধ্রুবক চিহ্নের হয়, এবং ফাংশনটি নিজেই তার সীমানায় অবিচ্ছিন্ন থাকে, তাহলে সীমানা বিন্দুগুলি ক্রমবর্ধমান এবং হ্রাস উভয় ব্যবধানে যোগ করা হয়, যা ক্রমবর্ধমান এবং হ্রাস ফাংশনের সংজ্ঞার সাথে সম্পূর্ণভাবে মিলে যায়।
ফারিত ইয়ামায়েভ 26.10.2016 18:50
হ্যালো। কীভাবে (কিসের ভিত্তিতে) আমরা বলতে পারি যে বিন্দুতে ডেরিভেটিভ শূন্যের সমান, ফাংশন বৃদ্ধি পায়। কারণ দেখাও। অন্যথায়, এটা শুধুমাত্র কারো বাতিক. কোন উপপাদ্য দ্বারা? এবং প্রমাণও। ধন্যবাদ।
সমর্থন
একটি বিন্দুতে ডেরিভেটিভের মান ব্যবধানে ফাংশন বৃদ্ধির সাথে সরাসরি সম্পর্কিত নয়। উদাহরণস্বরূপ, ফাংশন বিবেচনা করুন - তারা সব ব্যবধানে বৃদ্ধি পাচ্ছে
ভ্লাদলেন পিসারেভ 02.11.2016 22:21
যদি একটি ফাংশন ব্যবধানে (a;b) বৃদ্ধি পায় এবং a এবং b বিন্দুতে সংজ্ঞায়িত এবং অবিচ্ছিন্ন থাকে, তবে এটি ব্যবধানে বৃদ্ধি পাচ্ছে। সেগুলো। পয়েন্ট x=2 এই ব্যবধানে অন্তর্ভুক্ত।
যদিও, একটি নিয়ম হিসাবে, বৃদ্ধি এবং হ্রাস একটি বিভাগে নয়, একটি ব্যবধানে বিবেচনা করা হয়।
কিন্তু x=2 বিন্দুতে, ফাংশনের একটি স্থানীয় সর্বনিম্ন আছে। এবং কীভাবে বাচ্চাদের বোঝানো যায় যে তারা যখন বৃদ্ধির (কমানোর) পয়েন্টগুলি খুঁজছে, তখন আমরা স্থানীয় চরমের বিন্দুগুলি গণনা করি না, তবে বৃদ্ধির (কমানোর) ব্যবধানে প্রবেশ করি।
সেই বিবেচনায় প্রথম ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার অংশজন্য " মধ্যম গ্রুপ কিন্ডারগার্টেন", তাহলে সম্ভবত এই জাতীয় সূক্ষ্মতা খুব বেশি।
আলাদাভাবে, "ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার সমাধান" এর জন্য সমস্ত কর্মীদের অনেক ধন্যবাদ - একটি দুর্দান্ত গাইড।
সের্গেই নিকিফোরভ
একটি সহজ ব্যাখ্যা পাওয়া যেতে পারে যদি আমরা একটি ক্রমবর্ধমান/হ্রাসকারী ফাংশনের সংজ্ঞা থেকে শুরু করি। আমি আপনাকে মনে করিয়ে দিই যে এটি এইরকম শোনাচ্ছে: একটি ফাংশনকে একটি ব্যবধানে বৃদ্ধি/হ্রাস বলা হয় যদি ফাংশনের একটি বড় আর্গুমেন্ট ফাংশনের একটি বড়/ছোট মানের সাথে মিলে যায়। এই সংজ্ঞাটি কোনোভাবেই ডেরিভেটিভের ধারণা ব্যবহার করে না, তাই যে পয়েন্টগুলি থেকে ডেরিভেটিভ অদৃশ্য হয়ে যায় সেগুলি সম্পর্কে প্রশ্ন উঠতে পারে না।
ইরিনা ইশমাকোভা 20.11.2017 11:46
শুভ অপরাহ্ন। এখানে মন্তব্যগুলিতে আমি বিশ্বাসগুলি দেখতে পাচ্ছি যে সীমানা অন্তর্ভুক্ত করা দরকার। ধরা যাক আমি এর সাথে একমত। কিন্তু অনুগ্রহ করে আপনার 7089 সমস্যার সমাধান দেখুন। সেখানে, ক্রমবর্ধমান ব্যবধান উল্লেখ করার সময়, সীমানা অন্তর্ভুক্ত করা হয় না। এবং এই উত্তর প্রভাবিত করে. সেগুলো। টাস্ক 6429 এবং 7089 এর সমাধান একে অপরের সাথে সাংঘর্ষিক। এই পরিস্থিতি পরিষ্কার করুন.
আলেকজান্ডার ইভানভ
টাস্ক 6429 এবং 7089 সম্পূর্ণ ভিন্ন প্রশ্ন আছে।
একটি হল ক্রমবর্ধমান ব্যবধান সম্পর্কে, এবং অন্যটি হল একটি ধনাত্মক ডেরিভেটিভ সহ ব্যবধান সম্পর্কে।
কোনো দ্বন্দ্ব নেই।
এক্সট্রিমা ক্রমবর্ধমান এবং হ্রাসের ব্যবধানে অন্তর্ভুক্ত করা হয়, কিন্তু যে বিন্দুতে ডেরিভেটিভ শূন্যের সমান হয় সেসব ব্যবধানে অন্তর্ভুক্ত নয় যেখানে ডেরিভেটিভ ধনাত্মক।
এ জেড 28.01.2019 19:09
সহকর্মীরা, এক পর্যায়ে বাড়ানোর ধারণা আছে
(উদাহরণস্বরূপ Fichtenholtz দেখুন)
এবং x=2 এ বৃদ্ধি সম্পর্কে আপনার উপলব্ধি শাস্ত্রীয় সংজ্ঞার বিপরীত।
বৃদ্ধি এবং হ্রাস একটি প্রক্রিয়া এবং আমি এই নীতি মেনে চলতে চাই।
বিন্দু x=2 ধারণ করে যে কোনো ব্যবধানে, ফাংশন বাড়ছে না। অতএব, একটি প্রদত্ত বিন্দু x=2 অন্তর্ভুক্ত করা একটি বিশেষ প্রক্রিয়া।
সাধারণত, বিভ্রান্তি এড়াতে, ব্যবধানের শেষগুলি অন্তর্ভুক্ত করার জন্য আলাদাভাবে আলোচনা করা হয়।
আলেকজান্ডার ইভানভ
একটি ফাংশন y=f(x) একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে বৃদ্ধি পাচ্ছে বলা হয় যদি এই ব্যবধান থেকে আর্গুমেন্টের একটি বড় মান ফাংশনের একটি বৃহত্তর মানের সাথে মিলে যায়।
x=2 বিন্দুতে ফাংশনটি পার্থক্যযোগ্য, এবং ব্যবধানে (2; 6) ডেরিভেটিভটি ধনাত্মক, যার অর্থ ব্যবধানের উপর)
