বিস্তারিত সমাধান সহ লগারিদমিক সমীকরণ সমাধান করা। লগারিদমিক সমীকরণ সমাধানের কিছু পদ্ধতি। নিয়ম এবং কিছু বিধিনিষেধ

উদাহরণ:

\(\log_(2)(⁡x) = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡((x^2-3))=\log_3⁡((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10=11 \lg⁡((x+1))\)

লগারিদমিক সমীকরণগুলি কীভাবে সমাধান করবেন:

লগারিদমিক সমীকরণ সমাধান করার সময়, আপনার এটিকে \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\-এ রূপান্তর করার চেষ্টা করা উচিত এবং তারপরে \(f(x) রূপান্তর করা উচিত )=g(x) \)।

\(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\)।

উদাহরণ:\(\log_2⁡(x-2)=3\)

সমাধান: \(\log_2⁡(x-2)=\log_2⁡8\) \(x-2=8\) \(x=10\) পরীক্ষা:\(10>2\) - DL এর জন্য উপযুক্ত উত্তর:\(x=10\)

ODZ: \(x-2>0\) \(x>2\)

অনেক গুরুত্বপূর্ণ!এই রূপান্তরটি শুধুমাত্র তখনই করা যেতে পারে যদি:

আপনি মূল সমীকরণের জন্য লিখেছেন, এবং শেষে আপনি পরীক্ষা করবেন যেগুলি পাওয়া গেছে তা ডিএল-এর অন্তর্ভুক্ত কিনা। যদি এটি করা না হয়, অতিরিক্ত শিকড় প্রদর্শিত হতে পারে, যার অর্থ একটি ভুল সিদ্ধান্ত।

বাম এবং ডান দিকে সংখ্যা (বা অভিব্যক্তি) একই;

বাম এবং ডানদিকে লগারিদমগুলি "বিশুদ্ধ", অর্থাৎ, কোনও গুণ, ভাগ ইত্যাদি থাকা উচিত নয়। - সমান চিহ্নের উভয় পাশে শুধুমাত্র একক লগারিদম।

উদাহরণ স্বরূপ:

লক্ষ্য করুন যে লগারিদমের প্রয়োজনীয় বৈশিষ্ট্যগুলি প্রয়োগ করে 3 এবং 4 সমীকরণগুলি সহজেই সমাধান করা যেতে পারে।

উদাহরণ . সমীকরণটি সমাধান করুন \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\)

সমাধান :

		আসুন ODZ লিখি: \(x>0\)।
\(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\) ODZ: \(x>0\)		লগারিদমের সামনের বামে রয়েছে সহগ, ডানদিকে লগারিদমের যোগফল। এটা আমাদের বিরক্ত করে। বৈশিষ্ট্য অনুসারে দুটিকে সূচক \(x\) এ নিয়ে যাওয়া যাক: \(n \log_b(⁡a)=\log_b⁡(a^n)\)। আসুন বৈশিষ্ট্য অনুসারে লগারিদমের যোগফলকে একটি লগারিদম হিসাবে উপস্থাপন করি: \(\log_a⁡b+\log_a⁡c=\log_a(⁡bc)\)
\(\log_8⁡(x^2)=\log_8⁡25\)		আমরা সমীকরণটিকে \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) আকারে কমিয়ে দিয়েছি এবং ODZ লিখেছি, যার মানে আমরা \(f(x) ফর্মে যেতে পারি। =g(x)\)।
		ঘটেছিলো । আমরা এটি সমাধান এবং শিকড় পেতে.
\(x_1=5\) \(x_2=-5\)		আমরা শিকড় ODZ জন্য উপযুক্ত কিনা তা পরীক্ষা করে দেখুন। এটি করার জন্য, \(x\) এর পরিবর্তে \(x>0\) আমরা \(5\) এবং \(-5\) প্রতিস্থাপন করি। এই অপারেশন মৌখিকভাবে সঞ্চালিত করা যেতে পারে।
\(5>0\), \(-5>0\)		প্রথম অসমতা সত্য, দ্বিতীয়টি নয়। এর মানে হল যে \(5\) সমীকরণের মূল, কিন্তু \(-5\) নয়। আমরা উত্তর লিখে রাখি।

উত্তর : \(5\)

উদাহরণ : সমীকরণটি সমাধান করুন \(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\)

সমাধান :

		আসুন ODZ লিখি: \(x>0\)।
\(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\) ODZ: \(x>0\)		ব্যবহার করে সমাধান করা একটি সাধারণ সমীকরণ। \(\log_2⁡x\) \(t\) দিয়ে প্রতিস্থাপন করুন।
\(t=\log_2⁡x\)
		আমরা স্বাভাবিক একটি পেয়েছিলাম. আমরা তার শিকড় খুঁজছি।
\(t_1=2\) \(t_2=1\)		একটি বিপরীত প্রতিস্থাপন করা
\(\log_2(⁡x)=2\) \(\log_2(⁡x)=1\)		আমরা ডানদিকের দিকগুলিকে লগারিদম হিসাবে উপস্থাপন করে রূপান্তর করি: \(2=2 \cdot 1=2 \log_2⁡2=\log_2⁡4\) এবং \(1=\log_2⁡2\)
\(\log_2(⁡x)=\log_2⁡4\) \(\log_2(⁡x)=\log_2⁡2 \)		এখন আমাদের সমীকরণ হল \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\), এবং আমরা \(f(x)=g(x)\) এ স্থানান্তর করতে পারি।
\(x_1=4\) \(x_2=2\)		আমরা ODZ এর শিকড়গুলির চিঠিপত্র পরীক্ষা করি। এটি করার জন্য, \(x\) এর পরিবর্তে \(4\) এবং \(2\) অসমতা \(x>0\) এ প্রতিস্থাপন করুন।
\(4>0\) \(2>0\)		উভয় অসমতা সত্য. এর মানে হল যে \(4\) এবং \(2\) উভয়ই সমীকরণের মূল।

উত্তর : \(4\); \(2\).

গণিত বিজ্ঞানের চেয়ে বেশি, এটি বিজ্ঞানের ভাষা।

ডেনিশ পদার্থবিদ এবং জনসাধারণের ব্যক্তিত্ব নিলস বোর

লগারিদমিক সমীকরণ

সাধারণ কাজের মধ্যে, প্রবেশদ্বার (প্রতিযোগিতামূলক) পরীক্ষায় দেওয়া হয়, কাজ হয়, লগারিদমিক সমীকরণ সমাধানের সাথে সম্পর্কিত। এই ধরনের সমস্যাগুলি সফলভাবে সমাধান করার জন্য, আপনাকে লগারিদমের বৈশিষ্ট্যগুলি সম্পর্কে ভাল জ্ঞান থাকতে হবে এবং সেগুলি ব্যবহার করার দক্ষতা থাকতে হবে।

এই নিবন্ধটি প্রথমে লগারিদমের মৌলিক ধারণা এবং বৈশিষ্ট্য উপস্থাপন করে।, এবং তারপর লগারিদমিক সমীকরণ সমাধানের উদাহরণ বিবেচনা করা হয়।

মৌলিক ধারণা এবং বৈশিষ্ট্য

প্রথমত, আমরা লগারিদমের মৌলিক বৈশিষ্ট্য উপস্থাপন করি, যার ব্যবহার একজনকে সফলভাবে তুলনামূলক জটিল লগারিদমিক সমীকরণ সমাধান করতে দেয়।

প্রধান লগারিদমিক পরিচয় হিসাবে লেখা হয়

, (1)

লগারিদমের সর্বাধিক পরিচিত বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে নিম্নলিখিত সমতাগুলি হল:

1. যদি , , এবং , তাহলে , ,

2. যদি , , , এবং , তাহলে।

3. যদি , , এবং , তাহলে।

4. যদি , , এবং স্বাভাবিক সংখ্যা, যে

5. যদি , , এবং স্বাভাবিক সংখ্যা, যে

6. যদি , , এবং , তাহলে।

7. যদি , , এবং , তাহলে।

লগারিদমগুলির আরও জটিল বৈশিষ্ট্যগুলি নিম্নলিখিত বিবৃতির মাধ্যমে তৈরি করা হয়:

8. যদি , , , এবং , তাহলে

9. যদি , , এবং , তাহলে

10. যদি , , , এবং , তাহলে

লগারিদমের শেষ দুটি বৈশিষ্ট্যের প্রমাণ লেখকের পাঠ্যপুস্তক "উচ্চ বিদ্যালয়ের শিক্ষার্থীদের জন্য গণিত: স্কুল গণিতের অতিরিক্ত বিভাগ" (এম.: লেনান্ড / ইউআরএসএস) এ দেওয়া হয়েছে, 2014).

এছাড়াও লক্ষনীয় মূল্যফাংশন কি বাড়ছে, if , এবং হ্রাস , if .

লগারিদমিক সমীকরণ সমাধানের সমস্যার উদাহরণ দেখা যাক, ক্রমবর্ধমান অসুবিধার জন্য সাজানো।

সমস্যা সমাধানের উদাহরণ

উদাহরণ 1. সমীকরণটি সমাধান করুন

. (2)

সমাধান।সমীকরণ (2) থেকে আমাদের আছে। আসুন সমীকরণটিকে নিম্নরূপ রূপান্তর করি: , বা .

কারণ , তাহলে সমীকরণের মূল (2) হয়.

উত্তর: ।

উদাহরণ 2. সমীকরণটি সমাধান করুন

সমাধান। সমীকরণ (3) সমীকরণের সমতুল্য

বা

এখান থেকে আমরা পাই।

উত্তর: ।

উদাহরণ 3. সমীকরণটি সমাধান করুন

সমাধান। সমীকরণ (4) থেকে এটি অনুসরণ করে, কি । মৌলিক লগারিদমিক পরিচয় ব্যবহার করে (1), আমরা লিখতে পারি

অথবা

রাখলে তারপর এখান থেকে আমরা একটি দ্বিঘাত সমীকরণ পাই, যার দুটি শিকড় রয়েছেএবং । যাইহোক, তাই এবং সমীকরণের একটি উপযুক্ত মূলশুধুমাত্র । তারপর থেকে বা।

উত্তর: ।

উদাহরণ 4. সমীকরণটি সমাধান করুন

সমাধান।ভেরিয়েবলের অনুমতিযোগ্য মানের পরিসরসমীকরণে (5) হয়.

এটা হতে দাও . ফাংশন থেকেসংজ্ঞার ডোমেনে কমছে, এবং ফাংশন সমগ্র সংখ্যারেখা বরাবর বৃদ্ধি পায়, তারপর সমীকরণ একাধিক মূল থাকতে পারে না।

নির্বাচনের মাধ্যমে আমরা একমাত্র মূল খুঁজে পাই.

উত্তর: ।

উদাহরণ 5. সমীকরণটি সমাধান করুন.

সমাধান।যদি সমীকরণের উভয় দিক লগারিদমিকভাবে বেস 10-এ নেওয়া হয়, তাহলে

বা

এর জন্য দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করে, আমরা পাই এবং। অতএব, এখানে আমাদের আছে এবং .

উত্তর: , ।

উদাহরণ 6. সমীকরণটি সমাধান করুন

. (6)

সমাধান।আসুন আমরা পরিচয় (1) এবং রূপান্তর সমীকরণ (6) ব্যবহার করি:

বা

উত্তর: , ।

উদাহরণ 7. সমীকরণটি সমাধান করুন

. (7)

সমাধান।একাউন্টে সম্পত্তি গ্রহণ 9, আমরা আছে. এই বিষয়ে, সমীকরণ (7) রূপ নেয়

এখান থেকে আমরা বা পাই।

উত্তর: ।

উদাহরণ 8. সমীকরণটি সমাধান করুন

. (8)

সমাধান।আসুন আমরা প্রপার্টি 9 ব্যবহার করি এবং সমীকরণ (8) সমতুল্য আকারে পুনরায় লিখি.

