Равенство от вида F(x, y) = 0 се нарича уравнение с две променливи x, y, ако то не е вярно за всички двойки числа x, y. Казват, че две числа x = x 0, y = y 0 удовлетворяват някакво уравнение от вида F(x, y) = 0, ако при заместване на тези числа вместо променливите x и y в уравнението лявата му страна стане нула .
Уравнението на дадена права (в определена координатна система) е уравнение с две променливи, което е изпълнено от координатите на всяка точка, лежаща на тази права, и не е изпълнено от координатите на всяка точка, която не лежи върху нея.
В това, което следва, вместо израза „при дадено уравнение на правата F(x, y) = 0“, често ще казваме по-кратко: при дадено уравнение на правата F(x, y) = 0.
Ако са дадени уравненията на две прави: F(x, y) = 0 и Ф(x, y) = 0, тогава съвместното решение на системата
F(x,y) = 0, Ф(x, y) = 0
дава всички техни пресечни точки. По-точно, всяка двойка числа, която е съвместно решение на тази система, определя една от пресечните точки,
157. Дадени точки *) M 1 (2; -2), M 2 (2; 2), M 3 (2; - 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), М 6 (3; -2). Определете кои от дадените точки лежат на правата, определена от уравнението x + y = 0 и кои не лежат на нея. Коя права се определя от това уравнение? (Начертайте го на чертежа.)
158. На правата, определена от уравнението x 2 + y 2 = 25, намерете точки, чиито абциси са равни на следните числа: 1) 0, 2) -3, 3) 5, 4) 7; на същия ред намерете точки, чиито ординати са равни на следните числа: 5) 3, 6) -5, 7) -8. Коя права се определя от това уравнение? (Начертайте го на чертежа.)
159. Определете кои прави се определят от следните уравнения (построете ги върху чертежа): 1)x - y = 0; 2) x + y = 0; 3) х - 2 = 0; 4)x + 3 = 0; 5) у - 5 = 0; 6) y + 2 = 0; 7) x = 0; 8) y = 0; 9) x 2 - xy = 0; 10) xy + y 2 = 0; 11) x 2 - y 2 = 0; 12) xy = 0; 13) y 2 - 9 = 0; 14) x 2 - 8x + 15 = 0; 15) y 2 + чрез + 4 = 0; 16) x 2 y - 7xy + 10y = 0; 17) y - |x|; 18) x - |y|; 19) y + |x| = 0; 20) x + |y| = 0; 21) y = |x - 1|; 22) y = |x + 2|; 23) x 2 + y 2 = 16; 24) (x - 2) 2 + (y - 1) 2 = 16; 25 (x + 5) 2 + (y-1) 2 = 9; 26) (x - 1) 2 + y 2 = 4; 27) x 2 + (y + 3) 2 = 1; 28) (x - 3) 2 + y 2 = 0; 29) x 2 + 2y 2 = 0; 30) 2x 2 + 3y 2 + 5 = 0; 31) (x - 2) 2 + (y + 3) 2 + 1 = 0.
160. Дадени са прави: l)x + y = 0; 2)x - y = 0; 3)x 2 + y 2 - 36 = 0; 4) x 2 + y 2 - 2x + y = 0; 5) x 2 + y 2 + 4x - 6y - 1 = 0. Определете кои от тях минават през началото.
161. Дадени са прави: 1) x 2 + y 2 = 49; 2) (x - 3) 2 + (y + 4) 2 = 25; 3) (x + 6) 2 + (y - Z) 2 = 25; 4) (x + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9; 5) x 2 + y 2 - 12x + 16y - 0; 6) x 2 + y 2 - 2x + 8y + 7 = 0; 7) x 2 + y 2 - 6x + 4y + 12 = 0. Намерете техните пресечни точки: а) с оста Ox; б) с оста Oy.
162. Намерете пресечните точки на две прави:
1) x 2 + y 2 - 8; x - y =0;
2) x 2 + y 2 - 16x + 4y + 18 = 0; x + y = 0;
3) x 2 + y 2 - 2x + 4y - 3 = 0; x 2 + y 2 = 25;
4) x 2 + y 2 - 8y + 10y + 40 = 0; x 2 + y 2 = 4.
163. В полярната координатна система точките M 1 (l; π/3), M 2 (2; 0), M 3 (2; π/4), M 4 (√3; π/6) и M 5 (1; 2/3π). Определете кои от тези точки лежат на правата, определена в полярни координати от уравнението p = 2cosΘ, и кои не лежат на нея. Коя права се определя от това уравнение? (Начертайте го на чертежа.)
