Решаване на логаритмични уравнения с подробно решение. Някои методи за решаване на логаритмични уравнения. Правила и някои ограничения

Примери:

\(\log_(2)(⁡x) = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡((x^2-3))=\log_3⁡((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10=11 \lg⁡((x+1))\)

Как се решават логаритмични уравнения:

Когато решавате логаритмично уравнение, трябва да се стремите да го трансформирате във формата \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\ и след това да направите преход към \(f(x )=g(x) \).

\(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).

Пример:\(\log_2⁡(x-2)=3\)

Решение: \(\log_2⁡(x-2)=\log_2⁡8\) \(x-2=8\) \(x=10\) Преглед:\(10>2\) - подходящ за DL Отговор:\(x=10\)

ODZ: \(x-2>0\) \(x>2\)

Много важно!Този преход може да се извърши само ако:

Вие сте написали за първоначалното уравнение и накрая ще проверите дали намерените са включени в DL. Ако това не бъде направено, може да се появят допълнителни корени, което означава грешно решение.

Числото (или изразът) отляво и отдясно е едно и също;

Логаритмите отляво и отдясно са „чисти“, тоест не трябва да има умножения, деления и т.н. – само единични логаритми от двете страни на знака за равенство.

Например:

Обърнете внимание, че уравнения 3 и 4 могат лесно да бъдат решени чрез прилагане на необходимите свойства на логаритмите.

Пример . Решете уравнението \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\)

Решение :

		Нека запишем ODZ: \(x>0\).
\(2\log_8⁡x=\log_8⁡2.5+\log_8⁡10\) ODZ: \(x>0\)		Отляво пред логаритъма е коефициентът, отдясно е сумата от логаритмите. Това ни притеснява. Нека преместим двете в степента \(x\) според свойството: \(n \log_b(⁡a)=\log_b⁡(a^n)\). Нека представим сумата от логаритми като един логаритъм според свойството: \(\log_a⁡b+\log_a⁡c=\log_a(⁡bc)\)
\(\log_8⁡(x^2)=\log_8⁡25\)		Редуцирахме уравнението до формата \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) и записахме ODZ, което означава, че можем да преминем към формата \(f(x) =g(x)\ ).
		Се случи . Решаваме го и получаваме корените.
\(x_1=5\) \(x_2=-5\)		Проверяваме дали корените са подходящи за ODZ. За да направим това, в \(x>0\) вместо \(x\) заместваме \(5\) и \(-5\). Тази операция може да се извърши орално.
\(5>0\), \(-5>0\)		Първото неравенство е вярно, второто не. Това означава, че \(5\) е коренът на уравнението, но \(-5\) не е. Записваме отговора.

Отговор : \(5\)

Пример : Решете уравнението \(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\)

Решение :

		Нека запишем ODZ: \(x>0\).
\(\log^2_2⁡(x)-3 \log_2(⁡x)+2=0\) ODZ: \(x>0\)		Типично уравнение, решено с помощта на . Заменете \(\log_2⁡x\) с \(t\).
\(t=\log_2⁡x\)
		Получихме обичайната. Търсим корените му.
\(t_1=2\) \(t_2=1\)		Извършване на обратна замяна
\(\log_2(⁡x)=2\) \(\log_2(⁡x)=1\)		Преобразуваме десните части, представяйки ги като логаритми: \(2=2 \cdot 1=2 \log_2⁡2=\log_2⁡4\) и \(1=\log_2⁡2\)
\(\log_2(⁡x)=\log_2⁡4\) \(\log_2(⁡x)=\log_2⁡2 \)		Сега нашите уравнения са \(\log_a⁡(f(x))=\log_a⁡(g(x))\) и можем да преминем към \(f(x)=g(x)\).
\(x_1=4\) \(x_2=2\)		Проверяваме съответствието на корените на ODZ. За да направите това, заместете \(4\) и \(2\) в неравенството \(x>0\) вместо \(x\).
\(4>0\) \(2>0\)		И двете неравенства са верни. Това означава, че както \(4\), така и \(2\) са корени на уравнението.

Отговор : \(4\); \(2\).

Математиката е повече от наука, това е езикът на науката.

Датският физик и общественик Нилс Бор

Логаритмични уравнения

Сред типичните задачи, предлагани при приемни (състезателни) изпити, са задачите, свързани с решаването на логаритмични уравнения. За да решите успешно такива задачи, трябва да имате добри познания за свойствата на логаритмите и да имате уменията да ги използвате.

Тази статия първо представя основните понятия и свойства на логаритмите., и след това се разглеждат примери за решаване на логаритмични уравнения.

Основни понятия и свойства

Първо, представяме основните свойства на логаритмите, използването на които позволява успешно решаване на относително сложни логаритмични уравнения.

Главното логаритмично тъждество се записва като

, (1)

Сред най-известните свойства на логаритмите са следните равенства:

1. Ако , , и , тогава , ,

2. Ако , , и , то .

3. Ако , , и , то .

4. Ако , , и естествено число, Че

5. Ако , , и естествено число, Че

6. Ако , , и , то .

7. Ако , , и , то .

По-сложните свойства на логаритмите се формулират чрез следните твърдения:

8. Ако , , , и , тогава

9. Ако , , и , тогава

10. Ако , , , и , тогава

Доказателството за последните две свойства на логаритмите е дадено в учебника на автора „Математика за ученици в гимназията: допълнителни раздели на училищната математика“ (М .: Lenand / URSS, 2014).

Също така си струва да се отбележикаква е функцията се увеличава, ако , и намаляваща , ако .

Нека да разгледаме примери за задачи за решаване на логаритмични уравнения, подредени в ред на нарастваща трудност.

Примери за решаване на проблеми

Пример 1. Решете уравнението

. (2)

Решение.От уравнение (2) имаме . Нека трансформираме уравнението, както следва: , или .

защото, тогава коренът на уравнение (2) е.

Отговор: .

Пример 2. Решете уравнението

Решение. Уравнение (3) е еквивалентно на уравненията

Или .

От тук получаваме.

Отговор: .

Пример 3. Решете уравнението

Решение. От уравнение (4) следва, Какво . Използване на основната логаритмична идентичност (1), можем да пишем

или .

Ако поставите тогава оттук получаваме квадратно уравнение, който има два коренаИ . Въпреки това, следователно и подходящ корен на уравнениетое само . Тъй като , тогава или .

Отговор: .

Пример 4. Решете уравнението

Решение.Диапазон от допустими стойности на променливатав уравнение (5) са.

Нека . Тъй като функциятав областта на дефиницията намалява, и функцията нараства по цялата числова ос, тогава уравнението не може да има повече от един корен.