আমরা তারপর মনোনীত, তারপর আমরা একটি দ্বিঘাত সমীকরণ পাই, কোথায় . যেহেতু সমীকরণশুধুমাত্র একটি ইতিবাচক মূল আছে, তারপর বা এই থেকেই বোঝা ।

উত্তর: ।

উদাহরণ 9. সমীকরণটি সমাধান করুন

. (9)

সমাধান। যেহেতু সমীকরণ (9) থেকে এটি অনুসরণ করেতারপর এখানে সম্পত্তি অনুযায়ী 10, লিখে রাখা যেতে পারে।

এই বিষয়ে, সমীকরণ (9) সমীকরণের সমতুল্য হবে

বা

এখান থেকে আমরা সমীকরণের মূল (9) পাই।

উদাহরণ 10. সমীকরণটি সমাধান করুন

. (10)

সমাধান।সমীকরণে (10) ভেরিয়েবলের অনুমতিযোগ্য মানের পরিসীমা হল। সম্পত্তি 4 অনুযায়ী, আমাদের এখানে আছে

. (11)

যেহেতু, তারপর সমীকরণ (11) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের রূপ নেয়, যেখানে . একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূল হল এবং .

তারপর থেকে এবং . এখান থেকে আমরা পাই এবং .

উত্তর: , ।

উদাহরণ 11. সমীকরণটি সমাধান করুন

. (12)

সমাধান।তাহলে বোঝাই যাক এবং সমীকরণ (12) রূপ নেয়

বা

. (13)

এটা সহজেই দেখা যায় যে সমীকরণের মূল (13) হল। চলুন যে দেখান প্রদত্ত সমীকরণঅন্য কোন শিকড় নেই এটি করার জন্য, উভয় পক্ষকে দ্বারা ভাগ করুন এবং সমতুল্য সমীকরণটি পান

. (14)

যেহেতু ফাংশনটি কমছে, এবং ফাংশনটি পুরো সাংখ্যিক অক্ষে বৃদ্ধি পাচ্ছে, তাহলে সমীকরণ (14) এর একাধিক রুট থাকতে পারে না। যেহেতু সমীকরণ (13) এবং (14) সমতুল্য, সমীকরণ (13) এর একটি একক মূল রয়েছে।

তারপর থেকে এবং .

উত্তর: ।

উদাহরণ 12. সমীকরণটি সমাধান করুন

. (15)

সমাধান।আসুন বোঝাই এবং . যেহেতু সংজ্ঞার ডোমেনে ফাংশন হ্রাস পায়, এবং যে কোনো মানের জন্য ফাংশন বৃদ্ধি পাচ্ছে, সমীকরণের একই রুট থাকতে পারে না। সরাসরি নির্বাচনের মাধ্যমে আমরা প্রতিষ্ঠিত করি যে সমীকরণের কাঙ্খিত মূল (15) হল।

উত্তর: ।

উদাহরণ 13. সমীকরণটি সমাধান করুন

. (16)

সমাধান।লগারিদমের বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে, আমরা পাই

তখন থেকে এবং আমাদের মধ্যে অসমতা আছে

ফলস্বরূপ অসমতা সমীকরণ (16) এর সাথে মিলে যায় শুধুমাত্র যখন বা .

মান প্রতিস্থাপন দ্বারাসমীকরণে (16) আমরা নিশ্চিত যে, কি এর মূল

উত্তর: ।

উদাহরণ 14. সমীকরণটি সমাধান করুন

. (17)

সমাধান।যেহেতু এখানে, তাহলে সমীকরণ (17) রূপ নেয়।

যদি আমরা রাখি, তাহলে আমরা সমীকরণটি পাই

, (18)

কোথায় । সমীকরণ (18) থেকে এটি অনুসরণ করে: বা . যেহেতু, সমীকরণটির একটি উপযুক্ত মূল রয়েছে। যাইহোক, তাই।

উদাহরণ 15. সমীকরণটি সমাধান করুন

. (19)

সমাধান।ধরা যাক, তাহলে সমীকরণ (19) রূপ নেয়। যদি আমরা এই সমীকরণটিকে বেস 3 এ নিয়ে যাই, আমরা পাব

বা

এটি অনুসরণ করে এবং . তারপর থেকে এবং . এই বিষয়ে, এবং.

উত্তর: , ।

উদাহরণ 16. সমীকরণটি সমাধান করুন

. (20)

সমাধান. এর পরামিতি প্রবেশ করা যাকএবং প্যারামিটারের সাপেক্ষে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ আকারে সমীকরণ (20) পুনরায় লিখুন, অর্থাৎ

. (21)

সমীকরণের মূল (21) হল

অথবা, যেহেতু, আমাদের সমীকরণ আছে এবং এখান থেকে আমরা পাই এবং .

উত্তর: , ।

উদাহরণ 17. সমীকরণটি সমাধান করুন

. (22)

সমাধান।সমীকরণ (22) এ ভেরিয়েবলের সংজ্ঞার ডোমেইন স্থাপন করতে, তিনটি অসমতার একটি সেট বিবেচনা করা প্রয়োজন: , এবং .

সম্পত্তি প্রয়োগ 2, সমীকরণ (22) থেকে আমরা পাই

বা

. (23)

যদি সমীকরণে (23) রাখি, তারপর আমরা সমীকরণ পেতে

. (24)

সমীকরণ (24) নিম্নরূপ সমাধান করা হবে:

বা

এটি অনুসরণ করে এবং, i.e. সমীকরণ (24) এর দুটি মূল রয়েছে: এবং .

তারপর থেকে, বা, .

উত্তর: , ।

উদাহরণ 18. সমীকরণটি সমাধান করুন

. (25)

সমাধান।লগারিদমের বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে, আমরা নিম্নরূপ সমীকরণ (25) রূপান্তর করি:

, , .

এখান থেকে আমরা পাই।

উদাহরণ 19. সমীকরণটি সমাধান করুন

. (26)

সমাধান।তখন থেকে।

পরবর্তী, আমরা আছে. তাই, সমতা (26) শুধুমাত্র যদি সন্তুষ্ট হয়, যখন সমীকরণের উভয় দিক একই সময়ে 2 এর সমান।

এইভাবে, সমীকরণ (26) সমীকরণ সিস্টেমের সমতুল্য

সিস্টেমের দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে আমরা প্রাপ্ত

বা

এটা দেখতে সহজমানে কি সিস্টেমের প্রথম সমীকরণকেও সন্তুষ্ট করে।

উত্তর: ।

লগারিদমিক সমীকরণ সমাধানের পদ্ধতিগুলির আরও গভীরভাবে অধ্যয়নের জন্য, আপনি উল্লেখ করতে পারেন পাঠ্যপুস্তকপ্রস্তাবিত সাহিত্যের তালিকা থেকে।

1. কুশনির এ.আই. স্কুলের গণিতের মাস্টারপিস (দুটি বইয়ে সমস্যা ও সমাধান)। - কিইভ: আস্তার্তা, বই 1, 1995। – 576 পি।

2. কলেজ/এড-এ আবেদনকারীদের জন্য গণিতের সমস্যার সংগ্রহ। এম.আই. স্ক্যানভি। - এম.: শান্তি এবং শিক্ষা, 2013। – 608 পি।

3. সুপ্রুন ভি.পি. উচ্চ বিদ্যালয়ের শিক্ষার্থীদের জন্য গণিত: স্কুল পাঠ্যক্রমের অতিরিক্ত বিভাগ। - এম.: লেনান্ড / ইউআরএসএস, 2014। - 216 পি।

4. Suprun V.P. উচ্চ বিদ্যালয়ের শিক্ষার্থীদের জন্য গণিত: বর্ধিত জটিলতার কাজ। - এম.: সিডি "লিব্রোকম" / ইউআরএসএস, 2017। – 200 পি।

5. Suprun V.P. উচ্চ বিদ্যালয়ের শিক্ষার্থীদের জন্য গণিত: সমস্যা সমাধানের জন্য অ-মানক পদ্ধতি। - এম.: সিডি "লিব্রোকম" / ইউআরএসএস, 2017। – 296 পি।

এখনও প্রশ্ন আছে?

একজন গৃহশিক্ষকের সাহায্য পেতে, নিবন্ধন করুন।

ওয়েবসাইট, সম্পূর্ণ বা আংশিকভাবে উপাদান অনুলিপি করার সময়, উৎসের একটি লিঙ্ক প্রয়োজন।

এই ভিডিওটির মাধ্যমে আমি লগারিদমিক সমীকরণ সম্পর্কে পাঠের একটি দীর্ঘ সিরিজ শুরু করছি। এখন আপনার সামনে তিনটি উদাহরণ রয়েছে, যার ভিত্তিতে আমরা সবচেয়ে বেশি সমাধান করতে শিখব সহজ কাজযাকে বলা হয়- প্রোটোজোয়া.

লগ 0.5 (3x − 1) = −3

লগ (x + 3) = 3 + 2 লগ 5

আমি আপনাকে মনে করিয়ে দিই যে সবচেয়ে সহজ লগারিদমিক সমীকরণটি নিম্নরূপ:

লগ a f(x) = b

এই ক্ষেত্রে, এটি গুরুত্বপূর্ণ যে x ভেরিয়েবলটি শুধুমাত্র আর্গুমেন্টের ভিতরে, অর্থাৎ শুধুমাত্র f(x) ফাংশনে উপস্থিত থাকে। এবং সংখ্যা a এবং b শুধুমাত্র সংখ্যা, এবং কোন ক্ষেত্রেই পরিবর্তনশীল x ধারণকারী ফাংশন নয়।

মৌলিক সমাধান পদ্ধতি

এই ধরনের কাঠামো সমাধান করার অনেক উপায় আছে। উদাহরণস্বরূপ, স্কুলে বেশিরভাগ শিক্ষক এই পদ্ধতিটি অফার করেন: সূত্র ব্যবহার করে অবিলম্বে ফাংশন f (x) প্রকাশ করুন চ ( x) = একটি খ. অর্থাৎ, আপনি যখন সবচেয়ে সহজ নির্মাণের মুখোমুখি হন, আপনি অতিরিক্ত ক্রিয়া এবং নির্মাণ ছাড়াই অবিলম্বে সমাধানে যেতে পারেন।

হ্যাঁ, অবশ্যই, সিদ্ধান্ত সঠিক হবে। তবে এই সূত্রে সমস্যা বেশির ভাগ শিক্ষার্থীর বুঝিনি, এটি কোথা থেকে আসে এবং কেন আমরা a অক্ষরটিকে b অক্ষরে উত্থাপন করি।

ফলস্বরূপ, আমি প্রায়ই খুব বিরক্তিকর ভুল দেখতে পাই যখন, উদাহরণস্বরূপ, এই অক্ষরগুলি অদলবদল করা হয়। এই সূত্রটি অবশ্যই বুঝতে হবে বা ক্র্যাম করা উচিত এবং দ্বিতীয় পদ্ধতিটি সবচেয়ে অপ্রয়োজনীয় এবং সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ মুহুর্তে ভুলের দিকে নিয়ে যায়: পরীক্ষা, পরীক্ষা ইত্যাদির সময়।

এই কারণেই আমি আমার সমস্ত ছাত্রদের আদর্শ স্কুল সূত্র ত্যাগ করার এবং লগারিদমিক সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য দ্বিতীয় পদ্ধতি ব্যবহার করার পরামর্শ দিচ্ছি, যা আপনি সম্ভবত নাম থেকে অনুমান করেছেন, বলা হয় ক্যানোনিকাল ফর্ম.