164. На правата, определена от уравнението p = 3/cosΘ, намерете точки, чиито полярни ъгли са равни на следните числа: а) π/3, б) - π/3, в) 0, г) π/6. Коя права се определя от това уравнение? (Изградете го върху чертежа.)
165. На правата, определена от уравнението p = 1/sinΘ, намерете точки, чиито полярни радиуси са равни на следните числа: а) 1 6) 2, в) √2. Коя права се определя от това уравнение? (Изградете го върху чертежа.)
166. Установете кои прави се определят в полярни координати от следните уравнения (построете ги на чертежа): 1) p = 5; 2) Θ = π/2; 3) Θ = - π/4; 4) p cosΘ = 2; 5) p sinΘ = 1; 6.) p = 6cosΘ; 7) p = 10 sinΘ; 8) sinΘ = 1/2; 9) sinp = 1/2.
167. Построете следните Архимедови спирали по чертежа: 1) p = 20; 2) p = 50; 3) p = Θ/π; 4) p = -Θ/π.
168. Построете върху чертежа следните хиперболични спирали: 1) p = 1/Θ; 2) p = 5/Θ; 3) p = π/Θ; 4) р= - π/Θ
169. Построете върху чертежа следните логаритмични спирали: 1) p = 2 Θ; 2) p = (1/2) Θ.
170. Определете дължините на сегментите, на които спиралата на Архимед p = 3Θ се нарязва от лъч, излизащ от полюса и наклонен към полярната ос под ъгъл Θ = π/6. Направете рисунка.
171. На спиралата на Архимед p = 5/πΘ е взета точка C, чийто полярен радиус е 47. Определете на колко части тази спирала разрязва полярния радиус на точка C. Направете чертеж.
172. Върху хиперболична спирала P = 6/Θ намерете точка P, чийто полярен радиус е 12. Начертайте.
173. Върху логаритмична спирала p = 3 Θ намерете точка P, чийто полярен радиус е 81. Начертайте.
По този начин, agip. = с/2 = 2 и bhyp.2 = с2 – agyp.2 = 16 – 4 = 12. x2 y2 Уравнението на търсената хипербола има вида: − = 1. 4 12 Задача 11. Напишете уравнение за парабола ако неговият фокус F( -7, 0) и уравнението на директрисата x – 7 = 0. Решение От уравнението на директрисата имаме x = -p/2 = 7 или p = -14. Така уравнението на желаната парабола е 2 y = -28x. Задача 12. Определете кои прави се определят от следните уравнения. Направете рисунки. 3 2 1. y = 7 − x − 6 x + 13, y< 7, x ∈ R. 2 Решение 3 2 y−7=− x − 6 x + 13. Возводим обе части 2 уравнения в квадрат: 9 2 (y − 7) 2 = 4 (x − 6 x + 13) или 4 (y − 7) = (x 2 − 6 x + 13). 2 9 Выделяем в правой части полный квадрат: 4 (x − 3) 2 (y − 7) 2 (y − 7) = (x − 3) + 4 или 2 2 − = −1. 9 4 9 Это – сопряженная гипербола. О′(3, 7), полуоси а = 2, b = 3. Заданное же уравнение определяет ветвь гиперболы, расположенную под прямой y – 7 = 0, т.к. y < 7. 1 y +1 2. x = 1 − . 2 2 Решение Область допустимых значений (х, у) определяется условиями ⎧ y +1 ⎪ ≥ 0, ⎧ y ≥ −1, ⎨ 2 → ⎨ ⎪ 1 − x ≥ 0, ⎩ x ≤ 1. ⎩ (y + 1)/2 = 4⋅(1 – x)2 → y + 1 = 8⋅(1 – x)2. Искомая кривая – часть параболы с вершиной в точке (1, -1). 41 3. y = −2 − 9 − x 2 + 8 x . Решение Искомая кривая – часть окружности: (y + 2)2 + (x – 4)2 = 52, y ≤ -2, x ∈ [-1, 9]. 