Чрез селекция намираме единствения корен.

Отговор: .

Пример 5. Решете уравнението.

Решение.Ако двете страни на уравнението се вземат логаритмично при основа 10, тогава

Или .

Решавайки квадратното уравнение за , получаваме и . Следователно тук имаме и .

Отговор: , .

Пример 6. Решете уравнението

. (6)

Решение.Нека използваме идентичност (1) и преобразуваме уравнение (6), както следва:

Или .

Отговор: , .

Пример 7. Решете уравнението

. (7)

Решение.Като вземем предвид свойство 9, имаме . В тази връзка уравнението (7) приема формата

От тук получаваме или .

Отговор: .

Пример 8. Решете уравнението

. (8)

Решение.Нека използваме свойство 9 и пренапишем уравнение (8) в еквивалентна форма.

Ако тогава обозначим, тогава получаваме квадратно уравнение, Където . Тъй като уравнениетоима само един положителен корен, тогава или . Това предполага .

Отговор: .

Пример 9. Решете уравнението

. (9)

Решение. Тъй като от уравнение (9) следватогава тук. Според имот 10, може да се запише.

В това отношение уравнение (9) ще бъде еквивалентно на уравненията

Или .

От тук получаваме корена на уравнение (9).

Пример 10. Решете уравнението

. (10)

Решение.Диапазонът на допустимите стойности на променливата в уравнение (10) е. Според свойство 4, тук имаме

. (11)

Тъй като , тогава уравнение (11) приема формата на квадратно уравнение, където . Корените на квадратно уравнение са и .

Тъй като , тогава и . От тук получаваме и .

Отговор: , .

Пример 11. Решете уравнението

. (12)

Решение.Нека обозначим тогава и уравнение (12) приема формата

Или

. (13)

Лесно се вижда, че коренът на уравнение (13) е . Нека покажем това дадено уравнениеняма други корени. За да направите това, разделете двете страни на и получете еквивалентното уравнение

. (14)

Тъй като функцията е намаляваща, а функцията нараства по цялата числена ос, тогава уравнение (14) не може да има повече от един корен. Тъй като уравнения (13) и (14) са еквивалентни, уравнение (13) има един корен.

Тъй като , тогава и .

Отговор: .

Пример 12. Решете уравнението

. (15)

Решение.Нека означим и . Тъй като функцията намалява в областта на дефиниция, а функцията нараства за всякакви стойности, уравнението не може да има същия корен. Чрез директен избор установяваме, че желаният корен на уравнение (15) е .

Отговор: .

Пример 13. Решете уравнението

. (16)

Решение.Използвайки свойствата на логаритмите, получаваме

От тогава и имаме неравенство

Полученото неравенство съвпада с уравнение (16) само в случай, когато или .

Чрез заместване на стойносттав уравнение (16) сме убедени, че, Какво е неговият корен.

Отговор: .

Пример 14. Решете уравнението

. (17)

Решение.Тъй като тук , тогава уравнение (17) приема формата .

Ако поставим , тогава получаваме уравнението

, (18)

Където . От уравнение (18) следва: или . Тъй като уравнението има един подходящ корен. Обаче затова.

Пример 15. Решете уравнението

. (19)

Решение.Нека означим , тогава уравнение (19) приема формата . Ако вземем това уравнение при основа 3, получаваме

Или

От това следва, че и . Тъй като , тогава и . В тази връзка и.

Отговор: , .

Пример 16. Решете уравнението

. (20)

Решение. Да въведем параметъраи пренапишете уравнение (20) във формата на квадратно уравнение по отношение на параметъра, т.е.

. (21)

Корените на уравнение (21) са

или , . Тъй като имаме уравнения и . От тук получаваме и .

Отговор: , .

Пример 17. Решете уравнението

. (22)

Решение.За да се установи областта на дефиниране на променливата в уравнение (22), е необходимо да се разгледа набор от три неравенства: , и .

Прилагане на свойство 2, от уравнение (22) получаваме

Или

. (23)

Ако в уравнение (23) поставим, тогава получаваме уравнението

. (24)

Уравнение (24) ще бъде решено, както следва:

Или

От това следва, че и , т.е. уравнение (24) има два корена: и .

Тъй като , тогава , или , .

Отговор: , .

Пример 18. Решете уравнението

. (25)

Решение.Използвайки свойствата на логаритмите, трансформираме уравнение (25), както следва:

, , .

От тук получаваме.

Пример 19. Решете уравнението

. (26)

Решение.От тогава.

След това имаме. следователно равенство (26) е изпълнено само ако, когато двете страни на уравнението са равни на 2 едновременно.

По този начин , уравнение (26) е еквивалентно на системата от уравнения

От второто уравнение на системата получаваме

Или .

Лесно се виждакакво е значението също удовлетворява първото уравнение на системата.

Отговор: .

За по-задълбочено проучване на методите за решаване на логаритмични уравнения можете да се обърнете към учебнициот списъка с препоръчителна литература.

1. Кушнир А.И. Шедьоври на училищната математика (задачи и решения в две книги). – Киев: Астарта, кн.1, 1995. – 576 с.

2. Сборник задачи по математика за кандидати в колежи / Изд. M.I. Сканави. – М.: Мир и образование, 2013. – 608 с.

3. Супрун В.П. Математика за гимназисти: допълнителни раздели от училищната програма. – М.: Lenand / URSS, 2014. – 216 с.

4. Супрун В.П. Математика за гимназисти: задачи с повишена сложност. – М.: CD “Либроком” / URSS, 2017. – 200 с.

5. Супрун В.П. Математика за гимназисти: нестандартни методи за решаване на задачи. – М.: CD “Либроком” / URSS, 2017. – 296 с.

Все още имате въпроси?

За да получите помощ от преподавател, регистрирайте се.

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.

С това видео започвам дълга поредица от уроци за логаритмични уравнения. Сега пред вас има три примера, на базата на които ще се научим да решаваме най-много прости задачи, които се наричат ​​така - протозои.

log 0,5 (3x − 1) = −3

log (x + 3) = 3 + 2 log 5

Нека ви напомня, че най-простото логаритмично уравнение е следното:

log a f(x) = b

В този случай е важно променливата x да присъства само в аргумента, тоест само във функцията f (x). А числата a и b са просто числа и в никакъв случай не са функции, съдържащи променливата x.

Основни методи за решаване

Има много начини за решаване на такива структури. Например повечето учители в училище предлагат този метод: Незабавно изразете функцията f (x) с помощта на формулата е ( x) = а б . Тоест, когато попаднете на най-простата конструкция, можете веднага да преминете към решението без допълнителни действия и конструкции.