ক্যানোনিকাল ফর্ম পিছনে ধারণা সহজ. আসুন আমাদের সমস্যাটি আবার দেখি: বাম দিকে আমাদের লগ a আছে, এবং a অক্ষর দ্বারা আমরা একটি সংখ্যা বোঝায় এবং কোন ক্ষেত্রেই পরিবর্তনশীল x ধারণ করে একটি ফাংশন নয়। ফলস্বরূপ, এই চিঠিটি লগারিদমের ভিত্তির উপর আরোপিত সমস্ত বিধিনিষেধের সাপেক্ষে। যথা:

1 ≠ a > 0

অন্যদিকে, একই সমীকরণ থেকে আমরা দেখতে পাচ্ছি যে লগারিদমটি সংখ্যা b এর সমান হতে হবে এবং এই অক্ষরের উপর কোন বিধিনিষেধ আরোপ করা হয় না, কারণ এটি যেকোন মান নিতে পারে - উভয় ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক। এটি সবই নির্ভর করে ফাংশন f(x) কী মান নেয় তার উপর।

এবং এখানে আমরা আমাদের বিস্ময়কর নিয়মটি মনে রাখি যে যেকোন সংখ্যা b কে একটি লগারিদম হিসাবে a এর বেসের a থেকে b এর শক্তি হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে:

b = লগ a a b

কিভাবে এই সূত্র মনে রাখবেন? হ্যাঁ, খুব সহজ। আসুন নিম্নলিখিত নির্মাণ লিখুন:

b = b 1 = b লগ a a

অবশ্যই, এই ক্ষেত্রে আমরা শুরুতে যে সমস্ত বিধিনিষেধ লিখেছিলাম তা উঠে আসে। এখন লগারিদমের মৌলিক বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করা যাক এবং a এর শক্তি হিসাবে b গুণকের পরিচয় করিয়ে দেওয়া যাক। আমরা পেতে:

b = b 1 = b log a a = log a a b

ফলস্বরূপ, মূল সমীকরণটি নিম্নরূপ পুনরায় লেখা হবে:

log a f(x) = log a a b → f (x) = a b

এখানেই শেষ। নতুন ফাংশনে আর লগারিদম নেই এবং মানক বীজগণিত কৌশল ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে।

অবশ্যই, কেউ এখন আপত্তি করবে: কেন আদৌ এক ধরণের ক্যানোনিকাল সূত্র নিয়ে আসা দরকার ছিল, যদি মূল নকশা থেকে চূড়ান্ত সূত্রে অবিলম্বে সরানো সম্ভব হয় তবে কেন দুটি অতিরিক্ত অপ্রয়োজনীয় পদক্ষেপ করা উচিত? হ্যাঁ, শুধুমাত্র এই কারণে যে বেশিরভাগ শিক্ষার্থীরা বুঝতে পারে না যে এই সূত্রটি কোথা থেকে এসেছে এবং ফলস্বরূপ, এটি প্রয়োগ করার সময় নিয়মিত ভুল করে।

কিন্তু ক্রিয়াগুলির এই ক্রমটি, তিনটি ধাপ নিয়ে গঠিত, আপনাকে মূল লগারিদমিক সমীকরণটি সমাধান করতে দেয়, এমনকি যদি আপনি বুঝতে না পারেন যে চূড়ান্ত সূত্রটি কোথা থেকে এসেছে। যাইহোক, এই এন্ট্রিটিকে ক্যানোনিকাল সূত্র বলা হয়:

log a f(x) = log a a b

ক্যানোনিকাল ফর্মের সুবিধার মধ্যেও রয়েছে যে এটি একটি খুব বিস্তৃত লগারিদমিক সমীকরণের সমাধান করতে ব্যবহার করা যেতে পারে, এবং কেবলমাত্র সহজতম নয় যা আমরা আজ বিবেচনা করছি।

সমাধানের উদাহরণ

এখন বাস্তব উদাহরণ তাকান. সুতরাং, আসুন সিদ্ধান্ত নেওয়া যাক:

লগ 0.5 (3x − 1) = −3

আসুন এটিকে এভাবে আবার লিখি:

লগ 0.5 (3x − 1) = লগ 0.5 0.5 −3

অনেক শিক্ষার্থী তাড়াহুড়ো করে এবং মূল সমস্যা থেকে আমাদের কাছে আসা শক্তিতে অবিলম্বে 0.5 নম্বর বাড়াতে চেষ্টা করে। প্রকৃতপক্ষে, যখন আপনি ইতিমধ্যে এই ধরনের সমস্যা সমাধানের জন্য ভালভাবে প্রশিক্ষিত হন, আপনি অবিলম্বে এই পদক্ষেপটি সম্পাদন করতে পারেন।

যাইহোক, যদি আপনি এখন এই বিষয়ে অধ্যয়ন শুরু করেন, তাহলে আপত্তিকর ভুলগুলি এড়াতে কোথাও তাড়াহুড়ো না করাই ভালো। সুতরাং, আমরা ক্যানোনিকাল ফর্ম আছে. আমাদের আছে:

3x − 1 = 0.5 −3

এটি আর লগারিদমিক সমীকরণ নয়, তবে চলক x এর ক্ষেত্রে রৈখিক। এটি সমাধান করার জন্য, আসুন প্রথমে 0.5 সংখ্যা থেকে −3 এর শক্তি দেখুন। উল্লেখ্য যে 0.5 হল 1/2।

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

সব দশমিকআপনি যখন লগারিদমিক সমীকরণ সমাধান করেন তখন সাধারণকে রূপান্তর করুন।

আমরা আবার লিখি এবং পাই:

3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3

এটাই, আমরা উত্তর পেয়েছি। প্রথম সমস্যা সমাধান করা হয়েছে.

দ্বিতীয় কাজ

আসুন দ্বিতীয় টাস্কে এগিয়ে যাই:

আমরা দেখতে পাচ্ছি, এই সমীকরণটি আর সহজ নয়। যদি শুধুমাত্র এই কারণে যে বাম দিকে একটি পার্থক্য আছে, এবং একটি বেস থেকে একটি একক লগারিদম নয়।

অতএব, আমাদের কোনভাবে এই পার্থক্য পরিত্রাণ পেতে হবে। ভিতরে এক্ষেত্রেসবকিছু খুব সহজ। আসুন ঘাঁটিগুলি ঘনিষ্ঠভাবে দেখি: বামদিকে মূলের নীচে সংখ্যাটি রয়েছে:

সাধারণ সুপারিশ: সমস্ত লগারিদমিক সমীকরণে, র্যাডিকেলগুলি থেকে পরিত্রাণ পেতে চেষ্টা করুন, অর্থাত্ শিকড় সহ এন্ট্রি থেকে এবং পাওয়ার ফাংশনে এগিয়ে যান, কারণ এই শক্তিগুলির সূচকগুলি সহজেই লগারিদমের চিহ্ন থেকে বের হয়ে যায় এবং শেষ পর্যন্ত, যেমন একটি এন্ট্রি উল্লেখযোগ্যভাবে সরলীকৃত করে এবং গণনার গতি বাড়ায়। আসুন এটি এভাবে লিখি:

এখন আমাদের লগারিদমের উল্লেখযোগ্য বৈশিষ্ট্য মনে রাখা যাক: শক্তিগুলি আর্গুমেন্টের পাশাপাশি ভিত্তি থেকেও পাওয়া যেতে পারে। ভিত্তির ক্ষেত্রে, নিম্নলিখিতগুলি ঘটে:

log a k b = 1/k লগা b

অন্য কথায়, বেস পাওয়ারে যে সংখ্যাটি ছিল সেটিকে সামনে আনা হয় এবং একই সাথে উল্টানো হয়, অর্থাৎ এটি একটি পারস্পরিক সংখ্যায় পরিণত হয়। আমাদের ক্ষেত্রে, বেস ডিগ্রি ছিল 1/2। অতএব, আমরা এটিকে 2/1 হিসাবে নিতে পারি। আমরা পেতে:

5 2 লগ 5 x − লগ 5 x = 18
10 লগ 5 x − লগ 5 x = 18

অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন: কোন অবস্থাতেই এই ধাপে লগারিদম থেকে মুক্তি পাবেন না। 4র্থ-5ম গ্রেডের গণিত এবং ক্রিয়াকলাপের ক্রম মনে রাখবেন: গুণ প্রথমে সঞ্চালিত হয়, এবং শুধুমাত্র তারপর যোগ এবং বিয়োগ। এই ক্ষেত্রে, আমরা 10টি উপাদান থেকে একই উপাদানগুলির একটি বিয়োগ করি:

9 লগ 5 x = 18
লগ 5 x = 2

এখন আমাদের সমীকরণটি দেখতে হবে। এটি সবচেয়ে সহজ নির্মাণ, এবং আমরা ক্যানোনিকাল ফর্ম ব্যবহার করে এটি সমাধান করি:

লগ 5 x = লগ 5 5 2
x = 5 2
x = 25

এখানেই শেষ। দ্বিতীয় সমস্যাটি সমাধান করা হয়েছে।

তৃতীয় উদাহরণ

আসুন তৃতীয় কাজের দিকে এগিয়ে যাই:

লগ (x + 3) = 3 + 2 লগ 5

আমাকে নিম্নলিখিত সূত্র মনে করিয়ে দিন:

log b = log 10 b

যদি কোনো কারণে আপনি স্বরলিপি লগ b দ্বারা বিভ্রান্ত হন, তাহলে সমস্ত গণনা সম্পাদন করার সময় আপনি কেবল লগ 10 b লিখতে পারেন। আপনি দশমিক লগারিদমের সাথে অন্যদের মতো একইভাবে কাজ করতে পারেন: ক্ষমতা নিন, lg 10 আকারে যেকোনো সংখ্যা যোগ করুন এবং উপস্থাপন করুন।

এই বৈশিষ্ট্যগুলিই আমরা এখন সমস্যা সমাধানের জন্য ব্যবহার করব, কারণ এটি সবচেয়ে সহজ নয় যা আমরা আমাদের পাঠের একেবারে শুরুতে লিখেছি।

প্রথমত, লক্ষ্য করুন যে lg 5 এর সামনে ফ্যাক্টর 2 যোগ করা যেতে পারে এবং বেস 5 এর একটি পাওয়ার হয়ে যায়। উপরন্তু, মুক্ত শব্দ 3টিকে লগারিদম হিসাবেও উপস্থাপন করা যেতে পারে - এটি আমাদের স্বরলিপি থেকে পর্যবেক্ষণ করা খুব সহজ।

নিজের জন্য বিচার করুন: যেকোন সংখ্যাকে বেস 10-এর লগ হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে:

3 = লগ 10 10 3 = লগ 10 3

আসুন প্রাপ্ত পরিবর্তনগুলি বিবেচনায় নিয়ে মূল সমস্যাটি পুনরায় লিখি:

লগ (x − 3) = লগ 1000 + লগ 25
লগ (x − 3) = লগ 1000 25
লগ (x − 3) = লগ 25,000

আমাদের আগে আবার ক্যানোনিকাল ফর্ম, এবং আমরা রূপান্তর পর্যায়ে না গিয়ে এটি পেয়েছি, অর্থাৎ সহজ লগারিদমিক সমীকরণটি কোথাও উপস্থিত হয়নি।

পাঠের একেবারে শুরুতে আমি ঠিক এই বিষয়ে কথা বলেছিলাম। ক্যানোনিকাল ফর্মটি আপনাকে বেশিরভাগ স্কুল শিক্ষকদের দেওয়া স্ট্যান্ডার্ড স্কুল সূত্রের চেয়ে বিস্তৃত শ্রেণির সমস্যার সমাধান করতে দেয়।

ঠিক আছে, এটিই, আমরা দশমিক লগারিদমের চিহ্ন থেকে মুক্তি পাই এবং আমরা একটি সাধারণ রৈখিক নির্মাণ পাই:

x + 3 = 25,000
x = 24,997

সমস্ত ! সমস্যাটি সমাধানকৃত।

সুযোগ উপর একটি নোট

এখানে আমি সংজ্ঞার সুযোগ সম্পর্কে একটি গুরুত্বপূর্ণ মন্তব্য করতে চাই। নিশ্চয়ই এখন এমন ছাত্র এবং শিক্ষক থাকবেন যারা বলবেন: "যখন আমরা লগারিদম দিয়ে অভিব্যক্তি সমাধান করি, তখন আমাদের মনে রাখতে হবে যে আর্গুমেন্ট f (x) অবশ্যই শূন্যের চেয়ে বড় হতে হবে!" এই বিষয়ে, একটি যৌক্তিক প্রশ্ন জাগে: বিবেচিত সমস্যাগুলির মধ্যে কেন আমরা এই অসমতাকে সন্তুষ্ট করতে চাইনি?