4. y2 – x2 = 0. y Решение y=-x y=x (y – x)⋅(y + x) = 0 – две пересекающиеся прямые. x 0 Задача 13. Какую линию определяет уравнение x2 + y2 = x? Решение Запишем уравнение в виде x2 – x + y2 = 0. Выделим полный квадрат из слагаемых, содержащих х: x2 – x = (x – 1/2)2 – 1/4. 2 ⎛ 1⎞ 1 Уравнение принимает вид ⎜ x − ⎟ + y 2 = ⎝ 2⎠ 4 и определяет окружность с центром в точке (1/2, 0) и радиусом 1/2. Задача 14. Преобразовать уравнение x2 – y2 = a2 поворотом осей на 45° против часовой стрелки. Решение Так как α = -45°, то cos α = 2 2, sin α = − 2 2. Отсюда преобразование поворота принимает вид (см. п.4.2): ⎧ x = 2 2 ⋅ (x′ + y′) , ⎪ ⎨ ⎪ y = 2 2 ⋅ (y′ − x′) . ⎩ Подстановка в исходное уравнение дает х′у′ = а2/2. Проиллюстрируем приведение общих уравнений прямых второго порядка к каноническому виду на нескольких примерах, иллюстрирующих разные схемы преобразований. Задача 15. Привести уравнение 5x2 + 9y2 – 30x + 18y + 9 = 0 к каноническому виду и построить кривую. Решение Сгруппируем члены этого уравнения, содержащие одноименные координаты: (5x2 – 30x) + (9y2 + 18y) +9 = 0, или 5(x2 – 6x) + 9(y2 + 2y) +9 = 0. 42 y y′ Дополняем члены в скобках до полных квадратов: x 5(x2 – 6x + 9 – 9) + 9(y2 + 2y + 1 – 1) +9 = 0, или 0 5(x – 3)2 + 9(y + 1)2 = 45. 01 x′ Обозначаем x′ = x – 3, y′ = y + 1, x0 = 3, y0 = -1, то есть точка О1(3, -1) – центр кривой. Уравнение в новой системе координат принимает вид: x′2 y′2 5 x′ + 9 y′ = 45 → 2 2 + = 1 и определяет эллипс с полуосями 9 5 а = 3, b = 5,который в исходной системе координат имеет центр в точке О1(3, -1). 5 2 3 7 Задача 16. Определить вид кривой x + xy + y 2 = 2. 4 2 4 Решение Определим угол поворота осей по формуле (7) п.4.4: π 5 7 A = ,C = , B = 4 4 4 3 1 , A ≠ C и ϕ = arctg 2 2B 1 (= arctg − 3 = − . A−C 2 6) Подвергнем уравнение кривой преобразованию: ⎧ 3 1 ⎪ x = x′ cos ϕ − y′ sin ϕ = x′ ⎪ + y′ , 2 2 ⎨ ⎪ y = x′ sin ϕ + y′ cos ϕ = − x′ 1 + y′ 3 ⎪ ⎩ 2 2 и получим уравнение эллипса 2 2 5⎛ 3 1⎞ 3⎛ 3 1 ⎞⎛ 1 3 ⎞ 7⎛ 1 3 ⎞ ⎜ x′ + y′ ⎟ + ⎜ x′ + y′ ⎟⎜ − x′ + y′ ⎟ + ⎜ − x′ + y′ ⎟ = 2 . 4⎝ 2 2⎠ 2 ⎝ 2 2 ⎠⎝ 2 2 ⎠ 4⎝ 2 2 ⎠ x′ 2 + 2y′ 2 = 2. Задача 17. Установить, какую линию определяет уравнение x2 + y2 + xy – 2x + 3y = 0. Решение Перенесем начало координат в такую точку О1(х0, у0), чтобы уравнение не содержало х′ и у′ в первой степени. Это соответствует преобразованию координат вида (см. п.4.1): ⎧ x = x′ + x0 , ⎨ ⎩ y = y′ + y0 . Подстановка в исходное уравнение дает (x′ + x0)2 + (x′ + x0)(y′ + y0) + (y′ + y0)2 – 2(x′ + x0) + 3(y′ + y0) = 0 или x′2 + x′y′ + y′2 + (2x0 + y0 - 2)x′ + (x0 + 2y0 + 3)y′ + x02 + x0y0 + y02 - 2x0 + 3y0 =0. Положим 2x0 + y0 – 2 = 0, x0 + 2y0 + 3 = 0. 43 Решение полученной системы уравнений: x0 = 7/3 и y0 = -8/3. Таким образом, координаты нового начала координат O1(7/3, -8/3), а уравнение принимает вид x′2 + x′y′ + y′ 2 = 93/25. Повернем оси координат на такой угол α, чтобы исчез член х′у′. Подвергнем последнее уравнение преобразованию (см. п.4.2): ⎧ x′ = x′′ cos α − y′′ sin α, ⎨ ⎩ y′ = x′′ sin α + y′′ cos α и получим (cos2α + sinα⋅cosα + sin2α)⋅x′′2 + y ′′ y y′ x′′ (cos2α - sin2α)⋅x′′y′′ + 0 x + (sin2α - sinα⋅cosα + cos2α)⋅y′′ 2 = 93/25. Полагая cos2α - sin2α = 0, имеем tg2α = 1. α x′ Следовательно, α1,2 = ±45°. Возьмем α = 45°, cos45° = sin45° = 2 2 . 