Да, разбира се, решението ще бъде правилно. Проблемът с тази формула обаче е, че повечето студенти не разбирам, откъде идва и защо повдигаме буквата а на буква б.

В резултат на това често виждам много досадни грешки, когато например тези букви се разменят. Тази формула трябва или да се разбере, или да се натъпче, а вторият метод води до грешки в най-неподходящите и най-важните моменти: по време на изпити, тестове и т.н.

Ето защо предлагам на всички мои ученици да изоставят стандартната училищна формула и да използват втория подход за решаване на логаритмични уравнения, който, както вероятно се досещате от името, се нарича канонична форма.

Идеята зад каноничната форма е проста. Нека отново да разгледаме нашия проблем: отляво имаме log a и под буквата a разбираме число и в никакъв случай функция, съдържаща променливата x. Следователно тази буква подлежи на всички ограничения, наложени върху основата на логаритъма. а именно:

1 ≠ a > 0

От друга страна, от същото уравнение виждаме, че логаритъмът трябва да бъде равен на числото b и няма ограничения върху тази буква, тъй като тя може да приеме всякаква стойност - както положителна, така и отрицателна. Всичко зависи от това какви стойности приема функцията f(x).

И тук си спомняме нашето чудесно правило, че всяко число b може да бъде представено като логаритъм при основа a от a на степен b:

b = log a a b

Как да запомните тази формула? Да, много просто. Нека напишем следната конструкция:

b = b 1 = b log a a

Разбира се, в този случай възникват всички ограничения, които записахме в началото. Сега нека използваме основното свойство на логаритъма и въведем множителя b като степен на a. Получаваме:

b = b 1 = b log a a = log a a b

В резултат на това първоначалното уравнение ще бъде пренаписано, както следва:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

Това е всичко. Новата функция вече не съдържа логаритъм и може да бъде решена с помощта на стандартни алгебрични техники.

Разбира се, сега някой ще възрази: защо изобщо беше необходимо да се измисли някаква канонична формула, защо да се извършват две допълнителни ненужни стъпки, ако беше възможно незабавно да се премине от първоначалния дизайн към окончателната формула? Да, само защото повечето ученици не разбират откъде идва тази формула и в резултат на това редовно правят грешки, когато я прилагат.

Но тази последователност от действия, състояща се от три стъпки, ви позволява да решите оригиналното логаритмично уравнение, дори ако не разбирате откъде идва крайната формула. Между другото, този запис се нарича канонична формула:

log a f (x) = log a a b

Удобството на каноничната форма се крие и във факта, че тя може да се използва за решаване на много широк клас логаритмични уравнения, а не само на най-простите, които разглеждаме днес.

Примери за решения

Сега нека да разгледаме реални примери. И така, нека решим:

log 0,5 (3x − 1) = −3

Нека го пренапишем така:

log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3

Много ученици бързат и се опитват незабавно да повишат числото 0,5 на степен, която ни дойде от първоначалната задача. Наистина, когато вече сте добре обучени да решавате подобни проблеми, можете веднага да изпълните тази стъпка.

Ако обаче сега започвате да изучавате тази тема, по-добре е да не бързате никъде, за да избегнете обидни грешки. И така, имаме каноничната форма. Ние имаме:

3x − 1 = 0,5 −3

Това вече не е логаритмично уравнение, а линейно по отношение на променливата x. За да го решим, нека първо разгледаме числото 0,5 на степен −3. Обърнете внимание, че 0,5 е 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

всичко десетични знаципреобразувайте в обикновени, когато решавате логаритмично уравнение.

Пренаписваме и получаваме:

3x − 1 = 8
3x = 9
х = 3

Това е, получихме отговора. Първият проблем е решен.

Втора задача

Да преминем към втората задача:

Както виждаме, това уравнение вече не е най-простото. Дори само защото има разлика отляво, а не един логаритъм по една основа.

Следователно трябва по някакъв начин да се отървем от тази разлика. IN в такъв случайвсичко е много просто. Нека разгледаме по-отблизо основите: вляво е числото под корена:

Обща препоръка: във всички логаритмични уравнения се опитайте да се отървете от радикалите, т.е. от записи с корени и преминете към степенни функции, просто защото показателите на тези степени лесно се изваждат от знака на логаритъма и в крайна сметка такива един запис значително опростява и ускорява изчисленията. Нека го запишем така:

Сега нека си припомним забележителното свойство на логаритъма: степените могат да бъдат извлечени от аргумента, както и от основата. В случай на основание се случва следното:

log a k b = 1/k log b

С други думи, числото, което е било в основната степен, се изнася напред и в същото време се обръща, тоест става реципрочно число. В нашия случай основната степен беше 1/2. Следователно можем да го извадим като 2/1. Получаваме:

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

Моля, обърнете внимание: при никакви обстоятелства не трябва да се отървете от логаритмите на тази стъпка. Спомнете си математиката 4-5 клас и реда на действията: първо се извършва умножение и едва след това събиране и изваждане. В този случай изваждаме един от същите елементи от 10 елемента:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Сега нашето уравнение изглежда както трябва. Това е най-простата конструкция и ние я решаваме с помощта на каноничната форма:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
х = 25

Това е всичко. Вторият проблем е решен.

Трети пример

Да преминем към третата задача:

log (x + 3) = 3 + 2 log 5

Нека ви напомня следната формула:

log b = log 10 b

Ако по някаква причина сте объркани от нотацията log b, тогава, когато извършвате всички изчисления, можете просто да напишете log 10 b. Можете да работите с десетични логаритми по същия начин, както с други: вземайте степени, събирайте и представяйте произволни числа във формата lg 10.

Именно тези свойства ще използваме сега, за да решим задачата, тъй като тя не е най-простата, която записахме в самото начало на нашия урок.

Първо, забележете, че множителят 2 пред lg 5 може да бъде добавен и става степен на основа 5. В допълнение, свободният член 3 може също да бъде представен като логаритъм - това е много лесно да се види от нашата нотация.

Преценете сами: всяко число може да бъде представено като логаритъм по основа 10:

3 = log 10 10 3 = log 10 3

Нека пренапишем първоначалния проблем, като вземем предвид получените промени:

log (x − 3) = log 1000 + log 25
log (x − 3) = log 1000 25
log (x − 3) = log 25 000

Пред нас отново е каноничната форма и ние я получихме, без да преминем през етапа на трансформация, т.е. най-простото логаритмично уравнение не се появи никъде.

Точно за това говорих в самото начало на урока. Каноничната форма ви позволява да решавате по-широк клас проблеми от стандартната училищна формула, която повечето учители дават.