চিন্তা করো না। এই ক্ষেত্রে, কোন অতিরিক্ত শিকড় প্রদর্শিত হবে না। এবং এটি আরেকটি দুর্দান্ত কৌশল যা আপনাকে সমাধানটি দ্রুত করতে দেয়। শুধু জেনে রাখুন যে যদি সমস্যাটিতে x পরিবর্তনশীলটি শুধুমাত্র একটি জায়গায় ঘটে থাকে (অথবা বরং, একটি একক লগারিদমের একক যুক্তিতে), এবং আমাদের ক্ষেত্রে অন্য কোথাও x ভেরিয়েবলটি উপস্থিত হয় না, তাহলে সংজ্ঞার ডোমেনটি লিখুন দরকার নেই, কারণ এটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে কার্যকর হবে।

নিজের জন্য বিচার করুন: প্রথম সমীকরণে আমরা পেয়েছি যে 3x − 1, অর্থাৎ যুক্তিটি 8 এর সমান হওয়া উচিত। এর স্বয়ংক্রিয় অর্থ হল 3x −1 শূন্যের চেয়ে বড় হবে।

একই সাফল্যের সাথে আমরা লিখতে পারি যে দ্বিতীয় ক্ষেত্রে x 5 2 এর সমান হওয়া উচিত, অর্থাৎ এটি অবশ্যই শূন্যের চেয়ে বড়। এবং তৃতীয় ক্ষেত্রে, যেখানে x + 3 = 25,000, অর্থাৎ, আবার, স্পষ্টতই শূন্যের চেয়ে বেশি। অন্য কথায়, সুযোগ স্বয়ংক্রিয়ভাবে সন্তুষ্ট হয়, কিন্তু শুধুমাত্র যদি শুধুমাত্র একটি লগারিদমের যুক্তিতে x ঘটে।

সহজতম সমস্যাগুলি সমাধান করার জন্য আপনাকে যা জানতে হবে। এই নিয়ম একা, রূপান্তর নিয়মের সাথে, আপনাকে অনেক বিস্তৃত সমস্যার সমাধান করতে দেবে।

কিন্তু আসুন সৎ হোন: শেষ পর্যন্ত এই কৌশলটি বোঝার জন্য, লগারিদমিক সমীকরণের ক্যানোনিকাল ফর্মটি কীভাবে প্রয়োগ করতে হয় তা শিখতে, শুধুমাত্র একটি ভিডিও পাঠ দেখা যথেষ্ট নয়। অতএব, এখনই, এই ভিডিও পাঠের সাথে সংযুক্ত স্বাধীন সমাধানের বিকল্পগুলি ডাউনলোড করুন এবং এই দুটি স্বাধীন কাজের মধ্যে অন্তত একটি সমাধান করা শুরু করুন৷

এটি আপনাকে আক্ষরিকভাবে কয়েক মিনিট সময় নেবে। তবে আপনি যদি এই ভিডিও পাঠটি কেবল দেখে থাকেন তবে এই জাতীয় প্রশিক্ষণের প্রভাব অনেক বেশি হবে।

আমি আশা করি এই পাঠটি আপনাকে লগারিদমিক সমীকরণ বুঝতে সাহায্য করবে। ক্যানোনিকাল ফর্মটি ব্যবহার করুন, লগারিদমগুলির সাথে কাজ করার নিয়মগুলি ব্যবহার করে অভিব্যক্তিকে সরল করুন - এবং আপনি কোনও সমস্যার ভয় পাবেন না। আমি আজকের জন্য যে সব আছে.

সংজ্ঞা ডোমেন অ্যাকাউন্টে গ্রহণ

এখন লগারিদমিক ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেন সম্পর্কে কথা বলা যাক এবং এটি লগারিদমিক সমীকরণের সমাধানকে কীভাবে প্রভাবিত করে। ফর্মের একটি নির্মাণ বিবেচনা করুন

log a f(x) = b

এই ধরনের একটি অভিব্যক্তিকে বলা হয় সরলতম - এটিতে শুধুমাত্র একটি ফাংশন রয়েছে, এবং সংখ্যা a এবং b শুধুমাত্র সংখ্যা, এবং কোন ক্ষেত্রেই একটি ফাংশন যা পরিবর্তনশীল x এর উপর নির্ভর করে না। এটি খুব সহজভাবে সমাধান করা যেতে পারে। আপনাকে কেবল সূত্রটি ব্যবহার করতে হবে:

b = লগ a a b

এই সূত্রটি লগারিদমের মূল বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে একটি, এবং আমাদের মূল অভিব্যক্তিতে প্রতিস্থাপন করার সময় আমরা নিম্নলিখিতগুলি পাই:

log a f(x) = log a a b

f(x) = a b

এটি স্কুলের পাঠ্যবই থেকে একটি পরিচিত সূত্র। অনেক শিক্ষার্থীর সম্ভবত একটি প্রশ্ন থাকবে: যেহেতু মূল অভিব্যক্তিতে f (x) ফাংশনটি লগ চিহ্নের অধীনে রয়েছে, তাই এর উপর নিম্নলিখিত বিধিনিষেধ আরোপ করা হয়েছে:

f(x) > 0

এই সীমাবদ্ধতা প্রযোজ্য কারণ ঋণাত্মক সংখ্যার লগারিদম বিদ্যমান নেই। সুতরাং, সম্ভবত, এই সীমাবদ্ধতার ফলে, উত্তরগুলির একটি চেক চালু করা উচিত? সম্ভবত তারা উত্স মধ্যে সন্নিবেশ করা প্রয়োজন?

না, সহজ লগারিদমিক সমীকরণে অতিরিক্ত চেকিং অপ্রয়োজনীয়। আর এই কারণে। আমাদের চূড়ান্ত সূত্র একবার দেখুন:

f(x) = a b

আসল বিষয়টি হল যে সংখ্যাটি যে কোনও ক্ষেত্রেই 0-এর চেয়ে বেশি - এই প্রয়োজনীয়তাটি লগারিদম দ্বারাও আরোপ করা হয়। সংখ্যা a হল ভিত্তি। এই ক্ষেত্রে, সংখ্যার উপর কোন বিধিনিষেধ আরোপ করা হয় না। কিন্তু এটি কোন ব্যাপার না, কারণ আমরা যে শক্তিতে একটি ধনাত্মক সংখ্যা বাড়াই না কেন, আমরা এখনও আউটপুটে একটি ধনাত্মক সংখ্যা পাব। এইভাবে, প্রয়োজনীয়তা f(x) > 0 স্বয়ংক্রিয়ভাবে সন্তুষ্ট হয়।

লগ সাইনের অধীনে ফাংশনের ডোমেনটি কি সত্যিই যাচাই করা দরকার। বেশ জটিল কাঠামো থাকতে পারে এবং সমাধান প্রক্রিয়া চলাকালীন আপনাকে অবশ্যই তাদের উপর নজর রাখতে হবে। চলুন দেখে নেওয়া যাক।

প্রথম কাজ:

প্রথম ধাপ: ডানদিকে ভগ্নাংশ রূপান্তর করুন। আমরা পেতে:

আমরা লগারিদম চিহ্ন থেকে মুক্তি পাই এবং স্বাভাবিক অযৌক্তিক সমীকরণ পাই:

প্রাপ্ত শিকড়গুলির মধ্যে, শুধুমাত্র প্রথমটি আমাদের জন্য উপযুক্ত, যেহেতু দ্বিতীয় মূলটি শূন্যের চেয়ে কম। একমাত্র উত্তর হবে 9 নম্বর। এটাই, সমস্যার সমাধান। লগারিদম চিহ্নের অধীনে অভিব্যক্তিটি 0-এর চেয়ে বেশি তা নিশ্চিত করার জন্য কোনও অতিরিক্ত চেকের প্রয়োজন নেই, কারণ এটি কেবল 0-এর বেশি নয়, তবে সমীকরণের শর্ত অনুসারে এটি 2-এর সমান। অতএব, প্রয়োজন “শূন্যের চেয়ে বড় ” স্বয়ংক্রিয়ভাবে সন্তুষ্ট হয়।

আসুন দ্বিতীয় টাস্কে এগিয়ে যাই:

এখানে সবকিছু একই। আমরা ট্রিপল প্রতিস্থাপন করে নির্মাণটি পুনরায় লিখি:

আমরা লগারিদম চিহ্নগুলি থেকে পরিত্রাণ পাই এবং একটি অযৌক্তিক সমীকরণ পাই:

আমরা সীমাবদ্ধতা বিবেচনা করে উভয় পক্ষকে বর্গক্ষেত্র করি এবং পাই:

4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2

4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 −4 + ​​6x + x 2 = 0

2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2

x 2 + 7x + 6 = 0

আমরা বৈষম্যকারীর মাধ্যমে ফলাফল সমীকরণটি সমাধান করি:

D = 49 − 24 = 25

x 1 = −1

x 2 = −6

কিন্তু x = −6 আমাদের জন্য উপযুক্ত নয়, কারণ যদি আমরা এই সংখ্যাটিকে আমাদের অসমতার সাথে প্রতিস্থাপন করি, তাহলে আমরা পাই:

−6 + 4 = −2 < 0

আমাদের ক্ষেত্রে, 0 বা এর বেশি হওয়া আবশ্যক একটি শেষ অবলম্বন হিসাবেসমান কিন্তু x = −1 আমাদের জন্য উপযুক্ত:

−1 + 4 = 3 > 0

আমাদের ক্ষেত্রে একমাত্র উত্তর হবে x = −1। এটাই সমাধান। আসুন আমাদের গণনার একেবারে শুরুতে ফিরে যাই।

এই পাঠের প্রধান উপায় হল যে আপনাকে সহজ লগারিদমিক সমীকরণে একটি ফাংশনে সীমাবদ্ধতা পরীক্ষা করতে হবে না। কারণ সমাধান প্রক্রিয়া চলাকালীন সমস্ত সীমাবদ্ধতা স্বয়ংক্রিয়ভাবে সন্তুষ্ট হয়।

যাইহোক, এর মানে এই নয় যে আপনি সম্পূর্ণ চেক করার কথা ভুলে যেতে পারেন। লগারিদমিক সমীকরণে কাজ করার প্রক্রিয়ায়, এটি একটি অযৌক্তিক সমীকরণে পরিণত হতে পারে, যার ডান দিকের জন্য নিজস্ব সীমাবদ্ধতা এবং প্রয়োজনীয়তা থাকবে, যা আমরা আজ দুটি ভিন্ন উদাহরণে দেখেছি।

এই ধরনের সমস্যাগুলি নির্দ্বিধায় সমাধান করুন এবং বিশেষত সতর্ক থাকুন যদি তর্কের মূল থাকে।