01 После соответствующих вычислений получаем 3 2 1 2 93 x ′′ + y ′′ = . 2 2 25 x′′2 y′′2 Итак, + =1 62 25 186 25 – уравнение эллипса с полуосями a = 62 5 ≈ 1,5; b = 186 5 ≈ 2,7 в дважды штрихованной системе координат, получаемой из исходной параллельным переносом осей координат в точку О1(7/3, -8/3) и последующим поворотом на угол 45° против часовой стрелки. Уравнение x2 + y2 + xy – 2x + 3y = 0 приведено к каноническому виду x′′2 y′′2 + 2 = 1. a2 b Задача 18. Привести к каноническому виду уравнение 4x2 – 4xy + y2 – 2x – 14y + 7 = 0. Решение Система уравнений для нахождения центра кривой (формула (6) п.4.4) ⎧ 4 x0 − 2 y0 − 1 = 0, ⎨ несовместна, ⎩ −2 x0 + y0 − 7 = 0 значит, данная кривая центра не имеет. Не меняя начала координат, повернем оси на некоторый угол α, соответствующие преобразования координат имеют ⎧ x = x′ cos α − y′ sin α, вид: ⎨ ⎩ y = x′ sin α + y′ cos α. 44 Перейдем в левой части уравнения к новым координатам: 4x2 – 4xy + y2 – 2x – 14y + 7 = (4cos2α - 4cosα⋅sinα + sin2α)⋅x′2 + + 2⋅(-4sinα⋅cosα - 2cos2α + 2sin2α + sinα⋅cosα)⋅x′y′ + + (4sin2α + 4sinα⋅cosα + cos2α)⋅y′2 + + 2⋅(-cosα - 7sinα)⋅x′ + 2⋅(sinα - 7cosα)⋅y′ + 7. (*) Постараемся теперь подобрать угол α так, чтобы коэффициент при х′у′ обратился в нуль. Для этого нам придется решить тригонометрическое уравнение -4sinα⋅cosα - 2cos2α + 2sin2α + sinα⋅cosα = 0. Имеем 2sin2α - 3sinα⋅cosα - 2cos2α = 0, или 2tg2α - 3tgα - 2 = 0. Отсюда tgα = 2, или tgα = -1/2. Возьмем первое решение, что соответствует повороту осей на острый угол. Зная tgα, вычислим cosα и sinα: 1 1 tg α 2 cos α = = , sin α = = . 1 + tg 2α 5 1 + tg 2α 5 Отсюда, и учитывая (*), находим уравнение данной кривой в системе х′,у′: 5 y′2 − 6 5 x′ − 2 5 y′ + 7 = 0. (**) Дальнейшее упрощение уравнения (**) производится при помощи параллельного перенесения осей Ох′, Оу′. Перепишем уравнение (**) следующим образом: 5 5(y′2 − 2 y′) − 6 5 x′ + 7 = 0. 5 Дополнив выражение в первой скобке до полного квадрата разности и компенсируя это дополнение надлежащим слагаемым, получим: 2 ⎛ 5⎞ 6 5⎛ 5⎞ ⎜ y′ − ⎟ − ⎜ x′ − ⎟ = 0. ⎝ 5 ⎠ 5 ⎝ 5 ⎠ Введем теперь еще новые координаты х′′,у′′, полагая x′ = x′′ + 5 5, y′ = y′′ + 5 5 , что соответствует параллельному перемещению осей на величину 5 5 в направлении оси Ох′ и на величину 5 5 в направлении оси Оу′. В координатах х′′у′′ уравнение данной линии принимает вид 6 5 2 y′′ = x′′ . 