Намерете ъгъла между двете. Намиране на ъгъл между равнините (двустенен ъгъл). Как да определим относителната позиция на две линии

Статията говори за намиране на ъгъла между равнините. След като дадем определението, ще дадем графична илюстрация и ще разгледаме подробен метод за намиране на координати с помощта на метода. Получаваме формула за пресичащи се равнини, която включва координатите на нормалните вектори.

Материалът ще използва данни и концепции, които преди това са били изучавани в статии за равнината и линията в пространството. Първо, необходимо е да преминем към разсъждения, които ни позволяват да имаме определен подход за определяне на ъгъла между две пресичащи се равнини.

Дадени са две пресичащи се равнини γ 1 и γ 2. Тяхното пресичане ще приеме обозначението c. Конструкцията на равнината χ е свързана с пресичането на тези равнини. Равнината χ минава през точка M като права c. Пресичането на равнините γ 1 и γ 2 ще бъде направено с помощта на равнината χ. Приемаме обозначението на правата, пресичаща γ 1 и χ, като права a, а правата, пресичаща γ 2 и χ, като права b. Откриваме, че пресечната точка на прави a и b дава точката M.

Местоположението на точка M не влияе на ъгъла между пресичащите се прави a и b, а точката M се намира на права c, през която минава равнината χ.

Необходимо е да се построи равнина χ 1, перпендикулярна на правата c и различна от равнината χ. Пресечната точка на равнините γ 1 и γ 2 с помощта на χ 1 ще приеме обозначението на линиите a 1 и b 1.

Вижда се, че при конструиране на χ и χ 1, линиите a и b са перпендикулярни на линия c, тогава a 1, b 1 са разположени перпендикулярно на линия c. Намирането на прави a и a 1 в равнината γ 1 с перпендикулярност към права c, тогава те могат да се считат за успоредни. По същия начин местоположението на b и b 1 в равнината γ 2 с перпендикулярност към права линия c показва техния паралелизъм. Това означава, че е необходимо да се направи успоредно прехвърляне на равнината χ 1 към χ, където се получават две съвпадащи прави a и a 1, b и b 1. Откриваме, че ъгълът между пресичащите се прави a и b 1 е равен на ъгъла на пресичащите се прави a и b.

Нека погледнем фигурата по-долу.

Това твърдение се доказва от факта, че между пресичащите се прави a и b има ъгъл, който не зависи от местоположението на точката M, тоест точката на пресичане. Тези линии са разположени в равнините γ 1 и γ 2. Всъщност полученият ъгъл може да се счита за ъгъл между две пресичащи се равнини.

Нека да преминем към определяне на ъгъла между съществуващите пресичащи се равнини γ 1 и γ 2.

Определение 1

Ъгълът между две пресичащи се равнини γ 1 и γ 2наречен ъгъл, образуван от пресичането на прави a и b, където равнините γ 1 и γ 2 се пресичат с равнината χ, перпендикулярна на линия c.

Разгледайте фигурата по-долу.

Определението може да бъде представено и в друга форма. Когато равнините γ 1 и γ 2 се пресичат, където c е правата, на която те се пресичат, маркирайте точка M, през която начертайте прави a и b, перпендикулярни на права c и лежащи в равнините γ 1 и γ 2, след това ъгълът между правите a и b ще бъдат ъгълът между равнините. На практика това е приложимо за построяване на ъгъла между равнините.

При пресичане се образува ъгъл, чиято стойност е по-малка от 90 градуса, т.е. градусната мярка на ъгъла е валидна за интервал от този тип (0, 90]. В същото време тези равнини се наричат ​​перпендикулярни, ако прав ъгъл, образуван в пресечната точка между успоредни равнини, се счита за равен на нула.

Обичайният начин за намиране на ъгъла между пресичащите се равнини е извършването на допълнителни конструкции. Това помага да се определи с точност и това може да стане с помощта на знаци за равенство или подобие на триъгълник, синуси и косинуси на ъгъл.

Нека разгледаме решаването на проблеми, използвайки пример от задачите на Единния държавен изпит на блок C 2.