Е, това е всичко, отърваваме се от знака на десетичния логаритъм и получаваме проста линейна конструкция:

х + 3 = 25 000
х = 24 997

Всичко! Проблемът е решен.

Бележка за обхвата

Тук бих искал да направя важна забележка относно обхвата на определението. Със сигурност сега ще има ученици и учители, които ще кажат: „Когато решаваме изрази с логаритми, трябва да помним, че аргументът f (x) трябва да е по-голям от нула!“ В тази връзка възниква логичен въпрос: защо не сме изискали това неравенство да бъде изпълнено в нито една от разглежданите задачи?

Не се безпокой. В тези случаи няма да се появят допълнителни корени. И това е друг страхотен трик, който ви позволява да ускорите решението. Просто знайте, че ако в задачата променливата x се среща само на едно място (или по-скоро в един единствен аргумент от един логаритъм) и никъде другаде в нашия случай не се появява променливата x, тогава запишете домейна на дефиницията няма нужда, защото ще се изпълни автоматично.

Преценете сами: в първото уравнение получихме, че 3x − 1, т.е. аргументът трябва да е равен на 8. Това автоматично означава, че 3x − 1 ще бъде по-голямо от нула.

Със същия успех можем да напишем, че във втория случай x трябва да е равно на 5 2, т.е. със сигурност е по-голямо от нула. И в третия случай, където х + 3 = 25 000, т.е. отново очевидно е по-голямо от нула. С други думи, обхватът се удовлетворява автоматично, но само ако x се среща само в аргумента на само един логаритъм.

Това е всичко, което трябва да знаете, за да разрешите най-простите проблеми. Само това правило, заедно с правилата за трансформация, ще ви позволи да разрешите много широк клас проблеми.

Но нека бъдем честни: за да разберете най-накрая тази техника, за да научите как да прилагате каноничната форма на логаритмичното уравнение, не е достатъчно просто да гледате един видео урок. Затова още сега изтеглете опциите за самостоятелни решения, които са приложени към този видео урок, и започнете да решавате поне една от тези две самостоятелни работи.

Ще ви отнеме буквално няколко минути. Но ефектът от такова обучение ще бъде много по-висок, отколкото ако просто гледате този видео урок.

Надявам се, че този урок ще ви помогне да разберете логаритмичните уравнения. Използвайте каноничната форма, опростете изразите, като използвате правилата за работа с логаритми - и няма да се страхувате от проблеми. Това е всичко, което имам за днес.

Като се вземе предвид домейнът на дефиницията

Сега нека поговорим за областта на дефиниция на логаритмичната функция и как това влияе върху решението на логаритмичните уравнения. Помислете за конструкция на формата

log a f(x) = b

Такъв израз се нарича най-прост - той съдържа само една функция, а числата a и b са просто числа и в никакъв случай функция, която зависи от променливата x. Може да се реши много просто. Просто трябва да използвате формулата:

b = log a a b

Тази формула е едно от ключовите свойства на логаритъма и при заместване в нашия оригинален израз получаваме следното:

log a f (x) = log a a b

f (x) = a b

Това е позната формула от училищните учебници. Много студенти вероятно ще имат въпрос: тъй като в оригиналния израз функцията f (x) е под знака на журнала, върху нея се налагат следните ограничения:

f(x) > 0

Това ограничение се прилага, защото логаритъмът на отрицателните числа не съществува. Така че може би в резултат на това ограничение трябва да се въведе проверка на отговорите? Може би те трябва да бъдат вмъкнати в източника?

Не, в най-простите логаритмични уравнения не е необходима допълнителна проверка. И ето защо. Разгледайте нашата крайна формула:

f (x) = a b

Факт е, че числото a във всеки случай е по-голямо от 0 - това изискване също се налага от логаритъма. Числото a е основата. В този случай не се налагат ограничения върху числото b. Но това няма значение, защото без значение на каква степен повдигаме положително число, пак ще получим положително число на изхода. Така изискването f (x) > 0 се изпълнява автоматично.

Това, което наистина си струва да се провери, е домейнът на функцията под знака на журнала. Може да има доста сложни структури и определено трябва да ги държите под око по време на процеса на решаване. Нека да погледнем.

Първа задача:

Първа стъпка: преобразувайте дробта отдясно. Получаваме:

Отърваваме се от знака за логаритъм и получаваме обичайното ирационално уравнение:

От получените корени само първият ни подхожда, тъй като вторият корен е по-малък от нула. Единственият отговор ще бъде числото 9. Това е всичко, проблемът е решен. Не са необходими допълнителни проверки, за да се гарантира, че изразът под знака логаритъм е по-голям от 0, защото той не просто е по-голям от 0, но според условието на уравнението е равен на 2. Следователно изискването „по-голямо от нула ” се удовлетворява автоматично.

Да преминем към втората задача:

Тук всичко е същото. Пренаписваме конструкцията, замествайки тройката:

Отърваваме се от знаците за логаритъм и получаваме ирационално уравнение:

Поставяме на квадрат двете страни, като вземаме предвид ограниченията и получаваме:

4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2

4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 −4 + ​​​​6x + x 2 = 0

2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2

x 2 + 7x + 6 = 0

Решаваме полученото уравнение чрез дискриминанта:

D = 49 − 24 = 25

x 1 = −1

x 2 = −6

Но x = −6 не ни подхожда, защото ако заместим това число в нашето неравенство, получаваме:

−6 + 4 = −2 < 0

В нашия случай се изисква да има повече от 0 или в краен случайравно на. Но x = −1 ни подхожда:

−1 + 4 = 3 > 0

Единственият отговор в нашия случай ще бъде x = −1. Това е решението. Да се ​​върнем към самото начало на нашите изчисления.

Основният извод от този урок е, че не е необходимо да проверявате ограничения върху функция в прости логаритмични уравнения. Тъй като по време на процеса на решение всички ограничения се удовлетворяват автоматично.

Това обаче в никакъв случай не означава, че можете да забравите за проверката. В процеса на работа върху логаритмично уравнение, то може да се превърне в ирационално, което ще има свои собствени ограничения и изисквания за дясната страна, които видяхме днес в два различни примера.

Чувствайте се свободни да решавате подобни проблеми и бъдете особено внимателни, ако има корен в спора.