5 Это есть канонично уравнениепараболи с 3 5 параметър p = и с върха в началото на координатната система x′′y′′. Парабола 5 е разположена симетрично по отношение на оста x′′ и се простира безкрайно в положителната посока на тази ос. Координати на върха в системата x′y′ ⎛ 5 5⎞ ⎛ 1 3⎞ ⎜ ; ⎟ и в системата xy ⎜ − ; ⎟ . ⎝ 5 5 ⎠ ⎝ 5 5⎠ Задача 19. Коя права се определя от уравнението 4x2 - 4xy + y2 + 4x - 2y - 3 =0? Решение Система за намиране на центъра на крива в в такъв случайима формата: ⎧ 4 x0 − 2 y0 + 2 = 0, y 2x-y+3=0 ⎨ 2x-y+1=0 ⎩ −2 x0 + y0 − 1 = 0. Тази система е еквивалентна на едно уравнение 2x0 – y0 2x -y-1=0 + 1 = 0, следователно правата има безкрайно много центрове, които образуват правата линия 2x – y + 1= 0. x Обърнете внимание, че лявата страна на това уравнение 0 се разлага на множители на първа степен: 4x2 – 4xy + y2 + 4x –2y –3 = = (2x – y +3)(2x – y – 1). Това означава, че въпросната права е двойка успоредни прави: 2xy – y +3 = 0 и 2x – y – 1 = 0. Задача 20 1. Уравнението 5x2 + 6xy + 5y2 – 4x + 4y + 12 = 0 x′2 y′2 се дава на каноничната форма x′ 2 + 4у′ 2 + 4 = 0, или + = −1. 4 1 Това уравнение е подобно на каноничното уравнение на елипса. Той обаче не определя никакво реално изображение на равнината, тъй като за всички реални числа x′,y′ лявата му страна не е отрицателна, а дясната му страна е –1. Това уравнение и подобни на него се наричат уравнения на въображаема елипса. 2. Уравнението 5x2 + 6xy + 5y2 – 4x + 4y + 4 = 0 x′2 y′2 се редуцира до каноничната форма x′ 2 + 4y′ 2 = 0, или + = 0. 4 1 Уравнението също е подобно на каноничното уравнение на елипсата , но не определя елипса, а една точка: x′ = 0, y′ = 0. Такова уравнение и подобни на него се наричат уравнения на изродена елипса. Задача 21. Създайте уравнение за парабола, ако нейният фокус е в точка F(2, -1) и уравнението за директрисата D: x – y – 1 = 0. Решение Нека параболата има каноничната форма y′2 в някаква координатна система x′О1у′ = 2px′. Ако правата y = x – 1 е нейната директриса, то осите на координатната система x′О1у′ са успоредни на директрисата. 46 Намираме координатите на върха на параболата, съвпадаща с новото начало O1 като среда на нормалния сегмент към директрисата D, минаваща през фокуса. И така, оста O1x′ се описва от уравнението y = -x + b, -1 = -2 + b. Откъдето b = 1 и О1х′: у = -х + 1. Координатите на пресечната точка K на директрисата и оста О1х′ се намират от условието: ⎧ y = x −1 ⎨ , → x К = 1 , y K = 0. ⎩ y = −x + 1 Координати на новото начало O1(x0, y0): 1+ 2 3 −1 + 0 1 x0 = = ; y0 = = − . Оси нова система координатите се завъртат 2 2 2 2 спрямо стария на ъгъл (-45°). Нека намерим p = KF = 2. И така, получаваме уравнението на параболата в старата координатна система, ако подложим уравнението на параболата y′ 2 = 2 2 ⋅x′ на трансформацията (виж формула (5) клауза 4.3): ⎧ ⎛ 3⎞ ⎛ 1⎞ ⎧ 2 ⎪ x′ = ⎜ x − 2 ⎟ cos(−45°) + ⎜ y + 2 ⎟ sin(−45°), ⎪ x′ = (x − y − 2 ), ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ 2 ⎨ → ⎨ ⎪ y′ = − ⎛ x − sin(−45°) + ⎛ y + cos(−45°) 3⎞ 1⎞ ⎪ y′ = 2 (x + y − 1), ⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎩ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎩ 2 1 2 y′2 = 2 2 ⋅ x′ ⇒ (x + y − 1) 2 = 2 2 ⋅ (x − y − 2), 2 2, от което търсеното уравнение на парабола