Пример 1

Даден е правоъгълен паралелепипед A B C D A 1 B 1 C 1 D 1, където страната A B = 2, A D = 3, A A 1 = 7, точка E разделя страната A A 1 в съотношение 4:3. Намерете ъгъла между равнините A B C и B E D 1.

Решение

За по-голяма яснота е необходимо да се направи чертеж. Разбираме това

Необходимо е визуално представяне, за да бъде по-удобна работата с ъгъла между равнините.

Определяме правата линия, по която се пресичат равнините A B C и B E D 1. Точка B е обща точка. Трябва да се намери друга обща пресечна точка. Нека разгледаме правите D A и D 1 E, които се намират в една и съща равнина A D D 1. Разположението им не показва паралелност, а означава, че имат обща пресечна точка.

Но правата D A се намира в равнината A B C, а D 1 E в B E D 1. От това получаваме, че правите линии Д АИ D 1 Eимат обща пресечна точка, която е обща за равнините A B C и B E D 1. Показва точката на пресичане на линиите Д Аи D 1 E буква F. От това получаваме, че B F е правата, по която се пресичат равнините A B C и B E D 1.

Нека погледнем фигурата по-долу.

За да получите отговора, е необходимо да построите прави линии, разположени в равнините A B C и B E D 1, минаващи през точка, разположена на права B F и перпендикулярна на нея. Тогава полученият ъгъл между тези прави линии се счита за желания ъгъл между равнините A B C и B E D 1.

От това можем да видим, че точка A е проекцията на точка E върху равнината A B C. Необходимо е да се начертае права линия, пресичаща права B F под прав ъгъл в точка M. Вижда се, че правата A M е проекцията на права E M върху равнината A B C, въз основа на теоремата за тези перпендикуляри A M ⊥ B F . Разгледайте снимката по-долу.

∠ A M E е желаният ъгъл, образуван от равнините A B C и B E D 1. От получения триъгълник A E M можем да намерим синуса, косинуса или тангенса на ъгъла, а след това и самия ъгъл, само ако са известни двете му страни. По условие имаме, че дължината A E се намира по следния начин: правата A A 1 е разделена на точка E в съотношение 4:3, което означава, че общата дължина на правата е 7 части, тогава A E = 4 части. Намираме A M.

Трябва да се вземе предвид правоъгълен триъгълник A B F . Имаме прав ъгъл A с височина A M. От условието A B = 2 можем да намерим дължината A F по подобието на триъгълници D D 1 F и A E F. Получаваме, че A E D D 1 = A F D F ⇔ A E D D 1 = A F D A + A F ⇒ 4 7 = A F 3 + A F ⇔ A F = 4

Необходимо е да се намери дължината на страната B F на триъгълник A B F с помощта на Питагоровата теорема. Получаваме, че B F  = A B 2 + A F 2 = 2 2 + 4 2 = 2 5 . Дължината на страната A M се намира през площта на триъгълника A B F. Имаме, че площта може да бъде равна както на S A B C = 1 2 · A B · A F, така и на S A B C = 1 2 · B F · A M .

Получаваме, че A M = A B A F B F = 2 4 2 5 = 4 5 5

Тогава можем да намерим стойността на тангенса на ъгъла на триъгълника A E M. Получаваме:

t g ∠ A M E = A E A M = 4 4 5 5 = 5

Желаният ъгъл, получен от пресичането на равнини A B C и B E D 1, е равен на a r c t g 5, тогава при опростяване получаваме a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6.

Отговор: a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 .

Някои случаи на намиране на ъгъла между пресичащите се прави се определят с помощта на координатната равнина O x y z и метода на координатите. Нека да разгледаме по-отблизо.

Ако е дадена задача, където е необходимо да се намери ъгълът между пресичащите се равнини γ 1 и γ 2, ние означаваме желания ъгъл като α.

Тогава дадената координатна система показва, че имаме координатите на нормалните вектори на пресичащите се равнини γ 1 и γ 2. След това означаваме, че n 1 → = n 1 x, n 1 y, n 1 z е нормалният вектор на равнината γ 1, а n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z) - за равнина γ 2. Нека разгледаме подробното определяне на ъгъла, разположен между тези равнини, според координатите на векторите.