Логаритмични уравнения с различни основи

Продължаваме да изучаваме логаритмични уравнения и разглеждаме още две доста интересни техники, с които е модерно да се решават по-сложни конструкции. Но първо, нека си припомним как се решават най-простите проблеми:

log a f(x) = b

В този запис a и b са числа, а във функцията f (x) променливата x трябва да присъства и само там, тоест x трябва да присъства само в аргумента. Ние ще трансформираме такива логаритмични уравнения, като използваме каноничната форма. За да направите това, имайте предвид, че

b = log a a b

Освен това a b е точно аргумент. Нека пренапишем този израз, както следва:

log a f (x) = log a a b

Това е точно това, което се опитваме да постигнем, така че да има логаритъм за основа а и отляво, и отдясно. В този случай можем, образно казано, да зачеркнем знаците на лога, а от математическа гледна точка можем да кажем, че просто приравняваме аргументите:

f (x) = a b

В резултат на това ще получим нов израз, който ще бъде много по-лесен за решаване. Нека приложим това правило към нашите проблеми днес.

И така, първият дизайн:

Първо, отбелязвам, че отдясно има дроб, чийто знаменател е log. Когато видите израз като този, добра идея е да запомните едно прекрасно свойство на логаритмите:

Преведено на руски това означава, че всеки логаритъм може да бъде представен като частно от два логаритма с произволна основа c. Разбира се 0< с ≠ 1.

И така: тази формула има един чудесен специален случай, когато променливата c е равна на променливата b. В този случай получаваме конструкция като:

Това е точно конструкцията, която виждаме от знака вдясно в нашето уравнение. Нека заменим тази конструкция с log a b, получаваме:

С други думи, в сравнение с първоначалната задача сме разменили аргумента и основата на логаритъма. Вместо това трябваше да обърнем дробта.

Припомняме, че всяка степен може да бъде извлечена от основата съгласно следното правило:

С други думи, коефициентът k, който е степента на основата, се изразява като обърната дроб. Нека го представим като обърната дроб:

Дробният фактор не може да бъде оставен отпред, защото в този случай няма да можем да представим тази нотация като канонична форма (в края на краищата в каноничната форма няма допълнителен фактор преди втория логаритъм). Следователно, нека добавим дробта 1/4 към аргумента като степен:

Сега приравняваме аргументи, чиито основи са еднакви (и нашите бази наистина са еднакви), и пишем:

х + 5 = 1

x = −4

Това е всичко. Получихме отговора на първото логаритмично уравнение. Моля, обърнете внимание: в първоначалния проблем променливата x се появява само в един журнал и се появява в неговия аргумент. Следователно няма нужда да проверяваме домейна и нашето число x = −4 наистина е отговорът.

Сега да преминем към втория израз:

log 56 = log 2 log 2 7 − 3log (x + 4)

Тук, в допълнение към обичайните логаритми, ще трябва да работим с log f (x). Как да решим такова уравнение? За неподготвен ученик може да изглежда, че това е някаква трудна задача, но всъщност всичко може да се реши по елементарен начин.

Погледнете внимателно термина lg 2 log 2 7. Какво можем да кажем за него? Базите и аргументите на log и lg са еднакви и това би трябвало да даде някои идеи. Нека си припомним още веднъж как се изваждат степените под знака на логаритъма:

log a b n = nlog a b

С други думи, това, което е степен на b в аргумента, става фактор пред самия log. Нека приложим тази формула към израза lg 2 log 2 7. Не се плашете от lg 2 - това е най-често срещаният израз. Можете да го пренапишете, както следва:

За него са валидни всички правила, които се прилагат за всеки друг логаритъм. По-специално, факторът отпред може да се добави към степента на аргумента. Нека го запишем:

Много често учениците не виждат директно това действие, защото не е добре да въвеждате един дневник под знака на друг. Всъщност в това няма нищо престъпно. Освен това получаваме формула, която е лесна за изчисляване, ако запомните важно правило:

Тази формула може да се разглежда както като определение, така и като едно от нейните свойства. Във всеки случай, ако преобразувате логаритмично уравнение, трябва да знаете тази формула точно както бихте знаели логаритмичното представяне на всяко число.

Да се ​​върнем към нашата задача. Пренаписваме го, като вземем предвид факта, че първият член отдясно на знака за равенство ще бъде просто равен на lg 7. Имаме:

lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)

Нека преместим lg 7 наляво, получаваме:

lg 56 − log 7 = −3lg (x + 4)

Изваждаме изразите отляво, защото имат една и съща основа:

lg (56/7) = −3lg (x + 4)

Сега нека разгледаме по-отблизо уравнението, което получихме. На практика това е каноничната форма, но има коефициент −3 вдясно. Нека го добавим към десния аргумент lg:

log 8 = log (x + 4) −3

Пред нас е каноничната форма на логаритмичното уравнение, така че зачертаваме знаците lg и приравняваме аргументите:

(x + 4) −3 = 8

х + 4 = 0,5

Това е всичко! Решихме второто логаритмично уравнение. В този случай не са необходими допълнителни проверки, тъй като в първоначалния проблем x присъства само в един аргумент.

Позволете ми отново да изброя ключовите моменти от този урок.

Основната формула, която се преподава във всички уроци на тази страница, посветена на решаването на логаритмични уравнения, е каноничната форма. И не се плашете от факта, че повечето училищни учебници ви учат да решавате подобни проблеми по различен начин. Този инструмент работи много ефективно и ви позволява да решавате много по-широк клас проблеми от най-простите, които изучавахме в самото начало на нашия урок.

В допълнение, за решаване на логаритмични уравнения ще бъде полезно да знаете основните свойства. а именно:

1. Формулата за преместване към една база и специалния случай, когато обръщаме лога (това ни беше много полезно при първата задача);
2. Формула за събиране и изваждане на степени от знака логаритъм. Тук много студенти се забиват и не виждат, че извадената и въведена степен може сама по себе си да съдържа log f (x). Нищо лошо в това. Можем да въведем единия дневник според знака на другия и в същото време значително да опростим решението на задачата, което наблюдаваме във втория случай.

В заключение бих искал да добавя, че не е необходимо да проверявате домейна на дефиницията във всеки от тези случаи, тъй като навсякъде променливата x присъства само в един знак на log и в същото време е в неговия аргумент. В резултат на това всички изисквания на обхвата се изпълняват автоматично.

Проблеми с променлива база

Днес ще разгледаме логаритмични уравнения, които за много ученици изглеждат нестандартни, ако не и напълно неразрешими. Говорим за изрази, базирани не на числа, а на променливи и дори функции. Ние ще решаваме такива конструкции, използвайки нашата стандартна техника, а именно чрез каноничната форма.