има формата: x2 + 2xy + y2 – 6x + 2y + 9 = 0. Задача 22. Напишете уравнението на хипербола, ако нейният ексцентриситет e = 5, фокус F(2, -3) и уравнението на директрисата y′ y D1 3x – y + 3 = 0 са известни Решение 3 B Уравнението на директрисата D1: y = 3x + 3 ни позволява да заключим, че новата координатна ос Ox′ има формата y = (-1/3 )x + b, минава през точката F(2, - -7 -1 α x A 0 1 3), което означава −3 = − ⋅ 2 + b, откъдето b = -7/3 и Ох′ O1 K 3 a/ 5 -7/3 1 7 F x′ се дава от уравнението y = − x − . 3 3 Нека началото на новата координатна система е в точка O1(x0, y0). Да намерим координатите на точка K като координати на пресечната точка на директрисата D1 и 47 ⎧3 x − y + 3 = 0, 8 9 ос Ох′′ от системата ⎨ → xK = − , y K = − . ⎩3y + x + 7 = 0 5 5 Геометричните свойства на хиперболата, която в новите координатни оси x′2 y′2 Ох′у′ има формата 2 − 2 = 1, ни позволяват да намерим KF като разстоянието от фокуса a b F(2, - 3) към директрисата D1: 3x – y + 3 = 0. 3 ⋅ (2) − (−3) + 3 12 a a KF = = , O1K = = , O1F = c = a 2 + b 2 , 9 +1 10 e 5 a 12 O1K = O1F − KF ⇒ = a 2 + b2 − , 5 10 b2 тъй като e = 1 + 2 = 5, b 2 = 4a 2 . Намираме стойността на a от уравнението a a 12 3 =a 5− и получаваме a = . В този случай b2 = 18. 5 10 2 x′2 y′2 Уравнението на хиперболата в новите координати има формата − = 1. 9 2 18 Намираме координатите на новия център, като знаем, че точката K дели отсечката O1F в OK a 5 1 отношение λ = 1 = = : KF 12 10 4 ⎧ 1 ⎪ x0 + x F 4 5 ⎪ xK = , x0 = − , ⎪ 1+1 4 2 ⎨ откъдето ⎪ 1 3 y0 + y F y0 = − . ⎪y = 4 , 2 ⎪ K ⎩ 1+1 4 От ∆ ABO: sinα = 1 10 , cosα = 3 10 . Тъй като завъртането се извършва под ъгъл (-α): sin(-α) = − 1 10 , cos(-α) = 3 10 , тогава формулите за трансформация на координатите (вижте (5) в точка 4.3) приемат формата: ⎧ ⎛ 5⎞ 3 ⎛ 3 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎧ ′ 1 ⎪ ⎪ x′ = ⎜ x + ⎟ ⎝ 2 ⎠ 10 ⎝ + ⎜ y + ⎟⎜ − 2 ⎠ ⎝ 10 ⎠⎟, ⎪ x = 10 (3x − y + 6 ) , ⎪ ⎨ → ⎨ ⎪ y′ = − ⎛ x + 5 ⎞ ⎛ − 1 ⎞ + ⎛ y + 3 ⎞ 3 , ⎪ y′ = 1 (x + 3 y + 7) ⎪ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎩ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 10 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 10 ⎩ 10 1 1 (3x − y + 6) (x + 3y + 7) 2 2 и уравнението на хиперболата става 10 − 10 = 1, 92 18 4(3x – y +6 )2 – (x + 3y + 7)2 = 180 или 7x2 – y2 – 6xy – 18y + 26x + 17 = 0. 48 Задача 23. Намерете полярния ъгъл на отсечката, насочена от точка (5, 3) към точка (6, 2 3). Решение ρ = (6 − 5) 2 + (2 3 − 3) 2 = 2, cos ϕ = 1 2, sin ϕ = 3 2 ⇒ ϕ = 60°. (вижте точка 5.2). Задача 24. Направете уравнение на права линия в полярни координати, като приемете, че са известни разстоянието p от полюса до правата линия и ъгълът α от полярната ос към лъча, насочен от полюса, перпендикулярен на правата линия. M (ρ, ϕ) Решение L Известно ИЛИ = p, ∠ ROA = α, произволна точка M P от права линия L има координати (ρ, ϕ). β Точка M лежи на права L тогава и само ако α когато проекцията на точка M върху лъча OP съвпада с точка P, O A, т.