বিভিন্ন বেস সহ লগারিদমিক সমীকরণ

আমরা লগারিদমিক সমীকরণগুলি অধ্যয়ন চালিয়ে যাচ্ছি এবং আরও দুটি বেশ আকর্ষণীয় কৌশল দেখি যার সাহায্যে এটি আরও জটিল নির্মাণগুলি সমাধান করা ফ্যাশনেবল। তবে প্রথমে, আসুন মনে করি কিভাবে সহজ সমস্যাগুলি সমাধান করা হয়:

log a f(x) = b

এই এন্ট্রিতে, a এবং b হল সংখ্যা, এবং ফাংশনে f (x) ভেরিয়েবল x থাকতে হবে, এবং শুধুমাত্র সেখানে, অর্থাৎ x শুধুমাত্র আর্গুমেন্টে থাকতে হবে। আমরা ক্যানোনিকাল ফর্ম ব্যবহার করে এই ধরনের লগারিদমিক সমীকরণগুলিকে রূপান্তর করব। এটি করতে, নোট করুন যে

b = লগ a a b

অধিকন্তু, a b অবিকল একটি যুক্তি। আসুন এই অভিব্যক্তিটি নিম্নরূপ পুনরায় লিখি:

log a f(x) = log a a b

এটি ঠিক যা আমরা অর্জন করার চেষ্টা করছি, যাতে বাম এবং ডান উভয়ের উপর ভিত্তি করার জন্য একটি লগারিদম থাকে। এই ক্ষেত্রে, আমরা রূপকভাবে বলতে পারি, লগ চিহ্নগুলিকে ক্রস আউট করতে পারি এবং গাণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে আমরা বলতে পারি যে আমরা কেবল যুক্তিগুলিকে সমান করছি:

f(x) = a b

ফলস্বরূপ, আমরা একটি নতুন অভিব্যক্তি পাব যা সমাধান করা অনেক সহজ হবে। আসুন আজ আমাদের সমস্যার ক্ষেত্রে এই নিয়মটি প্রয়োগ করি।

সুতরাং, প্রথম নকশা:

প্রথমত, আমি লক্ষ্য করি যে ডানদিকে একটি ভগ্নাংশ রয়েছে যার হর হল লগ। আপনি যখন এইরকম একটি অভিব্যক্তি দেখতে পান, তখন লগারিদমের একটি দুর্দান্ত সম্পত্তি মনে রাখা ভাল ধারণা:

রাশিয়ান ভাষায় অনুবাদ করা হয়েছে, এর মানে হল যে কোনো লগারিদমকে যেকোনো বেস c সহ দুটি লগারিদমের ভাগফল হিসেবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। অবশ্যই 0< с ≠ 1.

সুতরাং: এই সূত্রটির একটি বিস্ময়কর বিশেষ ক্ষেত্রে রয়েছে, যখন চলক c ভেরিয়েবলের সমান খ. এই ক্ষেত্রে আমরা একটি নির্মাণ পেতে পারি:

আমাদের সমীকরণের ডানদিকের চিহ্ন থেকে আমরা ঠিক এই নির্মাণ দেখতে পাই। আসুন এই নির্মাণটিকে log a b দিয়ে প্রতিস্থাপন করি, আমরা পাই:

অন্য কথায়, মূল কাজের সাথে তুলনা করে, আমরা যুক্তি এবং লগারিদমের ভিত্তি অদলবদল করেছি। পরিবর্তে, আমরা ভগ্নাংশ বিপরীত ছিল.

আমরা মনে করি যে কোন ডিগ্রি নিম্নলিখিত নিয়ম অনুযায়ী বেস থেকে প্রাপ্ত করা যেতে পারে:

অন্য কথায়, সহগ k, যা ভিত্তির শক্তি, একটি উল্টানো ভগ্নাংশ হিসাবে প্রকাশ করা হয়। আসুন এটিকে একটি উল্টানো ভগ্নাংশ হিসাবে রেন্ডার করি:

ভগ্নাংশের ফ্যাক্টরটি সামনে রেখে দেওয়া যাবে না, কারণ এই ক্ষেত্রে আমরা এই স্বরলিপিটিকে একটি ক্যানোনিকাল ফর্ম হিসাবে উপস্থাপন করতে সক্ষম হব না (সর্বশেষে, ক্যানোনিকাল ফর্মটিতে দ্বিতীয় লগারিদমের আগে কোনও অতিরিক্ত ফ্যাক্টর নেই)। অতএব, একটি শক্তি হিসাবে যুক্তিতে ভগ্নাংশ 1/4 যোগ করা যাক:

এখন আমরা যুক্তিগুলিকে সমতুল্য করি যার ভিত্তিগুলি একই (এবং আমাদের ভিত্তিগুলি সত্যিই একই), এবং লিখুন:

x + 5 = 1

x = −4

এখানেই শেষ। আমরা প্রথম লগারিদমিক সমীকরণের উত্তর পেয়েছি। অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন: মূল সমস্যাটিতে, ভেরিয়েবল x শুধুমাত্র একটি লগে প্রদর্শিত হয় এবং এটি তার যুক্তিতে উপস্থিত হয়। অতএব, ডোমেন চেক করার কোন প্রয়োজন নেই, এবং আমাদের সংখ্যা x = −4 প্রকৃতপক্ষে উত্তর।

এখন দ্বিতীয় অভিব্যক্তিতে যাওয়া যাক:

log 56 = log 2 log 2 7 − 3log (x + 4)

এখানে, সাধারণ লগারিদম ছাড়াও, আমাদের লগ f(x) নিয়ে কাজ করতে হবে। কিভাবে এই ধরনের একটি সমীকরণ সমাধান? একজন অপ্রস্তুত শিক্ষার্থীর কাছে মনে হতে পারে এটি একধরনের কঠিন কাজ, কিন্তু আসলে সবকিছুই প্রাথমিক উপায়ে সমাধান করা যেতে পারে।

lg 2 log 2 7 টার্মটি ঘনিষ্ঠভাবে দেখুন। আমরা এটি সম্পর্কে কী বলতে পারি? লগ এবং এলজি এর ভিত্তি এবং আর্গুমেন্ট একই, এবং এটি কিছু ধারণা দিতে হবে। আসুন আবার মনে করি কীভাবে লগারিদমের চিহ্নের নীচে থেকে শক্তিগুলি নেওয়া হয়:

log a b n = nlog a b

অন্য কথায়, যুক্তিতে b-এর শক্তি কী ছিল তা লগের সামনেই একটি ফ্যাক্টর হয়ে যায়। আসুন এই সূত্রটি lg 2 log 2 7-এ প্রয়োগ করি। lg 2 দ্বারা ভয় পাবেন না - এটি সবচেয়ে সাধারণ অভিব্যক্তি। আপনি নিম্নলিখিত হিসাবে এটি পুনরায় লিখতে পারেন:

অন্য কোনো লগারিদমের জন্য প্রযোজ্য সমস্ত নিয়ম এটির জন্য বৈধ। বিশেষ করে, সামনের ফ্যাক্টর যুক্ত করা যেতে পারে যুক্তির মাত্রায়। আসুন এটি লিখুন:

খুব প্রায়ই, ছাত্ররা এই ক্রিয়াটি সরাসরি দেখতে পায় না, কারণ একটি লগে অন্যটির চিহ্নের নীচে প্রবেশ করা ভাল নয়। প্রকৃতপক্ষে, এতে অপরাধী বলে কিছু নেই। তদুপরি, আমরা একটি সূত্র পাই যা গণনা করা সহজ যদি আপনি একটি গুরুত্বপূর্ণ নিয়ম মনে রাখেন:

এই সূত্রটি একটি সংজ্ঞা এবং এর বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে একটি হিসাবে উভয়ই বিবেচনা করা যেতে পারে। যাই হোক না কেন, আপনি যদি লগারিদমিক সমীকরণ রূপান্তর করেন, আপনার এই সূত্রটি জানা উচিত ঠিক যেমন আপনি যেকোনো সংখ্যার লগ উপস্থাপনা জানেন।

আমাদের টাস্ক ফিরে আসুন. সমান চিহ্নের ডানদিকের প্রথম পদটি lg 7-এর সমান হবে এই বিষয়টি বিবেচনায় রেখে আমরা এটি পুনরায় লিখি। আমাদের আছে:

lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)

lg 7 বাম দিকে সরানো যাক, আমরা পাই:

lg 56 − log 7 = −3lg (x + 4)

আমরা বাম দিকের অভিব্যক্তিগুলি বিয়োগ করি কারণ তাদের একই ভিত্তি রয়েছে:

lg (56/7) = −3lg (x + 4)

এখন আসুন আমরা যে সমীকরণটি পেয়েছি তা ঘনিষ্ঠভাবে দেখে নেওয়া যাক। এটি কার্যত ক্যানোনিকাল ফর্ম, কিন্তু ডানদিকে একটি ফ্যাক্টর −3 আছে। সঠিক lg আর্গুমেন্টে এটি যোগ করা যাক:

লগ 8 = লগ (x + 4) −3

আমাদের আগে লগারিদমিক সমীকরণের ক্যানোনিকাল ফর্ম, তাই আমরা lg চিহ্নগুলিকে ক্রস আউট করি এবং আর্গুমেন্টগুলিকে সমান করি:

(x + 4) −3 = 8

x + 4 = 0.5

এখানেই শেষ! আমরা দ্বিতীয় লগারিদমিক সমীকরণটি সমাধান করেছি। এই ক্ষেত্রে, কোনও অতিরিক্ত চেকের প্রয়োজন নেই, কারণ মূল সমস্যাটিতে x শুধুমাত্র একটি যুক্তিতে উপস্থিত ছিল।

আমাকে এই পাঠের মূল বিষয়গুলি আবার তালিকাভুক্ত করতে দিন।

লগারিদমিক সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য উত্সর্গীকৃত এই পৃষ্ঠার সমস্ত পাঠে যে মূল সূত্রটি শেখানো হয় তা হল ক্যানোনিকাল ফর্ম৷ এবং ভয় পাবেন না যে বেশিরভাগ স্কুলের পাঠ্যপুস্তক আপনাকে এই ধরনের সমস্যাগুলি ভিন্নভাবে সমাধান করতে শেখায়। এই টুলটি খুব কার্যকরীভাবে কাজ করে এবং আপনাকে আমাদের পাঠের একেবারে শুরুতে আমরা যে সহজে অধ্যয়ন করেছি তার চেয়ে অনেক বিস্তৃত সমস্যার সমাধান করতে দেয়।

উপরন্তু, লগারিদমিক সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য এটি মৌলিক বৈশিষ্ট্যগুলি জানতে কার্যকর হবে। যথা:

1. একটি বেসে যাওয়ার সূত্র এবং বিশেষ ক্ষেত্রে যখন আমরা লগ বিপরীত করি (প্রথম সমস্যায় এটি আমাদের জন্য খুব দরকারী ছিল);
2. লগারিদম চিহ্ন থেকে শক্তি যোগ ও বিয়োগ করার সূত্র। এখানে, অনেক শিক্ষার্থী আটকে যায় এবং দেখতে পায় না যে ডিগ্রি নেওয়া এবং প্রবর্তিত হওয়াতে লগ f (x) থাকতে পারে। এতে দোষের কিছু নেই। আমরা অন্যটির চিহ্ন অনুসারে একটি লগ প্রবর্তন করতে পারি এবং একই সাথে সমস্যাটির সমাধানকে উল্লেখযোগ্যভাবে সরল করতে পারি, যা আমরা দ্বিতীয় ক্ষেত্রে লক্ষ্য করি।

উপসংহারে, আমি যোগ করতে চাই যে এই প্রতিটি ক্ষেত্রে সংজ্ঞার ডোমেন চেক করার প্রয়োজন নেই, কারণ সব জায়গায় ভেরিয়েবল x শুধুমাত্র লগের একটি চিহ্নে উপস্থিত রয়েছে এবং একই সাথে তার যুক্তিতে রয়েছে। ফলস্বরূপ, সুযোগের সমস্ত প্রয়োজনীয়তা স্বয়ংক্রিয়ভাবে পূরণ হয়।

পরিবর্তনশীল বেস সঙ্গে সমস্যা

আজ আমরা লগারিদমিক সমীকরণগুলি দেখব, যা অনেক শিক্ষার্থীর কাছে অ-মানক বলে মনে হয়, যদি সম্পূর্ণরূপে অমীমাংসিত না হয়। আমরা সংখ্যার উপর ভিত্তি করে নয়, ভেরিয়েবল এবং এমনকি ফাংশনের উপর ভিত্তি করে অভিব্যক্তি সম্পর্কে কথা বলছি। আমরা আমাদের আদর্শ কৌশল ব্যবহার করে এই ধরনের নির্মাণগুলি সমাধান করব, যথা ক্যানোনিকাল ফর্মের মাধ্যমে৷