Първо, нека си припомним как се решават най-простите задачи, базирани на обикновени числа. И така, най-простата конструкция се нарича

log a f(x) = b

За решаване на такива проблеми можем да използваме следната формула:

b = log a a b

Пренаписваме нашия оригинален израз и получаваме:

log a f (x) = log a a b

След това приравняваме аргументите, т.е. пишем:

f (x) = a b

Така се отърваваме от знака на дневника и решаваме обичайния проблем. В този случай корените, получени от решението, ще бъдат корените на оригиналното логаритмично уравнение. В допълнение, запис, когато и лявото, и дясното са в един и същ логаритъм с една и съща основа, се нарича точно канонична форма. Именно до такъв рекорд ще се опитаме да намалим днешните дизайни. И така, да вървим.

Първа задача:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

Заменете 1 с log x − 2 (x − 2) 1 . Степента, която наблюдаваме в аргумента, всъщност е числото b, което стои отдясно на знака за равенство. И така, нека пренапишем нашия израз. Получаваме:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = log x − 2 (x − 2)

какво виждаме Пред нас е каноничната форма на логаритмичното уравнение, така че можем спокойно да приравним аргументите. Получаваме:

2x 2 − 13x + 18 = x − 2

Но решението не свършва дотук, защото това уравнение не е еквивалентно на първоначалното. В края на краищата, получената конструкция се състои от функции, които са дефинирани на цялата числова ос, а нашите оригинални логаритми не са дефинирани навсякъде и не винаги.

Следователно трябва да запишем домейна на дефиниция отделно. Нека не цепим косми и първо да напишем всички изисквания:

Първо, аргументът на всеки от логаритмите трябва да е по-голям от 0:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

Второ, основата не само трябва да е по-голяма от 0, но и различна от 1:

x − 2 ≠ 1

В резултат на това получаваме системата:

Но не се тревожете: при обработката на логаритмични уравнения такава система може да бъде значително опростена.

Съдете сами: от една страна, от нас се изисква квадратичната функция да е по-голяма от нула, а от друга страна, тази квадратна функция се приравнява на определен линеен израз, който също се изисква да бъде по-голям от нула.

В този случай, ако изискваме x − 2 > 0, тогава изискването 2x 2 − 13x + 18 > 0 автоматично ще бъде изпълнено. Следователно можем спокойно да зачеркнем неравенството, съдържащо квадратичната функция. По този начин броят на изразите, съдържащи се в нашата система, ще бъде намален до три.

Разбира се, със същия успех бихме могли да зачеркнем линейното неравенство, тоест да зачеркнем x − 2 > 0 и да изискваме 2x 2 − 13x + 18 > 0. Но ще се съгласите, че решаването на най-простото линейно неравенство е много по-бързо и по-проста, отколкото квадратна, дори при условие, че в резултат на решаването на цялата тази система получаваме едни и същи корени.

Като цяло, опитайте се да оптимизирате изчисленията, когато е възможно. А в случай на логаритмични уравнения, задраскайте най-трудните неравенства.

Нека пренапишем нашата система:

Ето система от три израза, два от които всъщност вече разгледахме. Нека да напишем квадратното уравнение отделно и да го решим:

2x 2 − 14x + 20 = 0

x 2 − 7x + 10 = 0

Пред нас е редуциран квадратен трином и следователно можем да използваме формулите на Vieta. Получаваме:

(x − 5)(x − 2) = 0

х 1 = 5

х 2 = 2

Сега се връщаме към нашата система и откриваме, че x = 2 не ни устройва, защото от нас се изисква x да бъде строго по-голямо от 2.

Но x = 5 ни подхожда напълно: числото 5 е по-голямо от 2 и в същото време 5 не е равно на 3. Следователно единственото решение на тази система ще бъде x = 5.

Това е всичко, проблемът е решен, включително като се вземе предвид ODZ. Да преминем към второто уравнение. Още интересни и информативни изчисления ни очакват тук:

Първата стъпка: както миналия път, привеждаме цялата тази материя в канонична форма. За да направим това, можем да напишем числото 9 по следния начин:

Не е нужно да докосвате основата с корена, но е по-добре да трансформирате аргумента. Нека преминем от корена към степента с рационален показател. Нека запишем:

Нека не пренаписвам цялото ни голямо логаритмично уравнение, а просто веднага приравнявам аргументите:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Пред нас е наскоро редуциран квадратен трином, нека използваме формулите на Vieta и напишем:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

И така, получихме корените, но никой не ни гарантира, че ще паснат на първоначалното логаритмично уравнение. В края на краищата регистрационните знаци налагат допълнителни ограничения (тук трябваше да запишем системата, но поради тромавия характер на цялата структура реших да изчисля отделно домейна на дефиниция).

Първо, не забравяйте, че аргументите трябва да са по-големи от 0, а именно:

Това са изискванията, наложени от обхвата на дефиницията.

Нека веднага да отбележим, че тъй като приравняваме първите два израза на системата един към друг, можем да зачеркнем всеки от тях. Нека зачеркнем първото, защото изглежда по-заплашително от второто.

Освен това имайте предвид, че решението на второто и третото неравенство ще бъдат едни и същи множества (кубът на някакво число е по-голям от нула, ако самото това число е по-голямо от нула; по същия начин, с корен от трета степен - тези неравенства са напълно аналогични, така че можем да го зачеркнем).

Но с третото неравенство това няма да работи. Нека се отървем от радикалния знак вляво, като повдигнем двете части на куб. Получаваме:

Така че получаваме следните изисквания:

− 2 ≠ x > −3

Кой от нашите корени: x 1 = −3 или x 2 = −1 отговаря на тези изисквания? Очевидно само x = −1, тъй като x = −3 не удовлетворява първото неравенство (тъй като нашето неравенство е строго). И така, връщайки се към нашия проблем, получаваме един корен: x = −1. Това е, проблемът е решен.

Още веднъж ключовите точки на тази задача:

1. Чувствайте се свободни да прилагате и решавате логаритмични уравнения, като използвате канонична форма. Студентите, които правят такава нотация, вместо да преминат директно от първоначалния проблем към конструкция като log a f (x) = b, правят много по-малко грешки от тези, които бързат нанякъде, прескачайки междинните стъпки на изчисленията;
2. Щом в логаритъм се появи променлива основа, проблемът престава да бъде най-простият. Следователно при решаването му е необходимо да се вземе предвид домейнът на дефиницията: аргументите трябва да са по-големи от нула, а базите не само трябва да са по-големи от 0, но и не трябва да са равни на 1.

Окончателните изисквания могат да бъдат приложени към крайните отговори по различни начини. Например, можете да разрешите цяла система, съдържаща всички изисквания за домейна на дефиниция. От друга страна, можете първо да решите самата задача и след това да запомните домейна на дефиницията, отделно да я разработите под формата на система и да я приложите към получените корени.