е. когато p = ρ⋅cosβ, където ∠ ROM = β. Ъгълът ϕ = α + β и уравнението на правата линия L приема формата ρ⋅cos(ϕ - α) = p. Задача 25. Намерете полярни уравнения на посочените криви: 1). x = a, a > 0 Решение ρ⋅cosϕ = a → ρ = a/cosϕ. a 0 ρ 2). y = b, b > 0 b Решение ρ⋅sinϕ = b → ρ = b/sinϕ. 0 ρ 3). (x2 + y2)2 = a2xy Решение: xy ≥ 0, a2 ρ = a ρ cos ϕ sin ϕ → ρ = sin 2ϕ, sin 2ϕ ≥ 0. 4 2 2 2 2 Уравнението на кривата в полярни координати има формата ρ = sin 2ϕ , ϕ∈ [ 0, π 2] ∪ [ π, 3π 2] и дефинира 2 рози с две венчелистчета: Задача 26. Построете дадените прави в полярната координатна система: 1). ρ = 2a⋅sinϕ, a > 0. Решение y x 2 + y 2 = 2a ⋅ , x +y 2 2 a 2 2 x + y – 2ay = 0, ρ 0 49 x2 + (y – a)2 = a2. 2). ρ = 2 + cosϕ. Решение Правата се получава, ако всеки радиус вектор на окръжността ρ = cosϕ се увеличи с две. Да намерим координатите на контролните точки: ϕ = 0, ρ = 3; ϕ = π/2, ρ = 2; ϕ = π, ρ = 1. 9 3). ρ = 4 − 5cosϕ Решение 4 – 5⋅cosϕ > 0, cosϕ< 4/5, ϕ ∈ (arccos(4/5), 2π – arccos(4/5)). При этом ρ⋅(4 - 5⋅cosϕ) = 9. Переходя к декартовым координатам, получаем ⎛ x ⎞ x2 + y2 ⎜ 4 − 5 ⎟ = 9, ⎜ x2 + y 2 ⎟ ⎝ ⎠ 16 (x 2 + y 2) = (5 x + 9) , 2 4 x 2 + y 2 = 5 x + 9, 16x2 + 16y2 = 25x2 + 90x + 81, 9x2 + 90x – 16y2 +81 = 0, 2 2 (x + 5) 2 y 2 9(x + 5) – 16y = 144 → − 2 = 1 – правая ветвь 42 3 гиперболы при указанных ϕ. Кривую можно было построить по точкам, например, при ϕ = π ρ = 9/10. 4). ρ2⋅sin2ϕ = а2. Решение sin 2ϕ ≥ 0, ϕ∈ [ 0, π 2] ∪ [ π, 3π 2]. a ρ= . sin 2ϕ Перейдем к декартовым координатам, учтем, что ρ2 2 xy sin 2ϕ = 2 cos ϕ ⋅ sin ϕ ⋅ 2 = 2 , ρ x + y2 a2 2 тогда кривая принимает вид гиперболы: y = . x Задача 27. Какие линии задаются следующими параметрическими уравне- ниями: 50
§ 9. Концепцията за уравнението на права.
Дефиниране на линия с помощта на уравнение
Равенството на формата F (x, y) = 0наречено уравнение с две променливи х, y,ако не е вярно за всички двойки числа x, y.Казват две числа х = х 0 , y=y 0, удовлетворяват някакво уравнение от вида F(x, y)=0,ако при заместване на тези числа вместо променливи хИ прив уравнението лявата му страна изчезва.
Уравнението на дадена права (в определена координатна система) е уравнение с две променливи, което е изпълнено от координатите на всяка точка, лежаща на тази права, и не е изпълнено от координатите на всяка точка, която не лежи върху нея.
По-нататък вместо израза „е дадено уравнението на правата F(x, y) = 0" често ще казваме накратко: дадена линия F (x, y) = 0.
Ако са дадени уравненията на две прави F(x, y) = 0И Ф(x, y) = Q,след това съвместното решение на системата
Дава всички техни пресечни точки. По-точно, всяка двойка числа, която е съвместно решение на тази система, определя една от пресечните точки.
1)х 2 +y 2 = 8, x-y = 0;
2) х 2 +y 2 -16х+4при+18 = 0, x + y= 0;
3) х 2 +y 2 -2х+4при -3 = 0, х 2 + y 2 = 25;
4) х 2 +y 2 -8х+10у+40 = 0, х 2 + y 2 = 4.