Необходимо е да обозначите правата линия, по която се пресичат равнините γ 1 и γ 2, с буквата c. На правата c имаме точка M, през която прекарваме равнина χ, перпендикулярна на c. Равнината χ по правата a и b пресича равнините γ 1 и γ 2 в точка M. от дефиницията следва, че ъгълът между пресичащите се равнини γ 1 и γ 2 е равен на ъгъла на пресичащите се линии a и b, принадлежащи съответно на тези равнини.

В равнината χ начертаваме нормални вектори от точката M и ги обозначаваме n 1 → и n 2 → . Вектор n 1 → е разположен на права, перпендикулярна на права a, а вектор n 2 → е разположен на права, перпендикулярна на права b. От тук разбираме това дадена равнинаχ има нормален вектор на права a равен на n 1 → и за права b равен на n 2 →. Разгледайте фигурата по-долу.

От тук получаваме формула, чрез която можем да изчислим синуса на ъгъла на пресичащите се прави, като използваме координатите на векторите. Установихме, че косинусът на ъгъла между прави a и b е същият като косинусът между пресичащите се равнини γ 1 и γ 2 се извлича от формулата cos α = cos n 1 → , n 2 → ^ = n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2, където имаме, че n 1 → = ( n 1 x , n 1 y , n 1 z) и n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z) са координатите на векторите на изобразените равнини.

Ъгълът между пресичащите се линии се изчислява по формулата

α = a r c cos n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2

Пример 2

Съгласно условието е даден паралелепипедът A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 , където A B = 2, A D = 3, A A 1 = 7 и точка E разделя страната A A 1 4: 3. Намерете ъгъла между равнините A B C и B E D 1.

Решение

От условието става ясно, че страните му са по двойки перпендикулярни. Това означава, че е необходимо да се въведе координатна система O x y z с върха в точка C и координатни оси O x, O y, O z. Необходимо е да зададете посока към съответните страни. Разгледайте фигурата по-долу.

Пресичащи се равнини A B CИ B E D 1образуват ъгъл, който може да се намери по формулата α = a r c cos n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2, в който n 1 → = (n 1 x, n 1 y, n 1 z) и n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z ) са нормални вектори на тези самолети. Необходимо е да се определят координатите. От фигурата виждаме, че координатната ос O x y съвпада с равнината A B C, това означава, че координатите на нормалния вектор k → са равни на стойността n 1 → = k → = (0, 0, 1).

Взет е нормалният вектор на равнината B E D 1 векторен продукт B E → и B D 1 →, където техните координати се намират от координатите на крайните точки B, E, D 1, които се определят въз основа на условията на задачата.

Получаваме, че B (0, 3, 0), D 1 (2, 0, 7). Тъй като A E E A 1 = 4 3, от координатите на точките A 2, 3, 0, A 1 2, 3, 7 намираме E 2, 3, 4. Откриваме, че B E → = (2 , 0 , 4) , B D 1 → = 2 , - 3 , 7 n 2 → = B E → × B D 1 = i → j → k → 2 0 4 2 - 3 7 = 12 · i → - 6 j → - 6 k → ⇔ n 2 → = (12 , - 6 , - 6)

Необходимо е да замените намерените координати във формулата за изчисляване на ъгъла през аркосинуса. Получаваме

α = a r c cos 0 12 + 0 (- 6) + 1 (- 6) 0 2 + 0 2 + 1 2 12 2 + (- 6) 2 + (- 6) 2 = a r c cos 6 6 6 = a r c cos 6 6

Координатният метод дава подобен резултат.

Отговор: a r c cos 6 6 .

Последната задача се разглежда с цел намиране на ъгъла между пресичащите се равнини със съществуващите известни уравнения на равнините.

Пример 3

Изчислете синуса, косинуса на ъгъла и стойността на ъгъла, образуван от две пресичащи се прави, които са определени в координатната система O x y z и дадени от уравненията 2 x - 4 y + z + 1 = 0 и 3 y - z - 1 = 0.

Решение

При изучаване на темата за общото уравнение на права линия под формата A x + B y + C z + D = 0 беше разкрито, че A, B, C са коефициенти, равни на координатите на нормалния вектор. Това означава, че n 1 → = 2, - 4, 1 и n 2 → = 0, 3, - 1 са нормални вектори на дадените прави.