প্রথমত, আসুন সাধারণ সংখ্যার উপর ভিত্তি করে কীভাবে সহজতম সমস্যাগুলি সমাধান করা হয় তা মনে রাখা যাক। সুতরাং, সবচেয়ে সহজ নির্মাণ বলা হয়

log a f(x) = b

এই ধরনের সমস্যা সমাধানের জন্য আমরা নিম্নলিখিত সূত্র ব্যবহার করতে পারি:

b = লগ a a b

আমরা আমাদের আসল অভিব্যক্তি আবার লিখি এবং পাই:

log a f(x) = log a a b

তারপরে আমরা যুক্তিগুলিকে সমান করি, যেমন আমরা লিখি:

f(x) = a b

এইভাবে, আমরা লগ চিহ্ন পরিত্রাণ পেতে এবং স্বাভাবিক সমস্যা সমাধান. এই ক্ষেত্রে, সমাধান থেকে প্রাপ্ত মূলগুলি মূল লগারিদমিক সমীকরণের মূল হবে। উপরন্তু, একটি রেকর্ড যখন বাম এবং ডান উভয় একই বেস সহ একই লগারিদমে থাকে তাকে অবিকল ক্যানোনিকাল ফর্ম বলা হয়। এটি এমন একটি রেকর্ড যে আমরা আজকের ডিজাইনগুলি কমানোর চেষ্টা করব। তাহলে এবার চল।

প্রথম কাজ:

লগ x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

লগ x − 2 (x − 2) 1 দিয়ে 1 প্রতিস্থাপন করুন। আর্গুমেন্টে আমরা যে ডিগ্রীটি পর্যবেক্ষণ করি তা আসলে সমান চিহ্নের ডানদিকে দাঁড়ানো বি সংখ্যা। সুতরাং, আমাদের অভিব্যক্তি পুনর্লিখন করা যাক. আমরা পেতে:

লগ x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = লগ x − 2 (x − 2)

আমরা কি দেখতে পাচ্ছি? আমাদের আগে লগারিদমিক সমীকরণের ক্যানোনিকাল ফর্ম, তাই আমরা নিরাপদে আর্গুমেন্টগুলিকে সমান করতে পারি। আমরা পেতে:

2x 2 − 13x + 18 = x − 2

কিন্তু সমাধানটি সেখানেই শেষ হয় না, কারণ এই সমীকরণটি আসলটির সমতুল্য নয়। সর্বোপরি, ফলাফলের নির্মাণে এমন ফাংশন রয়েছে যা সম্পূর্ণ সংখ্যারেখায় সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং আমাদের মূল লগারিদমগুলি সর্বত্র সংজ্ঞায়িত করা হয় না এবং সর্বদা নয়।

অতএব, আমাদের অবশ্যই আলাদাভাবে সংজ্ঞার ডোমেইনটি লিখতে হবে। আসুন চুল বিভক্ত না করে প্রথমে সমস্ত প্রয়োজনীয়তা লিখুন:

প্রথমত, প্রতিটি লগারিদমের আর্গুমেন্ট অবশ্যই 0-এর বেশি হতে হবে:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

দ্বিতীয়ত, ভিত্তিটি শুধুমাত্র 0-এর বেশি নয়, 1 থেকেও আলাদা হতে হবে:

x − 2 ≠ 1

ফলস্বরূপ, আমরা সিস্টেম পাই:

কিন্তু আতঙ্কিত হবেন না: লগারিদমিক সমীকরণ প্রক্রিয়া করার সময়, এই ধরনের একটি সিস্টেম উল্লেখযোগ্যভাবে সরলীকৃত করা যেতে পারে।

নিজের জন্য বিচার করুন: একদিকে, আমাদের প্রয়োজন যে দ্বিঘাত ফাংশনটি শূন্যের চেয়ে বড় হবে, এবং অন্যদিকে, এই দ্বিঘাত ফাংশনটি একটি নির্দিষ্ট রৈখিক অভিব্যক্তির সাথে সমান, যার জন্য এটি শূন্যের চেয়েও বেশি হওয়া প্রয়োজন।

এই ক্ষেত্রে, যদি আমাদের প্রয়োজন হয় x − 2 > 0, তাহলে প্রয়োজনীয়তা 2x 2 − 13x + 18 > 0 স্বয়ংক্রিয়ভাবে সন্তুষ্ট হবে তাই, আমরা নিরাপদে দ্বিঘাত ফাংশন সহ অসমতা অতিক্রম করতে পারি। এইভাবে, আমাদের সিস্টেমে থাকা অভিব্যক্তির সংখ্যা তিনটি কমে যাবে।

অবশ্যই, একই সাফল্যের সাথে আমরা রৈখিক অসমতা অতিক্রম করতে পারি, অর্থাৎ, x − 2 > 0 অতিক্রম করতে পারি এবং প্রয়োজন 2x 2 − 13x + 18 > 0। কিন্তু আপনি একমত হবেন যে সহজ রৈখিক অসমতা সমাধান করা অনেক দ্রুত। এবং সহজ, চতুর্মাত্রিক থেকে, এমনকি এই শর্তেও যে এই পুরো সিস্টেমটি সমাধান করার ফলে আমরা একই শিকড় পেতে পারি।

সাধারণভাবে, যখনই সম্ভব গণনা অপ্টিমাইজ করার চেষ্টা করুন। এবং লগারিদমিক সমীকরণের ক্ষেত্রে, সবচেয়ে কঠিন অসমতাগুলিকে অতিক্রম করুন।

আসুন আমাদের সিস্টেমটি পুনরায় লিখি:

এখানে তিনটি অভিব্যক্তির একটি সিস্টেম রয়েছে, যার মধ্যে দুটি আমরা ইতিমধ্যেই মোকাবেলা করেছি। চলুন আলাদাভাবে দ্বিঘাত সমীকরণ লিখি এবং সমাধান করি:

2x 2 − 14x + 20 = 0

x 2 − 7x + 10 = 0

আমাদের আগে একটি সংক্ষিপ্ত দ্বিঘাত ত্রিনয়িক এবং তাই, আমরা ভিয়েটার সূত্রগুলি ব্যবহার করতে পারি। আমরা পেতে:

(x − 5)(x − 2) = 0

x 1 = 5

x 2 = 2

এখন আমরা আমাদের সিস্টেমে ফিরে দেখি যে x = 2 আমাদের জন্য উপযুক্ত নয়, কারণ আমাদের প্রয়োজন যে x কঠোরভাবে 2-এর থেকে বড় হবে।

কিন্তু x = 5 আমাদের জন্য পুরোপুরি উপযুক্ত: 5 সংখ্যাটি 2 এর চেয়ে বড়, এবং একই সময়ে 5 3 ​​এর সমান নয়। অতএব, এই সিস্টেমের একমাত্র সমাধান হবে x = 5।

এটিই, ODZ বিবেচনায় নিয়ে সমস্যাটি সমাধান করা হয়েছে। আসুন দ্বিতীয় সমীকরণে এগিয়ে যাই। আরও আকর্ষণীয় এবং তথ্যপূর্ণ গণনা এখানে আমাদের জন্য অপেক্ষা করছে:

প্রথম ধাপ: গতবারের মতো, আমরা এই পুরো বিষয়টিকে ক্যানোনিকাল আকারে নিয়ে এসেছি। এটি করার জন্য, আমরা 9 ​​নম্বরটি নিম্নরূপ লিখতে পারি:

আপনাকে মূলের সাথে ভিত্তিটি স্পর্শ করতে হবে না, তবে যুক্তিটি রূপান্তর করা ভাল। চলুন মূল থেকে শক্তিতে একটি যুক্তিযুক্ত সূচক সহ সরানো যাক। আসুন লিখি:

আমাকে আমাদের পুরো বৃহৎ লগারিদমিক সমীকরণটি পুনরায় লিখতে না দিন, তবে অবিলম্বে আর্গুমেন্টগুলি সমান করুন:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

আমাদের আগে একটি সদ্য হ্রাস করা দ্বিঘাত ত্রিনামিক, আসুন ভিয়েটার সূত্রগুলি ব্যবহার করি এবং লিখি:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

সুতরাং, আমরা শিকড় পেয়েছি, কিন্তু কেউ আমাদের গ্যারান্টি দেয়নি যে তারা মূল লগারিদমিক সমীকরণের সাথে খাপ খাবে। সর্বোপরি, লগ চিহ্নগুলি অতিরিক্ত বিধিনিষেধ আরোপ করে (এখানে আমাদের সিস্টেমটি লেখা উচিত ছিল, তবে পুরো কাঠামোর জটিল প্রকৃতির কারণে, আমি সংজ্ঞার ডোমেনটি আলাদাভাবে গণনা করার সিদ্ধান্ত নিয়েছি)।

প্রথমত, মনে রাখবেন যে আর্গুমেন্টগুলি অবশ্যই 0 এর বেশি হতে হবে, যথা:

এগুলি সংজ্ঞার সুযোগ দ্বারা আরোপিত প্রয়োজনীয়তা।

আসুন আমরা অবিলম্বে লক্ষ্য করি যে যেহেতু আমরা সিস্টেমের প্রথম দুটি অভিব্যক্তিকে একে অপরের সাথে সমান করি, আমরা সেগুলির যে কোনওটিকে অতিক্রম করতে পারি। প্রথমটিকে অতিক্রম করা যাক কারণ এটি দ্বিতীয়টির চেয়ে বেশি ভয়ঙ্কর দেখাচ্ছে৷

এছাড়াও, মনে রাখবেন যে দ্বিতীয় এবং তৃতীয় অসমতার সমাধান একই সেট হবে (কিছু সংখ্যার ঘনক্ষেত্র শূন্যের চেয়ে বড়, যদি এই সংখ্যাটি নিজেই শূন্যের চেয়ে বড় হয়; একইভাবে, তৃতীয় ডিগ্রির মূলের সাথে - এই অসমতাগুলি সম্পূর্ণ সাদৃশ্যপূর্ণ, তাই আমরা এটি অতিক্রম করতে পারি)।

কিন্তু তৃতীয় অসমতার সাথে এটি কাজ করবে না। আসুন উভয় অংশকে একটি ঘনক্ষেত্রে উত্থাপন করে বাম দিকের র্যাডিকাল চিহ্নটি থেকে পরিত্রাণ পাই। আমরা পেতে:

তাই আমরা নিম্নলিখিত প্রয়োজনীয়তা পেতে:

− 2 ≠ x > −3

আমাদের কোন শিকড়গুলি: x 1 = −3 বা x 2 = −1 এই প্রয়োজনীয়তাগুলি পূরণ করে? স্পষ্টতই, শুধুমাত্র x = −1, কারণ x = −3 প্রথম অসমতাকে সন্তুষ্ট করে না (যেহেতু আমাদের অসমতা কঠোর)। সুতরাং, আমাদের সমস্যায় ফিরে এসে, আমরা একটি রুট পাই: x = −1। এটা, সমস্যা সমাধান.