Кой метод да изберете при решаването на конкретно логаритмично уравнение зависи от вас. Във всеки случай отговорът ще бъде същият.

Логаритмични уравнения и неравенствав Единния държавен изпит по математика е посветен на проблем C3 . Всеки ученик трябва да се научи да решава задачи С3 от Единния държавен изпит по математика, ако иска да издържи предстоящия изпит с „добър” или „отличен”. Тази статия представя кратък прегледчесто срещани логаритмични уравнения и неравенства, както и основни методи за решаването им.

И така, нека днес разгледаме няколко примера. логаритмични уравнения и неравенства, които бяха предложени на учениците на Единния държавен изпит по математика от предишни години. Но ще започне с кратко обобщение на основните теоретични точки, които ще ни трябват, за да ги разрешим.

Логаритмична функция

Определение

Функция на формата

0,\, a\ne 1 \]" title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

Наречен логаритмична функция.

Основни свойства

Основни свойства на логаритмичната функция г= дневник a x:

Графиката на логаритмична функция е логаритмична крива:

Свойства на логаритмите

Логаритъм на произведениетодве положителни числа е равно на сумата от логаритмите на тези числа:

Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

Логаритъм на частнотодве положителни числа е равно на разликата между логаритмите на тези числа:

Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

Ако аИ b а≠ 1, тогава за произволно число r равенството е вярно:

Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

Равенстводневник а T= дневник а с, Където а > 0, а ≠ 1, T > 0, с> 0, валидно тогава и само ако T = с.

Ако а, b, ° Сса положителни числа и аИ ° Сса различни от единица, тогава равенството ( формула за преминаване към нова основа на логаритъм):

Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

Теорема 1.Ако f(х) > 0 и ж(х) > 0, тогава log на логаритмичното уравнение a f(х) = дневник a g(х) (Където а > 0, а≠ 1) е еквивалентно на уравнението f(х) = ж(х).

Решаване на логаритмични уравнения и неравенства

Пример 1.Решете уравнението:

Решение.Обхватът на приемливите стойности включва само тези х, за които изразът под знака на логаритъма е по-голям от нула. Тези стойности се определят от следната система от неравенства:

Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

Като се има предвид това

Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

получаваме интервала, който определя обхвата на допустимите стойности на това логаритмично уравнение:

Въз основа на теорема 1, всички условия на която са изпълнени тук, ние пристъпваме към следното еквивалентно квадратно уравнение:

Диапазонът от приемливи стойности включва само първия корен.

Отговор:х = 7.

Пример 2.Решете уравнението:

Решение.Диапазонът на приемливите стойности на уравнението се определя от системата от неравенства:

ql-right-eqno">

Решение.Диапазонът на приемливите стойности на уравнението се определя тук лесно: х > 0.

Използваме заместване:

Уравнението става:

Обратно заместване:

И двете отговорса в обхвата на приемливите стойности на уравнението, тъй като са положителни числа.

Пример 4.Решете уравнението:

Решение.Нека започнем решението отново, като определим обхвата на приемливите стойности на уравнението. Определя се от следната система от неравенства:

ql-right-eqno">

Основите на логаритмите са еднакви, така че в диапазона от приемливи стойности можем да продължим към следното квадратно уравнение:

Първият корен не е в обхвата на приемливите стойности на уравнението, но вторият е.

Отговор: х = -1.

Пример 5.Решете уравнението:

Решение.Ще търсим решения между тях х > 0, х≠1. Нека трансформираме уравнението в еквивалентно:

И двете отговорса в обхвата на приемливите стойности на уравнението.

Пример 6.Решете уравнението:

Решение.Системата от неравенства, определяща обхвата на допустимите стойности на уравнението, този път има формата:

Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

Използвайки свойствата на логаритъма, трансформираме уравнението в уравнение, което е еквивалентно в диапазона от приемливи стойности:

Използвайки формулата за преминаване към нова основа на логаритъм, получаваме:

Диапазонът от приемливи стойности включва само една отговор: х = 4.

Нека сега да преминем към логаритмични неравенства . Точно с това ще трябва да се справите на Единния държавен изпит по математика. За да разрешим други примери, се нуждаем от следната теорема:

Теорема 2.Ако f(х) > 0 и ж(х) > 0, тогава:
при а> 1 логаритмично неравенство log a f(х) > log a ж(х) е еквивалентно на неравенство със същото значение: f(х) > ж(х);
на 0< а < 1 логарифмическое неравенство log a f(х) > log a ж(х) е еквивалентно на неравенство с противоположно значение: f(х) < ж(х).

Пример 7.Решете неравенството:

Решение.Нека започнем с определяне на обхвата на приемливите стойности на неравенството. Изразът под знака на логаритмичната функция трябва да приема само положителни стойности. Това означава, че необходимият диапазон от приемливи стойности се определя от следната система от неравенства:

Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

Тъй като основата на логаритъма е число, по-малко от едно, съответната логаритмична функция ще бъде намаляваща и следователно, съгласно теорема 2, преходът към следното квадратно неравенство ще бъде еквивалентен:

Накрая, като вземем предвид диапазона от приемливи стойности, получаваме отговор:

Пример 8.Решете неравенството:

Решение.Нека започнем отново, като дефинираме диапазона от приемливи стойности:

Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

На множеството от допустими стойности на неравенството извършваме еквивалентни трансформации:

След редукция и преход към неравенството, еквивалентно на теорема 2, получаваме:

Като вземем предвид обхвата на приемливите стойности, получаваме окончателния отговор:

Пример 9.Решете логаритмично неравенство:

Решение.Диапазонът на допустимите стойности на неравенството се определя от следната система:

Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

Вижда се, че в диапазона от приемливи стойности изразът в основата на логаритъма винаги е по-голям от единица и следователно, съгласно теорема 2, преходът към следното неравенство ще бъде еквивалентен:

Като вземем предвид обхвата на допустимите стойности, получаваме крайния отговор:

Пример 10.Решете неравенството:

Решение.

Диапазонът на допустимите стойности на неравенството се определя от системата от неравенства:

Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}

Метод I.Нека използваме формулата за преход към нова основа на логаритъма и да преминем към неравенство, което е еквивалентно в диапазона на допустимите стойности.

Преди да решим логаритмични уравнения, нека повторим още веднъж дефиницията на логаритъма и основните формули.

Логаритъмположително число bбазиран на а- това е индикатор за мощността, до която трябва да бъде повдигната а, Придобивам b.