Необходимо е да замените координатите на нормалните вектори на равнините във формулата за изчисляване на желания ъгъл на пресичащите се равнини. Тогава разбираме това

α = a r c cos 2 0 + - 4 3 + 1 (- 1) 2 2 + - 4 2 + 1 2 = a r c cos 13 210

От тук имаме, че косинусът на ъгъла приема формата cos α = 13 210. Тогава ъгълът на пресичащите се прави не е тъп. Замествайки в тригонометричната идентичност, намираме, че стойността на синуса на ъгъла е равна на израза. Нека изчислим и намерим това

sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 13 210 = 41 210

Отговор: sin α = 41 210, cos α = 13 210, α = a r c cos 13 210 = a r c sin 41 210.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Ъгълмежду прави линии в пространството ще наречем всеки от съседните ъгли, образувани от две прави линии, прекарани през произволна точка, успоредна на данните.

Нека в пространството са дадени два реда:

Очевидно ъгълът φ между прави линии може да се приеме като ъгъл между техните насочващи вектори и . Тъй като , тогава използвайки формулата за косинус на ъгъла между векторите, получаваме

Условията на успоредност и перпендикулярност на две прави линии са еквивалентни на условията на успоредност и перпендикулярност на техните насочващи вектори и:

Две прави паралелентогава и само ако съответните им коефициенти са пропорционални, т.е. л 1 паралел л 2 ако и само ако са успоредни .

Две прави перпендикулярентогава и само ако сумата от произведенията на съответните коефициенти е равна на нула: .

U гол между права и равнина

Нека е направо д- не е перпендикулярна на равнината θ;
д′− проекция на права дкъм равнината θ;
Най-малкият ъгъл между прави линии дИ д„ще се обадим ъгъл между права линия и равнина.
Нека го означим като φ=( д,θ)
Ако д⊥θ, тогава ( д,θ)=π/2

Ой→й→к→− правоъгълна координатна система.
Уравнение на равнината:

θ: брадва+от+Cz+д=0

Приемаме, че правата линия е дефинирана от точка и насочващ вектор: д[М 0,стр→]
вектор н→(А,б,° С)⊥θ
След това остава да разберете ъгъла между векторите н→ и стр→, нека го обозначим като γ=( н→,стр→).

Ако ъгълът γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Ако ъгълът е γ>π/2, тогава желаният ъгъл е φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Тогава, ъгъл между права и равнинаможе да се изчисли по формулата:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ап 1+Bp 2+Cp 3∣ ∣ √А 2+б 2+° С 2√стр 21+стр 22+стр 23

Въпрос 29. Концепцията за квадратна форма. Знакова определеност на квадратни форми.

Квадратична форма j (x 1, x 2, …, x n) n реални променливи x 1, x 2, …, x nсе нарича сбор от формата
, (1)

Където a ij – някои числа, наречени коефициенти. Без загуба на общост можем да предположим, че a ij = а джи.

Квадратната форма се нарича валиден,Ако a ij Î GR. Матрица с квадратна формасе нарича матрица, съставена от нейните коефициенти. Квадратната форма (1) съответства на единствената симетрична матрица
Това е A T = A. Следователно, квадратичната форма (1) може да бъде записана в матрична форма j ( х) = x T Ah, Където х Т = (х 1 х 2 … x n). (2)

И обратно, всяка симетрична матрица (2) съответства на уникална квадратична форма с точност до записа на променливи.

Ранг на квадратична формасе нарича ранг на неговата матрица. Квадратната форма се нарича неизроден,ако неговата матрица е неособена А. (припомнете си, че матрицата Асе нарича неизроден, ако неговият детерминант не е равен на нула). В противен случай квадратната форма е изродена.

положително определено(или строго положително), ако

j ( х) > 0 , за всеки х = (х 1 , х 2 , …, x n), с изключение х = (0, 0, …, 0).

Матрица Аположително определена квадратна форма j ( х) се нарича още положително определен. Следователно положително определена квадратна форма съответства на уникална положително определена матрица и обратно.