আবারও, এই কাজের মূল পয়েন্ট:

1. ক্যানোনিকাল ফর্ম ব্যবহার করে লগারিদমিক সমীকরণ প্রয়োগ এবং সমাধান করতে নির্দ্বিধায়। যে শিক্ষার্থীরা এই ধরনের স্বরলিপি তৈরি করে, মূল সমস্যা থেকে সরাসরি log a f(x) = b-এর মতো নির্মাণে না গিয়ে, যারা গণনার মধ্যবর্তী ধাপগুলি এড়িয়ে কোথাও তাড়াহুড়ো করে তাদের তুলনায় অনেক কম ভুল করে;
2. লগারিদমে একটি পরিবর্তনশীল বেস উপস্থিত হওয়ার সাথে সাথে সমস্যাটি সবচেয়ে সহজ হয়ে যায়। অতএব, এটি সমাধান করার সময়, সংজ্ঞার ডোমেনটি বিবেচনায় নেওয়া প্রয়োজন: আর্গুমেন্টগুলি অবশ্যই শূন্যের চেয়ে বেশি হতে হবে এবং ভিত্তিগুলি অবশ্যই 0-এর বেশি হওয়া উচিত নয়, তবে সেগুলি অবশ্যই 1 এর সমান হবে না।

চূড়ান্ত প্রয়োজনীয়তা বিভিন্ন উপায়ে চূড়ান্ত উত্তর প্রয়োগ করা যেতে পারে. উদাহরণস্বরূপ, আপনি সংজ্ঞার ডোমেনের জন্য সমস্ত প্রয়োজনীয়তা সমন্বিত একটি সম্পূর্ণ সিস্টেম সমাধান করতে পারেন। অন্যদিকে, আপনি প্রথমে সমস্যাটি নিজেই সমাধান করতে পারেন, এবং তারপরে সংজ্ঞার ডোমেনটি মনে রাখতে পারেন, আলাদাভাবে এটি একটি সিস্টেমের আকারে কাজ করে এবং প্রাপ্ত শিকড়গুলিতে প্রয়োগ করতে পারেন।

একটি নির্দিষ্ট লগারিদমিক সমীকরণ সমাধান করার সময় কোন পদ্ধতিটি বেছে নেবেন তা আপনার উপর নির্ভর করে। যাই হোক না কেন, উত্তর একই হবে।

লগারিদমিক সমীকরণ এবং অসমতাগণিতের ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষায় এটি উত্সর্গীকৃত সমস্যা C3 . প্রতিটি ছাত্রকে অবশ্যই গণিতে ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষা থেকে C3 টাস্কগুলি সমাধান করতে শিখতে হবে যদি সে আসন্ন পরীক্ষা "ভাল" বা "চমৎকার" দিয়ে পাস করতে চায়। এই নিবন্ধটি উপস্থাপন সংক্ষিপ্ত পর্যালোচনাপ্রায়শই লগারিদমিক সমীকরণ এবং অসমতার সম্মুখীন হয়, সেইসাথে সেগুলি সমাধানের জন্য মৌলিক পদ্ধতিগুলি।

তো, আসুন আজকে কয়েকটি উদাহরণ দেখি। লগারিদমিক সমীকরণ এবং অসমতা, যা পূর্ববর্তী বছরের গণিতের ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষায় শিক্ষার্থীদের দেওয়া হয়েছিল। তবে এটি মূল তাত্ত্বিক পয়েন্টগুলির একটি সংক্ষিপ্ত সারাংশ দিয়ে শুরু হবে যা আমাদের তাদের সমাধান করতে হবে।

লগারিদমিক ফাংশন

সংজ্ঞা

ফর্মের ফাংশন

0,\, a\ne 1 \]" title="QuickLaTeX.com দ্বারা রেন্ডার করা হয়েছে">!}

ডাকা লগারিদমিক ফাংশন.

মৌলিক বৈশিষ্ট্য

লগারিদমিক ফাংশনের মৌলিক বৈশিষ্ট্য y= লগ একটি x:

লগারিদমিক ফাংশনের গ্রাফ হল লগারিদমিক বক্ররেখা:

লগারিদমের বৈশিষ্ট্য

পণ্যের লগারিদমদুটি ধনাত্মক সংখ্যা এই সংখ্যার লগারিদমের যোগফলের সমান:

শিরোনাম="QuickLaTeX.com দ্বারা রেন্ডার করা হয়েছে৷">!}

ভাগফলের লগারিদমদুটি ধনাত্মক সংখ্যা এই সংখ্যার লগারিদমের মধ্যে পার্থক্যের সমান:

শিরোনাম="QuickLaTeX.com দ্বারা রেন্ডার করা হয়েছে৷">!}

যদি কএবং খ ক≠ 1, তারপর যেকোনো সংখ্যার জন্য r সমতা সত্য:

শিরোনাম="QuickLaTeX.com দ্বারা রেন্ডার করা হয়েছে৷">!}

সমতালগ ক t= লগ ক s, কোথায় ক > 0, ক ≠ 1, t > 0, s> 0, বৈধ যদি এবং শুধুমাত্র যদি t = s

যদি ক, খ, গধনাত্মক সংখ্যা, এবং কএবং গঐক্য থেকে আলাদা, তারপর সাম্য ( একটি নতুন লগারিদম বেসে যাওয়ার জন্য সূত্র):

শিরোনাম="QuickLaTeX.com দ্বারা রেন্ডার করা হয়েছে৷">!}

উপপাদ্য ঘ.যদি চ(এক্স) > 0 এবং g(এক্স) > 0, তারপর লগারিদমিক সমীকরণ লগ একটি চ(এক্স) = লগ একটি ছ(এক্স) (কোথায় ক > 0, ক≠ 1) সমীকরণের সমতুল্য চ(এক্স) = g(এক্স).

লগারিদমিক সমীকরণ এবং অসমতা সমাধান করা

উদাহরণ 1.সমীকরণটি সমাধান করুন:

সমাধান।গ্রহণযোগ্য মানগুলির পরিসর শুধুমাত্র সেগুলিই অন্তর্ভুক্ত করে এক্স, যার জন্য লগারিদম চিহ্নের অধীনে অভিব্যক্তিটি শূন্যের চেয়ে বড়। এই মানগুলি নিম্নলিখিত বৈষম্যের সিস্টেম দ্বারা নির্ধারিত হয়:

শিরোনাম="QuickLaTeX.com দ্বারা রেন্ডার করা হয়েছে৷">!}

সেই বিবেচনায়

শিরোনাম="QuickLaTeX.com দ্বারা রেন্ডার করা হয়েছে৷">!}

আমরা ব্যবধানটি পাই যা এই লগারিদমিক সমীকরণের অনুমতিযোগ্য মানের পরিসীমা নির্ধারণ করে:

উপপাদ্য 1 এর উপর ভিত্তি করে, যেগুলির সমস্ত শর্ত এখানে সন্তুষ্ট, আমরা নিম্নলিখিত সমতুল্য দ্বিঘাত সমীকরণে এগিয়ে যাই:

গ্রহণযোগ্য মানের পরিসীমা শুধুমাত্র প্রথম রুট অন্তর্ভুক্ত করে।

উত্তর: x = 7।

উদাহরণ 2।সমীকরণটি সমাধান করুন:

সমাধান।সমীকরণের গ্রহণযোগ্য মানের পরিসীমা অসমতার সিস্টেম দ্বারা নির্ধারিত হয়:

ql-right-eqno">

সমাধান।সমীকরণের গ্রহণযোগ্য মানের পরিসীমা এখানে সহজেই নির্ধারিত হয়: এক্স > 0.

আমরা প্রতিস্থাপন ব্যবহার করি:

সমীকরণটি হয়ে যায়:

বিপরীত প্রতিস্থাপন:

উভয় উত্তরসমীকরণের গ্রহণযোগ্য মানের সীমার মধ্যে রয়েছে কারণ তারা ধনাত্মক সংখ্যা।

উদাহরণ 4.সমীকরণটি সমাধান করুন:

সমাধান।সমীকরণের গ্রহণযোগ্য মানের পরিসীমা নির্ধারণ করে সমাধানটি আবার শুরু করা যাক। এটি নিম্নোক্ত বৈষম্য ব্যবস্থা দ্বারা নির্ধারিত হয়:

ql-right-eqno">

লগারিদমগুলির ভিত্তিগুলি একই, তাই গ্রহণযোগ্য মানের পরিসরে আমরা নিম্নলিখিত দ্বিঘাত সমীকরণে যেতে পারি:

প্রথম রুটটি সমীকরণের গ্রহণযোগ্য মানের সীমার মধ্যে নয়, তবে দ্বিতীয়টি।

উত্তর: এক্স = -1.

উদাহরণ 5।সমীকরণটি সমাধান করুন:

সমাধান।আমরা এর মধ্যে সমাধান খুঁজব এক্স > 0, এক্স≠1। আসুন সমীকরণটিকে একটি সমতুল্য রূপান্তর করি:

উভয় উত্তরসমীকরণের গ্রহণযোগ্য মানের সীমার মধ্যে রয়েছে।

উদাহরণ 6.সমীকরণটি সমাধান করুন:

সমাধান।এই সময়ের সমীকরণের অনুমতিযোগ্য মানের পরিসীমা নির্ধারণ করে অসমতার সিস্টেমটির ফর্ম রয়েছে:

শিরোনাম="QuickLaTeX.com দ্বারা রেন্ডার করা হয়েছে৷">!}

লগারিদমের বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে, আমরা সমীকরণটিকে একটি সমীকরণে রূপান্তরিত করি যা গ্রহণযোগ্য মানের পরিসরের সমতুল্য:

একটি নতুন লগারিদম বেসে যাওয়ার জন্য সূত্র ব্যবহার করে, আমরা পাই:

গ্রহণযোগ্য মানগুলির পরিসর শুধুমাত্র একটি অন্তর্ভুক্ত করে উত্তর: এক্স = 4.

এখন চলুন চলুন লগারিদমিক অসমতা . গণিতের ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষায় আপনাকে ঠিক এটিই মোকাবেলা করতে হবে। আরও উদাহরণ সমাধান করতে আমাদের নিম্নলিখিত উপপাদ্য প্রয়োজন:

উপপাদ্য 2।যদি চ(এক্স) > 0 এবং g(এক্স) > 0, তারপর:
এ ক> 1 লগারিদমিক অসমতা লগ a চ(এক্স) > লগ ক g(এক্স) একই অর্থের একটি অসমতার সমতুল্য: চ(এক্স) > g(এক্স);
0 এ< ক < 1 логарифмическое неравенство log a চ(এক্স) > লগ ক g(এক্স) বিপরীত অর্থ সহ একটি অসমতার সমতুল্য: চ(এক্স) < g(এক্স).

উদাহরণ 7।অসমতা সমাধান করুন:

সমাধান।চলুন শুরু করা যাক অসমতার গ্রহণযোগ্য মানের পরিসর নির্ধারণ করে। লগারিদমিক ফাংশনের চিহ্নের অধীনে অভিব্যক্তিটি শুধুমাত্র ধনাত্মক মান নিতে হবে। এর মানে হল যে গ্রহণযোগ্য মানগুলির প্রয়োজনীয় পরিসর নিম্নোক্ত বৈষম্যের সিস্টেম দ্বারা নির্ধারিত হয়:

শিরোনাম="QuickLaTeX.com দ্বারা রেন্ডার করা হয়েছে৷">!}

লগারিদমের ভিত্তি যেহেতু একটি সংখ্যার চেয়ে কম, অনুরূপ লগারিদমিক ফাংশন হ্রাস পাবে, এবং তাই, উপপাদ্য 2 অনুসারে, নিম্নলিখিত দ্বিঘাত অসমতার রূপান্তর সমতুল্য হবে:

অবশেষে, গ্রহণযোগ্য মানগুলির পরিসর বিবেচনা করে, আমরা প্রাপ্ত করি উত্তর:

উদাহরণ 8।অসমতা সমাধান করুন:

সমাধান।আসুন গ্রহণযোগ্য মানগুলির পরিসর সংজ্ঞায়িত করে আবার শুরু করি:

শিরোনাম="QuickLaTeX.com দ্বারা রেন্ডার করা হয়েছে৷">!}

অসমতার গ্রহণযোগ্য মানগুলির সেটে আমরা সমতুল্য রূপান্তরগুলি সম্পাদন করি:

উপপাদ্য 2 দ্বারা অসমতা সমতুল্য হ্রাস এবং রূপান্তর করার পরে, আমরা পাই:

একাউন্টে গ্রহণযোগ্য মান পরিসীমা গ্রহণ, আমরা চূড়ান্ত প্রাপ্ত উত্তর:

উদাহরণ 9।লগারিদমিক অসমতা সমাধান করুন:

সমাধান।অসমতার গ্রহণযোগ্য মানগুলির পরিসর নিম্নলিখিত সিস্টেম দ্বারা নির্ধারিত হয়:

শিরোনাম="QuickLaTeX.com দ্বারা রেন্ডার করা হয়েছে৷">!}

এটি দেখা যায় যে গ্রহণযোগ্য মানের পরিসরে, লগারিদমের ভিত্তির অভিব্যক্তিটি সর্বদা একের চেয়ে বেশি, এবং সেইজন্য, উপপাদ্য 2 অনুসারে, নিম্নলিখিত অসমতার রূপান্তর সমতুল্য হবে:

গ্রহণযোগ্য মানগুলির পরিসর বিবেচনায় নিয়ে, আমরা চূড়ান্ত উত্তর পাই:

উদাহরণ 10।অসমতা সমাধান করুন:

সমাধান।

বৈষম্যের গ্রহণযোগ্য মানগুলির পরিসর বৈষম্যের সিস্টেম দ্বারা নির্ধারিত হয়:

শিরোনাম="QuickLaTeX.com দ্বারা রেন্ডার করা হয়েছে৷">!}

পদ্ধতি I.আসুন লগারিদমের একটি নতুন বেসে রূপান্তরের জন্য সূত্রটি ব্যবহার করি এবং একটি অসমতার দিকে এগিয়ে যাই যা অনুমোদিত মানের পরিসরের সমতুল্য।

লগারিদম সমীকরণ সমাধান করার আগে, আসুন আমরা আবার লগারিদমের সংজ্ঞা এবং মৌলিক সূত্রগুলি পুনরাবৃত্তি করি।

লগারিদমসঠিক নাম্বার খউপর ভিত্তি করে ক- এটি শক্তির একটি সূচক যা এটিকে উত্থাপন করতে হবে ক, অর্জন খ.