163. Точките са дадени в полярната координатна система
Определете кои от тези точки лежат на правата, определена от уравнението в полярни координати = 2 cos , и кои не лежат на нея. Коя права се определя от това уравнение? (Начертайте го на чертежа :)
164. На правата, определена от уравнението = 
,
намерете точки, чиито полярни ъгли са равни на следните числа: а) 
,b) - ,c) 0, d)
. Коя права се определя от това уравнение?
(Изградете го върху чертежа.)
165. На правата, определена от уравнението = 
, намерете точки, чиито полярни радиуси са равни на следните числа: а) 1, б) 2, в) 
.
Коя права се определя от това уравнение? (Изградете го върху чертежа.)
166. Установете кои линии се определят в полярни координати от следните уравнения (построете ги на чертежа):
1) = 5; 2) = ; 3) = 
; 4) cos = 2; 5) sin = 1;
6) = 6 cos ; 7) = 10 sin ; 8) грях =
Разгледайте функцията, дадена от формулата (уравнение)
Тази функция и следователно уравнение (11) съответства на добре дефинирана линия в равнината, която е графиката на тази функция (виж Фиг. 20). От дефиницията на графиката на функция следва, че тази линия се състои от тези и само тези точки на равнината, чиито координати отговарят на уравнение (11).
Нека сега
Правата, която е графиката на тази функция, се състои от тези и само онези точки от равнината, чиито координати удовлетворяват уравнение (12). Това означава, че ако дадена точка лежи на определената права, тогава нейните координати удовлетворяват уравнение (12). Ако точката не лежи на тази права, тогава нейните координати не удовлетворяват уравнение (12).
Уравнение (12) се разрешава по отношение на y. Помислете за уравнение, съдържащо x и y и нерешено за y, като уравнението
Нека покажем, че това уравнение в равнината също съответства на права, а именно окръжност с център в началото и радиус, равен на 2. Нека пренапишем уравнението във формата
Лявата му страна е квадратът на разстоянието на точката от началото (виж § 2, параграф 2, формула 3). От равенство (14) следва, че квадратът на това разстояние е равен на 4.
Това означава, че всяка точка, чиито координати отговарят на уравнение (14) и следователно на уравнение (13), се намира на разстояние 2 от началото.
Геометричното местоположение на такива точки е кръг с център в началото и радиус 2. Този кръг ще бъде линията, съответстваща на уравнение (13). Координатите на всяка негова точка очевидно удовлетворяват уравнение (13). Ако точката не лежи върху окръжността, която намерихме, тогава квадратът на нейното разстояние от началото ще бъде по-голям или по-малък от 4, което означава, че координатите на такава точка не отговарят на уравнение (13).
Нека сега, в общия случай, е дадено уравнението
от лявата страна на който има израз, съдържащ x и y.
Определение. Правата, определена от уравнение (15), е геометричното място на точките в равнината, чиито координати удовлетворяват това уравнение.
Това означава, че ако правата L се определя от уравнение, тогава координатите на всяка точка L удовлетворяват това уравнение, но координатите на която и да е точка в равнината, лежаща извън L, не отговарят на уравнение (15).
Уравнение (15) се нарича уравнение на линията
Коментирайте. Човек не трябва да мисли, че всяко уравнение определя която и да е линия. Например, уравнението не определя права. Всъщност, за всякакви реални стойности на и y, лявата страна на това уравнение е положителна, а дясната страна е равна на нула и следователно това уравнение не може да бъде удовлетворено от координатите на която и да е точка в равнината
Една права може да бъде дефинирана на равнина не само чрез уравнение, съдържащо декартови координати, но и чрез уравнение в полярни координати. Линия, дефинирана от уравнение в полярни координати, е геометричното място на точките в равнината, чиито полярни координати удовлетворяват това уравнение.
Пример 1. Построяване на Архимедова спирала при .
Решение. Нека направим таблица за някои стойности на полярния ъгъл и съответните стойности на полярния радиус.
Построяваме точка в полярната координатна система, която очевидно съвпада с полюса; след това, изчертавайки оста под ъгъл спрямо полярната ос, изграждаме точка с положителна координата на тази ос, след което по подобен начин изграждаме точки с положителни стойности на полярния ъгъл и полярния радиус (осите за тези точки са не е показано на фиг. 30).
Свързвайки точките, получаваме един клон на кривата, показан на фиг. 30 с удебелена линия. При промяна от 0 до този клон на кривата се състои от безкраен брой завои.