Квадратната форма (1) се нарича отрицателно определени(или строго отрицателно), ако

j ( х) < 0, для любого х = (х 1 , х 2 , …, x n), с изключение х = (0, 0, …, 0).

Подобно на горното, матрица с отрицателно определена квадратична форма също се нарича отрицателно определена.

Следователно положителната (отрицателно) определена квадратна форма j ( х) достига минималната (максималната) стойност j ( Х*) = 0 ат Х* = (0, 0, …, 0).

Имайте предвид, че повечето квадратни форми не са знакоопределени, тоест не са нито положителни, нито отрицателни. Такива квадратни форми се превръщат в 0 не само в началото на координатната система, но и в други точки.

Кога н> 2 са необходими специални критерии за проверка на знака на квадратична форма. Нека да ги разгледаме.

Големи непълнолетниквадратична форма се наричат ​​незначителни:

тоест това са второстепенни от порядъка на 1, 2, ..., нматрици А, разположен в горния ляв ъгъл, последният от тях съвпада с детерминантата на матрицата А.

Критерий за положителна определеност (Критерий на Силвестър)

х) = x T Ahе положително определена, е необходимо и достатъчно всички главни второстепенни на матрицата Абяха положителни, т.е. М 1 > 0, М 2 > 0, …, M n > 0. Критерий за отрицателна сигурност За да може квадратната форма j ( х) = x T Ahе бил отрицателно определен, е необходимо и достатъчно главните му минори от четен ред да са положителни, а от нечетен – отрицателни, т.е. М 1 < 0, М 2 > 0, М 3 < 0, …, (–1)н

Ще бъда кратък. Ъгълът между две прави линии е равен на ъгъла между техните насочващи вектори. Така, ако успеете да намерите координатите на насочващите вектори a = (x 1 ; y 1 ; z 1) и b = (x 2 ; y 2 ​​​​; z 2), тогава можете да намерите ъгъла. По-точно, косинусът на ъгъла по формулата:

Нека видим как работи тази формула, използвайки конкретни примери:

Задача. В куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 са отбелязани точките E и F - средите съответно на ръбовете A 1 B 1 и B 1 C 1. Намерете ъгъла между правите AE и BF.

Тъй като ръбът на куба не е зададен, нека зададем AB = 1. Въвеждаме стандартна координатна система: началото е в точка A, осите x, y, z са насочени съответно по AB, AD и AA 1. Единичният сегмент е равен на AB = 1. Сега нека намерим координатите на насочващите вектори за нашите линии.

Нека намерим координатите на вектор AE. За целта са ни необходими точки A = (0; 0; 0) и E = (0,5; 0; 1). Тъй като точка E е средата на сегмента A 1 B 1, нейните координати са равни на средноаритметичната стойност на координатите на краищата. Обърнете внимание, че началото на вектора AE съвпада с началото на координатите, така че AE = (0,5; 0; 1).

Сега нека разгледаме вектора BF. По подобен начин анализираме точките B = (1; 0; 0) и F = (1; 0,5; 1), тъй като F е средата на сегмента B 1 C 1. Ние имаме:
BF = (1 − 1; 0,5 − 0; 1 − 0) = (0; 0,5; 1).

И така, векторите на посоката са готови. Косинусът на ъгъла между правите линии е косинусът на ъгъла между насочващите вектори, така че имаме:

Задача. В правилна триъгълна призма ABCA 1 B 1 C 1, всички ръбове на която са равни на 1, са отбелязани точките D и E - средите на ръбовете съответно A 1 B 1 и B 1 C 1. Намерете ъгъла между правите AD и BE.

Нека въведем стандартна координатна система: началото е в точка А, оста x е насочена по AB, z - по AA 1. Нека насочим оста y така, че равнината OXY да съвпада с равнината ABC. Единичният сегмент е равен на AB = 1. Нека намерим координатите на насочващите вектори за търсените прави.

Първо, нека намерим координатите на вектора AD. Разгледайте точките: A = (0; 0; 0) и D = (0,5; 0; 1), тъй като D - средата на сегмента A 1 B 1. Тъй като началото на вектора AD съвпада с началото на координатите, получаваме AD = (0,5; 0; 1).