В този случай class="tex" alt="b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1">.!}

Нека обърнем внимание на обхвата на допустимите стойности на логаритъма:

class="tex" alt="b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1">. !}

Основна логаритмична идентичност:

Основни формули за логаритми:

(Логаритъмът на произведението е равен на сбора от логаритмите)

(Логаритъмът на частното е равен на разликата на логаритмите)
(Формула за логаритъм на степен)

Формула за преместване в нова база:

Знаем как изглежда графиката на логаритмична функция. Тази функция е монотонна. Ако основата на логаритъма е по-голяма от единица, логаритмичната функция нараства монотонно. Ако основата е по-голяма от нула и по-малка от единица, логаритмичната функция намалява монотонно. И във всеки случай, той приема всяка от стойностите си само веднъж. Това означава, че ако логаритмите на две числа са равни на произволна основа, то самите числа са равни.

Всичко това ще ни бъде полезно при решаването на логаритмични уравнения.

Най-простите логаритмични уравнения

1. Решете уравнението:

Основите на логаритмите са равни, самите логаритми също са равни, което означава, че числата, от които са взети, също са равни.
Обикновено учениците помнят това правило в кратка формулировка на жаргон: „Да изхвърлим логаритмите!“ Разбира се, ние ги „изхвърляме“ не просто така, а използвайки свойството монотонност на логаритмичната функция.

Получаваме:

Когато решавате логаритмични уравнения, не забравяйте за диапазон от приемливи стойностилогаритъм Не забравяйте, че изразът е дефиниран с class="tex" alt="b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1">.!}

Много е добре, ако, след като намерите корена на уравнението, просто го замените в уравнението. Ако след такова заместване лявата или дясната страна на уравнението няма смисъл, това означава, че намереното число не е коренът на уравнението и не може да бъде отговорът на задачата. Това добър начинтестове за единния държавен изпит.

2. Решете уравнението:

От лявата страна на уравнението е логаритъма, отдясно е числото 7. Прилагайки основното логаритмично тъждество, представяме числото 7 във формата . Тогава всичко е просто.

Отговор: -124

3. Решете уравнението:

Виждате ли числото 2 пред логаритъма от дясната страна на уравнението? Сега това ви предпазва от „изпускане на логаритмите“. Какво трябва да направя с него, така че лявата и дясната страна да са просто логаритми, базирани на основа 5? Разбира се, формулата за логаритъм на степен ще помогне.

4. Решете уравнението:

Диапазон от приемливи стойности: class="tex" alt="4-x> 0."> Значит, class="tex" alt="x> -4.">!}

Нека представим 2 от дясната страна на уравнението като – така че лявата и дясната страна на уравнението да са логаритми при основа 5.

Функцията нараства монотонно и приема всяка стойност точно веднъж. Логаритмите са равни, техните основи са равни. Нека „изхвърлим“ логаритмите! Разбира се, в този случай class="tex" alt="x> -4">.!}

5. Решете уравнението:

Нека напишем решението като верига от еквивалентни преходи. Записваме ODZ и „премахваме“ логаритмите:

Class="tex" alt="\log _(8)\left (x^(2)+x \right)=\log _(8)\left (x^(2)-4 \right )\Leftrightarrow \left\(\begin(matrix) x^(2)+x> 0\\ x^(2)-4> 0\\ x^(2)+x=x^(2)-4 \ end(matrix)\right.\Leftrightarrow \left\(\begin(matrix) x^(2)+x> 0\\ x^(2)-4> 0\\ x=-4 \end(matrix)\ надясно.\Ляво-дясна стрелка x=-4">!}
Отговор: –4.

Имайте предвид, че решенията на логаритмични уравнения се записват най-добре под формата на верига от еквивалентни преходи. Това ще ни помогне да не забравяме диапазона от допустими стойности.

6. Решете уравнението: .

Нека преминем от логаритъм с основа 4 (в експонента) към логаритъм с основа 2. Правим това, като използваме формулата за преместване към друга основа:

Нека напишем решението като верига от еквивалентни преходи.

Class="tex" alt="2^(\log _(4)\left (4x+5 \right))=9\Leftrightarrow \left\(\begin(matrix) 2^\frac(( \log _(2)\left (4x+5 \right)))(2)=9\\ 4x+5> 0 \end(matrix)\right.\Leftrightarrow \left\(\begin(matrix) \left (2^(\log _(2)\left (4x+5 \right)) \right)^(\frac(1)(2))=9\\ x> -1\frac(1)(4) \end(matrix)\right.\Leftrightarrow \left\(\begin(matrix) \left (4x+5 \right)^(\frac(1)(2))=9\\ x> -1\frac( 1)(4) \end(matrix)\right.\Leftrightarrow \left\(\begin(matrix) \sqrt(4x+5)=9\\ x> -1\frac(1)(4) \end( matrix)\right.\Leftrightarrow \left\(\begin(matrix) 4x+5=81\\ x> -1\frac(1)(4) \end(matrix)\right.\Leftrightarrow \left\(\ begin(matrix) x=19\\ x> -1\frac(1)(4) \end(matrix)\right.">!}

7.Решете уравнението: .

Моля, обърнете внимание: променлива хкакто под логаритъма, така и в основата на логаритъма. Помним, че основата на логаритъма трябва да е положителна и да не е равна на 1.

ODZ:
class="tex" alt="\left\(\begin(matrix) 12-x> 0\\ x> 0\\ x\neq 1 \end(matrix)\right.">!}

Сега можете да "премахнете" логаритми.

Странен корен, тъй като условието class="tex" alt="x> 0) трябва да бъде изпълнено">.!}

8. Решете уравнението.

ODZ уравнения: class="tex" alt="x> 0">!}

Да направим замяна. Както в алгебричните уравнения, ние правим промени на променлива, когато е възможно.

Да се ​​върнем към променливата х:

9. Решете уравнението:

Изразът под логаритъма винаги е положителен - тъй като добавяме 25 към неотрицателна стойност, изразът под корена от дясната страна също е положителен. означава, хможе да бъде всяко реално число.

Нека си представим сумата от логаритми от лявата страна като логаритъм на произведението. От дясната страна, нека преминем към логаритъм с основа 3 и използваме формулата за логаритъм на степента.

„Изхвърляне“ на логаритми.

Такова уравнение се нарича биквадратно. Той включва изрази и . Да направим замяна

Да се ​​върнем към променливата х. Получаваме:

Намерихме всички корени на първоначалното уравнение.

Можете да срещнете логаритмични уравнения в задача № 5 от Профилния единен държавен изпит по математика и в задача № 13. И ако в задача № 5 трябва да решите най-простото уравнение, то в задача 13 решението се състои от две точки. Втората точка е изборът на корени на даден сегмент или интервал.