এই ক্ষেত্রে, class="tex" alt="b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1">.!}

আসুন লগারিদমের অনুমতিযোগ্য মানের পরিসরে মনোযোগ দিই:

class="tex" alt="b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1">. !}

মৌলিক লগারিদমিক পরিচয়:

লগারিদমের মৌলিক সূত্র:

(পণ্যের লগারিদম লগারিদমের যোগফলের সমান)

(ভাগফলের লগারিদম লগারিদমের পার্থক্যের সমান)
(ডিগ্রীর লগারিদমের সূত্র)

একটি নতুন বেসে যাওয়ার জন্য সূত্র:

লগারিদমিক ফাংশনের গ্রাফ দেখতে কেমন তা আমরা জানি। এই ফাংশন একঘেয়ে. লগারিদমের ভিত্তি একের বেশি হলে লগারিদমিক ফাংশন একঘেয়ে বৃদ্ধি পায়। বেস শূন্যের চেয়ে বড় এবং একের কম হলে লগারিদমিক ফাংশন একঘেয়ে কমে যায়। এবং যে কোনও ক্ষেত্রে, এটি তার প্রতিটি মান শুধুমাত্র একবার নেয়। এর মানে হল যে দুটি সংখ্যার লগারিদম যদি কোন ভিত্তির সমান হয়, তাহলে সংখ্যাগুলি নিজেই সমান।

লগারিদমিক সমীকরণ সমাধানে এই সবই আমাদের কাজে লাগবে।

সহজ লগারিদমিক সমীকরণ

1. সমীকরণটি সমাধান করুন:

লগারিদমের ভিত্তিগুলি সমান, লগারিদমগুলিও সমান, যার অর্থ হল যে সংখ্যাগুলি থেকে সেগুলি নেওয়া হয়েছে তাও সমান।
সাধারণত, ছাত্ররা একটি সংক্ষিপ্ত পরিভাষায় এই নিয়মটি মনে রাখে: "আসুন লগারিদম পরিত্যাগ করি!" অবশ্যই, আমরা সেগুলিকে "বাতিল" করি শুধু সেরকম নয়, লগারিদমিক ফাংশনের একঘেয়েতার বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে।

আমরা পেতে:

লগারিদমিক সমীকরণগুলি সমাধান করার সময়, ভুলে যাবেন না গ্রহণযোগ্য মান পরিসীমালগারিদম মনে রাখবেন যে অভিব্যক্তিটি class="tex" alt="b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1) দিয়ে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে">.!}

এটি খুব ভাল যদি আপনি, সমীকরণের মূল খুঁজে পেয়ে, কেবল এটিকে সমীকরণে প্রতিস্থাপন করেন। যদি এই ধরনের প্রতিস্থাপনের পরে সমীকরণের বাম বা ডান দিকটি বোঝা না যায়, তাহলে এর অর্থ হল পাওয়া সংখ্যাটি সমীকরণের মূল নয় এবং সমস্যার উত্তর হতে পারে না। এই ভাল পথইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার জন্য পরীক্ষা।

2. সমীকরণটি সমাধান করুন:

সমীকরণের বাম দিকে লগারিদম, ডানদিকে 7 নম্বর। মৌলিক লগারিদমিক পরিচয় প্রয়োগ করে, আমরা ফর্মে 7 নম্বরটি উপস্থাপন করি। তারপর সবকিছু সহজ.

উত্তর:-124

3. সমীকরণটি সমাধান করুন:

সমীকরণের ডান পাশে লগারিদমের সামনে 2 নম্বরটি দেখুন? এখন এটি আপনাকে "লগারিদম বাদ দেওয়া" থেকে বাধা দেয়। এটার সাথে আমার কি করা উচিত যাতে বাম এবং ডান দিকগুলি কেবল বেস 5 এর উপর ভিত্তি করে লগারিদম হয়? অবশ্যই, ডিগ্রির লগারিদমের সূত্রটি সাহায্য করবে।

4. সমীকরণটি সমাধান করুন:

গ্রহণযোগ্য মানগুলির পরিসর: class="tex" alt="4-x> 0।"> Значит, class="tex" alt="x> -4.">!}

আসুন সমীকরণের ডানদিকে 2 কে উপস্থাপন করি - যাতে সমীকরণের বাম এবং ডান দিকগুলি বেস 5 থেকে লগারিদম হয়।

ফাংশন একঘেয়ে বৃদ্ধি পায় এবং প্রতিটি মান ঠিক একবার নেয়। লগারিদম সমান, তাদের ভিত্তি সমান। আসুন লগারিদমগুলিকে "ছুড়ে ফেলি"! অবশ্যই, এই ক্ষেত্রে class="tex" alt="x> -4">.!}

5. সমীকরণটি সমাধান করুন:

সমতুল্য রূপান্তরের একটি চেইন হিসাবে সমাধানটি লিখি। আমরা ODZ লিখে ফেলি এবং লগারিদমগুলি "সরিয়ে ফেলি":

Class="tex" alt="\log _(8)\left (x^(2)+x \right)=\log _(8)\left (x^(2)-4 \right )\Leftrightarrow \left\(\begin(matrix) x^(2)+x> 0\\ x^(2)-4> 0\\ x^(2)+x=x^(2)-4 \ end(matrix)\right.\Leftrightarrow \left\(\begin(matrix) x^(2)+x> 0\\ x^(2)-4> 0\\ x=-4 \end(ম্যাট্রিক্স)\ ডান।\Leftrightarrow x=-4">!}
উত্তর:-4।

লক্ষ্য করুন যে লগারিদমিক সমীকরণগুলির সমাধানগুলি সমতুল্য রূপান্তরগুলির একটি শৃঙ্খলের আকারে সর্বোত্তমভাবে লেখা হয়। এটি আমাদের গ্রহণযোগ্য মানগুলির পরিসর সম্পর্কে ভুলে না যেতে সাহায্য করবে৷

6. সমীকরণটি সমাধান করুন: .

বেস 4 লগারিদম থেকে বেস 2 লগারিদমে সরানো যাক আমরা অন্য বেসে যাওয়ার সূত্র ব্যবহার করে এটি করি:

সমতুল্য ট্রানজিশনের একটি চেইন হিসাবে সমাধানটি লিখি।

Class="tex" alt="2^(\log _(4)\left (4x+5 \right))=9\Leftrightarrow \left\(\begin(matrix) 2^\frac(( \log _(2)\left (4x+5 \right)))(2)=9\\ 4x+5> 0 \end(matrix)\right.\Leftrightarrow \left\(\begin(matrix) \left (2^(\log _(2)\বাম (4x+5 \right)) \right)^(\frac(1)(2))=9\\ x> -1\frac(1)(4) \end(ম্যাট্রিক্স)\right।\Leftrightarrow \left\(\begin(matrix) \left (4x+5 \right)^(\frac(1)(2))=9\\ x> -1\frac( 1)(4) \end(ম্যাট্রিক্স)\right।\Leftrightarrow \left\(\begin(matrix) \sqrt(4x+5)=9\\ x> -1\frac(1)(4) \end( ম্যাট্রিক্স)\right।\Leftrightarrow \left\(\begin(matrix) 4x+5=81\\ x> -1\frac(1)(4) \end(matrix)\right.\Leftrightarrow \left\(\ begin(matrix) x=19\\ x> -1\frac(1)(4) \end(matrix)\right।">!}

7. সমীকরণটি সমাধান করুন: .

অনুগ্রহ করে নোট করুন: পরিবর্তনশীল এক্সলগারিদমের অধীনে এবং লগারিদমের গোড়ায় উভয়ই। আমরা মনে রাখি যে লগারিদমের ভিত্তি অবশ্যই ধনাত্মক হতে হবে এবং 1 এর সমান নয়।

ODZ:
class="tex" alt="\left\(\begin(matrix) 12-x> 0\\ x> 0\\ x\neq 1 \end(matrix)\right।">!}

এখন আপনি লগারিদম "মুছে ফেলতে" পারেন।

একটি বহিরাগত মূল কারণ শর্ত class="tex" alt="x> 0) অবশ্যই পূরণ করতে হবে">.!}

8. সমীকরণটি সমাধান করুন।

ODZ সমীকরণ: class="tex" alt="x> 0">!}

এর একটি প্রতিস্থাপন করা যাক. বীজগণিত সমীকরণের মতো, আমরা যখনই সম্ভব পরিবর্তনশীল পরিবর্তন করি।

চল চলক ফিরে আসা যাক এক্স:

9. সমীকরণটি সমাধান করুন:

লগারিদমের অধীনে অভিব্যক্তিটি সর্বদাই ধনাত্মক - যেহেতু আমরা একটি অ-নেতিবাচক মানের সাথে 25 যোগ করি ডান দিকের মূলের নীচের অভিব্যক্তিটিও ধনাত্মক। মানে, এক্সযেকোনো বাস্তব সংখ্যা হতে পারে।

বাম পাশে লগারিদমের যোগফলকে গুণফলের লগারিদম হিসেবে কল্পনা করা যাক। ডানদিকে, বেস 3 লগারিদমে এগিয়ে যাই এবং পাওয়ার লগারিদমের সূত্রটি ব্যবহার করি।

লগারিদম "বাদ দেওয়া হচ্ছে"।

এই ধরনের সমীকরণকে বলা হয় দ্বি-বিন্যাস। এটি এক্সপ্রেশন এবং . এর একটি প্রতিস্থাপন করা যাক

চল চলক ফিরে আসা যাক এক্স. আমরা পেতে:

আমরা মূল সমীকরণের সমস্ত শিকড় খুঁজে পেয়েছি।

আপনি গণিতের প্রোফাইল ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষার টাস্ক নং 5 এবং টাস্ক নং 13-এ লগারিদমিক সমীকরণের সম্মুখীন হতে পারেন। এবং যদি টাস্ক নং 5 এ আপনাকে সবচেয়ে সহজ সমীকরণটি সমাধান করতে হবে, তাহলে টাস্ক 13-এ সমাধানটি দুটি পয়েন্ট নিয়ে গঠিত। দ্বিতীয় পয়েন্ট হল একটি প্রদত্ত সেগমেন্ট বা ব্যবধানে শিকড় নির্বাচন।