Сега нека намерим координатите на вектор BE. Точка B = (1; 0; 0) е лесна за изчисляване. С точка E - средата на сегмента C 1 B 1 - е малко по-сложно. Ние имаме:

Остава да се намери косинусът на ъгъла:

Задача. В правилна шестоъгълна призма ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, всички ръбове на която са равни на 1, са отбелязани точките K и L - средите на ръбовете съответно A 1 B 1 и B 1 C 1 . Намерете ъгъла между правите AK и BL.

Нека въведем стандартна координатна система за призма: поставяме началото на координатите в центъра на долната основа, оста x е насочена по FC, оста y е насочена през средните точки на сегменти AB и DE, а z оста е насочена вертикално нагоре. Единичният сегмент отново е равен на AB = 1. Нека запишем координатите на точките, които ни интересуват:

Точките K и L са средите съответно на отсечките A 1 B 1 и B 1 C 1, така че техните координати се намират чрез средноаритметичната стойност. Познавайки точките, намираме координатите на насочващите вектори AK и BL:

Сега нека намерим косинуса на ъгъла:

Задача. В правилна четириъгълна пирамида SABCD, всички ръбове на която са равни на 1, са отбелязани точките E и F - средите съответно на страните SB и SC. Намерете ъгъла между правите AE и BF.

Нека въведем стандартна координатна система: началото е в точка А, осите x и y са насочени съответно по AB и AD, а оста z е насочена вертикално нагоре. Единичният сегмент е равен на AB = 1.

Точките E и F са средите съответно на отсечките SB и SC, така че техните координати се намират като средноаритметично на краищата. Нека запишем координатите на точките, които ни интересуват:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Познавайки точките, намираме координатите на насочващите вектори AE и BF:

Координатите на вектор AE съвпадат с координатите на точка E, тъй като точка A е началото. Остава да намерим косинуса на ъгъла:

Определение.Ако са дадени две прави y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, тогава острия ъгъл между тези линии ще бъде определен като

Две прави са успоредни, ако k 1 = k 2. Две прави са перпендикулярни, ако k 1 = -1/ k 2.

Теорема.Правите Ax + Bу + C = 0 и A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 са успоредни, когато коефициентите A 1 = λA, B 1 = λB са пропорционални. Ако също C 1 = λC, тогава правите съвпадат. Координатите на пресечната точка на две прави се намират като решение на системата от уравнения на тези прави.

Уравнение на права, минаваща през дадена точка

Перпендикулярно на дадена права

Определение.Права линия, минаваща през точката M 1 (x 1, y 1) и перпендикулярна на правата линия y = kx + b, е представена от уравнението:

Разстояние от точка до линия

Теорема.Ако е дадена точка M(x 0, y 0), тогава разстоянието до правата Ax + Bу + C = 0 се определя като

.

Доказателство.Нека точка M 1 (x 1, y 1) е основата на перпендикуляра, пуснат от точка M към дадена права линия. Тогава разстоянието между точките M и M 1:

(1)

Координатите x 1 и y 1 могат да бъдат намерени чрез решаване на системата от уравнения:

Второто уравнение на системата е уравнението на права, минаваща през дадена точка M 0 перпендикулярно на дадена права. Ако трансформираме първото уравнение на системата във вида:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

тогава, решавайки, получаваме:

Замествайки тези изрази в уравнение (1), намираме:

Теоремата е доказана.

Пример. Определете ъгъла между правите: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Пример. Покажете, че правите 3x – 5y + 7 = 0 и 10x + 6y – 3 = 0 са перпендикулярни.

Решение. Намираме: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, следователно, линиите са перпендикулярни.

Пример. Дадени са върховете на триъгълника A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Намерете уравнението на височината, изтеглена от върха C.

Решение. Намираме уравнението на страната AB: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Необходимото уравнение на височината има формата: Ax + By + C = 0 или y = kx + b. k = . Тогава y = . защото надморска височина минава през точка C, тогава нейните координати удовлетворяват това уравнение: от където b = 17. Общо: .

Отговор: 3 x + 2 y – 34 = 0.

Уравнението на права, минаваща през дадена точка в дадена посока. Уравнение на права, минаваща през две дадени точки. Ъгълът между две прави. Условието за успоредност и перпендикулярност на две прави. Определяне на пресечната точка на две прави

1. Уравнение на права, минаваща през дадена точка А(х 1 , г 1) в дадена посока, определена от наклона к,

г - г 1 = к(х - х 1). (1)

Това уравнение дефинира молив от прави, минаващи през точка А(х 1 , г 1), който се нарича център на лъча.

2. Уравнение на права, минаваща през две точки: А(х 1 , г 1) и б(х 2 , г 2), написано така:

Ъгловият коефициент на права линия, минаваща през две дадени точки, се определя по формулата

3. Ъгъл между прави линии АИ бе ъгълът, на който трябва да се завърти първата права линия Аоколо точката на пресичане на тези линии обратно на часовниковата стрелка, докато съвпадне с втората линия б. Ако две прави линии са дадени чрез уравнения с наклон

г = к 1 х + б 1 ,

г = к 2 х + б 2 , (4)

тогава ъгълът между тях се определя по формулата

Трябва да се отбележи, че в числителя на дробта наклонът на първия ред се изважда от наклона на втория ред.

Ако уравненията на една права са дадени в общ вид

А 1 х + б 1 г + ° С 1 = 0,

А 2 х + б 2 г + ° С 2 = 0, (6)

ъгълът между тях се определя по формулата

4. Условия за успоредност на две прави:

а) Ако линиите са дадени с уравнения (4) с ъглов коефициент, то необходимото и достатъчно условие за тяхната паралелност е равенството на техните ъглови коефициенти:

к 1 = к 2 . (8)

б) За случая, когато линиите са дадени с уравнения в общ вид (6), необходимо и достатъчно условие за тяхната успоредност е коефициентите за съответните текущи координати в техните уравнения да са пропорционални, т.е.

5. Условия за перпендикулярност на две прави:

а) В случай, когато линиите са дадени с уравнения (4) с ъглов коефициент, необходимо и достатъчно условие за тяхната перпендикулярност е ъгловите им коефициенти да са обратни по големина и противоположни по знак, т.е.

Това условие може да бъде записано и във формуляра

к 1 к 2 = -1. (11)

б) Ако уравненията на правите са дадени в общ вид (6), то условието за тяхната перпендикулярност (необходима и достатъчна) е да отговаря на равенството

А 1 А 2 + б 1 б 2 = 0. (12)

6. Координатите на пресечната точка на две прави се намират чрез решаване на системата от уравнения (6). Прави (6) се пресичат тогава и само ако

1. Напишете уравненията на прави, минаващи през точка M, едната от които е успоредна, а другата перпендикулярна на дадената права l.

Ъгъл φ общи уравнения A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, изчислени по формулата:

Ъгъл φ между два дадени реда канонични уравнения(x-x 1)/m 1 = (y-y 1)/n 1 и (x-x 2)/m 2 = (y-y 2)/n 2, изчислени по формулата:

Разстояние от точка до линия

Всяка равнина в пространството може да се представи като линейно уравнение, наречено общо уравнениесамолет

Особени случаи.

o Ако в уравнение (8) равнината минава през началото.

o Когато (,) равнината е успоредна на оста (ос, ос), респ.

o Когато (,) равнината е успоредна на равнината (равнина, равнина).

Решение: използвайте (7)

Отговор: общо уравнение на равнината.

Пример.

Равнина в правоъгълната координатна система Oxyz се дава от общото уравнение на равнината . Запишете координатите на всички нормални вектори на тази равнина.

Знаем, че коефициентите на променливите x, y и z в общото уравнение на една равнина са съответните координати на нормалния вектор на тази равнина. Следователно нормалният вектор на дадена равнина има координати. Наборът от всички нормални вектори може да се дефинира като:

Напишете уравнението на равнината, ако в правоъгълната координатна система Oxyz в пространството тя минава през точката , А е нормалният вектор на тази равнина.

Представяме две решения на този проблем.

От състоянието, което имаме. Заменяме тези данни в общото уравнение на равнината, минаваща през точката:

Напишете общото уравнение на равнина, успоредна на координатната равнина Oyz и минаваща през точката .

Равнина, която е успоредна на координатната равнина Oyz, може да бъде дадена чрез общо уравнение на непълна равнина от формата . Тъй като точката принадлежи на равнината по условие, то координатите на тази точка трябва да удовлетворяват уравнението на равнината, тоест равенството трябва да е вярно. От тук намираме. Така търсеното уравнение има формата.

Решение. Кръстосаното произведение, по дефиниция 10.26, е ортогонално на векторите p и q. Следователно, тя е ортогонална на желаната равнина и векторът може да се приеме като нормален вектор. Нека намерим координатите на вектор n:

това е . Използвайки формула (11.1), получаваме

Като отворим скобите в това уравнение, стигаме до крайния отговор.

Отговор: .

Нека пренапишем нормалния вектор във формата и да намерим неговата дължина:

Според горното:

Отговор:

Паралелните равнини имат еднакъв нормален вектор. 1) От уравнението намираме нормалния вектор на равнината:.

2) Нека съставим уравнението на равнината, използвайки точка и нормален вектор:

Отговор:

Векторно уравнение на равнина в пространството

Параметрично уравнение на равнина в пространството

Уравнение на равнина, минаваща през дадена точка перпендикулярно на даден вектор

Нека в триизмерното пространство е дадена правоъгълна декартова координатна система. Нека формулираме следния проблем:

Напишете уравнение за равнина, минаваща през дадена точка М(х 0, г 0, z 0) перпендикулярен на дадения вектор n = ( А, б, ° С} .

Решение. Позволявам П(х, г, z) - произволна точкапространство. Точка Ппринадлежи на равнината тогава и само ако векторът MP = {х − х 0, г − г 0, z − z 0) ортогонален на вектора н = {А, б, ° С) (Фиг. 1).

След като написа условието за ортогоналност на тези вектори (n, MP) = 0 в координатна форма, получаваме:

А(х − х 0) + б(г − г 0) + ° С(z − z 0) = 0

Уравнение на равнина с помощта на три точки

Във векторна форма

В координати

Взаимно разположение на равнините в пространството

– общи уравнения на две равнини. Тогава:

1) ако , тогава равнините съвпадат;

2) ако , тогава равнините са успоредни;

3) ако или , тогава равнините се пресичат и системата от уравнения

(6)

са уравненията на правата на пресичане на тези равнини.

Решение: Съставяме каноничните уравнения на правата по формулата: Отговор:

Взимаме получените уравнения и мислено „отщипваме“, например, лявото парче: . Сега нека приравним това парче на произволен номер(запомнете, че вече имаше нула), например до едно: . Тъй като , тогава другите две „парчета“ също трябва да бъдат равни на едно. По същество трябва да разрешите системата:

Съставете параметрични уравнения на следните прави:

Решение: Линиите са дадени чрез канонични уравнения и на първия етап трябва да намерите някаква точка, принадлежаща на правата и нейния насочен вектор.

а) От уравненията премахнете точката и вектора на посоката: . Можете да изберете друга точка (как да направите това е описано по-горе), но е по-добре да вземете най-очевидната. Между другото, за да избегнете грешки, винаги замествайте координатите му в уравненията.

Нека създадем параметрични уравнения за този ред:

Удобството на параметричните уравнения е, че те правят много лесно намирането на други точки на права. Например, нека намерим точка, чиито координати, да речем, съответстват на стойността на параметъра:

Така: b) Разгледайте канонични уравнения . Изборът на точка тук не е труден, но коварен: (внимавайте да не объркате координатите!!!). Как да премахнете водещия вектор? Можете да спекулирате на какво е успоредна тази линия или можете да използвате проста формална техника: пропорцията съдържа „Y“ и „Z“, така че записваме вектора на посоката и поставяме нула в оставащото пространство: .

Нека съставим параметричните уравнения на правата:

в) Нека пренапишем уравненията във формата , тоест „zet“ може да бъде всичко. И ако от някой, тогава нека, например,. Следователно точката принадлежи на тази права. За да намерим вектора на посоката, използваме следната формална техника: в оригиналните уравнения има "x" и "y", а във вектора на посоката на тези места пишем нули: . В останалото пространство поставяме мерна единица: . Вместо едно, всяко число освен нула ще свърши работа.

Нека напишем параметричните уравнения на правата линия: